Handbuch der Laplace-Transformation: Band I: Theorie der Laplace-Transformation

573 Pages·1950·15.09 MB·English

by  Gustav Doetsch (auth.)

LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN
AUS DEM GEBIETE DER
EXAKTEN WISSENSCHAFTEN
MATHEMATISCHE REIHE
BAND 14
HANDBUCH DER
LAPLACE-TRANSFORMATION
BAND I
THEORIE DER LAPLACE-TRANSFORMATION
VON
GUSTAV DOETSCH
ORD. UNIVERSITÄTSPROFESSOR, FREIBURG I. BR.
SPRINGER BASEL AG 1950
ISBN 978-3-0348-6985-0 ISBN 978-3-0348-6984-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-6984-3
Nachdruck verboten. Alle Rechte, insbesondere
das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion
auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten
Copyright 1950 by Springer Basel AG
Ursprünglich erschienen bei Verlag Birkhäuser AG., Base!l950
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1950
VORWORT
Seit dem Erscheinen meiner Monographie "Theorie und Anwendung der
Laplace-Transformation» im Jahre 1937, die zum erstenmal weiteren Kreisen den
Zugang zu dieser mit so vielen Gebieten in Beziehung stehenden Materie eröffnete,
hat sich die Laplace-Transformation dem Kanon derjenigen mathematischen
Disziplinen eingegliedert, die etwa wie die Funktionentheorie nicht bloß von den
Mathematikern, sondern auch von den Ingenieuren und Physikern laufend be-
nutzt werden. In allen Teilen der Welt werden heute bereits eigene Vorlesungen
über die Laplace-Transformation gehalten, und in fast allen Kultursprachen sind
Bücher über sie erschienen, die sich allerdings vorwiegend auf das heute wichtigste
Anwendungsgebiet, die Theorie der Randwertprobleme, beschränken.
Angesichts dieser gesteigerten Bedeutung der Laplace-Transformation und
des inzwischen angewachsenen Stoffes schien es geboten, eine Darstellung zu
unternehmen, die die neueren Erkenntnisse berücksichtigt und die früheren weiter
ausgestaltet. Das brachte eine starke Vergrößerung des Umfangs mit sich, die zu
einer Teilung des Werkes in zwei Bände zwang, von denen der eine der Theorie,
der andere den Anwendungen gewidmet sein soll. Den ersten lege ich hiermit vor.
Gegenüber der früheren Monographie ist vor allem die Beschränkung auf den
Riemannschen Integralbegriff (der jetzt übrigens allgemeiner gefaßt ist als ehe-
dem) fallen gelassen worden, so daß auch die Teile der Theorie, die notwendig das
Lebesguesche Integral erfordern, zur Darstellung gelangen konnten. Abgesehen
von diesen Teilen sind aber die Beweise fast durchweg so geführt, daß der Leser
je nach Vorbildung an den einen oder den anderen Integralbegriff denken kann.
An den wenigen Stellen, wo der mit dem Lebesgueschen Integral erbrachte Beweis
für das Riemannsche nicht gültig ist, wurde er für dieses gesondert geführt, mit
Rücksicht auf die Ingenieure, denen der Lebesguesche Begriff nicht geläufig ist.
Was den inhaltlichen Unterschied gegenüber dem Buch von 1937 angeht, so
ist zunächst einmal im Hinblick auf die im Lauf der Zeit aufgetauchten Anwen-
dungen das frühere Material durchgehend erweitert und vertieft worden. Bei-
spielshalber sei verwiesen auf die stärkere Berücksichtigung der zweiseitigen
Laplace-Transformation, oder auf die Abschnitte über die Faltung, oder auf das
komplexe Umkehrintegral, bei dem jetzt die Auswertung durch Deformation des
Integrationsweges und Residuenrechnung so ausführlich behandelt ~ird, daß die
Praktiker, die diese Operationen mit besonderer Vorliebe verwenden, hier eine
solide Grundlage für die Methode vorfinden; ferner auf die Parsevalsehe Glei-
chung mit ihren vielfältigen Auswirkungen, die früher sehr stiefmütterlich be-
handelt worden war. Weiterhin wurden selbstverständlich aus den seit 1937
erschienenen Arbeiten die theoretischen Resultate übernommen. Schließlich ent-
hält das Buch eine Anzahl von in sich abgeschlossenen Partien mit neuen Ergeb-
nissen, die ich infolge der Ungunst der Kriegs- und Nachkriegszeit bisher nicht
I
veröffentlicht habe, so die Darstellung des Partialintegrals Je-sr F(T) dT durch
0
ein komplexes Integral über die Laplace-Transformierte, womit die Grundlage
für das bisher kaum behandelte "Konvergenzproblem » geschaffen ist und woraus
sich zum Beispiel neue Formeln für die Partialsummen von Dirichletschen Reihen
ergeben (5. Kapitel), ferner eine ziemlich erschöpfende Theorie der analytischen
6 Vorwort
Fortsetzung der Laplace-Transformierten durch arithmetische Mittel (9. Kapitel)
sowie die Mehrzahl der Sätze Abelscher Art für das komplexe Umkehrintegral
(15. Kapitel), die die Grundlage für neue asymptotische Methoden im zweiten
Band abgeben werden.
