K - Institut Computational Mathematics - Technische Universität

94 Pages·2005·0.79 MB·German

Diplomarbeit
Ein Algorithmus zum L(cid:246)sen einer
Polynomgleichung durch Radikale
Andreas Distler
Betreuerin
Professor Dr. Bettina Eick
Institut Computational Mathematics
Technische Universit(cid:228)t Braunschweig
Pockelsstr.14
38106 Braunschweig
Braunschweig, den 10. Mai 2005

Gewidmet meinem Gro(cid:255)vater
Selbst(cid:228)ndigkeitserkl(cid:228)rung
Hiermit versichere ich, die vorliegende Arbeit selbst(cid:228)ndig verfasst und keine anderen als
die angegebenen Quellen benutzt zu haben.
Braunschweig, den 10. Mai 2005
Andreas Distler
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Zur Geschichte des Aufl(cid:246)sens von Polynomgleichungen . . . . . . . . . . 2
1.2 Ein (cid:220)berblick des Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Gliederung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Danksagungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Gruppen 7
2.1 Transitive Permutationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Aufl(cid:246)sbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Primitive und imprimitive Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Zur Konstr. max. aufl(cid:246)sbarer Untergruppen der symm. Gruppe . . . . . 13
3 K(cid:246)rper- und Galoistheorie 17
3.1 Satz vom primitiven Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Zerf(cid:228)llungsk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Galoisgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Galoiskorrespondenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Radikale 33
4.1 Aufl(cid:246)sungsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Kreisteilungsk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Zyklische K(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Irreduzible Radikale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5 Aufl(cid:246)sbare Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Der Algorithmus 49
5.1 Realisierung der Erweiterungsk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Galoisgruppe und Zerf(cid:228)llungsk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Berechnung einer K(cid:246)rperkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4 Darstellung der Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
v
vi INHALTSVERZEICHNIS
6 Implementation und Laufzeiten 67
6.1 Das Gap-Paket Radiroot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 Laufzeiten f(cid:252)r transitive, aufl(cid:246)sbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7 Beispiele 77
f(x) = x3 +2x2 −5
7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
f(x) = x3 −2
7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
f(x) = x5 −x3 −2x2 −2x−1
7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8 Fazit und Ausblick 83
Literaturverzeichnis 85
Kapitel 1
Einleitung
Jeder Sch(cid:252)ler lernt heutzutage, wie man die Nullstellen eines quadratischen Polynoms
unter Verwendung eines Wurzelausdrucks bestimmt. So ist etwa
(cid:114)
(cid:179) (cid:180)
s s 2
x = − ± −p
1,2
2 2
x2+sx+p = 0
die allgemeine Aufl(cid:246)sungsformel zu , der normierten Form einer quadra-
tischen Gleichung.
In der vorliegenden Arbeit geht es um die Verallgemeinerung dieses Problems. Gege-
ben sei ein Polynom f aus Q[x]. Es wird ein Algorithmus und dessen Implementation
f
vorgestellt, der die Nullstellen von mit Hilfe von Wurzelausdr(cid:252)cken angibt, falls dies
m(cid:246)glich ist. Wie f(cid:252)r quadratische Polynome, erh(cid:228)lt man dabei Ausdr(cid:252)cke der Form
(cid:113)
√ √
q1 + n q2 +q3 m q4 +···+ r q5, qi ∈ Q,n,m,r ∈ N.
f(x) = 0
Diese Darstellung durch Radikale gibt an, wie man die L(cid:246)sungen von durch
f
Anwenden der vier Grundrechenarten und Wurzelziehen aus den Koe(cid:30)zienten von
ermittelt. Insbesondere wird untersucht, wie praktikabel die Bestimmung einer Radikal-
darstellung mittels Computern zur Zeit ist.
Die Grundidee des Algorithmus geht auf (cid:201)variste Galois (1811(cid:21)1832) zur(cid:252)ck [13].
