(Hoch)Schulmathematik. Ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni

467 Pages·2017·3.347 MB·German

by  Tobias Glosauer

Tobias Glosauer
(Hoch)Schulmathematik
Ein Sprungbrett vom Gymnasium
an die Uni
2., überarbeitete und erweiterte Auflage
TobiasGlosauer
Johannes-Kepler-Gymnasium
Reutlingen,Deutschland
ISBN978-3-658-14762-4 ISBN978-3-658-14763-1(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-14763-1
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tebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar.
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Vorwort
Was soll und kann dieses Buch?
Dieses Buch richtet sich an Schu¨lerinnen und Schu¨ler der gymnasialen Oberstufe,
die in die Hochschulmathematik reinschnuppern m¨ochten, aber auch an Studie-
rende im ersten Semester, die noch etwas mathematische Starthilfe gebrauchen
k¨onnen.
Urspru¨nglich entstand dieser Text als Begleitmaterial zum Vertiefungskurs Ma-
”
thematik“,deramKepler-GymnasiumReutlingenvon2012–2014gehaltenwurde.
DiesesWahlfach MathePlus“ wirdgeradeanvielenSchulenBaden-Wu¨rttembergs
”
eingefu¨hrt, um den mathematischen U¨bergang an die Hochschule zu erleichtern.
Aber auch wenn es keinen solchen Kurs an deiner Schule gibt, kannst du dieses
Buch mit viel Gewinn im Selbststudium durcharbeiten.
In Teil I lernst du grundlegendes mathematisches Handwerkszeug: Es geht los mit
einer Einfu¨hrung in die (Aussagen-)Logik, gefolgt von mathematischer Beweis-
methodik sowie etwas Mengenlehre.
Teil II stellt eine Einfu¨hrung in die Analysis dar: Nach intensivem Studium des
Grenzwertbegriffs wird zur Abrundung noch Grundwissen in Differenzial- und In-
tegralrechnung vermittelt (hiervon ist dir vieles bereits aus der Schule bekannt).
Nachdem in Teil IV eine gru¨ndliche Einfu¨hrung in die komplexen Zahlen erfolgt
ist, werden die Anfangsgru¨nde der Linearen Algebra erforscht, wobei wir uns mit
Vektorr¨aumen, linearen Abbildungen und Matrizen bescha¨ftigen. In beiden Teilen
bekommst du ein Gefu¨hl dafu¨r, was dir am Anfang einer Mathe-Vorlesung des er-
sten Semesters alles um die Ohren fliegen wird.
Zwischendrin, sozusagen zum Verschnaufen von den vielen abstrakten Konzep-
ten, wird in Teil III ganz handfest gerechnet: Du lernst Gleichungen und Unglei-
chungen zu lo¨sen (bzw. dein Schulwissen zu reaktivieren und zu festigen), sowie
komplizierte Integrale zu knacken. Auf diese Rechenfertigkeiten wird vor allem
innaturwissenschaftlich-technischenStudieng¨angenwiez.B.Maschinenbaugroßen
Wert gelegt.
Danksagungen
Ich mo¨chte all denjenigen danken, die mich beim Entstehen dieses Buches un-
terstu¨tzt haben. An erster Stelle danke ich ganz herzlich meiner Kollegin Marion
Rauscher, da ich mich ohne sie vermutlich niemals an dieses a¨ußerst zeitintensive
Projekt herangewagt ha¨tte. Wir haben das erste Jahr des Vertiefungskurses Ma-
”
thematik“ im Wechsel unterrichtet und dabei entstanden die Kapitel 3 und 7 in
gemeinsamer Arbeit. Bei vielen anderen Kapiteln war sie mir beim Editieren und
Korrekturlesen extrem hilfreich.
EinriesigesDankesch¨ongebu¨hrtmeinerliebenFrau(undunerbittlichenKorrekto-
rin) Vera, die mir vor allem in der Endphase dieses Buchprojekts eine unsch¨atzbar
großeHilfewar–sowohlmathematischalsauchbeimAbwendenvonPanikattacken
durch viel gutes Zureden.
vi
Vielen Dank natu¨rlich auch an meine Schu¨lerinnen und Schu¨ler, also an
Adi,Anja,Annabel,Benno,Carlotta,Dani,Fabi,Felix,Franz,Franzi,Henrik,
Jakob, Jan-Hendrik, Jooon, Joni, Julia, Juliane, Kai, Kenji, Kosta, Leonie,
Lukas, Marco, Marie, Marius, Marvin, Matze, Michi, Mirjam, Moritz, Nico,
Pasi,Patrick,Peer,Sabrina,Sam,Simon,Timon,Tobi(2x),VerenaundVero.
