L'algèbre discrète de la transformée de Fourier : Niveau M1

340 Pages·2004·12.34 MB·French

by  Gabriel Peyré

,
1HAETIMQU-ES
l'Unrsiivteé

MATHÉMATIÀQ LU'EUSN IVERSITÉ
Colledcitriiopgnaé Creh arles-MMAiRLcEeh tPe hli loPpILpIeB OSSIAN
niveauM l
L'ALGÈDBIRSEC RÈTE
DEL AT RANSFORMÉE
DEF OURIER
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PEYRE
Gabrile
Professaegurré gé
Dansl am êmec ollecMtaitohné matiàql u'eUsn iversité
.,. L'algdèibsrcedr eèl tate ra nosrmféed eF ouri,Ge .rP eyr3é,3 p6a ge2s,0 0.4
.,. Algèebttr heé odreinseo mbr-ecsry ptroagphpirei,m avloil1t.,Sé. ,A l F aki2r8, 8pa ges,
200.3
.,. Alglèibnriéer,aF.e Bories-Lon1g6up0eat g,e 2s,0 0.0
.,. Algèlbirneé nauimrée rei q-ucoeuter xse recs,Gi .cA llaiertSe . M .K aber2,4 p0a ges,
200.2
.,. Analyse ectdo imsputltreiix,obAe n. Ys g er4,0 0pa ge2s,0 01.
.,. Calucld iféfreen,ltG .iC hristoClo,t C,Ah .. -MM.a rle2,2 p4a ge1s,9 9.7
.,. Codu'rasl g,Rè .bE rlkei1k9, p2a ge2s,0 0.2
.,. Coduerc sa lcfuolr m-eallg oriftohnmdeastm axeu,Pnh .S auxP icar1t9,p2 a ge1s,9 9.9
.,. Cuordse c aullcf orm-eclo rfipnsi s, spyosltyènmoemsai papulxi,c ,aP th.Si aounxs Picart
etE . Rann2o2up4,a ge2s,0 0.2
.,. Distruitbio-enssp adceeS so bolaepvp,li c,aM t.-iTohLn.as croix-So1n6rip0ea rg,e1 s,9 9.9
.,. Élémedn'tasn acloynsveee txv ea riaetli,loD e.nA nzé2, 4p0a ge1s,9 9.7
.,. Élémedn'ttisérn gatieotdn ' anafloynscet ilo,eAn .En leK lacimAil aou2i5,p6 a ge1s,9 9.9
.,. Équatiaouxn dsé rivpéaretsi eetll eluearsps p roxim,Ba .t iLoucnqs2u4inp0,a ge2s,0 0.4
.,. Géométérrieen tadivifeefl8cl0fi e g rue,sC . Doss-BacJh.e-FlPre.at n,ç oeitsC el. Piquet,
20p8a ge2s,0 0.0
.,. LeGsr uopefisn iestl eurresp résen,Gt .aR atuicoh1n,9 sp2a ge2s,0 0.0
.,. Intégreattt hiéoodnre li aem eusr-eu naep progcéohméet qruei,P. K rée2,4 0p age1s,9 9.7
.,. Uinnet urcotdiàlo ang émoétrpireo je,cD .t iLveehma1n2n,8p a ge2s,0 0.3
.,. InturcotdiàSo ne i/-eaxbe rcpircaetesis cq ourérsid g'alglèibnréeea,G i. A rllaire
etS .M .K aber2,4 0p age2s,0 0.2
.,. Logiqeunes,e mcbalétego,r i-elsep oidnetv euc osnturctPif,.A gero1n,2 p8a ge2s,0 0.0
.,. Méthdo'daepsp roxiémquaattiiodonifnésf,r entiaeplplleisc,Sa etii,/oS an.G bsue rre­
DelabrieètMr .eP oste2l2,p4 a ge2s,0 0.4
.,. Précdi'sa narléyes-letl oep oileco,ag lcduifélfr entmiéetlh,od d'easp proxivmoalt.i on,
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.,. Précdi'sa narléyes-leal nea lfyosnec tioinnnteélgdlreeLa, el bee segsupea,c es
fonctiovnonl2e.,Vl .Ks o,m omik2,5 p6a ge2s,0 0.2
.,. Quelquaessp edcetmssa thémeasat ciutqeul,lo euvsrage co2ll5ep6ca tgiefs1,,9 9. 9
.,. Systdèymneasm i-quuneiestn o rdcutiCohn.,- MM.a rle2,5 p6a ge2s,0 0.3
.,. ThédoerG iael o,1i .Gs ozar2d,2 p4a ges1,9 9.7
.,. TopoileGo,.gC hristAo.Cl o,t e tC h.-MM.a rle1,9 p2a ge1s,9 97.