2 Kapitel 1. Einleitung
1.1 Zur Geschichte des Aufl(cid:246)sens von Polynomglei-
chungen
Schon die Babylonier l(cid:246)sten um 1700 v.Chr. quadratische Gleichungen durch Anwenden
der vier Grundrechenarten und einmaliges Wurzelziehen. Eine ausf(cid:252)hrliche Darstellung
der Rechenmethoden, die auf den Ergebnissen von Neugebauer [25] basiert, (cid:28)ndet
sich im Buch von Edwards [11]. Als damalige Standardform des Problems waren zwei
Zahlen zu (cid:28)nden, deren Produkt und Summe man kannte. Dies ist die Frage nach der
x + y = s xy = p, s p
L(cid:246)sung des Gleichungssystems und f(cid:252)r bekannte Zahlen und .
Wie man leicht durch Einsetzen veri(cid:28)ziert, sind die gesuchten Zahlen gerade die beiden
z2−sz+p = 0
L(cid:246)sungenderquadratischenGleichung .DieBabylonierl(cid:246)stendasProblem
nach folgendem Schema:
s
1. Halbiere .
2. Quadriere das Ergebnis.
p
3. Subtrahiere davon .
4. Ziehe die Wurzel aus der Di(cid:27)erenz.
s
5. Addiere die H(cid:228)lfte von ; dies ist die erste der gesuchten Zahlen und die andere
s
ist weniger der ersten.
In Formelschreibweise erh(cid:228)lt man daraus
(cid:114)
(cid:179) (cid:180)
s s 2
x = + −p y = s−x,
und
2 2
was der einleitend angegebenen L(cid:246)sungsformel entspricht.
Bis zur Entdeckung von L(cid:246)sungsformeln f(cid:252)r allgemeine Gleichungen dritten und vier-
ten Grades vergingen mehr als 3000 Jahre. Sie wurden im 16. Jahrhundert von euro-
p(cid:228)ischen Mathematikern hergeleitet. Laut Stroth [31] entwickelte Scipione del Ferro
(1465(cid:21)1526) als erster L(cid:246)sungsformeln f(cid:252)r kubische Gleichungen. Ver(cid:246)(cid:27)entlicht wurden
solche aber erst von Girolamo Cardano (1501(cid:21)1576), dessen Ansatz auf Niccolo Tartag-
x3+px+q = 0
lia (1499(cid:21)1557) zur(cid:252)ckgeht, in seinem Werk Ars Magna. F(cid:252)r erh(cid:228)lt man
demnach (cid:115) (cid:115)
(cid:114) (cid:114)
q p3 q2 q p3 q2
3 3
x = − + + + − − + .
2 27 4 2 27 4
An derselben Stelle wurden auch die von Ludovico Ferrari (1522(cid:21)1565) erdachten For-
meln zum L(cid:246)sen biquadratischer Gleichungen niedergeschrieben. Aufgrund ihrer kom-
plexen Struktur wird hier nicht n(cid:228)her auf deren Gestalt eingegangen. Eine Angabe der
Formeln be(cid:28)ndet sich aber im Hauptteil dieser Arbeit als Satz 4.1.3.
1.1. Zur Geschichte des Aufl(cid:246)sens von Polynomgleichungen 3
Im Jahre 1824 bewies Niels Henrik Abel (1802(cid:21)1829), dass algebraische Aufl(cid:246)sungsfor-
meln, die Wurzelausdr(cid:252)cke in den Koe(cid:30)zienten sind, f(cid:252)r allgemeine Polynome h(cid:246)he-
rer Grade nicht existieren [1]. Unbeantwortet blieb die Frage, welche Polynome durch
Wurzeln darstellbare Nullstellen besitzen. Dazu brachten die Ideen von (cid:201)variste Galois
(1811(cid:21)1832) den Durchbruch [13]. Er (cid:252)bertrug das Problem der Aufl(cid:246)sbarkeit durch Ra-
dikalevonder K(cid:246)rper- in die Gruppentheorie.Anstatt direktden Erweiterungsk(cid:246)rper, in
dem alle Nullstellen des gegebenen Polynoms liegen, zu betrachten, untersuchte Galois
die heute nach ihm benannte Automorphismengruppe des K(cid:246)rpers. Das urspr(cid:252)ngliche
Problem (cid:28)ndet dabei sein ˜quivalent in der Frage, ob diese Gruppe aufl(cid:246)sbar ist. Galois
f(cid:252)hrte seinen Beweis konstruktiv und zeigte daher gleichzeitig eine M(cid:246)glichkeit auf, eine
Darstellung der Nullstellen durch Wurzelausdr(cid:252)cke zu bestimmen.
