IV. l'intégrale de SKOROHOD comme processus stochastique

45 Pages·2013·0.35 MB·French

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Nom : RAKI
Prénom : Radouane
Date : 28 Juin 1994

Mémoire du DEA, Option Probabilités

Université Nancy

Titre du sujet :
CALCUL STOCHASTIQUE POUR DES PROCESSUS NON
ADAPTES

Responsable d’étude : Pr. VALLOIS

2
CALCUL STOCHASTIQUE POUR DES PROCESSUS NON ADAPTES- RAKI Radouane
PLAN DE MEMOIRE

Introduction................................................................................... 4
Un point sur le développement en chaos de Wiener ................. 5
I.L’opérateur dérivation sur l’espace de Wiener .......................... 8
II.L’intégrale de Skorohod……………………………………………………….…16
III.Relation entre les intégrales de Skorohod et de Stratonovich…25
IV.L’intégrale de Skorohod comme processus Stochastique……….31
V.Références………………………………………………………………………………42

3
CALCUL STOCHASTIQUE POUR DES PROCESSUS NON ADAPTES- RAKI Radouane
Introduction

Soit (Ω, , P) un espace de probabilité
(cid:1)
une filtration de .
(cid:2)ℱ(cid:4)(cid:5)(cid:4)(cid:6)(cid:7) (cid:1)
B= Un mouvement Brownien standard réel la théorie
(cid:2)(cid:8)(cid:4)(cid:5)(cid:7)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:10)
d’Itô permet de définir l’intégrale stochastique pour un processus
0≤t≤1
u= mesurable vérifiant :
(cid:2)(cid:11)(cid:4)(cid:5)
p.s et u adapté à la filtration de B le problème – à
(cid:10)
(cid:14)
(cid:12) (cid:11)(cid:4) (cid:15)(cid:16) < ∞
(cid:7)
présent- est de définir une intégrale stochastique pour des processus
non adaptés ;
Plusieurs méthodes ont été développées dans ce sens ; Citons-en
quelques-unes :
1. ‘’Le grossissement de filtration ‘’ qui consiste à introduire
une nouvelle filtration de sorte que suit -
(cid:2)(cid:19)(cid:4)(cid:5)(cid:7)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:10) (cid:11)(cid:4) (cid:19)(cid:4)
mesurable , et B une - semi martingale
∀(cid:16) (cid:19)
- voir pour cela, [Je] comme référence-.

2. Le développement de en chaos de Wiener, a été la base
(cid:11)(cid:4)
de l’introduction des intégrales stochastiques des processus non
adaptés, et cette approche constitue la théorie de Skorohod.
Références : [Sk], [Be].

4
CALCUL STOCHASTIQUE POUR DES PROCESSUS NON ADAPTES- RAKI Radouane
3. Si est une base orthonormée complète de [0,1],
(cid:14)
{(cid:22)(cid:23) }(cid:23)(cid:6)(cid:7) (cid:25)
l’approche d’Ogawa consiste à définir comme la somme de
(cid:10)
(cid:12) (cid:11)(cid:4) (cid:15)(cid:8)(cid:4)
(cid:7)
séries . Ce qui illustre donc une séparation
(cid:10)
∑(cid:23)(cid:6)(cid:10) < (cid:11),(cid:22)(cid:23) > (cid:12) (cid:22)(cid:23) (cid:2)(cid:16)(cid:5)(cid:15)(cid:8)(cid:4)
(cid:7)
des variables.
Références : [Ma], [oga].

5
CALCUL STOCHASTIQUE POUR DES PROCESSUS NON ADAPTES- RAKI Radouane
Représentation intégrale des martingales et
développement en séries orthogonales
B= désigne un mouvement Brownien standard sur
(cid:2)(cid:8)(cid:4)(cid:5)(cid:4)(cid:6)(cid:7)
: un espace de probabilité complet. désigne la
(ℱ(cid:4))(cid:4)(cid:6)(cid:7)
(cid:2)Ω,ℱ,P(cid:5)
filtration Brownienne.
Théorème : (Rappel)
Soit F une variable aléatoire de carré intégrable, il existe alors un
unique processus u adopté et élément de ( , où T= [0, ] u
(cid:14)
(cid:25) (cid:31) × Ω(cid:5) (cid:16)(cid:7)
, tel que :
ℝ"