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Présentdaetl iaCo onl lection
Mathématiàql u'eUsn iversité
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meteltnur meli reèôd rleseesy mpértorvideleesnas ta rndutgec r touàlu or'preei d,ge isn e
remarpqruoapdbrcelie teétrstta éens os nfo.r mati
L'aaus tpuer uérds meean ntnieaèrtr euefatr c eàila llseies l dieemnrso tions riches et
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dmea ntirhèèersue ar veceuecstu erx ad ai'ptpainnlostiL .cedas ét buntseae nrptoasns t
déreolutetl sée cspt,le auuvsra tsnr coéusdv aecnreosotu n vtdr eapsgo eid nevt use
nouvqeueainu rxil cehcuiorrsnsaons nnaectiate p sp rolfoencudorim rpordnéuth ension
sjute.
CharlMearsl-eM ichel PhiPlliiiipbapones s

Avant-propos
Loidnu t empdse,l 'espaucnhe o,m mee sétg aré,
Mincec ommeu nc heveaum,p lceo mmel 'aurore,
Lesn aseaéucxu manltesds,e uxy euxr évulsés,
Etl emsa inesn a vanpto utrâ tleerd écor.
RAYMONQDU ENEA,UL 'explicdaemtséi toanp hores,
LeZsi a(ux1 943).
Ielx ditesr ntèoesm breultxar alnidsvFeforo reumscré eiespe uerrrn a sd;roa ecnnsett u ,x
sa'dreuspnsu abpnlltiu crà i dEicsrucilniri ppevlo rdiueenir san igréaenvd.iee ecsu rs
conaclegpétebssur vntir dqaéuaifieu ,sts cainen e' tsp,tl q uéusc',ur lnii rdvea'r leg èbre
qufaist soeu dcudh oelireag spt p ldiectsah térioeornnicsseo. sen sctCtder' é éqfieu e
clei vtredenre te aél Aeiv,nce shrial.qe ucpeto eusurfeirra r uaenp r ogralmam e
« à
careptteu diasdneeésrsn oonduce pésrs o girnafomrmmedaseét sli éqpmureeénsct iss
»
poausrs ecooinrn adsiaelsnsdess o a mnoacluiee nassep ,p làd iepqsru oebrpl lèumse s
concrets.
Le'xpeosvstoél onttrdaèéistre aentimne leé slncesqéte iu pteed uce o nnapirsésaa­nces
lbal,me esntaiduoé ndbneucésthe ascp ointécrsNeeu.drnsl o quuutbn'eo énl dèlevi e­
cednecvepr oauaivbtoo cireredt xe psroa gsnrésad nidf.efi clLueelcp ttoéeuaurvrro ai r
besdofaeiç pnoo nn cdtqeuu eelllqeua evsa snnucorégt erilsofioe unnspis es qs u aei nsi
d'cuenret aianvele eacfasc m tdiielo ingaUsrrn éoi lutaèpégve resé .g aqtuàia fn td evrait
lpuoiu tvrooiurv esrea sdpe p lenidtocé mavbterileooaunpustpd opeuurm roe gnrtasm me
offici.e l
Jnei' p aahsé àsr iétplééde tsée firne nitot tiiaomtnpiseoo Psrna.tesr ax neltmnapo ltei,o n
dceo nvaoblousrtoddiuéneoseo n m,b arneg(ulgxera sob uéptleri aeidntsu,ei mgennatl ,
gronuocpnoe m meuàstc tah tafoiqif)us,e draesnpocslno a ncAtéieelnx destisieff ,.é rents
pareabgsri,qae uspneuh ivparneotsg lsruoingooeinnu q tnvu ereu a,ni eieptt e éuê vternet
ludfaseç noonln i néaire.
