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Homotopy Type Theory Univalent Foundations of Mathematics T U F P HE NIVALENT OUNDATIONS ROGRAM I A S NSTITUTE FOR DVANCED TUDY Homotopy Type Theory Univalent Foundations of Mathematics The Univalent Foundations Program Institute for Advanced Study “HomotopyTypeTheory: UnivalentFoundationsofMathematics” (cid:13)c 2013TheUnivalentFoundationsProgram Bookversion: first-edition-967-g0b0914e MSC2010classification: 03-02,55-02,03B15 ThisworkislicensedundertheCreativeCommonsAttribution-ShareAlike3.0UnportedLicense. Toviewacopyof thislicense,visithttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/. Thisbookisfreelyavailableathttp://homotopytypetheory.org/book/. Acknowledgment ApartfromthegeneroussupportfromtheInstituteforAdvancedStudy,somecontributorstothebookwerepartially orfullysupportedbythefollowingagenciesandgrants: • AssociationofMembersoftheInstituteforAdvancedStudy:agranttotheInstituteforAdvancedStudy • AgencijazaraziskovalnodejavnostRepublikeSlovenije:P1–0294,N1–0011. • AirForceOfficeofScientificResearch:FA9550-11-1-0143,andFA9550-12-1-0370. ThismaterialisbasedinpartuponworksupportedbytheAFOSRundertheaboveawards. Anyopinions, findings,andconclusionsorrecommendationsexpressedinthispublicationarethoseoftheauthor(s)anddo notnecessarilyreflecttheviewsoftheAFOSR. • EngineeringandPhysicalSciencesResearchCouncil:EP/G034109/1,EP/G03298X/1. • EuropeanUnion’s7thFrameworkProgrammeundergrantagreementnr.243847(ForMath). • NationalScienceFoundation:DMS-1001191,DMS-1100938,CCF-1116703,andDMS-1128155. This material is based in part upon work supported by the National Science Foundation under the above awards. Anyopinions,findings,andconclusionsorrecommendationsexpressedinthismaterialarethoseof theauthor(s)anddonotnecessarilyreflecttheviewsoftheNationalScienceFoundation. • TheSimonyiFund:agranttotheInstituteforAdvancedStudy Preface IASSpecialYearonUnivalentFoundations A Special Year on Univalent Foundations of Mathematics was held in 2012-13 at the Institute forAdvancedStudy,SchoolofMathematics,organizedbySteveAwodey,ThierryCoquand,and VladimirVoevodsky. Thefollowingpeopleweretheofficialparticipants. PeterAczel EricFinster AlvaroPelayo BenediktAhrens DanielGrayson AndrewPolonsky ThorstenAltenkirch HugoHerbelin MichaelShulman SteveAwodey Andre´ Joyal MatthieuSozeau BrunoBarras DanLicata BasSpitters AndrejBauer PeterLumsdaine BennovandenBerg YvesBertot AssiaMahboubi VladimirVoevodsky MarcBezem PerMartin-Lo¨f MichaelWarren ThierryCoquand SergeyMelikhov NoamZeilberger Therewerealsothefollowingstudents,whoseparticipationwasnolessvaluable. CarloAngiuli GuillaumeBrunerie EgbertRijke AnthonyBordg ChrisKapulkin KristinaSojakova In addition, there were the following short- and long-term visitors, including student visitors, whosecontributionstotheSpecialYearwerealsoessential. JeremyAvigad RichardGarner NuoLi CyrilCohen GeorgesGonthier ZhaohuiLuo RobertConstable ThomasHales MichaelNahas Pierre-LouisCurien RobertHarper ErikPalmgren PeterDybjer MartinHofmann EmilyRiehl Mart´ınEscardo´ PieterHofstra DanaScott Kuen-BangHou JoachimKock PhilipScott NicolaGambino NicolaiKraus SergeiSoloviev iv Aboutthisbook Wedidnotsetouttowriteabook. Thepresentworkhasitsoriginsinourcollectiveattemptsto developanewstyleof“informaltypetheory”thatcanbereadandunderstoodbyahumanbe- ing,asacomplementtoaformalproofthatcanbecheckedbyamachine. Univalentfoundations iscloselytiedtotheideaofafoundationofmathematicsthatcanbeimplementedinacomputer proof assistant. Although such a formalization is not part of this book, much of the material presented here was actually done first in the fully formalized setting inside a proof assistant, andonlylater“unformalized”toarriveatthepresentationyoufindbeforeyou—aremarkable inversionoftheusualstateofaffairsinformalizedmathematics. Each of the above-named individuals contributed something to the Special Year — and so to this book — in the form of ideas, words, or deeds. The spirit of collaboration that prevailed throughouttheyearwastrulyextraordinary. Special thanks are due to the Institute for Advanced Study, without which this book would obviously never have come to be. It proved to be an ideal setting for the creation of this new branch of mathematics: stimulating, congenial, and supportive. May some trace of this unique atmosphere linger in the pages of this book, and in the future development of this new field of study. TheUnivalentFoundationsProgram InstituteforAdvancedStudy Princeton,April2013 Contents Introduction 1 I Foundations 15 1 Typetheory 17 1.1 Typetheoryversussettheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Functiontypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3 Universesandfamilies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Π 1.4 Dependentfunctiontypes( -types) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5 Producttypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Σ 1.6 Dependentpairtypes( -types) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.7 Coproducttypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.8 Thetypeofbooleans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.9 Thenaturalnumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.10 Patternmatchingandrecursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.11 Propositionsastypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.12 Identitytypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2 Homotopytypetheory 59 2.1 Typesarehighergroupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.2 Functionsarefunctors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.3 Typefamiliesarefibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4 Homotopiesandequivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.5 Thehighergroupoidstructureoftypeformers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.6 Cartesianproducttypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Σ 2.7 -types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.8 Theunittype. