Int{\'e}gration d'une mesure d'ind{\'e}pendance pour la fusion d'informations

0.37 MB·French

by  Mouloud Kharoune

Intégration d’une mesure d’indépendance pour la fusion
d’informations
MouloudKharoune∗,ArnaudMartin∗
∗UMR6074IRISA,UniversitédeRennes1/IUTdeLannion,RueEdouardBranly
BP3021,22302Lannioncedex
5
[email protected],[email protected]
1
0
2 Résumé. Lafusiond’informationsfaitintervenirplusieurssourcesd’informa-
tions afin d’améliorer la décision en terme de certitude et de précision. Quelle
n
a que soit l’approche retenue pour réaliser la fusion d’informations, l’hypothèse
J d’indépendance est généralement une hypothèse forte et incontournable. Nous

2 proposonsdanscetarticleuneapprochepermettantd’intégrerunemesured’in-
2 dépendanceavantderéaliserlacombinaisondesinformationsdanslecadrede

lathéoriedesfonctionsdecroyance.
]
I
A
1 Introduction
.
s
c
[ Tel que repris par Martin (2005), la fusion d’informations consiste à combiner des infor-

mationsissuesdeplusieurssourcesafind’aideràlaprisededécision.Lesapprochesdefusion
1
v d’informations cherchent donc à tenir compte des redondances des informations issues des
4 différentes sources. Les approches de fusion n’ont bien sûr d’intérêt que si les sources sont
1 imparfaites et fournissent des informations peu sûres et précises qui se complètent. Ainsi il
6
fautdoncchercheràmodéliserauxmieuxlesimperfectionsdessourcesetdesdonnées.Pour
5
cefaire,différentesthéoriesdel’incertainontétésollicitées.Parmielles,citonslathéoriedes
0
probabilités,dessous-ensemblesflousetdespossibilitésouencorelathéoriedesfonctionsde
.
1
croyance. Quel que soit le cadre théorique retenu, lors de l’étape de combinaison de l’infor-
0
mation, l’hypothèse d’indépendance des sources est généralement faite. Cette hypothèse est
5
1 plus ou moins forte. Par exemple, l’indépendance statistique est généralement retenue pour
: appliquer plus aisément la combinaison bayésienne du cadre probabiliste. En effet, les esti-
v
mationspeuvents’avérertrèsvitecompliquéessanscettehypothèse.Danslecasdelathéorie
i
X desfonctionsdecroyance,ilestquestiond’indépendancecognitivedéfinieparShafer(1976).
r Elle correspond à une absence de communication entre les sources sans que celles-ci soient
a
pourautantindépendantesstatistiquement.Malheureusementcettehypothèsed’indépendance
estrarementvérifiéeoujustifiée.
Dans ce travail nous nous intéressons plus particulièrement à la théorie des fonctions de
croyancecarelleoffreunoutilrichedemodélisationetdegestiondel’information.Enparti-
culier,Chebbahetal.(2012,2013)ontrécemmentproposédesapprochespourmesurerl’in-
dépendancedessourcesendistinguantdeplusladépendancepositiveetnégative.
Nous poursuivons ainsi cet article en présentant les principes de base de la théorie des
fonctionsdecroyanceetenparticulierlanotiond’indépendanceetd’affaiblissement.Nousex-
Intégrationd’unemesured’indépendancepourlafusiond’informations
posonsensuitel’approcheproposéepermettantdetenircompted’unemesured’indépendance
avantlacombinaisondesfonctionsdecroyance.Nousillustronsceprincipeàpartird’exemples
générés.
2 Théorie des fonctions de croyance
La théorie des fonctions de croyance issue des travaux de Dempster (1967), repris par
Shafer (1976) est depuis quelques années employée dans des applications de fusion d’infor-
mations.Nousprésentonsci-dessouslesprincipesdecettethéorie.
2.1 Principesdebase
ConsidéronslecadredediscernementΩ = {ω ,ω ,...,ω }correspondantàl’ensemble
1 2 n
de toutes les hypothèses possibles de décision d’un problème donné. Les éléments ω repré-
i
sententainsitoutesleshypothèsesexclusivesetexhaustives.
L’ensemble 2Ω = {A/A ⊆ Ω} = {∅,ω ,ω ,...,ω ,ω ∪ω ,...,Ω}, est composé de
1 2 n 1 2
touteslesdisjonctionsdeΩ.L’espacepuissance2Ωcomporte2|Ω| =2néléments.
