L'espace sym\'etrique de Drinfeld et correspondance de Langlands locale I

0.31 MB·

by  Haoran Wang

L’espace sym´etrique de Drinfeld et correspondance
de Langlands locale I
4
Haoran Wang
1
0
2

v
o R´esum´e
N
Soit K une extension finie de Q . On ´etudie la g´eom´etrie et la cohomologie du revˆetement
p
4
mod´er´e de l’espace sym´etrique de Drinfeld sur K. On prouve, de mani`ere purement locale,

] que la cohomologie de degr´e m´edian r´ealise la correspondance de Langlands locale et la cor-
T
respondance de Jacquet-Langlands locale pour les repr´esentations supercuspidales de niveau
N
z´ero.
.
h
t Abstract
a
m
Let K be a finite extension of Q . We study the geometry and cohomology of the tamely
p
[ ramified cover of Drinfeld’s symmetric space over K. We prove, in a purely local way, that the

2 cohomology in middle degree realises the local Langlands correspondence and local Jacquet-
v Langlands correspondence for the depth zero supercuspidal representations.
0
3
5
Table des mati`eres
0
.
1
0 1 Introduction 1
4
1
2 Sur le revˆetement mod´er´e de l’espace sym´etrique de Drinfeld 3
:
v
2.1 Rappels sur l’espace sym´etrique de Drinfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
i
X 2.2 Le revˆetement mod´er´e Σca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
r 2.3 Le prolongement de Σca au-dessus d’un sommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
a
0
2.4 Un calcul du torseur Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
s
2.5 Le lien avec les vari´et´es de Deligne-Lusztig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 La partie supercuspidale de la cohomologie 21
3.1 La d´emonstration de Th´eor`eme A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
R´ef´erences 27
1 Introduction
Soit K un corps local de caract´eristique r´esiduelle p, d’anneau des entiers O et de corps
r´esiduel F . Fixons une clˆoture alg´ebrique Kca de K et un entier d > 2. On dispose de trois
q
groupes G := GL (K), D× les ´el´ements inversibles dans l’alg`ebre `a division D qui est centrale
d
sur K et est d’invariant 1/d, et W le groupe de Weil de K.
K
1
Dans [Dri74],Drinfeld aintroduitl’“espace sym´etrique p-adique”dedimensiond−1, Ωd−1,
d´efinicommelecompl´ementairedetousleshyperplansK-rationelsdansl’espaceprojectifPd−1.
K
Cet espace est un espace rigide-analytique muni d’une action continue de G. Peu apr`es, il a
d´ecouvert, dans [Dri76], un syst`eme projectif de revˆetements ´etales {Σ } (la tour de Drinfeld)
n
de Ωd−1 munis des actions de G×D× ×W . Drinfeld et Carayol [Car90] ont conjectur´e que
K
la limite inductive de la cohomologie de Σ se d´ecompose en une somme directe sur les s´eries
n
discr`etes π de G, de π ⊗ LJ(π) ⊗ σ(π), ou` LJ(π) d´esigne la repr´esentation de D× associ´ee
`a π par la correspondance de Jacquet-Langlands, et σ(π) est l’unique quotient irr´eductible
de la repr´esentation de Weil-Deligne L(π) associ´ee `a π par la correspondance de Langlands
normalis´ee `a la Hecke. Lorsque π est supercuspidale, σ(π) co¨ıncide avec L(π).
La partie supercuspidale de cette conjecture ainsi que l’´enonc´e analogue concernant la tour
deLubin-Tate{M } (laconjecturedeDeligne-Carayol) ont´et´eexplor´esdanslesquatres
LT,n n∈N
articles [Har97][Boy99][HT01]et[Hau05],encaract´eristique nulleouen´egales caract´eristique,
par voie globale en utilisant les vari´et´es de Shimura ou de Drinfeld.
Comme la th´eorie de Lubin-Tate classique, il est naturel de chercher une preuve de voie
locale et plus explicite de ces r´esultats. L’objet de cet article est d’´etudier par voie locale la
partie supercuspidale de la cohomologie de Σ (par abus de notation, on le note Σ dans les
1
sections qui suivent) lorsque K est de caract´eristique nulle (cette ´etude est aussi valable pour
K d’´egale caract´eristique). La partie non-supercuspidale sera l’objet de [Wan14]. Pour´enoncer
nos r´esultats, on utilise une variante de Σ not´ee M /̟Z qui est une r´eunion disjointe de
1 Dr,1
d-copies de Σ . Le th´eor`eme principal est le suivant :
1
Th´eor`eme A. (Th´eor`eme (3.1.6)) Soit ρ une Q -repr´esentation irr´eductible de niveau z´ero de
ℓ
D× de caract`ere central trivial sur ̟Z telle que JL(ρ) soit une repr´esentation supercuspidale de
G par la correspondance de Jacquet-Langlands. Alors, en tant que representations de G×W ,
K
on a
JL(ρ)⊗L(JL(ρ)), si i= d−1;
HomD× ρ,Hci(MDr,1/̟Z,Qℓ) ∼= 0, sinon.
