GUILHERME ALEX DERENIEVICZ

194 Pages·2017·7.76 MB·Portuguese

Universidade Federal do Paraná
Guilherme Alex Derenievicz
Uma condição suficiente para otimização global sem
retrocesso
Curitiba PR
2018
Guilherme Alex Derenievicz
Uma condição suficiente para otimização global sem
retrocesso
Teseapresentadacomorequisitoparcialàobtençãodo
graudeDoutoremInformática,noProgramadePós-
GraduaçãoemInformática,setordeCiênciasExatas,
daUniversidadeFederaldoParaná.
Áreadeconcentração: CiênciadaComputação.
Orientador: FabianoSilva.
Curitiba PR
2018
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELO SISTEMA DE BIBLIOTECAS/UFPR
BIBLIOTECA DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
D431c Derenievicz, Guilherme Alex
Uma condição suficiente para otimização global sem retrocesso / Guilherme Alex Derenievicz. – Curitiba,
2018.
193 p. : il. color. ; 30 cm.

Tese - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em
Informática, 2018.
Orientador: Fabiano Silva.

1. Otimização global. 2. Consistência relacional. 3. Análise intervalar. 4. Decomposição epífita.
5. Hipergrafo. I. Universidade Federal do Paraná. II. Silva, Fabiano. III. Título.
CDD: 004.6
Bibliotecária: Romilda Santos - CRB-9/1214