Auf Lücken in dem heutigen Wissen über die Laplace-Transformation ist mit
dem Stichwort «Problem>~ hingewiesen, um die Aufmerksamkeit auf diese un-
gelösten Fragen zu lenken.
Diejenigen als Hilfsmittel gebrauchten Sätze, die nicht zu dem dem Durch-
schnittsleser geläufigen Fundus gehören, sind in einem «Anhang" zusammen-
gestellt. Durch die Verweise auf diesen erhalten die Beweise eine sichere Grund-
lage, während der Text selbst von allem Beiwerk entlastet wird.
Das Buch hat die Laplace-Transformation im eigentlichen Sinne, nicht die
Laplace-Stieltjes-Transformation, zum Gegenstand. Immerhin gebe ich, um die
Benutzer in den Stand zu setzen, auch die mit letzterer arbeitenden Abhand-
lungen zu verstehen, eine vollständige Darstellung der hierzu notwendigen Sätze
über das Stieltjes-Integral, und führe den Leser bis zu dem fundamentalen Satz,
00
daß sich das Laplace-Stieltjes-lntegral Je -•t d4>(t) vermittels des eigentlichen
00 0
Laplace-lntegrals in der Form s Je -•t 4>(t) dt- 4>(0) darstellen läßt. Wer sich
0
für die Hauptdomäne der Laplace-Stieltjes-Transformation, nämlich die Be-
ziehung zum Momentenproblem und den vollmonotonen Funktionen interessiert,
möge zu dem Buch von Widder greifen.
Das Manuskript ist in den Jahren 1946-48, also in der Zeit tiefster Hoffnungs-
losigkeit in Deutschland und unter den schwierigsten Lebensbedingungen ent-
standen. Wenn selbst nordamerikanische Forscher in ihren Veröffentlichungen
darüber klagen, daß ihnen infolge der Kriegs- und Nachkriegsumstände die
Literatur nicht vollständig zur Verfügung gestanden habe, so trifft dies für den
Europäer erst recht zu. Es ergeht daher die Bitte an die Fachgenossen, durch
Zusendung von Arbeiten dem Verfasser die Möglichkeit zu etwaigen Ergänzungen
im zweiten Band zu geben.
Mein Dank gilt Herrn Albert Birkhäuser, der in einer Zeit, da in den am Krieg
beteiligt gewesenen Ländern die Drucklegung wissenschaftlicher Werke auf die
größten Schwierigkeiten stößt, durch Erweiterung seines Verlages der mathe-
matischen Wissenschaft die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit der Schweiz er-
schlossen und so auch das Erscheinen des vorliegenden umfangreichen Werkes
ermöglicht hat.