(cid:26)
(cid:0) (cid:1)
Notrepreuvereposesurl’´etudedelag´eom´etriedeΣ .Rappelonsqu’ilexisteuneapplication
1
τ : Ωd−1 −→ |BT|, ou` |BT| d´esigne la r´ealisation g´eom´etrique de l’immeuble de Bruhat-Tits
semi-simple BT associ´e `a G. En prenant la composition avec la transition p : Σ → Ωd−1, on
1 K
obtient un morphisme ν :Σ −→ |BT|. Comme il n’existe pas de notion de “base de Drinfeld”
1
`a l’instant, on construit sur chaque sommet s ∈ BT un mod`ele entier lisse de ν−1(|s|) dans
(2.3.8), et on obtient en particulier le r´esultat suivant :
Th´eor`eme B. (Th´eor`eme (2.5.6)) Si s est un sommet de BT, on a un isomorphisme :
∼
Hq(ν−1(|s|∗),Λ) −→ Hq(DLd−1,Λ),
c c Fq
ou` |s|∗ =∪ |σ|etDLd−1 d´esignelerevˆetementdeDeligne-LusztigCoxeterassoci´e a`GL (F ),
s∈σ d q
Fq
Cetravail estinspir´eparceluideGenestier [Gen]surl’espacedeDrinfeldmod´er´elorsqueK
est de caract´eristique positive, et par celui de Yoshida [Yos10] sur le niveau mod´er´e de la tour
de Lubin-Tate. Notre r´esultat est n´eanmoins plus pr´ecis que celui de Yoshida qui ne d´ecrit que
l’action de G et du groupe d’inertie. Notre d´emonstration est inspir´ee par Teitelbaum [Tei90]
qui ´etudie la g´eom´etrie de Σ lorsque d = 2. Dans [Str08], Strauch a ´etudi´e la correspondance
1
de Jacquet-Langlands dans la tour de Lubin-Tate.
2
Nousd´ecrivons bri`evement lescontenus dediff´erents paragraphes.Dans lesparagraphes2.1
et 2.2, on rappelle l’espace de Drinfeld Ωd−1 et son revˆetement mod´er´e Σ . On d´emontre au
1
paragraphe 2.2, en employant un lemme de Zheng [Zhe08], que l’´etude de la cohomologie sans
supportHq(ν−1(|s|∗),Λ) se ram`ene `a celle de Hq(ν−1(|s|),Λ). Au paragraphe2.3, on construit
un mod`ele entier lisse de ν−1(|s|), d´efini sur une extension mod´er´ement ramifi´ee du compl´et´e
0
de l’extension non ramifi´ee maximale de K, dont la fibre sp´eciale Σ calcule la cohomologie
s
sans support de ν−1(|s|). Au cours de la preuve, on utilise la classification, duˆe `a Raynaud
[Ray74], des sch´emas en groupes de type (p,...,p). Aux paragraphes 2.4 et 2.5, on d´emontre
queΣ0 ∼= DLd−1 (etencons´equenceleTh´eor`emeB.),encalculantleursclassesdeµ -torseur
s Fq qd−1
dans H1(Ωd−1,µ ), ou` Ωd−1 d´esigne l’espace de Drinfeld sur le corps fini F . Le th´eor`eme
Fq qd−1 Fq q
A. est alors obtenu dans la section 3. Pour r´ealiser la correspondance de Langlands locale dans
la cohomologie, on a besoin d’un r´esultat sur les composantes connexes de Σ . Ce r´esultat
1
´etant connu dans le cas d’´egales caract´eristiques [Gen96], peut ˆetre obtenu par le travail de
Chen [Che13] sur le cˆot´e de Lubin-Tate, en vertu d’isomorphisme de Faltings-Fargues, et il
0
nous permet de descendre la fibre sp´eciale Σ , et donc de d´ecrire l’action de Frobenius.
s
Remerciements : Je remercie profond´ement mon directeur de th`ese Jean-Franc¸ois Dat
de me proposer ce sujet et ses constants encouragements. Je tiens `a exprimer ma gratitude
`a Miaofen Chen, Bas Edixhoven, Jared Weinstein et Weizhe Zheng pour leurs enrichissantes
discussions. Je remercie Jared Weinstein pour son int´erˆet sur ce travail et pour m’avoir invit´e
`a Boston. Enfin, je remercie le referee anonyme pour ses commentaires.
2 Sur le revˆetement mod´er´e de l’espace sym´etrique
de Drinfeld
Dans cette section, on rappelletoutd’abordl’espace sym´etriquep-adiquedeDrinfeld intro-
duit dans [Dri74]. C’est un espace rigide-analytique dont un mod`ele entier param`etre certains
groupes p-divisibles [Dri76]. On rappelle le niveau mod´er´e de la tour de Drinfeld. Le lecteur
pourraconsulter [BC91] pour une d´emontration d´etaill´ee de l’interpretation modulaire lorsque
d= 2. Ensuite, on donne des r´esultats sur la g´eom´etrie du niveau mod´er´e.