Basierend auf den Methoden von Galois wurden seither immer wieder Nullstellen einzel-
nerPolynomeermittelt.SovollendeteimJahre1894JohannGustavHermes(1846(cid:21)1912)
seine zw(cid:246)lfj(cid:228)hrigen Bem(cid:252)hungen eine 65537-te primitive Einheitswurzel mit Zirkel und
Lineal zu konstruieren [15], was einer Darstellung durch Quadratwurzeln gleichkommt.
Aufgrund der Komplexit(cid:228)t der notwendigen Berechnungen lag jedoch kein praktikabler
L(cid:246)sungsweg f(cid:252)r beliebige Polynome vor. Deshalb bem(cid:252)hte man sich, verbesserte Metho-
den zu entwickeln. W(cid:228)hrend sich der algorithmische Ansatz seit Galois nicht grunds(cid:228)tz-
lich ge(cid:228)ndert hat, gibt es f(cid:252)r die anfallenden Berechnungen inzwischen schnellere Vor-
gehensweisen. Auch Untersuchungen zu Komplexit(cid:228)tsabsch(cid:228)tzungen waren erfolgreich.
Im Jahre 1985 erbrachten Landau und Miller [22] den Beweis, dass ein Algorithmus
mit polynomialer Laufzeit existiert, der die Aufl(cid:246)sbarkeit einer Polynomgleichung durch
Radikale (cid:252)berpr(cid:252)ft. Solche Fortschritte motivierten und erm(cid:246)glichten die vorliegende
Arbeit.
Ein weiterer Aspekt besteht darin, nicht nach irgendeinem Wurzelausdruck f(cid:252)r die Null-
stelle eines Polynoms zu suchen, sondern nach einem m(cid:246)glichst einfachen. Wege, einen
solchen zu ermitteln, beziehungsweise einen gegebenen Ausdruck zu vereinfachen, wur-
den von Landau in [21] und, darauf aufbauend, von Horng und Huang in [16] unter-
sucht.
Neben der Darstellung durch Radikale wurden andere M(cid:246)glichkeiten gefunden, die Null-
stellen eines Polynoms anzugeben. Allen voran ist die numerische N(cid:228)herungsl(cid:246)sung zu
nennen, welche beispielsweise mit dem Newton-Verfahren bestimmt werden kann (siehe
z.B. [27]). So werden angen(cid:228)herte Werte der Nullstellen eines Polynoms auch bei be-
stimmten Methoden zur Berechnung der Galoisgruppe verwendet (siehe [30]). Des Wei-
teren ist die Angabe allgemeiner L(cid:246)sungformeln f(cid:252)r Polynome durchaus m(cid:246)glich, wenn
man sich nicht auf algebraische Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation,
Division und Wurzelziehen) beschr(cid:228)nkt, sondern Funktionen, die mittels Potenzreihen
gebildet werden, in die Formeln einbezieht. So gelang es Umemura, die Wurzeln eines
beliebigen Polynoms durch Thetafunktionen auszudr(cid:252)cken (vgl. [35]).
4 Kapitel 1. Einleitung
1.2 Ein (cid:220)berblick des Algorithmus
Mittelpunkt dieser Arbeit ist der Algorithmus in Kapitel 5. Dieser wird im Folgenden
kurz erl(cid:228)utert. Details und De(cid:28)nitionen der benutzten Begri(cid:27)e werden in den sp(cid:228)teren
Kapiteln vorgestellt.