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Π 2.9 -typesandthefunctionextensionalityaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.10 Universesandtheunivalenceaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.11 Identitytype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 vi Contents 2.12 Coproducts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.13 Naturalnumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.14 Example: equalityofstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.15 Universalproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3 Setsandlogic 107 3.1 Setsandn-types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.2 Propositionsastypes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3 Merepropositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.4 Classicalvs.intuitionisticlogic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.5 Subsetsandpropositionalresizing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.6 Thelogicofmerepropositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.7 Propositionaltruncation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.8 Theaxiomofchoice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.9 Theprincipleofuniquechoice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.10 Whenarepropositionstruncated? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.11 Contractibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4 Equivalences 129 4.1 Quasi-inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.2 Halfadjointequivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.3 Bi-invertiblemaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.4 Contractiblefibers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.5 Onthedefinitionofequivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.6 Surjectionsandembeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.7 Closurepropertiesofequivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.8 Theobjectclassifier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.9 Univalenceimpliesfunctionextensionality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5 Induction 149 5.1 Introductiontoinductivetypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.2 Uniquenessofinductivetypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.3 W-types. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.4 Inductivetypesareinitialalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.5 Homotopy-inductivetypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.6 Thegeneralsyntaxofinductivedefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.7 Generalizationsofinductivetypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.8 Identitytypesandidentitysystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Contents vii Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6 Higherinductivetypes 179 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.2 Inductionprinciplesanddependentpaths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.3 Theinterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.4 Circlesandspheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.5 Suspensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.6 Cellcomplexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.7 Hubsandspokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.8 Pushouts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.9 Truncations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.10 Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.11 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.12 Theflatteninglemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.13 Thegeneralsyntaxofhigherinductivedefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 7 Homotopyn-types 221 7.1 Definitionofn-types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.2 UniquenessofidentityproofsandHedberg’stheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7.3 Truncations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.4 Colimitsofn-types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 7.5 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.6 Orthogonalfactorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 7.7 Modalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 II Mathematics 257 8 Homotopytheory 259 8.1 π (S1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 1 8.2 Connectednessofsuspensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 8.3 π ofann-connectedspaceandπ (Sn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 k≤n k<n 8.4 Fibersequencesandthelongexactsequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 8.5 TheHopffibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 8.6 TheFreudenthalsuspensiontheorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 8.7 ThevanKampentheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 8.8 Whitehead’stheoremandWhitehead’sprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 8.9 Ageneralstatementoftheencode-decodemethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 viii Contents 8.10 AdditionalResults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 9 Categorytheory 307 9.1 Categoriesandprecategories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 9.2 Functorsandtransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 9.3 Adjunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 9.4 Equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 9.5 TheYonedalemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 9.6 Strictcategories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 9.7 †-categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 9.8 Thestructureidentityprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 9.9 TheRezkcompletion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 10 Settheory 341 10.1 Thecategoryofsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 10.2 Cardinalnumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 10.3 Ordinalnumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 10.4 Classicalwell-orderings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 10.5 Thecumulativehierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 11 Realnumbers 373 11.1 Thefieldofrationalnumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 11.2 Dedekindreals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 11.3 Cauchyreals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 11.4 ComparisonofCauchyandDedekindreals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 11.5 Compactnessoftheinterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 11.6 Thesurrealnumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 Appendix 423 A Formaltypetheory 425 A.1 Thefirstpresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 A.2 Thesecondpresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 A.3 Homotopytypetheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 A.4 Basicmetatheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439