2.1 Rappels sur l’espace sym´etrique de Drinfeld
(2.1.1) Soit d > 2 un entier. Fixons un corps p-adique K, une extension finie de Q , et
p
notons O son anneau des entiers et ̟ uneuniformisante de O. Le corps r´esiduel O/̟ ≃ F est
q
uneextension finiedeF ,son degr´e [F : F ]sera not´e f.OnfixeKca uneclˆoture alg´ebrique de
p q p
K et Kca son compl´et´e par l’unique norme qui ´etend celle de K. Soient D l’alg`ebre `a division
centrale sur K d’invariant 1/d et O l’anneau des entiers de D. Soient K une extension
D d
non-radmifi´ee de degr´e d de K contenue dans D, O l’anneau des entiers de K . Il existe un
d d
´el´ement Π ∈ O tel que O soit engendr´e sur O par Π v´erifiant les relations Πd = ̟
D D D d D D
et Π a = σ(a)Π , ∀a ∈ O , ou` σ ∈ Gal(K /K) le rel`evement de Frobenius. On note K˘ le
D D d d
compl´et´e de l’extension non-ramifi´ee maximale de K dans la clˆoture alg´ebrique Kca, O˘ son
anneau des entiers, on a donc K˘ = O˘[1/p].
Notons BT l’immeuble de Bruhat-Tits semi-simple de G := GL (K), c’est un complexe
d
simplicial dont l’ensemble de sommets s’identifie `a l’ensemble des classes d’homoth´etie de
O-r´eseaux dans l’espace vectoriel Kd. Un ensemble de sommets σ = {s ,...,s } forme un
0 k
3
k-simplexe s’il existe des repr´esentants Λ de s ∀0 6 i 6 k tels que ̟Λ ( Λ ( ··· ( Λ .
i i k 0 k
On notera BT l’ensemble des k-simplexes. On d´esignera |BT| la r´ealisation g´eom´etrique de
k
BT. Pour σ = {̟Λ ( Λ ( ··· ( Λ } un k-simplexe de BT, notons |σ| ⊂ |BT| sa facette
k 0 k
associ´ee : on a pour toute paire de simplexes σ′ ⊂ σ, |σ′| ⊂ |σ|, ou` |σ| d´esigne l’adh´erence
de |σ|. On notera aussi |σ|∗ ⊂ |BT| la r´eunion de toutes les facettes |σ′| avec σ′ contenant
σ, i.e. |σ|∗ = |σ′|. E´videmment, si σ = {s ,...,s } avec s ∈ BT des sommets, on a
σ⊂σ′ 0 k i 0
|σ|∗ = |s |∗.
i i S
Notons Ωd−1 l’espace sym´etrique de Drinfelddedimension d−1, d´efinidans[Dri74]comme
T K
un sous K-espace rigide-analytique de l’espace projectif Pd−1. Il s’identifie au compl´ementaire
K
de l’ensemble des hyperplans K-rationnels dans Pd−1. On sait que les points de |BT| s’identi-
K
fient aux classes d’homoth´etie de normes sur le K-espace vectoriel Kd (cf. [GI63]). Ceci nous
fournitune application de r´eduction τ :Ωd−1 → |BT| (voir [DH87]). On d´esignera par le mˆeme
K
symbole Ωd−1 le K-espace analytique `a la Berkovich correspondant, et il est naturellement
K
muni d’une action continue de G triviale sur le centre (cf. [Ber95]). On obtient alors un espace
analytique Ωd−1,ca := Ωd−1⊗ Kca muni d’une action continue du groupe de Weil W de K
K K K K
en ´etendant les scalaires `a Kca.
b d
(2.1.2) Dans un travaildnon publi´e, Deligne introduit un mod`ele semi-stable Ωd−1 de Ωd−1
O K
sur SpfO, en recollant les mod`eles locaux (au-dessus des simplexes de BT) que nous rappelons
ci-dessous (cf. [Rap90]). b
On note alors Ωd−1 le sch´ema formel classifiant les classes d’isomorphie de diagrammes
O,σ
commutatifs
b Λ = ̟Λ (cid:31)(cid:127) //Λ (cid:31)(cid:127) //...(cid:31)(cid:127) //Λ
−1 k 0 k
αk/̟ α0 αk
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
L Π //L Π // ... Π //L
k 0 88 k
×̟
sur un O-sch´ema S = Spec(R), ou` R ∈ Nilp , la cat´egorie des O-alg`ebres sur lesquelles ̟
O
est nilpotent. Les L sont des fibr´es en droites sur S, les applications α sont des homomor-
i i
phismes de O-modules, les morphismes Π sont des homomorphismes de O -modules, v´erifiant
S
la condition : pour tout x ∈Spec(R), on a
Ker{α (x) :Λ /̟Λ → L ⊗ k(x)} ⊂ Λ /̟Λ ,
i i i i R i−1 i
ou` k(x) est le corps r´esiduel de x. L’objet universel sur Ωd−1 sera not´e :
