Höhere Funktionalanalysis Lokalkonvexe Vektorräume und Spektraltheorie Andreas Kriegl

247 Pages·2014·1.68 MB·German

by  Andreas Kriegl

H¨ohere Funktionalanalysis
Lokalkonvexe Vektorr¨aume und Spektraltheorie
Andreas Kriegl
Inhalt dieser LVA sind laut Curriculum des Master-Studiums: lokalkonvexe Vek-
torr¨aume sowie beschr¨ankte und unbeschr¨ankte Operatoren auf Hilbertr¨aumen.
Diese beiden Themen stehen nur in loser Beziehung zueinander und diese Zwei-
teilung spiegelt sich auch in diesem Skriptum wieder.
Der erste Teil behandelt eine Einfu¨hrung in die lokalkonvexe Theorie. Neben den
grundlegendenKonzeptenundKonstruktionenwerdenwirVerallgemeinerungender
zentralen S¨atze der Banach-Raum Theorie behandeln und auf die Dualit¨atstheorie
eingehen.
DerzweiteTeildrehtsichumdieSpektraltheoriebeschr¨ankterundunbeschr¨ankter
Operatoren. Ich habe mich dabei eng an die Kapitel VII–X in [5] gehalten.
Diese Skriptum ist aus einer Kombination von Skripten entstanden die ich zu ent-
sprechenden Vorlesungen in den Jahren ab 1991 gehalten habe.
Korrekturen zu den Vorg¨anger-Versionen verdanke ich (in chronologischer Reihen-
folge) Andreas Cap, Wilhelm Temsch, Bernhard Reisecker, Gerhard Totschnig,
LeonhardSummerer,MichaelaMattes,MurielNiederle,MartinAnderle,Bernhard
Lamel,KonniRietsch,OliverFasching,SimonHochgerner,RobertWechsberg,Ha-
raldGrobner,JohannaMichor,KatharinaNeusserundDavidWozabal.Ichm¨ochte
mich dafu¨r an dieser Stelle nochmals aufs herzlichste Bedanken.
Wien, im Februar 2012, Andreas Kriegl
Franz Berger verdanke ich eine umfassende Korrekturliste im September 2012.
Inhaltsverzeichnis
I Lokalkonvexe Vektorr¨aume 4
1. Seminormen 5
1.1 Grundlegendes 5
1.2 Wichtige Normen 6
1.3 Elementare Eigenschaften 9
1.4 Seminormen versus Topologie 12
1.5 Konvergenz und Stetigkeit 17
1.6 Normierbare R¨aume 18
2. Lineare Abbildungen und Vollst¨andigkeit 20
2.1 Stetige und beschr¨ankte Abbildungen 20
2.2 Vollst¨andigkeit 23
3. Konstruktionen 28
3.1 Allgemeine initiale Strukturen 28
3.2 Produkte 31
3.3 Allgemeine finale Strukturen 35
3.4 Endlich-dimensionale LKV 38
3.5 Metrisierbare LKV 40
3.6 Koprodukte 42
3.7 Strikt induktive Limiten 45
3.8 Vervollst¨andigung 46
3.9 Komplexifizierung 49
4. Baire-Eigenschaft 53
4.1 Baire’sche R¨aume 53
4.2 Gleichm¨aßige Beschr¨anktheit 58
4.3 Abgeschlossene und offene Abbildungen 62
5. Satz von Hahn Banach 66
5.1 Fortsetzungss¨atze 66
5.2 Trennungss¨atze 70
5.3 Dualr¨aume wichtiger Beispiele 71
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KAPITEL 0. INHALTSVERZEICHNIS
5.4 Einfu¨hrung in die Dualit¨atstheorie 76
5.5 Nochmals Kompakte Mengen 84
II Spektraltheorie 89
6 Spektral- und Darstellungstheorie von Banach-Algebren 90
Vorbemerkungen 90