Unefonctiondemasseestunefonctionde2Ω versl’intervalle[0,1]quiaffecteàchaque
sous-ensemble de 2Ω une valeur de l’intervalle [0,1] représentant sa masse de croyance élé-
mentaire.Elles’écrit:
mΩ :2Ω (cid:55)→ [0,1] (1)
telleque:
(cid:88)
mΩ(A)=1 (2)
A⊆Ω
Unsous-ensemblede2Ωdemassedecroyancenon-nulleestunélémentfocal.Lamasseaffec-
téeàunélémentfocalAreprésenteledegrédecroyanceélémentairedelasourceàcequela
solutionduproblèmesoitA.Unefonctiondemassepermetainsidereprésenterdesconnais-
sancesincertainesetimprécisesd’unesourced’informations.Engénéral,nousmanipulonsdes
fonctionsdemassenondogmatiques(i.e.dontl’ignoranceΩestélémentfocal),d’unepartcar
ellespermettentdesystématiquementmodéliserlapartd’ignoranceintrinsèqueàtoutesource,
maiségalementcartoutefonctiondemassenondogmatiqueestdécomposableenfonctionsde
masseàsupportsimple(i.e.quinecomportequedeuxélémentsfocauxdontΩ).Lesfonctions
demasseàsupportsimplesontnotéesAw tellesquem(A) = 1−w ∀A (cid:54)= Ωetm(Ω) = w.
Ainsiunefonctiondemassenondogmatiquepeuts’écrire:
mΩ =(cid:13)∩A⊂ΩAw(A) (3)
où(cid:13)∩ estdonnéesparl’équation(5)ci-dessous.
Lacrédibilitébeletlaplausibilitéplsontdesfonctionsdualesdéfiniesàpartirdelafonc-
tionsdemasseetreprésententrespectivementunefonctiondecroyanceminimaleetmaximale.
Ainsilafonctiondeplausibilitéestdonnéepar:
(cid:88)
pl(X)= m(Y)=bel(Ω)−bel(Xc)=1−m(∅)−bel(Xc), (4)
Y⊂Ω,Y∩X(cid:54)=∅
KharouneetMartin
oùXcestlecomplémentairedeX.
Une fois les fonctions de masse mΩ déterminées pour chaque source d’informations S ,
j j
plusieurs opérateurs de combinaison sont envisageables en fonction des hypothèses initiales.
Lesopérateursdetypeconjonctifpeuventêtreemployéslorsquelessourcessontfiablesetin-
dépendantescognitivement.Lacombinaisonconjonctives’écritpourdeuxfonctionsdemasse
mΩetmΩetpourtoutX ∈2Ωpar:
1 2
(cid:88)
mΩConj(X)=m1(cid:13)∩ m2 = mΩ1(Y1)mΩ2(Y2). (5)
Y1∩Y2=X
Notons que l’élément neutre pour cette règle est la masse : mΩ(X) = 1 si X = Ω et 0
Ω
sinon.Lorsquecettehypothèsedefiabilitéesttropforteetquel’onnepeutsupposerqueseule
unedes sourcesest fiable, lacombinaison disjonctivepeutalors êtreemployéetoujours sous
l’hypothèsed’indépendancecognitive:
(cid:88)
mΩ (X)= mΩ(Y )mΩ(Y ). (6)
Dis 1 1 2 2
Y1∪Y2=X
Notons que l’élément neutre pour cette règle est la masse : mΩ(X) = 1 si X = ∅ et 0
∅
sinon.Laplupartdesrèglesdecombinaisonissuesdesrèglesconjonctivesetdisjonctives,en
particulierpourrépartirleconflit,supposentquelessourcessontindépendantescognitivement.
Martin(2010)enrappellequelquesunes.
Denœux(2008)proposeunefamillederèglesquinenécessitentpasl’hypothèsed’indépen-
dancecognitive.Ainsiselonlecomportementconjonctifoudisjonctifdeuxrèglesprincipales
sontdéfinies,larègleprudenteethardie.Larègleprudentes’écritpourlesfonctionsdemasse
nondogmatiques:
mΩ1 (cid:13)∧ mΩ2 =(cid:13)∩A⊂ΩAw1(A)∧w2(A) (7)
où∧estlemaximum.Larèglehardies’écritdemêmeenconsidérantleminimumaulieudu
maximum. Si ces règles sont efficaces lorsque les sources sont dépendantes, cette notion de
dépendanceoud’indépendancen’estparclairementdéfinieparDenœux(2008).