O,σ
̟Λ (cid:31)(cid:127) //Λ (cid:31)(cid:127) //...(cid:31)(cid:127) b //Λ
k 0 k
αk/̟ α0 αk
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
L Π //L Π //... Π //L
k 0 k
Fait.– (cf.[Gen96,(III.1)])OnnoteP leO-sch´emaobtenu`apartirdeP(Λ ) =Proj(Sym(Λ ))
σ k k
en l’´eclatant successivement le long du sous-sch´ema ferm´e P(Λ /Λ ) de sa fibre sp´eciale
k k−1
P ⊗F = P(Λ /̟Λ ), puis en´eclatant lee transform´e strict de P(Λ /Λ ), puis le transform´e
σ q k k k k−2
strict de P(Λ /Λ ) et ainsi de suite. Comme expliqu´e dans [Gen96, (III.1)], P repr´esente
k k−3 σ
uen foncteur H sur Nilp qui associe `a R ∈ Nilp l’ensemble des classes d’isomorphie de
σ O O
diagrammes commutatifs e
4
Λ = ̟Λ (cid:31)(cid:127) //Λ (cid:31)(cid:127) //...(cid:31)(cid:127) //Λ
−1 k 0 k
αk/̟ α0 αk
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
L Π // L Π //... Π //L
k 0 88 k
×̟
ou` les L sont des R-modules inversibles, les applications α sont des homomorphismes de O-
i i
modules, les morphismes Π sont des homomorphismes de R-modules, tels que pour tout i le
morphisme B-lin´eaire
α ⊗Id : Λ ⊗ R −→ L
i R i O i
soit surjectif. On a alors une immersion de Ωd−1 dans P . On d´esigne Ω0 le compl´ementaire
O,σ σ O,σ
dans la fibre sp´eciale P ⊗F de P des ferm´es
σ q σ
b e
{αej(m) = 0}e(j ∈ Z/kZ,m ∈ Λj/̟Λj −Λj−1/̟Λj).
Alors Ωd−1 s’identifie au compl´et´e de P le long de Ω0 . Lorsque σ′ est un sous-simplexe
O,σ σ O,σ
de σ, on a une immersion naturelle ouverte Ωd−1 ֒→ Ωd−1. Le sch´ema formel Ωd−1 est
O,σ′ O,σ O
b e
par d´efinition la limite inductive lim Ωd−1. De plus, la fibre g´en´erique de Ωd−1 (au sens
−→ O,σ O
b b b
σ∈BT
de Raynaud-Berkovich) s’identifie `a Ωd−b1. Si g ∈ G envoyant un simplexe σ surbgσ, on d´efinit
K
un isomorphisme g : Ωd−1 → Ωd−1 en associant `a une donn´ee (α : Λ → L ,Π) la donn´ee
O,σ O,gσ j j j
(gΛ −g−→1 Λ −α→j L ,Π). Ceci d´efinit une action de G sur le syst`eme inductif (Ωd−1) , et donc
j j j b b O,σ σ
sur Ωd−1. Sous cette action, l’application de r´eduction τ :Ωd−1 → |BT| est G-´equivariante.
K K
b
(2.1.3) D´efinition.– Soit σ = {̟Λ ( Λ ( ··· ( Λ } un k-simplexe, le type de σ
k 0 k
est la suite des entiers (e ,...,e ) telle que e = dim Λ /̟Λ et e = dim Λ /Λ pour
0 k 0 Fq 0 k i Fq i i−1
16 i 6 k. E´videmment, on a e = d.
i
P
(2.1.4) Exemple.– Nous aurons besoin des descriptions explicites suivantes.
Commen¸cons par le cas ou` le simplexe σ = Φ est maximal, i.e. Φ est associ´e `a une chaˆıne
des r´eseaux ̟Φ ( Φ ( ··· ( Φ . On peut supposer que Φ = Od, et que sous la base
d−1 0 d−1 d−1
canonique {e ,...,e } de Od,
0 d−1
Φ = he ,...,e ,̟e ,...,̟e i, ∀06 i 6 d−1.
i 0 i i+1 d−1
La condition impos´ee sur α implique que α (e ) engendre L . Identifions L avec R en posant
i i i i i
α (e ) = 1. Le morphisme R-lin´eaire Π : L → L est alors donn´e par multiplication par c ,
i i i i+1 i
ou`
α (e ) ̟α (e )
c = d−1 i , 06 i 6 d−2 et c = d−1 d−1 .
i d−1
α (e ) α (e )
d−1 i+1 d−1 0
Cecinouspermetd’identifierlesch´emaformelΩd−1 auspectreformelducompl´et´e̟-adique
O,Φ
de l’anneau
O[c ,...,c ,P−1b]/( c −̟),
0 d−1 Φ i
ou` P = P , i ∈ Z/dZ, a = (a ,...,a ) pYarcourt une classe de repr´esentants de
Φ a,i 0 d−2
(O/̟O)d−1 dans Od−1, et P = 1+a c +a c c +···+a c ···c .
a,i 0 i−1 1 i−1 i−2 d−2 i−1 1+i−d
Q
5
L’objet universel sur ΩdO−,Φ1 est la donn´ee d’une suite de OΩbd−1-modules
O,Φ
b
L −Π→ L −Π→ ··· −Π→ L
d−1 0 d−1
avec L libre de base 1 et Π :L → L est la multiplication par c .
i i i+1 i
Ensuite on consid`ere le cas ou` σ = [Λ] est un sommet. Il suffit de traiter le cas ou` Λ= Od.