N¨otiges aus der komplexen Analysis 99
Funktionenkalku¨l 110
Abh¨angigkeit des Spektrums von der Algebra 114
Kommutative Banach-Algebren 116
7 Darstellungstheorie von C∗-Algebren 123
Grundlegendes u¨ber C∗-Algebren 123
Spektral-Theorie Abelscher C∗-Algebren 127
Anwendungen auf Hermite’sche Elemente 130
Ideale und Quotienten von C∗-Algebren 134
Zyklische Darstellungen von C∗-Algebren 138
Irreduzible Darstellungen von C∗-Algebren 143
Gruppen-Darstellungen 147
8 Spektral-Theorie normaler Operatoren 165
Darstellungen Abelscher C∗-Algebren und Spektral-Maße 165
Spektral-Theorie normaler Operatoren 176
Spektral-Theorie kompakter Operatoren 179
Normale Operatoren als Multiplikations-Operatoren 183
Kommutanten und von Neumann Algebren 188
Multiplizit¨ats-Theorie fu¨r normale Operatoren 198
9 Spektral-Theorie unbeschr¨ankter Operatoren 203
Unbeschr¨ankte Operatoren 203
Adjungierter Operator 204
Invertierbarkeit und Spektrum 212
Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren 215
Spektrum symmetrischer Operatoren 218
Symmetrische Erweiterungen 220
Cayley-Transformation 224
Unbeschr¨ankte normale Operatoren 226
1-Parameter Gruppen und infinitesimale Erzeuger 236
Literaturverzeichnis 243
Index 245
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Teil I
Lokalkonvexe Vektorr¨aume
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1. Seminormen
In diesem Kapitel soll der ad¨aquate Begriff von Distanz auf Vektorr¨aumen ein-
gefu¨hrt werden, und seine elementaren Eigenschaften diskutiert werden.
1.1 Grundlegendes
1.1.1 Motivation und Definitionen.
AlleVektorr¨aume,diewirbetrachtenwerden,werdenalsGrundko¨rperKentwe-
der R oder C haben.
DistanzfunktionendaufVektorr¨aumenE solltenzus¨atzlichTranslations-invar-
iant sein, d.h. d(x,y) = d(a + x,a + y) erfu¨llen fu¨r alle x,y,a ∈ E. Dann ist
d(x,y) = d(0,y−x) =: p(y−x), wenn wir a := −x w¨ahlen, also d : E ×E → R
bereits durch die Abbildung p:E →R festgelegt.
Die Dreiecksungleichung d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) fu¨r d u¨bersetzt sich in die
Subadditivita¨t: p(x+y)≤p(x)+p(y).
Bezu¨glich der Skalarmultiplikation sollten wir wohl d(λx,λy) = λd(x,y) fu¨r λ > 0
also die
R+-Homogenita¨t: p(λx)=λp(x) fu¨r alle λ∈R+ :={t∈R:t>0}
und x ∈ E fordern. Beachte, daß dies p(0) = p(2·0) = 2p(0) also p(0) = 0 zur
Folge hat, und damit auch die Homogenit¨at p(0x) = p(0) = 0 = 0p(x) mit λ := 0
gilt.
Wir du¨rfen allerdings nicht die Homogenit¨at fu¨r alle λ ∈ K erwarten, denn dann
w¨are p linear, denn
?
p(x)+p(y)≥p(x+y)=p(−((−x)+(−y)))=−p((−x)+(−y))
≥−(p(−x)+p(−y))=p(x)+p(y).
Eine Funktion p : E → R heißt sublinear falls sie subadditiv und R+-homogen
ist. Beachte, daß dies genau dann der Fall ist, wenn
p(0)=0 und p(x+λ·y)≤p(x)+λp(y)∀x,y ∈E ∀λ>0
gilt.
