Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie: Das Wichtigste ausführlich für das Lehramts- und Bachelorstudium

487 Pages·2012·3.67 MB·German

by  Gerd Fischer (auth.)

Lernbuch Lineare Algebra
und Analytische Geometrie
Gerd Fischer
Lernbuch Lineare Algebra
und Analytische Geometrie
Das Wichtigste ausführlich
für das Lehramts- und Bachelorstudium
2., überarbeitete und erweiterte Auflage
UnterMitarbeit vonFlorianQuiring
STUDIUM
Prof.Dr.GerdFischer
ZentrumMathematik
TechnischeUniversitätMünchen
Garching
Deutschland
ISBN978-3-8348-2378-6 ISBN978-3-8348-2379-3(eBook)
DOI10.1007/978-3-8348-2379-3
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©Vieweg+TeubnerVerlag|SpringerFachmedienWiesbaden2011, 2012
DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtaus-
drücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Dasgilt
insbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspei-
cherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen.
DieWiedergabe vonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkbe-
rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder
Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann
benutztwerdendürften.
PlanungundLektorat:UlrikeSchmickler-Hirzebruch|BarbaraGerlach
Satz:JuttaNiebauerundFlorianQuiring
Bilder:FabianBiebl
GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier
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Vorwort zur zweiten Auflage
Neben zahlreichen kleinen Verbesserungen und zusätzlichen Beispielen wurden ei-
nige umfangreichere Ergänzungen eingefügt. Sie behandeln Bezüge zur numerischen
Mathematik, etwa die LR-Zerlegung und die QR-Zerlegung von Matrizen, sowie die
MethodederkleinstenQuadratezurBerechnungapproximativerLösungenvonüber-
bestimmten lineareren Gleichungssystemen, zur Geometrie, wie Kegelschnitte durch
vorgegebenePunkte,oderEULERscheWinkel,undschließlichzurPhysik,wiegedämpf-
te Schwingungen, sowie Trägheitstensoren. Das sind Themen, für die in den meisten
VorlesungenkaumZeitbleibt,dieabergutgeeignetsindfüreinProseminarzurErgän-
zung.
Besonderer Dank für die Hilfen bei der Vorbereitung der Neuauflage gilt meinem
bewährten Team. Voran Florian Quiring für die vielen guten Ideen die er beigetragen
hat,JuttaNiebauerfürdiestilvolleGestaltungderDruckvorlage,sowieFabianBieblfür
dieperfektenAbbildungen.
WieimmermöchteichmeineLeserinnenundLeserbitten,mirHinweiseaufverblie-
beneFehlerundmöglicheVerbesserungenmitzuteilen.
München,imFebruar2012 GerdFischer
VI Vorwort
Vorwort
DieLineareAlgebraistim19.Jahrhundertentstanden,zunächstalsTeilderGeometrie;
sie wurde aber im Laufe des 20. Jahrhunderts zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel
inallenTeilenderMathematik.DarüberhinausbenutzenvieleandereWissenschaften
–wiebeispielsweisePhysik,Informatik,TechnikundÖkonomie–MethodenderLinea-
ren Algebra. Dem entsprechend ist die Lineare Algebra zusammen mit Aspekten der
analytischenGeometriefestverankertimCurriculumderStudienanfänger.
DiezentralenThemendiesesBuchessindVektorräume,lineareundbilineareAbbil-
dungen, Determinanten und Eigenwerte, mit ihren Anwendungen auf die Geometrie.
Eswirdversucht,dieelementarenGrundlagensehrausführlichdarzustellen,illustriert
durch zahlreiche im Detail erklärte und durchgerechnete Beispiele, sowie viele Bilder,
diehelfensollen,dengeometrischenHintergrundfürabstrakteKonzepteaufzuhellen.
DaherderName„Lernbuch“:EssollStudierendenhelfen,alsBegleittextzueinerVorle-
sungauchzusätzlicheHintergründeundErgänzungenbereitzustellen,undsodasVer-
ständnis zu vertiefen. Weitergehende interaktive Visualisierungen mit „dynamischer
Geometrie“findetmanunter
www.mathe-vital.de
BeimStudiumderMathematikistesbesonderswichtig,dieabstraktenBegriffeund
technischenMethodenzunächstanschaulichzumotivieren,umihreEntstehungzuer-
klären und ihre enorme Wirksamkeit deutlich zu machen. Die Mathematik hat über
Jahrtausende eine stetige Entwicklung durchlaufen; was EUKLID um 300 v. Chr. be-
wiesen hat, ist auch heute noch gültig. Um Studierenden einen besseren Einblick in
dieGeschichtezuermöglichen,sindnebenhistorischenAnmerkungenauchzahlreiche
grundlegende mathematische Veröffentlichungen der Vergangenheit im Literaturver-
zeichnis zitiert. Ein Gang in die Bibliothek und ein Blick in die alten Bücher kann ein
äußerstspannendesErlebnissein!