Le sch´ema formel Ωd−1 classifie les diagrammes commutatifs
O,[Λ]
b ̟Λ(cid:31)(cid:127) //Λ
α/̟ α
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
L Π // L
tels que l’application
α(x) : Λ/̟Λ −→ L⊗ k(x)
R
soit injective pour tout x ∈ Spec(R). Ceci implique que α(u) est un g´en´erateur de L, ∀u ∈
Λ\̟Λ. Le couple (L,α) est alors d´etermin´e `a isomorphisme pr`es par
α(e ) α(e )
x = 0 ,...,x = d−2 ∈ Rd−1.
0 d−2
α(e ) α(e )
(cid:18) d−1 d−1 (cid:19)
Nous pouvons donc identifier le sch´ema formel Ωd−1 au spectre formel du compl´et´e ̟-adique
O,[Λ]
de l’anneau
O[x ,...,xb ,P−1],
0 d−2 Λ
ou` P = (a x + a x + ··· + a x + a ), (a ,...,a ) parcourt une classe de
Λ 0 0 1 1 d−2 d−2 d−1 0 d−1
repr´esentanQtsde(O/̟O)d\{0}dansOd.L’objetuniverselsurΩdO−,[1Λ]estladonn´eed’unOΩbdO−,[1Λ]-
module L libre de base 1, et Π: L → L est la multiplication par ̟.
b
Remarque.– L’immersion canonique Ωd−1 ֒→ Ωd−1 (ou Ωd−1 ֒→ Ωd−1 ֒→ Pd−1) induit
O,[Λ] O,Φ K,[Λ] K,Φ K
une identification c = x /x pour 0 6 i 6 d−3, c = x , c = ̟/x .
i i i+1 d−2 d−2 d−1 0
b b
Enfin, soit σ = {̟Λ ( Λ ( Λ = Od} le sous-simplexe de Φ de type (1,d − 1),
d−1 0 d−1
i.e. Λ est engendr´e par e ,̟e ,...,̟e . L’objet universel correspondant est d´ecrit par le
0 0 1 d−1
diagramme commutatif suivant
̟Λ(cid:31)(cid:127) //Λ (cid:31)(cid:127) //Λ
0
α/̟ α0 α
L(cid:15)(cid:15) ̟/x0 // L(cid:15)(cid:15) x0 // L(cid:15)(cid:15)
0
Le sch´ema formel Ωd−1 s’identifie au spectre formel du compl´et´e ̟-adique de l’anneau
O,σ
b O[x ,...,x ,c ,P−1]/(x c −̟)
0 d−2 d−1 σ 0 d−1
ou`P = (1+a x +···+a x )(1+a x c +···+a x c +a c ),(a ,...,a )
σ 0 0 d−2 d−2 0 1 d−1 d−3 d−2 d−1 d−2 d−1 0 d−2
parcourt une classe de repr´esentants de (O/̟O)d−1 dans Od−1.
Q
6
(2.1.5) Les composantes irr´eductibles de la fibre sp´eciale g´eom´etrique Ω := Ωd−1 ⊗ F
O O q
de Ωd−1 sont param´etr´ees par les sommets de BT. Plus pr´ecis´ement, soit s = [Λ ] repr´esent´e
O s
par un r´eseau Λ , consid´erons tous les simplexes maximaux contenant s. Pour un tbel simplexe
s
σ, ibl est repr´esent´e par une suite de r´eseaux {̟Λ ( Λ ( ··· ( Λ ( Λ }. Notons Ω
s σ,0 σ,d−2 s s
la vari´et´e projective obtenue `a partir de P(Λ /̟Λ ) en l’´eclatant successivement le long du
s s
sous-sch´ema ferm´e P(Λ /Λ ) pour tout simplexe maximal σ contenant s, puis en ´eclatant
s σ,d−2
le transform´e strict de P(Λ /Λ ) pour tous ces σ, puis le transform´e strict de P(Λ /Λ )
s σ,d−3 s σ,d−4
pour tous ces σ et ainsi de suite, cf. [Ito05, §4] ou [Wan13, (4.1.2)]. On sait alors que le F -
q
sch´ema Ω est localement de type fini, et Ω = Ω . Chaque Ω est une vari´et´e projective
s∈BT0 s s
munie d’une action de G := Stab (s). Soit σ = {s ,...,s } un simplexe quelconque, notons
s G 0 k
S
Ω la vari´et´e projective Ω ∩···∩Ω munie d’une action de G := Stab (σ). On d´esigne
σ s0 sk σ G
Gσ le fixateur de σ, et G+σ le pro-p-radical de Gσ (voir [SS93]). Notons Ω0σ := Ωσ\ s′6∈σΩs′,
0 0 c
et j : Ω ֒→ Ω l’inclusion naturelle. En particulier, Ω est la fibre sp´eciale g´eom´etrique de
σ σ σ s S
Ωd−1 (le mod`ele de Deligne au-dessus de s).