Lper emier llceah nadgpleatia ght eérd oeegr sriu opetuo ipeulexrisp s llenei osqt uieorn s
prinecdtié pmaollnéeetnssro d enorcins éltesfa r iuats paalgsraeu Lidete eu.xc ihèam­e
piatprpell reiésqs uouebl ttàde aenptsurs so bdlièvemceteor sns s,pt rietcmuoiene trua nc t
avleeacls g orraiptihdmeess paerx emLpetl reo)ci.hs aipèimter e
(trfoarnmsdéeWe a lhs
esuetnx psoulstraér andsFefoo rumdréiieseM crêr msèle'rt iéei.ln ervsée ssdutuli tta ts
precmhiaeipprlie turtpe a,eêr xt erpmeaup rinll n eufo rmsaotuihccaoiimetpnar netn dre
lmeésc adneaisls gmoedrstei r tahnmdsecfoisrrs .èm tqéLeueesas tc rhiapèprmiéets reen te
deasp pldiicvadetlerita sor enassn d sFefoo rumdréiiesee ccrtro èntusecnt,o i mtpuleé ­
meinntd isdpcueh napspraiébtcplréoeebdu iercen ontm ,p lremesén cdarmneiie ssn m es
jue aqiulneeus utiri ldiadsnesassit tipuoranqat u.tie iocsLniesn qcuhiadèpémicetl rien e
dese dtiea dslé geospr lioutrshi mgaeiusntd aoletuua rxr a ndsFefoo rumdréoiene nra,n t
vi Avant-propos
liàe und oem braepupslieniosscL .aes tixicèhmaep itrqeu neélccqoeunisensssnasi catees
unp epul puuoss snéoetsa,m mpeendutefa muinl iaavrelictat h éé doercisoe rp fisn .i s
Iélt udie les trdaannussnfoc romrfiépneseis tp, r àé sdveeanasltp eepu lrisac uaxt ions
codceosr re.Lc etdsee uudrxes rnicehrasp (iltersed si pffilc)uis,slo ednsetn atpulrues
algébertsi epq ruoep,od sege énnté rlaeclsoi nssetrr dujécàetff eicotnuaséuc e adss e s
groufipnenisosc n o mmutLaest eipftcsih.èa mpeeix tprloetas h eé doerrsie eps reéntations
linéLaehi urietsei.tè mdece hrnaipeairpt prlceie qtutee d tadhneéscso h raimàelp foasi s
théor(iéqtduueled sasei mpdleigscr iotueéppt er sa)t (iaqnuaeslspy esc)et. r ale
Unbeo ncnoeni nsnascdaee psr oprailégtéébdsre li taqr uaenss dfoerF moéuere isàet r,
monsn est,r uètsi lec oprnousuitdrrel ese çdoa'ngsr égàal tfoaii toson u rnvéeelrses s
appliecatav tdeiecob sna ss es tshoélo.iDr deine qosumebsrn eoutsiaeouspn r so gramme
dela 'grégsaetrpioaonsnts e énre esvd uaenc sel ivTroeud.at' b olrnado tigorno udpee s
fineissat uc œudrup robalbèomdread cnéesl ivLregesr. o ucpyecsl tieqZlu/sen ssZo nt
plpuasr triecmumelinietsèna va:cn est o lnetgs r oulpepesls su ispm l,em saiasu slseis
pluutsi dlailnspsaér sa tLieqnsuo em.bc roemsp lemxoedsu1 sl doeepn rté steonaututs
lodnelge 'pxosLé'.u tidle'isspaahtceierosmn ie tdtiet e rnasn sforumnaitteiasuoitnnr ese s
consdtaanlntsath eé doerF ioeu rLiate rra.n sdfoerF moéuerci oenrte iltne susée r ies de
Fourniee rs aebroornqdtué deea snl see sx ecrectsio,u stle,tafo r iansdfoer mFéoeu rier
discrètdee'n rpielcrehamuinerrats l eLy.ar ésoléuqtuiaoatnui dxodé n'rsip vaéretsi elles
utiplliesienl eepmsre onptra ilégtéébdsrie qtsur easn sfodreFm oéuerDsie e urpsl.l,ce a l­
cudle cso efficdieFe onutrpsia lera'r l gordiett rhamnes forméer adpeai idFneos,ui r ier
quleec so nésriadtsiulorcan o sn volloudrtelsi ra oé ns olpuadtrii ffeoénnrc fiensifo enst,
del tar ansdfoeFr omuéredi iesrcu rnoè utiteni clo ntoEunrnfilantab,h l éedo.er csio er ps
finpiesue tla,lsu esê it,ar beo ràtd réaelv meeo rnsdd eFe o urier.
Unc erntoamibdnrep e r ogrianmfomremsa stoipnqrtué es;sei nltsé ss oennMt A Tr­édigés
LABp oulrap lupeatr MteA,nP L pEo ucre uqxun ié cesdseimsta ennitp uallagtéi­ons
briquesd a(lncescas ol rficpnusiel ctss.,B )e i.nq u'sia'lgs isdee lopgaiytcasoin,nep lesu t
ent roudveveser r spiooulnreés st udàiu anpn rtrisax i soendtne na obmlber,fae cuusle­s
tésé ceotdl 'negisé nieenu rsésoq nutiD peé eupssdl.,e l so gigcriaetàllu sasi y tnst axe
très epxriospctrheienn tc,i pSCaIlLeeAmMtBeU nPAtDL. e c hodi'nxlu angpaagret icu­
lipeorui rm plémleeanslt georr eistbthi méeevnsi dedmimsecnutmt aailubs'tl iel,i sation
deM ATLAeBMt A PLsEe mabslsene azt ucreelslo lgeip,ce iremledstet t easrntatep ri de­
menltep sr ograémcmrOeinspt osu.pr arlrasa u iltetesr adduaiunrsnle a ngcaogmep ilé
eptl ruasp tiedqleul ,eCe oul Ce+ +D.ep ulsc,e s lasnougntatig pleoisuls ér'ép sr euve
dem odéliàls o'artdaielloa 'ng régdaemt aitohnéq mu.aeL tseiasg réogufué tsu argsr é­
génses erdoonnptca d sé ypsa.éI sels àtn otqeutreo luesps r ograpmrméesse nts dans
ceotu vrsaogdneit s poanuti éblléecsh aarignqesudmieee nnto,m berses,uul xrse i atuet r
http://www .crnap.polyetchnique.fr/rvpeyrea/dtf/.