# = %(cid:2)#(cid:5) + (cid:12) (cid:11)(cid:4) (cid:15)(cid:8)(cid:4)
’

Si pour s fixé, u(s) est une variable aléatoire - mesurable et
ℱ(
donc :
(
(cid:11)(cid:2))(cid:5) = %*(cid:11)(cid:2))(cid:5)+ + , (cid:11)(cid:14)(cid:2)(cid:16)(cid:10) ,)(cid:5)(cid:8)(cid:2)(cid:15)(cid:16)(cid:10)(cid:5)
(cid:7)
Et posant , alors
-(cid:10)(cid:2)(cid:16)(cid:10)(cid:5) = %*(cid:11)(cid:2)(cid:16)(cid:10)(cid:5)+
(cid:4). (cid:4). (cid:4)/
# = %(cid:2)#(cid:5) + , -(cid:10) (cid:2)(cid:16)(cid:10)(cid:5) (cid:8)(cid:2)(cid:15)(cid:16)(cid:10)(cid:5) + , , (cid:11)(cid:14) (cid:2)(cid:16)(cid:10),(cid:16)(cid:14)(cid:5) (cid:8)(cid:2)(cid:15)(cid:16)(cid:10)(cid:5)(cid:8)(cid:2)(cid:15)(cid:16)(cid:14)(cid:5)
(cid:7) (cid:7) (cid:7)
Par itération, on obtient :
4 (cid:4). (cid:4)3 (cid:4)/
# = %(cid:2)#(cid:5)+ 0 , , …, %(cid:2)(cid:11)2 (cid:2)(cid:16)(cid:10),… (cid:16)2(cid:5)(cid:5)(cid:8)(cid:2)(cid:15)(cid:16)(cid:10)(cid:5)… (cid:8)(cid:2)(cid:15)(cid:16)2(cid:5)
25(cid:10) (cid:7) (cid:7) (cid:7)
(cid:4). (cid:4)678 (cid:4)/
+ , , …, (cid:11)4"(cid:10)(cid:2)(cid:16)(cid:10)… (cid:16)4"(cid:10)(cid:5)(cid:8)(cid:2)(cid:15)(cid:16)(cid:10)(cid:5)… (cid:8)(cid:2)(cid:15)(cid:16)4"(cid:10)(cid:5)
(cid:7) (cid:7) (cid:7)
Posons ;
-4 = %(cid:2)(cid:11)4(cid:5)
6
CALCUL STOCHASTIQUE POUR DES PROCESSUS NON ADAPTES- RAKI Radouane
Alors est une fonction déterministe définie sur les
-4(cid:2)(cid:16)(cid:10),… (cid:16)4(cid:5)
points tels que .
(cid:2)(cid:16)(cid:10),… (cid:16)4(cid:5) (cid:16)(cid:10) < ⋯ < (cid:16)4
En outre, est de carré intégrable sur .
4
-4 (cid:31)
Pour de telles fonctions- choisies mesurables- on introduit
l’intégrale stochastique multiple par :
(cid:4). (cid:4)6 (cid:4)/
:4(cid:2)-4(cid:5) = ;!, , …, -4 (cid:2)(cid:16)(cid:10) …(cid:16)4(cid:5)(cid:8)(cid:2)(cid:15)(cid:16)(cid:10)(cid:5)… (cid:8)(cid:2)(cid:15)(cid:16)4(cid:5)
(cid:7) (cid:7) (cid:7)
Si est symétrique, a la même expression, ainsi prendrait-
-4 :4(cid:2)-4(cid:5)
on- pour commodité- des fonctions symétriques.

Les propriétés principales de l’intégrale stochastique multiple sont
les suivantes :
)=0 pour
%(cid:2):4(cid:2)-4(cid:5):2(cid:2)-2(cid:5) ; ≠ >

(cid:14) (cid:14) (cid:4). (cid:4)6 (cid:4)/ (cid:14)
%(cid:2):4(cid:2)-4(cid:5) (cid:5) = (cid:2);!(cid:5) (cid:12) (cid:12) …(cid:12) -4 (cid:2)(cid:16)(cid:10) …(cid:16)4(cid:5) (cid:15)(cid:16)(cid:10) … (cid:15)(cid:16)4
(cid:7) (cid:7) (cid:7)

(cid:14)
/ 6
= (cid:2);!(cid:5) ‖-4‖@ (cid:2)ℝ7(cid:5)
Théorème :
Toute variable aléatoire F de carré intégrable, peut-être
développée en séries d’intégrales multiples.
Soit :
Références : [Me], [Ma], [Nu]
A
# = %(cid:2)#(cid:5) + ∑25(cid:10):2(cid:2)-2(cid:5)

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CALCUL STOCHASTIQUE POUR DES PROCESSUS NON ADAPTES- RAKI Radouane
I. L’opérateur dérivation sur l’espace de
Wiener

Cadre théorique :
ou : intervalle des temps.

(cid:31) = *0,(cid:16)(cid:7)+ ℝ"
(Ω, , P) désignera l’espace canonique de probabilité associé au
(cid:1)
mouvement Brownien standard sur T,ie :

(cid:7)
Ω = C ((cid:31)) = %)DEF(cid:22) (cid:15)(cid:22)) -G;F(cid:16)HG;) FG;(cid:16)H;(cid:11)(cid:22)) )(cid:11)I (cid:31).

K = LE >(cid:22))(cid:11)I(cid:22) (cid:15)(cid:22) MH(cid:22);(cid:22)I )(cid:11)I Ω.