O,s
Rappelons que Berkovich a d´efini dans ce cas un morphisme de sp´ecialisation
b
d−1,ca
sp: Ω −→ Ω
K
(qui est appel´e le morphisme de r´eduction dans [Ber96, §1]). L’image r´eciproque sous ce mor-
0
phisme de l’inclusion naturelle j :Ω ֒→ Ω s’identifie `a :
s s s
sp−1(Ω0)s(cid:31)p(cid:127) −1(js//)sp−1(Ω )
s s
τ−1(|s|)(cid:31)(cid:127) //τ−1(|s|∗)
(2.1.6) Lemme.– Soit s un sommet. Quitte `a choisir une base d’un r´eseau qui repr´esente
s, on a un isomorphisme G /G+ −∼→ GL (F ). Via cet isomorphisme, Ω0 munie de l’action
s s d q s
de G /G+ (G+ agit trivialement sur Ω0) est isomorphe `a Ωd−1 muni de l’action de GL (F ),
s s s s Fq d q
ou` Ωd−1 est le compl´ementaire de tous les hyperplans F -rationnels dans Pd−1 appel´e l’espace
q
Fq Fq
de Drinfeld sur le corps fini F (cf. (2.5.1)).
q
Preuve: Onpeutsupposerques = [Λ] = [Od]ler´eseaustandard.D’apr`esl’exemple(2.1.4),
Ω0 = SpecF [x ,...,x ,P−1]quis’identifiedonc`aΩd−1.Les´el´ements deG+ = 1+̟M (O)
s q 0 d−2 Λ Fq s d
agissent bien trivialement, et les actions sont compatibles. (cid:3)
2.2 Le revˆetement mod´er´e Σca
(2.2.1) Rappelonstoutd’aborddeuxdescriptions modulairesdenotresch´ema formelΩd−1
O
introduitesparDrinfelddans[Dri76](voir aussi[BC91]).SiRestuneO-alg`ebre, nousnoterons
R[Π]lequotientdel’alg`ebredepolynˆomesR[X]parl’id´ealengendr´eparXd−̟.C’estdonbcun
R-module libre de rang d, engendr´e par 1 et un ´el´ement Π (l’image de X) qui v´erifie Πd = ̟.
L’alg`ebre R[Π] est munie d’une graduation `a valeurs dans Z/dZ telle que les ´el´ements de R
soient de degr´e 0, et Π soit de degr´e 1.
On consid`ere le foncteur FDr qui associe `a une alg`ebre R ∈ Nilp l’ensemble des classes
O
d’isomorphie de (ψ,η,T,u,r), ou`
7
– ψ est un F -homomorphisme de F vers R/̟R.
q q
– η est un faisceau en O[Π]-modules plats, Z/dZ-gradu´e, constructible, sur S := Spec(R)
muni de la topologie de Zariski.
– T est un faisceau en O [Π]-modules, Z/dZ-gradu´e, tel que les composantes homog`enes
S
soient des faisceaux inversibles sur S.
– u est un homomorphisme O[Π]-lin´eaire de degr´e 0 de η vers T, tel que u⊗ O : η⊗
O S O
O → T soit surjectif.
S
– r est un isomorphisme K-lin´eaire du faisceau constant Kd vers le faisceau η ⊗ K.
0 O
satisfaisant les conditions suivantes :
. Soit S ⊂ S le lieu d’annulation du morphisme Π :T → T , alors la restriction η | est un
i i i+1 i Si
faisceau constant de fibre isomorphe `a Od.
. Pour tout point s ∈ S l’application η /Πη → (T /ΠT )⊗k(s) est injective, ou` k(s) est le
s s s s
corps r´esiduel de s.
. d(η )| = ̟−i( d(ΠirOd))| (∀i∈ Z/dZ).
i Si Si
VDrinfeld d´emonVtre que ce foncteur FDr est pro-repr´esentable par le O-sch´ema formel
Ωd−1 := Ωd−1⊗ O˘. Dans la suite, on notera (ψ,η,T,u,r) l’objet universel sur Ωd−1. Les
O˘ O O O˘
composantes homog`enes universelles T sont des fibr´es en droites sur Ωd−1. Par la construc-
b b b i O˘ b
tion del’isomorphismeentreΩd−1 etFDr (cf.[BC91]),onsaitquelarestriction deT `achaque
O˘ b i
Ωd−1 := Ωd−1⊗ O˘ est en fait libre. Soit σ = Φ le simplexe maximal standard, et identifions
O˘,σ O,σ O b
Ti|Ωbd−1 avec OΩbd−1. Via cette identification, l’application Π : Ti → Ti+1 est induite par
b O˘,Φ b b O˘,Φ
multiplication par c (cf. l’exemple (2.1.4)).
i
Le foncteur GDr de Drinfeld est un probl`eme de modules des O -modules formels munis
D
d’une certaine rigidification. Rappelons ci-dessous leurs d´efinitions. Si R est une O-alg`ebre,
un O-module formel X est un groupe formel sur R muni d’une action de O relevant l’action
naturelle sur l’espace tangent Lie(X). Un O -module formel sur R est un O-module formel
D
muni d’une action de O prolongeant l’action de O. Un O -module formel X est dit sp´ecial
D D
si l’action de O fait de Lie(X) un O ⊗ R-module localement libre de rang 1.
d d O
La d´efinition du foncteur GDr repose sur l’existence d’un O -module formel sp´ecial H de
D
dimensiondet(O-)hauteurd2surF ,quiestunique`aisog´eniepr`es(cf.[Dri76]voiraussi[BC91,
q
II Prop. 5.2]). On consid`ere le foncteur GDr sur Nilp qui associe `a R ∈ Nilp l’ensemble des
O O
classes d’isomorphie de triple (ψ,X,ρ), ou`
– ψ est un F -homomorphisme de F vers R/̟R.
q q
– X est un O -module formel sp´ecial de hauteur d2 sur R.