Jet ieàrn esm emrecpsia erreL nutcseiMt,ea nr ie-qNumoi'ëo lnsltoe u,tp eennud ant toute
lé'critcuelr ievJ redde ée.dc iele i àvE rleiM saau geinja.'d erEsmnsafiep n l,pur so fonde
gratàim teursde el ecqtuoeinua trp sp,ol reetuxérp érpioemunr'ac ieg udiallnlbaseo rn ne
dire:cA tbidoeBnleclhaahVt ian,cB eecnkCt,h risBteorpthCaehu alrtl,e sM-aMrilceh,e l
JérôMmaele iJtce kSa tn arynkévitch.
GabrPieeylr é.
Tabdlees m atières
Avant-p.r. o p.o s .
V
Tabldee nso tations ix
Tabldee fisg ur.e. s . .. . .. .. . . . . . . i.x
I.Tr ansfordmeFé oeu rsiuuernrg roufipnei
1.D uadl'n gu rofiunpi.e . ... . . 2
2. dDu'nau lg raobuéple.i e.n.. . 6
3.D uadl'n gu ronuopcneo mmu.t atif 11
4.T rsafonrmdéee Fourier 14
5.E xerc.i.ce.s. . . .. . . . . . . 19
IIA.p plicdaelt daiu oanlssiu utrngé r oufipnei
1.S ommdeeGs au s.s . . 27
2.T ransfodrem éWea lsh . 39
3.F ormduePl oseis on 43
4.E xerc.i c.e s.. .. . . 52
IIITr.a nsfordmeFé oeu rdiiesrc rète
1.L el angdautg rea itdeusm iegnnta l 63
2.T ransforméer adpe.i dFeo urier 65
3.C onvocliurtciuo.ln a ..i. r .e. 75
4.E nd imenssuipoénr. i e.u r.e . . 78
5.S yméetttrr iaen sdfoirsmcé.re è te 81
6.E xercic..e s .. . . . . .. . .. 84
IV. Applicdaelt tair oannss fodrem éFeod uirsicerrè te
1.L iaevnle tacr ansdfoeFr omuéresi uerr 95
IR. .
2.F ilt.r a.g e . . . ... .. . . . . .1 00 . . . .
3.A spegcétosm étdrufii lqture.asg. e. . . 150
4.R ésolnuutmiéordnié' qquuea atuidxoé nrsip vaéretsi elles 101
5.C alcduepl rso d.u its 171
6.E xercices . . . . . . . . .1 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . .
viii Tabldee msa tières
V. Extendseli anoo nt dieot nr ansfodreFm oéuer ier
1.T ransfodreHm aéret. l e.y . . . 131
2.T ransfoernme éatep plications 163
Z
3.T ransfoernmv éeec to.ri.el le 154
Z
4.T ransfodreFm oéuerfr iaecrt ionnaire 184
5.E xerc.i.ce.s. . . ... . . . . . . 151
VI. Transforméev adleed uaFrnuossnuc roirfiepnrsi
à
1.C alcsuuulrncs o rfipns.i . . . . . 175
2.C allcssuu urna nne.a u. . . . . . 136
3.A ppliacuacxto idcoeonsr re.c teurs 166
4.C odceosr reecdttu eauslruiusrtng é r oaubpéefil niein 197
5.E xerc.i.c.e.s.. . . . . ... . . . . . . 158
VIIR.e préselnitnaétdaieiogsrnr esos u pes finis
1.P remidèérfiensi. t i.o n.s . . 149
2.I nvareirtae npcreé se.n tations 203
3.C arac.t èr.e s. . . . . . . 206
.
4.R epsreénteadttéi noonmsb r.e ment 209
5.T héodreFi oeu r.i er 211
6.E xerc.i.ce.s. . . .. . . . . . . 217
VIIAIp.p licdaetrsie pornéss elnitnaétaiiorness
1.R eépsrentdaegt riooucnpls eaissq ues 225
2.L aq uesdtelis aoi nm plicité 230
3.A nalsypseec trale 232
4.E xerc.i c.e s. . . 237
Corredcetesix oenr cices . 241
Annexe A. Programmes 299
MATLAB
Annexe B. Programmes 370
MAPLE
Biblio.g raphie 315
Inde.x. . . . 319