Freiburg i. Br. (Deutschland) Gustav Doetsch
Riedbergstr. 8
Dezember 1949
Inhaltsverzeichnis
I. TElL
Grundlegende analytische und funktionentheoretische
Eigenschaften der Laplace -Transformation
1. Kapitel: Allgemeines über lineare Funktionaltransformationen
und Grundbegriffe der Funktionalanalysis 19
§ 1. Lineare Funktionaltransformationen . . . . . . . . . 19
§ 2. Allgemeine Funktionaltransformationen . . . . . . . 22
§ 3. Der Grenzbegriff im unendlichvieldimensionalen Raum 23
2. Kapitel: Allgemeine analytische Eigenschaften der Laplace-
Transformation . . . .. . . . . . . . . . . . . . 29
§ 1. Der zugrunde gelegte Integralbegriff . . . . . . . . . . . . 29
§ 2. Definition und Konvergenzeigenschaften des Laplace-lntegrals 32
§ 3. Laplace-T,l-ansformation und Laplace-Transformierte. . . . 43
§ 4. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§ 5. Die numerische Berechnung einer Laplace-Transformierten . 52
§ 6. Die Birichletsche Reihe als Laplace-Integral . . . . . . . 53
§ 7. Die zweiseitige Laplace-Transformation und die Mellin-Transfor-
mation. Die Fourier- und die 91-Transformation. . . . . . . . 59
§ 8. Die Laplace-Transformation in Gestalt eines Stieltjes-Integrals . 61
§ 9. Die im wesentlichen eindeutige Bestimmung der L-Funktion
durch die I-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2
§ 10. Anwendungen des Eindeutigkeitssatzes . . . . . . . . . . . SO
§ 11. Die Abbildung einer linearen Substitution der Variablen in der
L- oder I-Funktion . . . . . . . . . . . . . . 85
§ 12. Die Abbildung der Integration der L-Funktion . . 87
§ 13. Die Abbildung der Differentiation der L-Funktion. 98
§ 14. Die Faltung und ihre allgemeinen Eigenschaften . 104
§ 15. Die Abbildung der Faltung zweier Originalfunktionen 121
§ 16. Die Abbildung weiterer Operationen an der L-Funktion 131
3. Kapitel: Allgemeine funktionentheoretische Eigenschaften der
durch die Laplace-Transformation erzeugten Funk-
tionen . . . . . . . . . . . . . . . . 141
§ 1. Gleichmäßige Konvergenz des Laplace-Integrals 141
§ 2. Holamorphie der I-Funktion . . . . . . . . . 144
8 Inhaltsverzeichnis
§ 3. Die Holomorphiehalbebene von f(s) • • • • • • • • • • • • • 151
§ 4. Existenz einer Singularität auf der Konvergenzgeraden in spe-
ziellen Fällen . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . 153
§ 5. Verhalten von f(s) bei Annäherung an einen Konvergenzpunkt 156
§ 6. Verhalten von f(s) bei Annäherung an s = oo 162
§ 7. Die Ordnung von f(s) auf Vertikalen . 177
§ 8. Die Beschränktheitshalbebene von f(s) . . . 180
li. TEIL
Die Umkehrung der Fourier- und Laplace-Transformation,
die Parsevalsehe Gleichung und verwandte Probleme
.J.. Kapitel: Die komplexe Umkehrformel. . . . . . . . . . . 191
§ 1. Fouriersches Integraltheorem und Fourier-Transformation . . 191
§ 2. Erster Satz über die Umkehrung der {absolut konvergenten)
Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
§ 3. Zweiter Satz über die Umkehrung der (absolut konvergenten)
Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
§ 4. Die komplexe Umkehrformel für die absolut konvergente Laplace-
Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
§ 5. Die komplexe Umkehrformel für die einfach konvergente Laplace-
Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
§ 6. Die Differentiation der komplexen Umkehrformel . . . . . . . 221
§ 7. Deformation des Integrationsweges im komplexen Umkehrintegral 223
5. Kapitel: Formeln für das Partialintegral der Laplace-Trans-
formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
§ 1. Darstellung des Partialintegrals derLaplace-Transformation durch
ein komplexes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
§ 2. Über das Konvergenzproblem der Laplace-Transformation . . . 237
§ 3. Anwendung: Formeln für die Partialsummen von Dirichletschen
Reihen mit einem Beitrag zum Konvergenzproblem dieser Reihen 239
6. Kapitel: Die Parsevalsehe Gleichung. . . . . . . . . . . . . 245
§ 1. Die Parsevalsehe Gleichung für die Fourier-Transformation . . . 245
§ 2. Die Parsevalsehe Formel für die Laplace-Transformation und der
quadratische Mittelwert von f(s) auf Vertikalen 251
§ 3. Die Umkehrformel zum Faltungssatz 255
§ 4. Die Laplace-Transformation eines Produkts 257
7. Kapitel: Bedingungen für die Darstellbarkelt einer Funktion
als Laplace-Transformierte. 259
§ 1. Das Darstellungsproblem . • . • . 259
§ 2. Bedingungen für die Darstellbarkeit . 260
Inhaltsverzeichnis 9
§ 3. Die Berechnung des komplexen Integrals für meromorphe I-Funk-
tionen durch Residuenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 267