Es wird ein normiertes und irreduzibles Polynom f aus Q[x] vom Grad n betrachtet.
f α ,...,α
Gesucht ist eine Radikaldarstellung der Wurzeln von . Es gilt also Elemente 1 n
f(x) = (x−α )···(x−α )
zu (cid:28)nden, die 1 n erf(cid:252)llen, und diese etwa in der Form
(cid:113)
√ √
q1 + n q2 +q3 m q4 +···+ r q5, qi ∈ Q,n,m,r ∈ N
x6 +x4 −x3 −2x2 +x+1
darzustellen. Eine Darstellu√ng der N(cid:112)ullstellen d√es Polynoms
−1 −3+ 1 3 108+12 −3
ist beispielsweise durch gegeben.
3 6
Die grundlegende Idee zur algorithmischen Bearbeitung dieser Aufgabe wird durch fol-
gende Anweisungen vermittelt:
G f
Zun(cid:228)chst wird gepr(cid:252)ft, ob die Galoisgruppe f von aufl(cid:246)sbar ist. Sollte dies nicht der
Fall sein, so existiert nach Galois keine Darstellung der Nullstellen mittels Radikale und
der Algorithmus bricht hier ab. Anderenfalls wird eine Kompositionsreihe
G = G (cid:164)G (cid:164)···(cid:164)G (cid:164)G = {1}
f 1 2 r r+1
von Gf berechnet. Als n(cid:228)chstes wird der Zerf(cid:228)llungsk(cid:246)rper Qf von f konstruiert und
als einfache Erweiterung Qf = Q(γ) dargestellt. Nach dem Hauptsatz der Galoistheo-
rie besteht eine Korrespondenz zwischen den Untergruppen der Galoisgruppe und den
Zwischenk(cid:246)rpern des Zerf(cid:228)llungsk(cid:246)rpers. Dies wird genutzt, um eine K(cid:246)rperkette
Q = K1 ⊂ K2 ⊂ ··· ⊂ Kr ⊂ Kr+1 = Qf
K
zu ermitteln, die zur berechneten Kompositionsreihe korrespondiert. Es ist i jeweils
der Fixk(cid:246)rper FixQf(Gi) zu Gi. Da von Qf das primitive Element γ bekannt ist, k(cid:246)nnen
K = K (β )
auch die Glieder der K(cid:246)rperkette als einfache Erweiterungen i+1 i i bestimmt
h
werden. Im Weiteren bezeichnet das Produkt der Primfaktoren, die in der Ordnung
h
der Galoisgruppe auftauchen. Durch Adjunktion einer primitiven -ten Einheitswurzel
(cid:101)
ζ K = K (ζ ) p
h werden die K(cid:246)rper i i h gebildet. Zu jedem Primteiler der Gruppenordnung
(cid:101) (cid:101)
p K /K
liegt somit die -te Einheitswurzel vor. Dann k(cid:246)nnen die Erweiterungen i+1 i vom
p(cid:101) p(cid:101)
Grad i durch Adjunktion einer i-ten Wurzel erzeu√gt werden. Es wird also f(cid:252)r jedes
(cid:101) (cid:101) (cid:101)
i ∈ {1,...,r} ein El√ement ai√∈ Ki mit Ki+1 = Ki( pei ai) berechnet. Es ergibt sich f(cid:252)r
Qf die Q-Basis {ζhj p1 a1e1... pr arer| 0 ≤ j < φ(h),0 ≤ ei < p(cid:101)i}. Bez(cid:252)glich dieser Basis
f
gilt es als letzten Schritt, die Darstellung der Nullstellen von zu (cid:28)nden. Dazu ist f(cid:252)r
jede Nullstelle ein lineares Gleichungssystem zu l(cid:246)sen.