VerwandtmitderSubadditivit¨atistdieKonvexit¨at:EineFunktionp:E →Rheißt
konvex (siehe [20, 4.1.16]) falls
p(λx+(1−λ)y)≤λp(x)+(1−λ)p(y) fu¨r alle 0≤λ≤1 und alle x,y ∈E,
also die Funktion auf jeder Strecke unterhalb der Sehne liegt. Mittels Induktion ist
dies ¨aquivalent zu p(cid:0)(cid:80)n λ x (cid:1)≤(cid:80)n λ p(x ) fu¨r alle n∈N, x ∈E und λ >0
i=1 i i i=1 i i i i
mit (cid:80)n λ =1.
i=1 i
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1.1 Grundlegendes 1.2.1
Fu¨r zweimal differenzierbare Funktionen f : R → R zeigt man in der Analysis
(siehe [20, 4.1.17]), daß diese genau dann konvex sind, wenn f(cid:48)(cid:48) ≥0 ist:
(⇐) Aus f(cid:48)(cid:48) ≥ 0 folgt mittels Mittelwertsatz, daß f(cid:48) monoton wachsend ist, denn
f(cid:48)(x1)−f(cid:48)(x0) =f(cid:48)(cid:48)(ξ)≥0 fu¨r ein ξ zwischen x und x . Sei also x <x , 0<λ<1
x1−x0 0 1 0 1
undx=x +λ(x −x ).ErneutnachdemMittelwertsatzexistierenξ ∈[x ,x]und
0 1 0 0 0
ξ ∈[x,x ] mit f(x)−f(x )=f(cid:48)(ξ )(x−x ) und f(x )−f(x)=f(cid:48)(ξ )(x −x),
1 1 0 0 0 1 1 1
also ist
λf(x )+(1−λ)f(x )−f(x)=
1 0
=(1−λ)(f(x )−f(x))+λ(f(x )−f(x))
0 1
=(1−λ)f(cid:48)(ξ )(x −x)+λf(cid:48)(ξ )(x −x)
0 0 1 1
=(1−λ)f(cid:48)(ξ )(−λ(x −x ))+λf(cid:48)(ξ )((1−λ)(x −x ))
0 1 0 1 1 0
(cid:16) (cid:17)
=λ(1−λ) f(cid:48)(ξ )−f(cid:48)(ξ ) (x −x )≥0,
1 0 1 0
d.h. f ist konvex.
(⇒) Es sei f konvex. Dann ist fu¨r x0 <x<x1 mit λ:= xx1−−xx00 bzw. λ:= xx11−−xx0:
f(x)−f(x ) f(x )−f(x ) f(x )−f(x)
0 ≤ 1 0 ≤ 1 .
x−x x −x x −x
0 1 0 1
Also ist f(cid:48)(x ) ≤ f(x1)−f(x0) ≤ f(cid:48)(x ), d.h. f(cid:48) ist monoton wachsend. Somit ist
0 x1−x0 1
f(cid:48)(cid:48)(x )=lim f(cid:48)(x1)−f(cid:48)(x0) ≥0.
0 x1(cid:38)x0 x1−x0
In der Definition von “sublinear” k¨onnen wir “subadditiv” ¨aquivalent durch “kon-
vex” ersetzen:
(⇐) Wir setzen λ:= 1 und erhalten
2
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
x+y 1 1
p(x+y)=2p ≤2 p(x)+ p(y) =p(x)+p(y).
2 2 2
(⇒) Es ist
(cid:16) (cid:17)
p λx+(1−λ)y ≤p(λx)+p((1−λ)y)=λp(x)+(1−λ)p(y).
Die Symmetrie d(x,y) = d(y,x) von d u¨bersetzt sich in die Symmetrie: p(x) =
p(−x)fu¨rallex∈E.ZusammenmitderR+-Homogenit¨atistsiesomitzufolgender
Homogenit¨at ¨aquivalent: p(λx)=|λ|p(x) fu¨r x∈E und λ∈R.
Eine Funktion p : E → R heißt Seminorm (kurz SN), falls sie subadditiv und
positiv homogen ist, d.h. p(λx)=|λ|p(x) fu¨r x∈E und λ∈K.
Eine Seminorm ist also eine sublineare Abbildung die zus¨atzlich p(λx) = p(x) fu¨r
alle x∈E und |λ|=1 erfu¨llt. Beachte, daß die Multiplikation mit einer komplexen
Zahl von Betrag 1 u¨blicherweise als Drehung interpretiert wird.
