Hochschildkohomologie von EI-Kategorienalgebren [thesis]

104 Pages·2011·0.861 MB·German

by  Reiner Hermann

Diplomarbeit
Hochschildkohomologie
von
EI-Kategorienalgebren
Universität Paderborn
Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik
Institut für Mathematik
Reiner Hermann
Matrikelnummer: 6298920
15. März 2010

Erklärung der Selbstständigkeit
Ich versichere, dass ich die folgende Diplomarbeit ohne Hilfe Dritter und aus-
schließlich unter Zuhilfenahme der angegeben Quellen und Hilfsmittel angefertigt
habe. Die den benutzten Quellen wörtlich oder inhaltlich entnommenen Stellen
habe ich als solche kenntlich gemacht.
Paderborn, den 15. März 2010

Danksagung
Ich danke Henning Krause, der durch eine Vielzahl von Vorlesungen und Semi-
naren zur Darstellungstheorie mein Interesse für diesen mathematischen Zweig
geweckt und gefördert hat. Danken möchte ich ihm auch für die Vergabe die-
ses Themas und die Betreuung während des Entstehungsprozesses dieser Arbeit.
Viele seiner zahlreichen Hinweise führten maßgeblich dazu, dass ich mir gewisser
Sachverhalte bewusst wurde.
FürRatschlägebeikonkretenRechnungen unddasLesendesManuskriptes möch-
te ich meinen Dank gegenüber Karsten Dietrich, Neele Drangmeister und Jan
Möllers ausprechen. Bei Fei Xu bedanke ich mich für anregende Konversationen.
Schließlich danke ich meiner Familie und meinen Freunden für all ihren nichtma-
thematischen Rückhalt. Insbesondere geht dieser Gruß an meine Eltern, die mir
meine Ausbildung ermöglichten und mich dabei unaufhaltsam unterstützten.

Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I Grundlagen 7
§1 Graduierte Algebren und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§2 Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§3 Ext-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II Hochschildtheorie 17
§4 Hochschildkohomologieringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§5 Das Hochschild-Cup-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§6 Endlichkeitseigenschaften von Hochschildkohomologieringen . . . 24
§7 Exkurs: Affine Varietäten und Schemata . . . . . . . . . . . . . . 28
§8 Trägervarietäten und deren Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . 31
§9 Kohomologieringe und Varietäten bei Gruppenalgebren . . . . . . 36
IIIKategorienalgebren 39
§10 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften . . . . . . . . . . . 39
§11 Darstellungstheoretische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§12 Homologische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§13 Exkurs: Limiten, Kolimiten und Kan-Erweiterungen . . . . . . . . 48
§14 Die Kategorie der Faktorisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
§15 Das Cup-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
§16 Hochschildtheorie von Kategorienalgebren . . . . . . . . . . . . . 65
IVEin Gegenbeispiel zur Vermutung aus Kapitel II 77
§17 Exkurs: Einpunkterweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§18 Die Kategorie E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
0
§19 Die Algebra HH∗(kE )/N ist nicht endlich erzeugt . . . . . . . . . 82
0
§20 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Literaturverzeichnis 93