Lorsqu’uneconnaissancesupplémentairegarantieunsous-ensembleA⊂Ω,nouspouvons
définirunefonctiondemasseconditionnellepar:
mΩ[A](X)=(mΩ(cid:13)∩ mΩA)(X) (8)
oùmΩ(A)=1estlafonctiondemassegarantissantlaréalisationdeA.
A
2.2 Notiond’indépendance
L’indépendancestatistiqueestdéfiniepourdeuxvariablesAetBparP(A|B)=P(A)ou
defaçonéquivalenteparP(A∩B)=P(A)P(B).CetteindépendanceestétendueparShafer
(1976) dans le cadre de la théorie des fonctions de croyance et est donnée par :
pl(A∩B) = pl(A)pl(B).BenYaghlaneetal.(2002a,b)définissentuneindépendancedoxa-
tiqueentredesvariablesdéfiniessurdescadresdediscernementdifférentséventuellement.
Cesdéfinitionsdel’indépendancenecorrespondentpasàlanotiond’indépendancecogni-
tiveentrelessourcesd’informations.Cettedernièreserévèletrèsdifficileàmesurer.Chebbah
Intégrationd’unemesured’indépendancepourlafusiond’informations
etal.(2012,2013)proposentunedéfinitiond’unemesured’indépendanceentredeuxsources
d’informationsétenduesàunemesurededépendancepositiveetnégative.Lamesured’indé-
pendance entre deux sources est définie comme une sorte de corrélation entre deux sources
issues d’un clustering (classification non-supervisée) sur les fonctions de masse de chacune
dessourcesenassociantensuitelesclusters.Si|Ω| = n,leclusteringdesfonctionsdemasse
issuesdelasourceS fourninclusters,demêmepourS .Lesclustersdesdeuxsources(Cl ,
1 2 k1
Cl )sontassociésdefaçonnonsymétriqueenmaximisant:
k2
|Cl ∩Cl |
αi = k1 k2 , i=1,2 (9)
k1,k2 |Cl |
ki
Il est ensuite possible de définir une fonction de masse sur Ω = {I,I¯} représentant les
I
deuxpossibilités:indépendantetdépendant(I¯)delasourceS parrapportàlasourceS :
1 2
 mΩI (I)=β(1−α1 )
 mkΩ1Ik2(I¯)=βα1 k1k2 (10)
 mkΩ1Ik2(I∪I¯)=k11k−2 β
k1k2
où β est un facteur d’affaiblissement permettant de tenir compte du nombre d’observations
danschaquecluster.AinsilacroyanceélementairequelasourceS estindépendantedeS est
1 2
donnéeparlamasse:
(cid:32) n (cid:33)
1 (cid:88)
mΩI(X)= mΩI (X) (11)
n k1k2
k1=1
oùk estleclusterdelasourceS associéauclusterk delasourceS .Lamoyenneestici
2 2 1 1
employéedufaitdeladépendancedesfonctionsdemasse.
Chebbah et al. (2012, 2013) proposent un prolongement pour différencier la dépendance
positive(lasourceS suitlesavisdelasourceS )etladépendancenégative(lasourceS dit
1 2 1
lecontrairedesavisdelasourceS ).Ainsi,unefonctiondemasseconditionnelleestconstruite
2
surlecadredediscernementΩ ={P,P¯}:
P
 mΩP [I¯](P)=1−Dist(Cl ,Cl )
 mkΩ1Pk2[I¯](P¯)=Dist(Cl ,Ckl1 ) k2 (12)
 mkΩ1Pk2[I¯](P ∪P¯)=0 k1 k2
k1k2
oùDist(Cl ,Cl )estladistanceentrelesdeuxclustersdépendantsCl etCl liéscomme
k1 k2 k1 k2
étantlamoyennedesdistancesentrelesfonctionsdemassedesobjetsencommun:
1 |Clk(cid:88)1∩Clk2|
Dist(Cl ,Cl )= d(mΩ ,mΩ ) (13)
k1 k2 |Cl ∩Cl | 1,j 2,j
k1 k2 j=1
où d est la distance proposée par Jousselme et al. (2001) entre les fonctions de masse de la
sourceS etS respectivement.