Jede Seminorm p erfu¨llt p≥0, denn 0=p(0)≤p(x)+p(−x)=2p(x).
EineSeminormpheißtNormfallszus¨atzlichp(x)=0⇒x=0gilt.Einnormier-
ter Raum ist ein Vektorraum zusammen mit einer Norm, vgl. [22, 5.4.2].
1.2 Wichtige Normen
1.2.1 Definition. ∞-Norm.
Die Supremums- oder ∞-Norm ist definiert durch
(cid:107)f(cid:107) :=sup{|f(x)|:x∈X},
∞
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1.2 Wichtige Normen 1.2.4
wobeif :X →Keinebeschr¨ankteFunktionaufeinerMengeX ist,vgl.[20,2.2.5].
Die Distanz d, die wir in der Anwendung [18, 1.3] auf dem Vektorraum C(I,R)
betrachtet haben, war gerade durch d(u ,u ) := (cid:107)u −u (cid:107) gegeben, siehe auch
1 2 1 2 ∞
[20, 4.2.8]
1.2.2 Beispiele.
Folgende Vektorr¨aume sind normierte R¨aume bezu¨glich der ∞-Norm:
1. Fu¨r jede Menge X der Raum B(X) der beschr¨ankten Funktionen X →K;
2. Fu¨r jeden kompakten Raum X der Raum C(X) der stetigen Funktionen
X →K;
3. Fu¨r jeden topologischen Raum X den Raum C (X) der beschr¨ankten steti-
b
gen Funktionen X →K;
4. Fu¨r jeden lokalkompakten Raum X der Raum C (X) der bei ∞ verschwin-
0
denden stetigen Funktionen X → K, d.h. jener Funktionen f : X → K, fu¨r
welche fu¨r jedes ε>0 eine kompakte Menge K ⊆X existiert, s.d.|f(x)|<ε
fu¨r alle x∈/ K;
5. VerwendetmangrobgesprochendasMaximumder∞-NormenderAbleitun-
gen, so wird fu¨r jede kompakte Mannigfaltigkeit M auch der Raum Cn(M)
der n-mal stetig differenzierbaren Funktionen M →K zu einem normierten
Raum;
Hingegenkannman(diese)NormennichtverwendenumeinenderfolgendenR¨aume
vernu¨nftig zu normieren:
6. C(X) fu¨r allgemeines X,
7. Den Raum C∞(M) der glatten Funktionen fu¨r Mannigfaltigkeiten M,
8. Cn(M) fu¨r nicht kompakte Mannigfaltigkeiten M,
9. Den Raum H(G)der holomorphen(i.e. komplex differenzierbaren)Funktio-
nen fu¨r Gebiete G⊆C.
1.2.3 Die Variationsnorm.
Es sei f : I → K eine Funktion und Z = {0 = x < ··· < x = 1} eine Partition
0 n
von I =[0,1]. Dann bezeichnet man die Variation von f auf Z mit
n
(cid:88)
V(f,Z):= |f(x )−f(x )|,
i i−1
i=1
vgl. [22, 6.5.11]. Unter der (totalen) Variation einer Funktion versteht man
V(f):=supV(f,Z).
Z
Mit BV(I) bezeichnen wir den Raum der Funktionen mit beschra¨nkter Varia-
tion,d.h.jenerFunktionenf fu¨rwelcheV(f)<∞gilt.Esistleichtnachzurechnen,
daß BV(I) ein Vektorraum ist, und V eine Seminorm auf BV(I) ist, welche genau
auf den konstanten Funktionen verschwindet.