D
– ρ est une quasi-isog´enie de hauteur z´ero de ψ∗H := H⊗ R/̟R vers X .
Fq,ψ R/̟R
Un th´eor`eme difficile de Drinfeld nous dit qu’il existe un isomorphisme entre GDr et FDr.
C’est-a`-dire GDr est pro-repr´esentable par le O-sch´ema formel Ωd−1.
O˘
(2.2.2) On d´esigne X le O -module formel sp´ecial universbel de dimension d et hauteur
D
d2 sur Ωd−1. Le morphisme Π : X → X est une isog´enie, son noyau X[Π ] est un sch´ema
O˘ D D
formelengroupesfiniplatderangqd surΩd−1.OnnoteΣ := Isom (O /Π O ,X[Π ]rig)ou
b O˘ OD D D D D
Isom (O /Π O ,X[Π ]an)selonbesoin.Parconstruction,Σestunrevˆetementfini´etalesur
OD D D D D
Ωd−1 := Ωd−1⊗ K˘ de groupe de Galoisb(O /Π O )× ≃ F×. On note Σca := Σ⊗ Kca −→p
K˘ K K D D D qd K
Ωd−1,ca la projection naturelle induite par X[Π ]→ Ωd−1 apr`es une extension de scalaires. On
K b D O˘ b d
sait que le groupe des quasi-isog´enies de hauteur z´ero du O -module formel H vers lui-mˆeme
D
b
8
s’identifie a`
G◦ := Ker(val ◦det : GL (K) → K×),
K d
ou` val est la valuation normalis´ee sur K de sorte que val (̟) = 1. Ceci fournit une action
K K
de G◦ sur tous les niveaux de la tour de Drinfeld. Par cons´equent le morphisme de transition
p : Σca → Ωd−1,ca est G◦-´equivariant. Dans cet article, on s’int´eresse `a la cohomologie ´etale `a
K
support compact de Σca au sens de Berkovich.
Par la construction pr´ec´edente, on a un diagramme commutatif dont toutes les fl`eches sont
G◦-´equivariantes :
Σca
(cid:15)(cid:15)p■■■■■■ν■■■■$$
Ωd−1,ca τ //|BT|
K
ou` ν est la compos´ee τ ◦ p. Donc Σca admet un recouvrement par les ouverts admissibles
ν−1(|s|∗)ou` sparcourentlessommetsdeBT.SoitsunsommetquelconquedeBT,l’immersion
ouverte ν−1(|s|) ֒→ ν−1(|s|∗) induit un morphisme de restriction :
RΓ(ν−1(|s|∗),Λ) −re→s. RΓ(ν−1(|s|),Λ)
ou` Λ= Z/n avec n un entier premier `a p.
(2.2.3) Th´eor`eme.– Le morphisme de restriction ci-dessus est en fait un isomorphisme.
Preuve : La d´emonstration repose sur un r´esultat des cycles ´evanescents d’un faisceau
mod´er´e sur une vari´et´e de r´eduction semi-stable´etabli par Zheng cf. [Zhe08, Lemme 5.6]. Sup-
posons tout d’abord que Γ soit un sous-groupe discret cocompact et sans torsion de PGL (K).
d
Onsaitalors queΓ agit librementsurΩd−1 desorte queΩd−1/Γ soitpropresurSpfO˘.Onpeut
O˘ O˘
munirΩd−1/Γd’unestructuredeK˘-espaceanalytiquetellequelequotientΩd−1 ։ Ωd−1/Γsoit
K˘ b b K˘ K˘
unrevˆetement analytique galoisien. D’apr`es Kurihara[Kur80]etMustafin[Mus78],Ωd−1/Γest
K˘
alg´ebrisable, i.e. il existe un sch´ema propre X sur O˘ de r´eduction semi-stable tel que Ωd−1/Γ
Γ O˘
soit le compl´et´e de X le long de sa fibre sp´eciale X . La stratification de X co¨ıncide avec
Γ Γ0 Γ0
le complexe simplicial BT/Γ cf. [Kur80, Thm. 2.2.6]. Quitte `a rapetisser Γ, on peutbsuppo-
ser que la projection π : Ωd−1 ։ Ωd−1/Γ induit un isomorphisme entre Ω et π(Ω ). Notons
O˘ O˘ s s
Z (resp. Z0) le sous-sch´ema localement ferm´e de X qui correspond `a π(Ω ) (resp. π(Ω0))
Γ s s
b b
par l’alg´ebrisation. D’apr`es GAGA analytique, le revˆetement ´etale mod´er´ement ramifi´e Σ /Γ
K˘
de Ωd−1/Γ correspond `a un revˆetement mod´er´e f : Y ։ X de X , ou` X est la fibre
K˘ Γ,η Γ,η Γ,η
g´en´erique de X .