Das Spektrum ihrer Blicke und Gesichtsausdru¨cke (von Ah ja, klar!“ u¨ber Jetzt
” ”
hab ich’s kapiert!“ bis hin zu H¨ah, was will der?“ und Wann ist endlich 15.20
” ”
Uhr?“)warstetseinguterIndikatordafu¨r,obderStoffverst¨andlichodervielleicht
doch zu abstrakt bzw. zu hastig erkla¨rt war. Durch ihre Fragen und Kommenta-
re haben einige von ihnen erheblich zur Verbesserung des Textes beigetragen und
zudem haben sie noch zahlreiche Tippfehler und Lu¨cken aufgespu¨rt. Alle verblei-
bendenFehlergehenselbstversta¨ndlichaufihrKonto;h¨attetihrhaltaufmerksamer
gelesen, ihr Schnarchnasen! Aber Spaß beiseite: Alle mir noch bekannt werdenden
Fehler und deren Korrektur werden auf der Homepage
http://gl.jkg-reutlingen.de/MathePlus/
erscheinen. Hinweise auf Fehler sowie jede andere Art von Ru¨ckmeldung werden
dankbar entgegengenommen; einfach eine Mail an [email protected] senden.
Zuru¨ck zum eigentlichen Dank: Ich danke meinem Kollegen Oliver Redner ganz
herzlich fu¨r den LATEX-Support und Dr. F. Haug fu¨r das Beantworten einer Frage
zur Logik.
Schließlichmo¨chteichFrauSchmickler-HirzebruchvomSpringerVerlagwa¨rmstens
dafu¨r danken, dass sie sich u¨berhaupt auf dieses Projekt eingelassen hat sowie fu¨r
ihre vielen konstruktiven Tipps und Ratschl¨age. Ebenfalls besten Dank an Frau
Gerlach vom Springer Verlag fu¨r die a¨ußerst angenehme Zusammenarbeit.
Reutlingen, im Mai 2014 Tobias Glosauer
Vorwort zur zweiten Auflage
U¨ber das zeitnahe Erscheinen dieser zweiten Auflage freue ich mich sehr. Das Ka-
pitel u¨ber Mengen und Abbildungen wurde u¨berarbeitet und erweitert, bei den
komplexen Zahlen kam ein neues Beispiel hinzu, und am Ende des Buches gibt es
nunnochmehrU¨bungsmaterialinFormeinigerKlausurenausmeinenMathePlus-
Kursen. Es wurde etwas am Layout gefeilt und ein paar (Tipp-)Fehler konnten
ausgemerzt werden; ich bedanke mich recht herzlich bei allen, die mich darauf
hingewiesen haben: V.Bilkic, S.Friedmann, L.Hatzky, Dr.R.Hatzky, H.Kru¨ger,
W.Messner, P.Necker, C.Nieder, A.Sieck, T.Stein, J.Waidner und A.Wenger.
Ein großes Dankesch¨on geht wieder an meine Frau fu¨rs Korrekturlesen der Erwei-
terungen.