Einleitung
Sei A eine assoziative Algebra über einem Körper. (Ko-)Homologietheorie dient
der Suche nach algebraischen Invarianten von A. Eine erstmalige Betrachtung
von Kohomologiegruppen eines A-A-Bimoduls (dies sind die sogenannten Hoch-
schildkohomologiegruppen) wurde von Hochschild durchgeführt. Während er le-
diglich die additive Struktur dieser Gruppen verwendete, um auf Eigenschaf-
ten der zugrundeliegenden Algebra zu schließen, versieht man in der modernen
Darstellungstheorie gewisse Hochschildkohomologiegruppen mit einer graduier-
ten Ringstruktur. Das Studium dieser Ringe erweist sich als fruchtbar und gibt
Rückschlüsse aufModulkategorienendlichdimensionaler Algebren.Eine indiesem
Zusammenhang interessante Fragestellung ist, ob die aus den Hochschildkohomo-
logiegruppen gewonnenen Ringe endlich erzeugt sind.
Im Jahr 1944 publizierte Hochschild seinen wegweisenden Artikel On the coho-
mology groups of an associative algebra (siehe [22]). Dort beschreibt er zu einer
gegebenen Algebra A über einem Körper k einen Kokomplex
0 → (B : M) → (B : M) → (B : M) → (B : M) → ···
−1 0 1 2
von k-Moduln. Für n ≥ −1 sei dabei B = A⊗k(n+2), das (n+2)-fache Tensorpro-
n
dukt von A über k und (B : M) die Menge aller k-linearen Homomorphismen
n
von B in einen A-A-Bimodul M. Es werde (B : M) durch
n −1
(a·f)(a′) = af(a′), (f ·a)(a′) = f(aa′)−f(a)a′, a,a′ ∈ A, f ∈ (B : M),
−1
zu einem A-A-Bimodul. Die m-te Kohomologiegruppe dieses Komplexes bezeich-
neteHochschild mitHm(A,M).Erkonnteetwa zeigen,dassAgenaudannsepara-
belist (d.h.für jedeKörpererweiterung L ⊇ k ist dieAlgebra A⊗ Lhalbeinfach),
k
wenn H1(A,M) = 0 für jeden A-A-Bimodul M gilt. Statt Bimoduln betrachtet
man mittlerweile Linksmoduln über der sogenannten einhüllenden Algebra von
A. Dies ist per Definition Ae = A⊗ Aop. Da Ae-Linksmoduln nichts anderes als
k
A-A-Bimoduln sind, stimmen die Theorien überein, Formalisierungen fallen aber
leichter. Tatsächlich lässt sich etwa zeigen, dass man obigen Kokomplex (bis auf
Kettenhomotopie) aus einer projektiven Auflösung
B : ··· → B → B → B → B = A → 0
2 1 0 −1
durch Anwenden von Hom (−,M) erhält, woraus Hm(A,M) = Extm (A,M)
Ae Ae
für alle m ≥ 0 folgt. Es heißt B die Standard- oder Bar-Auflösung (in Anleh-
nung an die aus der Gruppentheorie bekannte Bar-Auflösung). Die von Hoch-
schild eingeführten Kohomologiegruppen für A nennt man nunmehr Hochschild-
kohomologiegruppen und verwendet die Bezeichnung HHm(A,M) = Hm(A,M).
1
Einleitung
Wählt man den Bimodul A, so erhält man den sogenannten Hochschildkohomo-
logiering HH∗(A) = HH∗(A,A) von A. In der Tat verleiht das Yoneda-Produkt
diesem graduierten k-Modul die Struktur einer graduierten k-Algebra. Diese ist
im Allgemeinen schwer zu verstehen und daher ist der Fundus an bekannten Ei-
genschaften gering. Ein vertrauter und überaus wichtiger Fakt ist jedoch, dass
der Hochschildkohomologiering einer Algebra A graduiert kommutativ ist. Dies
bedeutet, dass für alle homogenen Elemente ξ und ξ′ von HH∗(A) die Gleichung
ξξ′ = (−1)degξdegξ′ξ′ξ erfüllt ist. Außerdem weiß man, dass HH∗(A) als graduierte
k-Algebra isomorph zum Endomorphismenring von A in D(Ae) ist. Insbesondere
ist die Multiplikation als Komposition von Morphismen in D(Ae) interpretierbar,
was etwas anschaulicher scheint, alsdie durch das Yoneda-Produkt gegebene mul-
tiplikative Struktur. Während Hochschild in seinem Artikel lediglich die additive
Struktur von HH∗(A,M) in Zusammenhang mit der Ringstruktur von A brachte,
untersucht man heutzutage (inspiriert von Methoden der Gruppentheorie) so-
genannte Trägervarietäten. Dies sind Untervarietäten des Primidealsprektrums
einer graduierten Unteralgebra des Hochschildkohomologierings von A. Folglich
beziehen sie die Ringstruktur von HH∗(A) ein. Gewisse Eigenschaften der Träger-
varietäten lassen Rückschlüsse auf die Modulkategorie mod(A) zu. Zur Definition
von Trägervarietäten betrachtet man den charakteristischen Homomorphismus
eines A-Moduls M:
Φ : HH∗(A) → Ext∗(M,M), ξ 7→ ξ ⊗ M.
M A A
Die Abbildung Φ ist für jeden A-Modul M ein Homomorphismus von graduier-
M
ten k-Algebren und macht Ext∗(M,N) zu einem graduierten HH∗(A)-HH∗(A)-
A
Bimodul. Für eine graduierte Unteralgebra H von HH∗(A) definiert man die Trä-
gervarietät eines endlichdimensionalen Moduls M als
V (M) = {m ∈ MaxSpec(H/N ) | Ann (Ext∗(M,M)) ⊆ π−1(m)},
H H H A
wobei N das von allen homogenen nilpotenten Elementen in H erzeugte Ide-
H
al und π : H → H/N die kanonische Surjektion bezeichnet. Die Trägervarietät
H
V (M) ist nichtleer, denn es gibt ein ausgezeichnetes Ideal m ∈ V (M). Folglich
H gr H
sagtman,dassdieVarietäteinesModulsM trivialsei,wennV (M) = {m }.Un-
H gr
ter gewissen Bedingungen gilt, dass die Trägervarietät von M genau dann trivial
ist,wenn M projektiv ist.Generellistbekannt,dassM beinicht-trivialer Varietät
unendliche projektive und unendliche injektive Dimension hat. Außerdem folgt
aus der Unzerlegbarkeit von V (M) als topologischem Raum die Unzerlegbarkeit
H
von M.
Sei N = NHH∗(A). Die Beschaffenheit der Trägervarietäten wirft die Frage auf,
ob HH∗(A)/N, oder besser HH∗(A), als graduierte k-Algebra endlich erzeugt ist.
Letzteres kann man anhand vieler Beispiele widerlegen, ersteres blieb hingegen
für eine lange Zeitspanne unbeantwortet. Snashall und Solberg vermuteten (vgl.
[35, 36]) im Jahr 2004, nachdem sich die Endlich-Erzeugtheit von HH∗(A)/N
für einige Klassen endlichdimensionaler Algebren A bewahrheitet hatte, dass dies
für alle endlichdimensionalen Algebren richtig sei. Bereits 2008 wurde diese Ver-
mutung von Xu widerlegt (vgl. [42]). Er stieß beim Studium von sogenannten
2