8. Kapitel: Weitere Umkehrformeln für die Laplace-Transfor-
mation . ..... . 285
§ 1. Berechnung der L-Funktion aus den Werten der I-Funktion für
große reelle s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 5
§ 2. Berechnung ·der L-Funktion aus den \Verten der Ableitungen
hoher Ordnung von f(s) für große reelle s 290
§ 3. Umkehrung durch Reihenentwicklung . . . . 296
III. TEIL
Eine Verallgemeinerung der Laplace-Transformation
9. Kapitel: Die Cesaroschen arithmetischen Mittel des Laplace-
lnte~rals und die _2(kl-Transformation. . . . . . . . 311
§ 1. Die (C, k)-Mittel für Funktionen . . . . . . . . . 311
§ 2. Die (C, k)-Mittel des Laplace-Integrals. Die _2(kl-Transformation
und ihre Konvergenzhalbebene . . . . . . . . . . . . . 314
§ 3. Funktionentheoretische Eigenschaften der _2(k)_ Transformierten . 330
§ 4. Darstellung des (C, k)-Mittels von E{F} durch ein komplexes
Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
§ 5. Anwendung auf das Konvergenzproblem von _2(k){F} . 343
§ 6. Der Faltungssatz für die _2(k)_ Transformation . . . . 350
IV. TEIL
Die Laplace-Transformation spezieller Klassen von Funktionen
10. Kapitel: Die Laplace-Transformation der ~anzen Funktionen
vom Exponentlaitypus . . . . . . . . . 355
§ 1. Die den L-Funktionen vom Exponentialtypus entsprechende
Klasse von I-Funktionen . . . . . . . . . . . . . 355
§ 2. Analytische Fortsetzung der I-Funktion durch Drehung des
Integrationsweges in der t-Ebene . . . . . 362
§ 3. Bestimmung des Konvergenzgebietes von _2('1'l{F} durch die
Singularitäten von f(s) . . . . • . . . . . . • . . . . . 371
§ 4. Der Zusammenhang zwischen dem Anwachsen von F(t) für t + oo
und den Singularitäten von f(s) • . . . . • . • . 378
§ 5. Das Borelsche Summabilitätspolygon, das Antipolygon und die
verallgemeinerten Borel-Polygone . . . . . . . . . . . . . . 380
§ 6. Die Abbildung des Produkts und die Faltungssätze in den Klassen
21, und a, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
10 Inhaltsverzeichnis
11. Kapitel: Die zweiseitige Laplace-Transformation bzw. Mellin-
Transformation von analytischen Funktionen 403
§ 1. Die 1!11-Transformation von Funktionen, die in einem Streifen
analytisch sind und Exponentialabschätzungen genügen 403
§ 2. Die Mellin-Transformation von Funktionen, die in einem Winkel-
raum analytisch sind und Potenzabschätzungen genügen . . . . 408
§ 3. Die Abbildung des Produkts und die Faltungssätze in den Klassen
mu und 0 11 bzw. ~ und b . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
§ 4. Anwendung der Mellin-Transformation in der Funktionentheorie 415
12. Kapitel: Die Laplace-Transformation von Funktionen der
Klasse L2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 419
§ 1. Hilfssätze über die Planchereisehe Fourier-Transformation und
die Funktionsklasse ~ 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • 420
§ 2. Funktionen aus ~ 2 als Laplace-Transformierte von Funktionen
aus L 2(0, oo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
§ 3. Metrisierung der Räume L 2(0, oo) und ~ 2• Korrespondenz zwischen
mittelkonvergenten Reihen für F(t) und absolut konvergenten
Reihen für f(s) als Konsequenz der Parsevalsehen Gleichung . . 432
§ 4. Korrespondenz zwischen Orthogonalfunktionen im Intervall
0 :<: t < oo und solchen im Intervall - oo < y < + oo als Kon-
sequenz der verallgemeinerten Parsevalsehen Gleichung 434
§ 5. Verallgemeinerte Parsevalsehe Gleichung, Umkehrformel zum
Faltungssatz, Laplace-Transformierte eines Produkts und Cauchy-
sche Formel für Funktionen aus L 2(0, oo) . . . . . . . . . . 437
§ 6. Eine Umkehrformel für die Laplace-Transformation, die die Werte
von f(s) auf der reellen Achse benutzt . . . . . . . . . . . . 438
§ 7. Ein Vergleich zwischen Potenzreihen, fastperiodischen Funk-
tionen (Dirichletschen Reihen) und der Laplace-Transformierten
hinsichtlich Umkehrformel und Parsevalscher Gleichung . . . . 442
V. TEIL
Abelsche und Taubersehe Sätze
13. Kapitel: Abelsche Sätze über das Verhalten der Laplace-
Transformierten an einer singulären Stelle im End-
lichen .......... ·. . . . . . . . . . . . . 455
§ 1. Asymptotisches Verhalten bei Annäherung in einem Winkelraum
an eine singuläre Stelle auf der Konvergenzgeraden . . . . . . 455
§ 2. Anwendungen: Singuläre Integrale. Vergleich zwischen verschie-
denen Summationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . 461
§ 3. Vollständige Charakterisierung einer auf der Konvergenzgeraden
liegenden Singularität der Laplace-Transformierten 466
§ 4. Abelsche Sätze für die zweiseitige Laplace-Transformation und
die Mellin-Transformation . . . . . . . . . . . 471