1 2
SinousconsidéronsqueI¯= P ∪P¯,nouspouvonsréécrirelesdeuxfonctionsdemasse
précédentesdanslecadredediscernementI = {I,P,P¯}.Nousdéfinissonsainsilafonction
KharouneetMartin
demasseentredeuxclustersdeS etS :
1 2

mI (I)=mΩI (I)=βα1
 mmkIkI11kk22((PP¯))==mmkΩkΩ11kIIk22((II¯¯))mmΩkΩ1PPk2k[[II1¯¯k]]((2PP¯))==ββ((11−−ααk111k2))(D1i−st(DCilst(,CCllk1,)Clk2)) (14)
 mmkIkI11kk22((PI∪∪PP¯∪)=kP¯1k)m2=Ωk1Imk2Ω(kI¯I1)km2(IΩk1P∪k2I¯[I)¯]=(P1∪−P¯β)=k01k2 k1 k2
k1k2 k1k2
LafonctiondemassesurladépendancedelasourceS parrapportàS estdonnéepar:
1 2
(cid:32) n (cid:33)
1 (cid:88)
mI(X)= mI (X) (15)
n k1k2
k1=1
où k est le cluster de la source S associé au cluster k de la source S . Cette fonction de
2 2 1 1
masse représente ainsi l’ensemble des croyances élémentaires sur l’indépendance et dépen-
dancepositiveetnégativedelasourceS faceàlasourceS .
1 2
2.3 Notiond’affaiblissement
Shafer(1976)aproposélaprocédured’affaiblissementsuivante:
αmΩ(X) = αmΩ(X) ∀X ∈2Ω\Ω (16)
αmΩ(Ω) = 1−α(1−mΩ(Ω)) (17)
oùαestunfacteurd’affaiblissementde[0,1].Cetteprocédureestgénéralementemployéepour
affaiblirlesfonctionsdemasseparlafiabilitéαdessourcesd’informations.Cetteprocédurea
poureffetd’augmenterlamassesurl’ignoranceΩ.Smets(1993)ajustifiécetteprocédureen
considérantque:
mΩ[F](X) = mΩ(X) (18)
mΩ[F¯](X) = mΩ(X) (19)
Ω
où mΩ(X) = 1 si X = Ω et 0 sinon, F et F¯ représentent la fiabilité et la non fiabilité et
Ω
mΩ[F]estunefonctiondemasseconditionnelementàlafiabilitéF.SoitF ={F,F¯}lecadre
de discernement correspondant, et la fonction de masse représentant la connaissance sur la
fiabilitédelasource:
(cid:26) mF(F)=α
(20)
mF(F)=1−α.
Afin de combiner les deux sources d’informations fournissant les deux fonctions de masse
mΩ[F]etmF,ilfautpouvoirlesreprésenterdanslemêmeespaceΩ×F.Ainsi,nousdevons
effectueruneextentionàvidesurlafonctiondemassemF,opérationquel’onnotemF↑Ω×F :
(cid:26) mF(X) siY =Ω×X, X ⊆F
mF↑Ω×F(Y)= (21)
0 sinon
DanslecasdelafonctiondemassemΩ[F],ilfautdéconditionner:
mΩ[F]⇑Ω×F(cid:0)(A×F)∪(Ω×F)(cid:1)=mΩ[F](A), A⊆Ω (22)
Intégrationd’unemesured’indépendancepourlafusiond’informations
Ilestainsipossibled’effectuerlacombinaison:
mΩ×F(Y)=mF↑Ω×F(cid:13)∩ mΩ[F]⇑Ω×F(Y), ∀Y ⊂Ω×F (23)
Conj
Ensuiteilfautmarginaliserlafonctiondemasseobtenuepourrevenirdansl’espaceΩ:
(cid:88)
mΩ×F↓Ω(X)= mΩ×F(Y) (24)
Conj
{Y⊆Ω×F|Proj(Y↓Ω)=X}
oùProj(Y ↓Ω)estlaprojectiondeY surΩ.Nousretrouvonsainsi:
αmΩ(X)=mΩ×F↓Ω(X) (25)
Mercier(2006)aproposéuneextensiondecetaffaiblissementencontextualisantlecoeffi-
cientd’affaiblissementαenfonctiondesous-ensemblesdeΩ.