Kapitel0solldenÜbergangvonderSchulezurHochschuleherstellenunddenEin-
stiegindasStudiumderMathematikerleichtern. ZukünftigeLehrerkannesauchauf
denWegzurückindieSchulevorbereiten,undspäterdortbegleiten.Eswirddabeiver-
sucht,demLeitmotivvon FELIX KLEIN –einerElementarmathematikvomhöherenStand-
punkt–zufolgen;einemStandpunktetwashöheralsdieMathematikinderSchule,aber
nichtüberdenWolken.ZieldieseseinführendenKapitelsistdieauf GAUSS zurückge-
hendesystematischeMethodederEliminationzurLösunglinearerGleichungssysteme.
DasistundbleibtdaswichtigsteErgebnisderelementarenLinearenAlgebra.
In Kapitel 1 wird der in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts begonnene sys-
tematische und axiomatische Aufbau der Mathematik skizziert. Das gehört heute zu
den Grundlagen aller Teile der Mathematik, muss aber nicht gleich zu Beginn in die-
ser Ausführlichkeit studiert werden. Als zentrales Projekt wurde der von DEDEKIND
begonnenesystematischeAufbaudesSystemsderZahlen,vondennatürlichenbiszu
den komplexen Zahlen, aufgenommen. Einschließlich eines technisch anspruchsvolle-
renAbschnittsübereineKonstruktiondesKörpersderreellenZahlenunddieZusam-
menhängemitDezimalbrüchen.
Vorwort VII
Kapitel2enthältdiegrundlegendenDingederLinearenAlgebra,soweitsieohneBe-
nutzungvonDeterminantenbehandeltwerdenkönnen.AlsAnwendungwerdenauch
lineareGleichungssystemenocheinmalinallgemeineremRahmenbeschrieben.Kapitel
3dientderBeschreibungvonDeterminanten;dabeiwirdauchetwasausführlicherauf
dieinvielenanderenZusammenhängenwichtigenPermutationeneingegangen.Damit
sind die Vorbereitungen getroffen für den etwas fortgeschritteneren Teil der Linearen
Algebra, die Theorie der Eigenwerte in Kapitel 4. Sie führt bis hin zur JORDANschen
Normalform,zuderenVerständnisetwasÜbungmitalldengrundlegendenTechniken
derLinearenAlgebranötigist.
In Kapitel 5 werden schließlich bilineare Abbildungen, sowie im reellen und kom-
plexen Fall metrische Eigenschaften behandelt. Die geometrische Seite davon ist die
klassische Theorie der Kegelschnitte und Quadriken, die viele Anwendungen auch in
derPhysikhat.LeidersinddiesespannendenThemen,hoffentlichnurvorübergehend,
ausdenLehrplänenderGymnasiensogutwieverschwunden.
AlsHilfestellungfürdieLektüresindTeile,diemaneventuellzunächstüberspringen
kann, mit einem * markiert. Die Hinweise in eckigen Klammern, etwa [EU], beziehen
sichaufdasLiteraturverzeichnis.UmdasLernenzuerleichtern,sindInhaltsverzeichnis
undIndexsehrumfangreichgestaltet.
Dieses „Lernbuch“ enthält inhaltlich, aber wesentlich ausführlicher in der Darstel-
lung, die wichtigsten Themen aus den beiden „klassischen“ Büchern [FI1] und [FI2];
dort werden darüber hinaus auch weiterführende Dinge wie Dualität, Tensorproduk-
te und projektive Geometrie behandelt. Viele spannende Anwendungen der Linearen
Algebrafindetmanin[STR].
Trotz aller Sorgfalt bei den Korrekturen des Textes ist es erfahrungsgemäß kaum zu
vermeiden,dassnochDruckfehlerundUngenauigkeitenverbliebensind.Dahermöch-
te ich alle Leserinnen und Leser, die fündig geworden sind bitten, mir die kritischen
Stellenmitzuteilen,an
gfi[email protected]
AufmeinerHomepage
http://www-m10.ma.tum.de/bin/view/Lehrstuhl/GerdFischer
wird dann eine Seite mit Verbesserungen eingerichtet, außerdem findet sich dort eine
SammlungvonÜbungsaufgaben.
Mein Dank gilt all den Helferinnen und Helfern, die beim Entstehen dieses Buches
mitgewirkt haben. In erster Linie meinem langjährigen Mitarbeiter Florian Quiring,
dem Meister der Bilder Fabian Biebl, Bernhard Hanke für nützliche Hinweise, sowie
Eva Dörfler, Vanessa Krummeck, Matthias Lehner, Jutta Niebauer, Michael Vogt und
auch den Studierenden der TU München, die mich mit kritischen Bemerkungen im-
merwiederzuVerbesserungenundErgänzungenangeregthaben.DieTUM-Schoolof
EducationhatdieVeröffentlichungmitMittelnderDeutschenTelekomStiftungunter-
stützt.SchließlichdankeichUlrikeSchmickler-Hirzebruchsehrherzlichfürihrestetige
Ermutigung,diesesProjektinAngriffzunehmenundzügigzuEndezubringen.