1.2.4 Definition. p-Norm.
Fu¨r 1≤p<∞ ist die p-Norm definiert durch
(cid:18)(cid:90) (cid:19)1
p
(cid:107)f(cid:107) := |f(x)|pdx ,
p
X
[email protected](cid:13)c 25.Juni2014 7
1.2 Wichtige Normen 1.2.6
wobei |f|p : X → K eine “integrierbare” Funktion sei. Dies ist fu¨r p = 2 ein
kontinuierliches Analogon der Euklidischen Norm
(cid:118)
(cid:117) n
(cid:117)(cid:88)
(cid:107)x(cid:107)2 :=(cid:116) |xi|2
i=1
fu¨r x∈Rn oder x∈Cn (hier ist der Betrag bei |x |2 notwendig).
i
(cid:82)
Die Formel (cid:104)f|g(cid:105) := f(x)g(x)dx verallgemeinert das innere Produkt (cid:104).|.(cid:105) am
X
Kn.
Klarerweise gilt (cid:107)fg(cid:107) ≤ (cid:107)f(cid:107) ·(cid:107)g(cid:107) . Um das innere Produkt zu verwenden um
1 ∞ 1
Winkel zu messen, ist die Ungleichung von Cauchy-Schwarz (cid:107)fg(cid:107) ≤ (cid:107)f(cid:107) ·(cid:107)g(cid:107)
1 2 2
notwendig, siehe [18, 6.2.1]. Eine gemeinsame Verallgemeinerung ist die
1.2.5 H¨older-Ungleichung.
1 1
|(cid:104)f|g(cid:105)|≤(cid:107)fg(cid:107) ≤(cid:107)f(cid:107) ·(cid:107)g(cid:107) fu¨r + =1 mit 1≤p,q ≤∞
1 p q p q
Vgl. [23, 5.36].
(cid:90) (cid:18)(cid:90) (cid:19)1 (cid:18)(cid:90) (cid:19)1
p q
bzw. |fg|≤ |f|p |g|q
Beweis. Sei vorerst (cid:107)f(cid:107) = 1 = (cid:107)g(cid:107) . Dann ist |f(x)g(x)| ≤ |f(x)|p + |g(x)|q,
p q p q
denn log ist konkav (d.h. −log ist konvex, denn log(cid:48)(cid:48)(x)=− 1 <0) und somit ist
x2
log(a1/p·b1/q)= 1loga+ 1logb≤log(1a+ 1b) fu¨r a:=|f(x)|p und b:=|g(x)|q,
p q p q
d.h. ap1 ·bq1 ≤ 1a+ 1b.
p q
Durch Integration erhalten wir
(cid:90) (cid:107)f(cid:107)p (cid:107)g(cid:107)q 1 1
(cid:107)fg(cid:107) = |fg|≤ p + q = + =1.
1 p q p q
Sei nun α := (cid:107)f(cid:107) und β := (cid:107)g(cid:107) beliebig (ungleich 0). Dann k¨onnen wir auf
p q
f := 1f und g := 1g den ersten Teil anwenden und erhalten
0 α 0 β
1
(cid:107)fg(cid:107) =(cid:107)f g (cid:107) ≤1⇒(cid:107)fg(cid:107) ≤(cid:107)f(cid:107) ·(cid:107)g(cid:107) .
αβ 1 0 0 1 1 p q
(cid:82) (cid:82)
Die fehlende Ungleichung |(cid:104)f|g(cid:105)| = | fg¯| ≤ |f||g¯| = (cid:107)fg(cid:107) ist offensichtlich.
1
1.2.6 Minkowski-Ungleichung.
(cid:107)f +g(cid:107) ≤(cid:107)f(cid:107) +(cid:107)g(cid:107) , d.h. (cid:107) (cid:107) ist eine Seminorm
p p p p
Vgl. [20, 2.2.4], [21, 2.72], [23, 5.37].