3 Intégration de l’indépendance dans une fonction de masse
Nousavonsvuquelanotiondel’indépendanceestgénéralementuneinformationsupplé-
mentairenécessaireàlafusiond’informations,maisnonpriseencomptedansleformalisme
choisi. La section 2.2 propose une modélisation et estimation d’une mesure d’indépendance
danslecadredelathéoriedesfonctionsdecroyance.Nousallonsicinousappuyersurleprin-
cipe de l’affaiblissement présenté dans la section 2.3 afin de tenir compte de l’indépendance
danslesfonctionsdemasseenvuedelacombinaison.
Eneffet,lorsdelacombinaisonconjonctiveparexemplel’hypothèsed’indépendancecog-
nitive des sources d’informations est nécessaire. Si les sources ne sont pas indépendantes on
peutpenserqu’ellesnedevraientpasêtrecombinéesparcebiais.Cependant,commelemontre
lasection2.2lessourcespeuventavoirdesdegrésdedépendanceetd’indépendance.L’infor-
mation fournie sur l’indépendance n’est pas catégorique. Ainsi, combiner deux sources in-
dépendantes fortement devraient tendre vers le résultat de la combinaison de deux sources
indépendantes.Siunesourceestdépendanted’uneautresource,nouspouvonsconsidérerque
cettepremièresourcenedoitpasinfluerlacombinaisonavecunesecondesource.Ainsicette
sourcedoitreprésenterl’élémentneutredelacombinaison.
Dans ce cas, il suffit d’appliquer la procédure d’affiblissement de la section 2.3 sur la
fonctiondemassemΩ delasourceS enconsidérantl’indépendancedonnéeparlafonction
1
demassedel’équation(11)aulieudecelledel’équation(20)danslecasdelafiabilité.
À présent, nous distinguons la dépendance positive de la dépendance négative. Si une
sourceestdépendantepositivementd’uneautresource,ilnefautpasentenircompteetdonc
tendreversunrésultatdecombinaisonquiprendraitcettepremièresourcecommeunélément
neutre. Enfin si une source est dépendante négativement d’une autre source, il peut être in-
téressant de marquer cette dépendance conflictuelle en augmentant la masse sur l’ensemble
vide.
Pour réaliser ce schéma, nous proposons d’affaiblir les fonctions de masse d’une source
S enfonctiondesamesured’indépendanceàuneautresourceS ,donnéeparlafonctionde
1 2
massemI del’équation(15).Nousréécrivonsicicettefonctionsdemassedefaçonàsimplifier
KharouneetMartin
lesnotations:

mI(I)=αβ
 mI(P)=α(1−β)γ
(26)
mI(P¯)=α(1−β)(1−γ)
 mI(I∪P ∪P¯)=1−α
Ainsi,leparamètreαreprésentelafiabilitédelasourceS ,β l’indédendancedeS faceàS
1 1 2
etγ ladépendancepositivedeS faceàS .Cestroisparamètres,α,βetγ sontcomprisentre
1 2
0et1.
Nousconsidéronsiciunefonctiondemassed’unesourcemΩenfonctiondesonindépen-
danceoudépendanceàuneautresource.Ainsinousdéfinissons:

mΩ[I](X)=mΩ(X)

mΩ[P¯](X)=mΩ(X) (27)
∅
 mΩ[P](X)=mΩ(X)
Ω
oùmΩ(X)=1siX =Ωet0sinonetmΩ(X)=1siX =∅et0sinon.Suivantlaprocédure
Ω ∅
d’affaiblissement,nouseffectuonsuneextensionàvidesurlafonctiondemassemI :
(cid:26) mI(X) siY =Ω×X, X ⊆I
mI↑Ω×I(Y)= (28)
0 sinon
LedéconditionnementdesfonctionsdemassemΩ[I],mΩ[P]etmΩ[P¯]estdonnépar:
mΩ[I]⇑Ω×I(cid:0)(A×I)∪(Ω×I)(cid:1)=mΩ[I](A), A⊆Ω (29)
oùI¯=P ∪P¯.
mΩ(cid:2)P¯(cid:3)⇑Ω×I(cid:0)(A×P¯)∪(Ω×{I∪P})(cid:1)=mΩ(cid:2)P¯(cid:3)(A), A⊆Ω (30)
mΩ[P]⇑Ω×I(cid:0)(A×P)∪(Ω×{I∪P¯})(cid:1)=mΩ[P](A), A⊆Ω (31)
Ce dernier déconditionnement mène en fait à la masse de l’ignorance et est l’élément neutre
delacombinaisonconjonctive.