Γ
D’apr`es [Ber96, Corollary 3.5], on a des isomorphismes canoniques :
∼
RΓ(ν−1(|s|∗),Λ) = RΓ(τ−1(|s|∗),p∗Λ|τ−1(|s|∗)) −→ RΓ(Ωs,RΨη(p∗Λ)|Ωs)
RΓ(ν−1(|s|),Λ) = RΓ(τ−1(|s|),p∗Λ|τ−1(|s|))−∼→ RΓ(Ω0s,RΨη(p∗Λ)|Ω0)
s
qui nous donnent un diagramme commutatif
RΓ(ν−1(|s|∗),Λ) res. //RΓ(ν−1(|s|),Λ)
∼= ∼=
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
RΓ(Ω ,RΨ (p Λ)| ) res. //RΓ(Ω0,RΨ (p Λ)| )
s η ∗ Ωs s η ∗ Ω0s
9
ou` RΨ d´esigne le foncteur des cycles ´evanescents formels d´efini par Berkovich dans loc. cit..
η
Le th´eor`eme principal de Berkovich nous dit qu’il existe des isomorphismes canoniques
∼
RΨ (p Λ)| =RΨ(X ,f Λ)|
η ∗ Ωs Γ ∗ Z
et
RΨ (p Λ)| ∼= RΨ(X ,f Λ)| ,
η ∗ Ω0 Γ ∗ Z0
s
ou` RΨ est le foncteur des cycles´evanescents alg´ebrique. En vertu du [Zhe08, Lemme 5.6], nous
avons
RΨ(X ,f Λ)| = Rj RΨ(X ,f Λ)| ,
Γ ∗ Z Z∗ Γ ∗ Z0
ou` j d´esigne l’immersion naturelle Z0 ֒→ Z. On en d´eduit l’´egalit´e suivante
Z
(2.2.4) RΨ (p Λ)| = Rj RΨ (p Λ)| ,
η ∗ Ωs s,∗ η ∗ Ω0s
et donc un isomorphisme
∼
RΓ(ν−1(|s|∗),Λ) −→ RΓ(ν−1(|s|),Λ)
donn´e par le morphisme de restriction. (cid:3)
2.3 Le prolongement de Σca au-dessus d’un sommet
Dansceparagraphe,onprolongelerevˆetement mod´er´e Σca enunµ -torseursurΩ0 pour
qd−1 s
chaque sommet s de BT. Les calculs que nous effectuons ici g´en´eralisent ceux de Teitelbaum
[Tei90] pour d = 2.
(2.3.1) L’espace tangent Lie(X) du O -module formel sp´ecial universel X (voir (2.2.2))
D
admet une graduation par Z/dZ sous l’action de O ⊂ O en posant
d D
Lie(X) = {m ∈Lie(X) | ι(a)(m) = σ−i(a)m,∀a ∈O }
i d
ou` ι: O → End(X) exprime la structure de O -module de X. Chaque Lie(X) est un faisceau
D D i
inversible sur Ωd−1. Consid´erons l’objet universel (ψ,η,T,u,r) sur Ωd−1 rappel´e dans (2.2.1).
O˘ O˘
∼
Dans la construction de l’isomorphisme de GDr −→ FDr (voir [BC91, Th´eor`eme 8.4]), on
b b
identifie T `a Lie(X) , et l’action de Π envoie T vers T . On en d´eduit une d´ecomposition
i i i i+1
de l’espace cotangent de X[Π] :
(2.3.2) Lie(X[Π])∨ = T∨/ΠT∨⊕T∨/ΠT∨⊕···⊕T∨ /ΠT∨.
0 1 1 2 d−1 0
Le morphisme ι induit un homomorphisme ι : O /Π ≃ F → End(X[Π]). Ceci nous permet
D qd
d’utiliser la classification de Raynaud [Ray74] que nous rappelons ci-dessous.
Soit M = Hom(F×,O×) le groupe des caract`eres (homomorphisme de groupes) de F× `a
qd D qd
valeursdansO×.Onprolongechaquecaract`ere µ ∈ M `aF = O /ΠO toutentier enposant
D qd D D
µ(0) = 0. Un caract`ere µ est dit fondamental si l’application compos´ee F −µ→ O −ca→n. F
qd D qd
est un homomorphisme de corps. On a donc fd caract`eres fondamentaux au total. Si on
d´esigne χ : F× → O× ⊂ O× le repr´esentant de Teichmu¨ller. Alors l’ensemble des caract`eres
qd d D
fondamentaux {χ } sont de la forme χ = χ, χ = χp , 1 6 i 6 fd−1. Notons que
i 06i6fd−1 0 i i−1
¯ι(λ) = ι(χ(λ))| ∈ End(X[Π]), pour tout λ ∈ F .
X[Π] qd
10