Beweis. Mit 1 + 1 =1 gilt
p q
(cid:90) (cid:90) (cid:90)
(cid:107)f +g(cid:107)p = |f +g|p ≤ |f||f +g|p−1+ |g||f +g|p−1
p
≤(cid:107)f(cid:107) ·(cid:107)(f +g)p−1(cid:107) +(cid:107)g(cid:107) · (cid:107)(f +g)p−1(cid:107) (H¨olderunglg.)
p q p q
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
((cid:82)|f+g|(p−1)q)1/q
p
=((cid:107)f(cid:107) +(cid:107)g(cid:107) )·(cid:107)f +g(cid:107)p/q da q = ⇒
p p p p−1
p(1−1)
(cid:107)f +g(cid:107) =(cid:107)f +g(cid:107) q ≤(cid:107)f(cid:107) +(cid:107)g(cid:107) .
p p p p
[email protected](cid:13)c 25.Juni2014 8
1.2 Wichtige Normen 1.3.3
1.2.7 Beispiele.
1. Es ist der Raum C(I) der stetigen Funktionen ein normierter Raum bezu¨g-
lich der p-Norm.
2. Am Raum R(I) der Riemann-integrierbaren Funktionen ist hingegen die p-
Norm keine Norm sondern nur ein Seminorm, da eine Funktion f, die nur
an endlich vielen Punkten nicht verschwindet, trotzdem (cid:107)f(cid:107) =0 erfu¨llt.
p
3. Esistauch(cid:96)peinnormierterRaum,wobei(cid:96)pdenRaumderFolgenn(cid:55)→x ∈
n
K bezeichnet, die p-summierbar sind, d.h. fu¨r welche (cid:80)∞ |x |p < ∞ gilt.
n=1 n
DieserRaumkannmitdenlinksstetigenTreppenfunktionenf :{t:t≥0}→
K identifiziert werden, die h¨ochstens in den Punkten aus N Sprungstellen
haben (f(t):=x fu¨r n≤t<n+1).
n
1.3 Elementare Eigenschaften
1.3.1 Lemma. Umgekehrte Dreiecksungleichung.
Jede Seminorm p:E →R erfu¨llt die umgekehrte Dreiecksungleichung:
|p(x )−p(x )|≤p(x −x ).
1 2 1 2
Beweis. Es gilt:
p(x )≤p(x −x )+p(x )⇒p(x )−p(x )≤p(x −x )
1 1 2 2 1 2 1 2
und p(−x)=p(x)⇒p(x )−p(x )≤p(x −x )=p(x −x )
2 1 2 1 1 2
⇒|p(x )−p(x )|≤p(x −x )
1 2 1 2
Wir wollen nun eine geometrischere Beschreibung von Seminormen p geben. Idee
dabei ist es die Niveaufl¨achen p−1(c) zu untersuchen.
1.3.2 Definition. B¨alle.
Es sei p:E →R eine Abbildung und c∈R. Dann setzen wir
p :={x:p(x)<c} und p :={x:p(x)≤c},
<c ≤c
und nennen dies (falls p sublinear ist) den offenen und den abgeschlossenen
p-Ball um 0 mit Radius c.
1.3.3 Lemma. B¨alle sublinearer Abbildungen.
Fu¨r jede sublineare Abbildung 0≤p:E →R und c>0 sind p und p konvexe
≤c <c
absorbierende Teilmengen von E. Es ist p = c·p sowie p = c·p , und
≤c ≤1 <c <1
weiters p(x)=c inf{λ>0:x∈λ·p }.
≤c
Man kann also die Abbildung p aus dem Einheitsball p zuru¨ckgewinnen.
≤1
Dabei heißt eine Menge A ⊆ E konvex (vgl. [22, 5.5.17]), falls aus λ ≥ 0 mit
i
(cid:80)n λ = 1 und x ∈ A folgt, daß (cid:80)n λ x ∈ A. Es genu¨gt dies fu¨r n = 2 zu
i=1 i i i=1 i i
fordern, denn fu¨r n < 2 ist es offensichtlich und aus n = 2 folgt es fu¨r alle n > 2
mittels Induktion ((cid:80)ni=+11λixi =λn+1xn+1+(1−λn+1)(cid:80)ni=1 1−λλni+1 xi).
Eine Menge A heißt absorbierend, falls ∀x∈E ∃λ>0:x∈λ·A.