Reutlingen, im September 2016 Tobias Glosauer
Inhalt
I Formales Fundament 1
1 Ein wenig Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Aussagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Junktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 nicht“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
”
1.1.4 und“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
”
1.1.5 (entweder) oder“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
”
1.1.6 wenn ..., dann ...“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
”
1.1.7 ... genau dann, wenn ...“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
”
1.1.8 Aussagenlogische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.9 Aussagenlogische A¨quivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Ausblick auf die Pra¨dikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Pr¨adikate und Individuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Der Allquantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Der Existenzquantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Beweismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Exkurs: Grundwissen u¨ber Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Direkter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Indirekter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Kontraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Widerspruchsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Beweis durch vollsta¨ndige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Der Mengenbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Teilmengen und Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Der Abbildungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2 Bild- und Urbildmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.3 In-, Sur- und Bijektivit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.4 Verkettung und Umkehrabbildung. . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.5 M¨achtigkeitsvergleiche unendlicher Mengen . . . . . . . . . . . 55
3.2.6 Ausblick: M¨achtig und u¨berm¨achtig . . . . . . . . . . . . . . . . 63
viii Inhalt
II Anf¨ange der Analysis 67
4 Grenzwerte von Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.1 Der Grenzwertbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.2 Die Grenzwertsa¨tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.3 Exkurs: Die Vollst¨andigkeit von R. . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.4 Ausblick: Cauchyfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.5 Monotone Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.6 Rekursive Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2.1 Reihen als spezielle Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2.2 Die geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.3 Die eulersche Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.4 Konvergenzkriterien fu¨r Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.5 Ausblick: Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2.6 Ausblick: e-Funktion und natu¨rlicher Logarithmus. . . . . . . . 109
5 Grundwissen Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
5.1 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.1 Die Steigung einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.2 Der Grenzwert der Sekantensteigungen . . . . . . . . . . . . . . 115
5.1.3 Die Tangentengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1.4 Lineare Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1.5 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.1 Faktor- und Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.2 Die Potenzregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.3 Die Ableitung von Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.4 Die Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2.5 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.6 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2.7 Die Quotientenregel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2.8 Vermischte U¨bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.3 Ausblick: Ableiten von Potenzreihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4 Ausblick: Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6 Grundwissen Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
6.1 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2.1 Die Streifenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2.2 Das Darboux-Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.2.3 Das Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.2.4 Integral und Fl¨ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.3 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung . . . . . . . . . . 171
6.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Inhalt ix
III Rechenfertigkeiten 179
7 L¨osen von (Un)Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181
7.1 Polynom(un)gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.1.1 Lineare und quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 181
7.1.2 Gleichungen h¨oheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.1.3 Polynomungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.2 Bruch(un)gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.2.1 Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.2.2 Bruchungleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.3 Wurzel(un)gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.3.1 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.3.2 Wurzelungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.4 Betrags(un)gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.4.1 Betragsgleichungen und Betragsfunktionen . . . . . . . . . . . . 196
7.4.2 Betragsungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.5 Exponential(un)gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.5.1 Exponentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.5.2 Exponentialungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8 Die Kunst des Integrierens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206
8.1 Produktintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.2 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.2.1 Die Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.2.2 Trigonometrische Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.2.3 Hyperbolische Substitution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.3 Integration durch Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.4 Vermischte U¨bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
IV Abstrakte Algebra 231
9 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233
9.1 U¨berblick u¨ber die bekannten Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.2 Einfu¨hrung der komplexen Zahlen C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.2.1 Konstruktion von C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.2.2 Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.2.3 Komplexe Konjugation und Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.3 Der K¨orper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.3.1 Was ist ein K¨orper?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.3.2 Unm¨oglichkeit der Anordnung von C . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.3.3 Ausblick: Der Quaternionenschiefko¨rper . . . . . . . . . . . . . 252
9.4 Polarform komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.4.1 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.4.2 Eulers Identita¨t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.4.3 Multiplikation in Polarform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
x Inhalt
9.4.4 Komplexe Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.4.5 Exkurs: Beweis trigonometrischer Identit¨aten . . . . . . . . . . 263
9.5 Algebraische Gleichungen in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.5.1 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.5.2 Die Kreisteilungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.5.3 Ausblick: Der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . 270
10 Grundzu¨ge der Linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273
10.1 Vektorra¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
10.1.1 Zwei nur auf den ersten Blick verschiedene Beispiele . . . . . . 273
10.1.2 Die Vektorraumaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
10.1.3 Beispiele fu¨r Vektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.1.4 Untervektorr¨aume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
10.1.5 Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
10.2 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10.2.1 Definition und Beispiele linearer Abbildungen . . . . . . . . . . 293
10.2.2 Kern und Bild einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . 297
10.2.3 Isomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.3 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.3.1 Die Matrix einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.3.2 Das Matrixprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
10.4 Ausblick: LGS und Determinanten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.4.1 Homogene LGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.4.2 Die Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
10.4.3 Inhomogene LGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
V Anhang 331
Ein paar U¨bungsklausuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333
Klausur zu Logik und Beweismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Klausur zu Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Klausur zu Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Klausur zu (Un)Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Klausur zu Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
Klausur zu komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Klausur zur Linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
L¨osungen zu den U¨bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341
L¨osungen zu Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
L¨osungen zu Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
L¨osungen zu Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
L¨osungen zu Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
L¨osungen zu Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
L¨osungen zu Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
L¨osungen zu Kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
Inhalt xi
L¨osungen zu Kapitel 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
L¨osungen zu Kapitel 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
L¨osungen zu Kapitel 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .465
Teil I
Formales Fundament