Nousréalisonsensuitelacombinaisonconjonctive:
mΩ×I(Y)=mI↑Ω×I(cid:13)∩ mΩ[I]⇑Ω×I(cid:13)∩ mΩ(cid:2)P¯(cid:3)⇑Ω×I(Y), ∀Y ⊂Ω×I (32)
Conj
Lamarginalisationdelafonctiondemassepermetensuitederevenirdansl’espaceΩ:
(cid:88)
mΩ×I↓Ω(X)= mΩ×I(Y) (33)
Conj
{Y⊆Ω×I|Proj(Y↓Ω)=X}
CetteprocédureréaliséepourlasourceS enrapportàlasourceS peutêtreréaliséepour
1 2
lasourceS auregarddelasourceS .Ainsilesdeuxfonctionsdemasseobtenuepeuventêtre
2 1
combinéesparlarègledecombinaisonconjonctivequisupposel’indépendance.
Intégrationd’unemesured’indépendancepourlafusiond’informations
4 Illustration
4.1 Fonctionnementdel’affaiblissementparlamesured’indépendance
Nousallonsdansunpremiertempsillustrerlefonctionnementdel’affaiblissementparla
mesure d’indépendance. Nous considérons ici un cadre de discernement Ω = {ω ,ω ,ω }.
1 2 3
SupposonsquenousayonsdeuxsourcesS etS donnantdeuxfonctionsdemasse:
1 2
mΩ(ω )=0.2, mΩ(ω ∪ω )=0.5, mΩ(Ω)=0.3, (34)
1 1 1 1 2 1
mΩ(ω )=0.1, mΩ(ω ∪ω )=0.6, mΩ(Ω)=0.3 (35)
2 2 2 1 2 2
Lacombinaisonconjonctivedonne:
mΩ (∅)=0.02, mΩ (ω )=0.18, mΩ (ω )=0.08,
1∩2 1∩2 1 1∩2 2
mΩ (ω ∪ω )=0.63, mΩ (Ω)=0.09
1∩2 1 2 1∩2
Cette combinaison conjonctive est effectuée avec l’hypothèse d’indépendance cognitive
des deux sources. Si une connaissance externe permet de mesurer la dépendance positive et
négativedelasourceS parrapportàlasourceS tellequefournieparl’équation(36),nous
1 2
devons en tenir compte avant la combinaison conjonctive. Supposons ainsi que α = 0.95,
β = 0.05 et γ = 0.95 dans l’équation (36). Cette fonction de masse traduit donc une forte
dépendancepositivedeS parrapportàS .Nousavonsainsilafonctiondemasse:
1 2

mI(I)=0.0475
 mI(P)=0.8574
(36)
mI(P¯)=0.0451
 mI(I∪P ∪P¯)=0.05
Le tableau 1 présente les différentes étapes d’extension à vide, de déconditionnement et
decombinaisondansl’espaceΩ×I.L’extensionàvideetledéconditionnementtransfèrent
lesmassesurlesélémentsfocauxcorrespondantdel’espaceΩ×I.Lacombinaisondestrois
fonctionsdemassedanscetespacefaitapparaîtrelamassesurl’ensemblevidequicorrespond
àlapartdedépendancenégative.
Letableau2présenteensuitelamarginalisationetlerésultatdecombinaisonaveclafonc-
tiondemassem nonmodifiée(i.e.quel’hypothèsed’indépendancetotaledeS parrapportà
2 2
S estfaite).Nousconstatonsquelamassetransféréesurl’ignorancedevientplusimportante
1
quelorsdelacombinaisonconjonctivesanshypothèsesurladépendancepositive.
Afin de bien illustrer le transfert de masse sur l’ensemble vide et sur l’ignorance, les fi-
gures1et2représententlesmassesenfonctiondesvariationsdeα,β etγ pourunefonction
de masse dogmatique quelconque. Ainsi sur la figure 1 représentant les variations de masse
sur l’ensemble vide, α est fixé à 1, β et γ variant, alors que sur la figure 2 représentant les
variationsdemassesurl’ignorance,γ estfixéà1,αetβ variant.