ℱ = LE (cid:16)IHN(cid:11) (cid:8)GIéLH(cid:22);;(cid:22) )(cid:11)I Ω,FG>DLè(cid:16)(cid:22).
Une variable aléatoire définie sur le t espace de probabilité sera
appelée une fonctionnelle Brownienne : F ( )
Q
Et on veut introduire la dérivée de F par rapport à .
Q
Soit :
aux dérivées à croissance polynomiale.
A 4 4 A
CR (ℝ ) = {-:ℝ → ℝ,C ,
: la classe des variables aléatoires F de la forme
S # = -((cid:8)(cid:4)(cid:10),…(cid:8)(cid:4)4)
où et .
A 4
-VWCR (ℝ ) ((cid:16)(cid:10),…(cid:16)4)V (cid:31)
Il est facile de voir que S est un sous-espace dense dans .
(cid:14)
(cid:25) (Ω)

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CALCUL STOCHASTIQUE POUR DES PROCESSUS NON ADAPTES- RAKI Radouane
Définition
La dérivée d’une fonctionnelle de la forme
# ∈ Y
est le processus stochastique donné par :
# = -(cid:2)(cid:8)(cid:4)(cid:10),…(cid:8)(cid:4)4(cid:5) (cid:2)Z(cid:4)#(cid:5)(cid:4)(cid:6)(cid:7)

4 [\
Z(cid:4)# = ∑(cid:23)5(cid:10) (cid:2)(cid:8)(cid:4)(cid:10) … (cid:8)(cid:4)4(cid:5) (cid:2)(cid:16)(cid:5)*(cid:7),(cid:4)]+ (cid:2)1.1(cid:5)
[4]
Exemple :

Z(cid:4)(cid:8)( = (cid:2)(cid:16)(cid:5)*(cid:7),(+
Remarque :
A première vue, il n’est pas clair que DF est une dérivée de F, et
pour l’interpréter comme dérivée directionnelle, on considère l’espace
d’Hilbert pour ;
(cid:14)
_ = (cid:25) (cid:2)(cid:31)(cid:5) ℎ ∈ _
Le produit scalaire coïncide avec la

< Z#,ℎ >a= (cid:12) Z(cid:4) #ℎ(cid:2)(cid:16)(cid:5)(cid:15)(cid:16)
’
dérivée directionnelle de F dans la direction de ; ie:
.
(cid:12) ℎ(cid:2))(cid:5)(cid:15))
(cid:7)

4 [\ (cid:4)]
< Z#,ℎ >a= ∑(cid:23)5(cid:10)[4] (cid:2)(cid:8)(cid:4)(cid:10) … (cid:8)(cid:4)4(cid:5)(cid:12)(cid:7) ℎ(cid:2))(cid:5)(cid:15))
.
(cid:15)
= #(cid:2)Q + b ,ℎ(cid:2))(cid:5)(cid:15))⎸d5(cid:7)
(cid:15)b (cid:7)
.

#(cid:2)Q + b (cid:12) ℎ((cid:15))(cid:5) − #(cid:2)Q(cid:5)
(cid:14) (cid:7)
= lim(cid:25) h j
d→(cid:7)
b

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CALCUL STOCHASTIQUE POUR DES PROCESSUS NON ADAPTES- RAKI Radouane
Analogie avec le cas .
4
ℝ

4 [\
(cid:15)-.ℎ = ∑(cid:23)5(cid:7) ℎ(cid:23)
[4]
L’opérateur D est ainsi définie sur un sous-espace dense de
(cid:14)
(cid:25) (cid:2)Ω(cid:5)
et à valeurs dans
(cid:14)
(cid:25) (cid:2)(cid:31) × Ω(cid:5)
Question : D est-il un opérateur clos ?
Lemme : Soient et
(cid:14)
#,k ∈ Y ℎ ∈ (cid:25) (cid:2)(cid:31)(cid:5)
Alors on a :
(1.2)

%(cid:2)k < Z#,ℎ >(cid:5) = %(cid:2)−# < Zk,ℎ > +#k (cid:12) ℎ(cid:4) (cid:15)(cid:8)(cid:4)(cid:5)
’
Preuve :
Pour , on a par la formule de GIRSANOY.
b > 0

.
%lk(cid:2)Q(cid:5)m#(cid:2)Q + b (cid:12) ℎ(cid:2))(cid:5)(cid:15))(cid:5) − #(cid:2)Q(cid:5)no
(cid:7)
.
= %*#(cid:2)Q(cid:5)k(cid:2)Q − b (cid:12) ℎ(cid:2))(cid:5)(cid:15))(cid:5) − k(cid:2)Q(cid:5)(cid:5) + #(cid:2)Q(cid:5)k(cid:2)Q −
(cid:7)

/
. (cid:10) d (cid:10)
(cid:14)
b (cid:12) ℎ(cid:2))(cid:5)(cid:15))(cid:5)(cid:2)exp *b (cid:12) ℎ(cid:15)(cid:8) − (cid:12) ℎ (cid:2))(cid:5)(cid:15))+ − 1(cid:5)+
(cid:7) (cid:7) (cid:14) (cid:7)
En divisant par et faisant tendre vers zéro, on obtient le
b b
résultat
Le lemme est connu sous le nom de la formule d’intégration par
parties.

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