München,imSeptember2010 GerdFischer
Inhalt
0 LineareGeometrieimn-dimensionalenreellenRaum 1
0.1 Dern-dimensionalereelleRaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.1 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.2 DerVektorraumRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.1.3 MultiplikationvonVektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.2 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.2.1 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.2.2 GeradenimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.2.3 GeradeninderEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.3 AbständeundWinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.3.1 DasSkalarproduktimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.3.2 AnwendungeninderElementargeometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . 22
0.3.3 WinkelimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0.3.4 SenkrechteVektorenundAbstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
0.3.5 DieHESSEscheNormalformeinerGeradengleichung . . . . . . . . . . 35
0.3.6 LineareUnabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
0.3.7 DasVektorproduktimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
0.3.8 AbstandvonGeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
0.4 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
0.4.1 EbenenimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
0.4.2 EbenenimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
0.4.3 AbstandeinesPunktesvoneinerEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
0.4.4 DasSpatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
0.5 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
0.5.1 ZweiGeradeninderEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
0.5.2 BeschreibungdurchMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
0.5.3 KoeffizientenmatrixinZeilenstufenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
0.5.4 DasGAUSSscheEliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
0.5.5 WahlderPivotsundRundungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
X Inhalt
1 Grundlagen 81
1.1 Mengen,Relationen,Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.1.1 MengenundTeilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.1.2 OperationenmitMengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.1.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
∗
1.1.4 AbzählbareMengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
∗
1.1.5 Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.2 HalbgruppenundGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
∗
1.2.1 DienatürlichenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.2.2 VerknüpfungenundHalbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.2.3 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
∗
1.2.4 DieganzenZahlenalsadditiveGruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
1.2.5 UntergruppenundHomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.3 RingeundKörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
∗
1.3.1 DieganzenZahlenalsRing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1.3.2 DerKörperderrationalenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
∗
1.3.3 DezimalbruchentwicklungrationalerZahlen . . . . . . . . . . . . . . . 126
∗
1.3.4 KonstruktionderreellenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
∗
1.3.5 ReelleZahlenalsDezimalbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
1.3.6 KomplexeZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
∗
1.3.7 EndlicheKörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
1.3.8 RückblickundAusblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
∗
1.4 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
1.4.1 PolynomeundPolynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
1.4.2 DerRingderPolynome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
1.4.3 DivisionmitRest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
1.4.4 NullstellenvonPolynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
1.4.5 EineVorzeichenregelfürreellePolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.4.6 DerFundamentalsatzderAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2 VektorräumeundlineareAbbildungen 173
2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
2.1.1 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
2.1.2 Untervektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
2.1.3 OperationenmitUntervektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2.1.4 LineareUnabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.2 BasisundDimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2.2.1 ErzeugendensystemeundBasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2.2.2 DimensioneinesVektorraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
2.2.3 CharakterisierungeneinerBasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
2.2.4 PraktischeVerfahrenzurBestimmungeinerBasis . . . . . . . . . . . . 199
2.2.5 SummenunddirekteSummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2.2.6 DerRangeinerMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Inhalt XI
2.3 LineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
2.3.1 DefinitionenundBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
2.3.2 ElementareEigenschaftenlinearerAbbildungen . . . . . . . . . . . . . 220
2.3.3 SpeziellelineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
2.3.4 EineDimensionsformelfürlineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . 227
2.3.5 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
∗
2.3.6 Quotientenvektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
2.4 LineareAbbildungenundMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
2.4.1 ErzeugunglinearerAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
2.4.2 DiedarstellendeMatrixeinerlinearenAbbildung . . . . . . . . . . . . 242
2.4.3 MultiplikationvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
2.4.4 RechenregelnfürMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
2.4.5 DieallgemeinelineareGruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
2.4.6 Elementarmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
∗
2.4.7 LineareGleichungssystemeundElementarmatrizen . . . . . . . . . . 264
∗
2.4.8 DieLR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
∗
2.4.9 Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
2.5 Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
2.5.1 BasistransformationenundKoordinatentransformationen. . . . . . . . 271
2.5.2 TransformationsformelfürlineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . 274
2.5.3 EineNormalformfürdarstellendeMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3 Determinanten 281
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
3.1.1 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
3.1.2 FlächeninhaltundOrientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
3.2 BerechnungvonDeterminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
3.2.1 AxiomefürDeterminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
3.2.2 WeitereEigenschaftenderDeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
3.2.3 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
3.2.4 DiealternierendeGruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
3.2.5 ExistenzundEindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
3.3 Minoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
3.3.1 DiekomplementäreMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
3.3.2 LAPLACE-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
3.3.3 DieCRAMERscheRegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
4 Eigenwerte 315
4.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.1.1 EigenwerteundEigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.1.2 EndomorphismendesR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
∗
4.1.3 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
4.1.4 DascharakteristischePolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325