Lafigure1montreainsiqueplusβ etγ sontpetitsplusonobtientunemasseimportante
surl’ensemblevideetdoncunedépendancenégative.Laquantitéβ représentelapartd’indé-
pendanceetlaquantitéγ représentelapartdedépendancepositive.
Lafigure2présentequandàelle,lavariationdelamassesurΩ,l’ignorance.Cettemasse
estdonnéedirectementparαβ quicontientdonclapartd’indépendanceβ etlafiabilitéαde
lasource.
KharouneetMartin
focal mI↑Ω×I mΩ[I]⇑Ω×I mΩ[P¯]⇑Ω×I mΩ×I
Conj
∅ 0.0451
ω ×I 0.0095
1
(ω ∪ω )×I 0.0237
1 2
Ω×I 0.0475 0.0142
Ω×P 0.8574 0.8574
(ω ×I)∪(Ω×P) 0.01
1
((ω ∪ω )×I)∪(Ω×P) 0.025
1 2
Ω×P¯ 0.0451
Ω×(P ∪P¯) 1
(ω ×I)∪(Ω×(P ∪P¯)) 0.2
1
((ω ∪ω )×I)∪(Ω×(P ∪P¯)) 0.5
1 2
Ω×I 0.05 0.3
TAB. 1– Détailsdel’affaiblissementdelamesured’indépendance:fonctionsdemassedans
Ω×I.
focal mΩ1×I↓Ω mΩ2 mΩ1×I↓Ω(cid:13)∩ mΩ2
∅ 0.0451 0.0461
ω 0.0095 0.0085
1
ω 0.1 0.0945
2
ω ∪ω 0.0237 0.6 0.5743
1 2
Ω 0.9216 0.3 0.2765
TAB. 2– Détailsdel’affaiblissementdelamesured’indépendance:marginalisationetcom-
binaison
Nous illustrons ainsi le résultat escompté de l’affaiblissement par la mesure d’indépen-
dance,c’est-à-direquenousretrouvonssurlamassedel’ensemblevidelaquantitédedépen-
dancenégativeetsurl’ignorancelaquantitédefiabilitéetded’indépendance.
4.2 Influencesurlerésultatdecombinaison
Afind’illustrerl’influencedelapriseencomptedelamesured’indépendancesurlesfonc-
tions de masse, nous allons considérer ici les deux sources précédentes S et S qui four-
1 2
nissent les fonctions de masse données par les équations (34) et (35). Nous allons considé-
rer trois cas pour chaque source avec un cas où la source S est plutôt indépendante de S
1 2
(α=0.95,β =0.95,γ =0.05),uncasoùelleestplutôtdépendantepositivement(α=0.95,
β =0.05,γ =0.95)etuncasoùelleestplutôtdépendantenégativement(α=0.95,β =0.05,
Intégrationd’unemesured’indépendancepourlafusiond’informations
FIG. 1– Variation de la masse sur l’ensemble vide pour un affaiblissement par la mesure
d’indépendanced’unemassedogmatique.
FIG. 2– Variationdelamassesurl’ignoranceΩpourunaffaiblissementparlamesured’in-
dépendanced’unemassedogmatique.
γ =0.05).PourlasourceS nousconsidéronstroiscasmoinscatégoriqueenfixantlafiabilité
2
α = 0.9:lecasplutôtindépendant(β = 0.9,γ = 0.1),lecasplutôtdépendantpositivement
(β =0.1,γ =0.9)etlecasplutôtdépendantnégativement(β =0.1,γ =0.1).
Ainsi, le tableau 3 présente les résultats de la combinaison des deux sources en fonction
deshypothèsesd’indépendanceetdedépendance,positiveounégativedesdeuxsourcesS et
1
S .Nousconstatonsquelorsquelesdeuxsourcessontplutôtindépendantesl’unedel’autre,
2
lesrésultatsobtenussontprochesdeceuxobtenusparlacombinaisonconjonctivedirectesous
l’hypothèse d’indépendance. Lorsqu’une des deux sources est dépendante négativement de
l’autre,lamassetransféréesurl’ensemblevideestimportante.Lorsquel’unedesdeuxsources
est dépendante positivement la masse transférée sur l’ignorance mais de façon moins impor-
tante que pour la dépendance négative. En effet, l’ensemble vide est un élément absorbant