Beweis. Wegen c>0 gilt:
(cid:110) (cid:16)x(cid:17) 1 (cid:111)
p ={x:p(x)≤c}= x:p = p(x)≤1
≤c c c
={cy :p(y)≤1}=c·{y :p(y)≤1}=c·p
≤1
[email protected](cid:13)c 25.Juni2014 9
1.3 Elementare Eigenschaften 1.3.5
und analog fu¨r p .
<c
DieKonvexit¨atvonp =p−1{λ:λ≤c}undp =p−1{λ:λ<c}folgtsofortaus
≤c <c
derleichteinzusehendenEigenschaft,daßUrbildervonnachuntenunbeschr¨ankten
Intervallen unter konvexen Funktionen konvex sind.
Um einzusehen, daß p = c·p absorbierend ist fu¨r c > 0, genu¨gt es c = 1
≤c ≤1
zu setzen. Sei x ∈ E beliebig. Falls p(x) = 0, so ist x ∈ p . Andernfalls ist x ∈
≤1
p(x)·p ,dennx=p(x)·y,wobeiy := 1 xistundp(y)=p( 1 x)= 1 p(x)=1.
≤1 p(x) p(x) p(x)
Damit ist aber auch die Obermenge p ⊇p absorbierend.
<c ≤c/2
Wegen folgender A¨quivalenzen fu¨r λ>0 ist p(x)=inf{λ>0:x∈λ·p }:
≤1
x∈λ·p =p ⇔p(x)≤λ,
≤1 ≤λ
also
inf{λ>0:x∈λp }=inf{λ>0:λ≥p(x)}=p(x).
≤1
1.3.4 Lemma. B¨alle von Seminormen.
Fu¨r jede Seminorm p : E → R und c > 0 sind p und p absorbierend und
<c ≤c
absolut-konvex und
p(x)=inf{λ>0:x∈λ·p =p }.
≤1 ≤λ
Eine Teilmenge A ⊆ E heißt balanziert, falls fu¨r alle x ∈ A und |λ| = 1 auch
λ·x∈A.
Allgemeiner heißt eine Teilmenge A ⊆ E absolut-konvex, falls aus x ∈ A und
i
λ ∈K mit (cid:80)n |λ |=1 folgt, daß (cid:80)n λ x ∈A.
i i=1 i i=1 i i
Sublemma.
Eine Menge A ist genau dann absolut-konvex, wenn sie konvex und balanziert ist.
Beweis.(⇒)istklar,dajedekonvex-Kombinationaucheineabsolut-konvex-Kom-
bination ist und fu¨r |λ|=1 auch λx eine absolut-konvex-Kombination ist. Beachte
dabei, daß es genu¨gt den Fall n = 2 zu betrachten, denn jener fu¨r n = 1 folgt aus
λ x =λ x +0x .
1 1 1 1 1
(⇐) Es sei (cid:80)n |λ |=1 dann ist
i=1 i
n
(cid:88)λ x = (cid:88) λ x = (cid:88) |λ | λi x ∈A,
i i i i i |λ | i
i
i=1 λi(cid:54)=0 λi(cid:54)=0
(cid:12) (cid:12)
denn (cid:12)(cid:12)|λλii|(cid:12)(cid:12) = 1 und somit ist wegen der Balanziertheit |λλii|xi ∈ A, und folglich
wegen der Konvexit¨at auch (cid:80)λi(cid:54)=0|λi||λλii|xi ∈A.
DieserBeweiszeigtweiters,daßesauchbei“absolut-konvex”genu¨gtdenFalln=2
zu verlangen.
Beweis des Lemmas 1.3.4 . Wegen des vorigen Lemmas und des Sublemmas
ist nur die Balanziertheit zu zeigen, und diese ist wegen der positiven Homogenit¨at
von p offensichtlich.
1.3.5 Definition. Minkowski-Funktional.
Wir wollen nun aus Mengen A zugeh¨orige Seminormen p konstruieren. Dazu defi-
nieren wir das Minkowski-Funktional p durch
A
p (x):=inf{λ>0:x∈λ·A}∈R∪{+∞} fu¨r jedes x∈E.
A
[email protected](cid:13)c 25.Juni2014 10