AosmeuspaisAleixoeZuleide,meu
irmão Gustavo e minha namorada
Tatiana. ÀmemóriadeAlexandreI.
Direne,grandeamigoeprofessor.
AGRADECIMENTOS
AgradeçoprimeiramenteaomeuamigoeorientadorFabianoSilva,pelagrandeamizade,
confiança e dedicação nestes sete anos em que me orientou. Sou grato pelos ensinamentos
valiososepelaslongasconversasquetornaramestetrabalhorealidade.
Agradeço imensamente aos meus pais, Aleixo e Zuleide, por todo o apoio, carinho e
motivação;obrigadopelosvaloresquemetransmitiramepeloexemploquesempremederam.
AgradeçotambémaomeuirmãoGustavo,pelalealamizadeepelosincontáveismomentosde
reflexão, diversão e música. Agradeço do fundo do meu coração à minha namorada, amiga e
companheiraTatiana,porseuamor,paciênciaededicação;obrigadoporestaraomeuladonos
momentosmaisdifíceisetambémnosmaisfelizes.
Agradeçoatodososamigosquemeapoiaramecompreenderamminhaausêncianos
últimos meses, em especial aos que puderam acompanhar esta jornada mais de perto: Tiago,
Benjamin, Leticia,Romano, Jorge, Katia, Jaqueline,Vinícius eBianca. Agradeço aocarinho de
todaaminhafamília,queégrandedemaisparaserlistadaaqui.
MeusagradecimentosatodososprofessoresefuncionáriosdoDinf,peladisposiçãoe
excelênciaemcontribuir comaformação acadêmica. Em particular,agradeçoaos professores
Daniel Weingaertner, Luis Allan Kunzle e Luis Carlos E. de Bona pelas ótimas orientações
emprojetosque participei. AgradeçoaosprofessoresAndré L.Vignatti,DanielWeingaertner,
GeovaniN.Grapiglia,MarcosA.Castilho,MuriloV.G.daSilva,RenatoCarmoeThiagoA.de
Queirozpelasvaliosascontribuiçõesemmeutrabalho.
Gostariadeagradeceraosmeuscolegasduranteoperíodoemquefuiprofessorsubstituto
naUFPReatodososalunosquemeensinarammuitomaisdoqueeumesmopudeensinar.
Aconclusãodestateseencerraumcicloqueteveinicioem2008,quandocomeceiminha
graduação naUFPR. Gostaria deagradecer, destaforma, atodos os meuscolegas deturma. Em
especial,aoRenan,Joice,JoséIvan,FelipeBolsi,Antônio, Larissa,Jaime,Yuri,FelipeIckerte
JoãoResende. AgradeçoaosamigosquefiznoPETComputaçãoeno C3SLeaosmeuscolegas
detimenamaratonadeprogramaçãode2013,FlávioZavan,RodrigoGryzinskieRicardoT.de
Oliveira. Agradeço aos meus colegas do LIAMF, Carlos, Clariane, Danielle, Razer, Rodolfo,
Willian,BrunoRibaseMarcosSchreiner;etambémaoscolegasEdgar,BeteeRenatoMelo.
AgradeçoàprofessoraDinacirRocha,quedespertouminhapaixãopelasciênciasexatas
eaoFernandoCezanoskipelasváriasviagensaTijucasouvindoEngenheirosdoHawaii.
MeusmaissincerosagradecimentosaoprofessorAlexandreI.Direne,pelaamizadee
ensinamentosqueficarãoemmimparasempre. Comoprof. Direneaprendiqueserprofessoré
muitomaisqueensinareorientar;éinspirar,motivar,cativar,discutirsobretantosassuntosque
uma sala de aula é pequena demais para conter. Descanse em paz, prof. Direne; seu legado é
eterno!
Sobretudo agradeço a Deus, pela oportunidade me oferecida de vivenciar e aprender
tantacoisacomamigostãoespeciais.
One,remembertolookupatthestarsand
notdownatyourfeet.
Two,nevergiveupwork. Workgivesyou
meaningandpurposeandlifeisempty
withoutit.
Three,ifyouareluckyenoughtofindlove,
rememberitisthereanddon’tthrowit
away.
StephenHawking(1942-2018)
RESUMO
Umproblemadesatisfaçãoderestrições(CSP,doinglêsconstraintsatisfactionproblem)
consisteemencontrarumaatribuiçãodevaloresaumconjuntodevariáveisquesatisfaçauma
redederestrições. Técnicasdeconsistêncialocaldesempenhamumpapelcentralnaresolução
de CSPs, excluindovalores quecertamente não constituem umasolução do problema. Muitos
esforçosvêmsendoaplicadosnaidentificaçãodeclassesdeCSPsrelacionandoaestruturada
rede(representadaporumhipergrafo)comoníveldeconsistêncialocalquegaranteumasolução
livre de retrocesso, isto é, uma busca que encontra uma solução em um número polinomial
de passos em relação ao tamanho da instância. Nesta tese, problemas de otimização global
são representados por hipergrafos com um vértice raiz que representa a função objetivo a ser
minimizada. Uma forma de decomposição de hipergrafos, chamada decomposição Epífita, é
apresentada. AtravésdadecomposiçãoEpífitadohipergrafoderestrições,caracteriza-seuma
classedeproblemasdeotimizaçãoondeaconsistênciadearcorelacionaldirecionadagarante
uma solução livre de retrocesso. Alcançar consistência relacional exige a adição de novas
restriçõesnarede,alterandoasuaestrutura;poressarazão,ummétododeramificaçãoepoda
intervalar para alcançar uma forma relaxada dessa consistência é proposto, encontrando uma
aproximação do mínimo global de problemas de otimização. Um otimizador de código-fonte
aberto que implementa esse método, chamado OGRe, é apresentado. A fim de generalizar o
conceito dedecomposição Epífita atodos os problemasde otimização, um parâmetrode largura
dehipergrafoschamadolarguraepífitaéintroduzido. Comoprincipalcontribuiçãodestatese,
mostra-se que problemas de otimização representados por hipergrafos com largura epífita k
possuemdecomposições k-Epífitasesãoresolvidossemretrocessosealcançada k-consistência
relacionaldirecionadaforte.
Palavras-chave: otimização global, consistência relacional, análise intervalar, decomposição
epífita,hipergrafo.
ABSTRACT
Aconstraintsatisfactionproblem(CSP)consistsoffindinganassignmentofvaluestoasetof
variablesthatsatisfyaconstraintnetwork. Localconsistencytechniquesplayacentralrolein
solving CSPs, pruning values that surely do not constitute a solution of the problem. Many
effortshavebeenappliedtoidentifyclassesofCSPsbylinkingtheconstraintnetworkstructure
(representedbyahypergraph)totheleveloflocalconsistencythatguaranteesabacktrack-free
solution,i.e.,asearchthatfindsasolutioninapolynomialnumberofstepswithrelationtothe
sizeof theinstance. Inthisthesis, globaloptimization problemsarerepresentedbyhypergraphs
witharootvertexthatrepresentstheobjectivefunctiontobeminimized. Aformofhypergraph
decompositionisintroduced,calledEpiphyticdecomposition. BytheEpiphyticdecomposition
ofconstrainthypergraphsaclassofoptimizationproblemsischaracterized,forwhichdirectional
relational arc-consistency ensures a backtrack-free solution. Achieving relational consistency
requirestheadditionofnewconstraintsonthenetwork,changingitsstructure;forthisreason,an
intervalbranchandboundmethodtoenforcearelaxedformofthisconsistencyisproposed,thus
finding an approximation for the global minimum of optimization problems. An open-source
optimizer that implements this method, namely OGRe, is introduced. In order to generalize
the Epiphytic decomposition concept to cover all optimization problems, a hypergraph width
parameterisintroduced,calledepiphyticwidth. Asthemaincontributionofthisthesis,itisshown
thatoptimizationproblemsrepresentedbyhypergraphswithepiphyticwidth k have k-Epiphytic
decompositionsandaresolvedinabacktrack-freemannerifachievedstrongdirectionalrelational
k-consistency.
Keywords: globaloptimization,relationalconsistency,intervalanalysis,epiphyticdecomposition,
hypergraph.
LISTA DE FIGURAS
1.1 Exemplodefunçãoconvexaenãoconvexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Hipergrafo,diagramadeVenn,grafoprimalegrafodual . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 ExemplodehipergrafoBerge-acíclicoe α-acíclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Exemploderotulagemedefiguraquenãorepresentaumobjetoreal . . . . . . . . 35
2.4 Trêsdisposiçõesdepeçasnoproblemadas8rainhas . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Umainstânciadoproblemadepalavras-cruzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Hipergrafoderestriçõesehipergrafodualdainstânciadepalavras-cruzadas . . . . 44
3.1 Exemplodesituaçãoquepermiteretrocessonãocronológico . . . . . . . . . . . . 60
3.2 HipergrafoH easinterseçõesdecadaaresta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3 Esquemadométododecortedeciclo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4 Grafoderestriçõesdarede R doExemplo3.23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5 Umadecomposiçãoemárvoredarede R doExemplo3.23 . . . . . . . . . . . . . 110
4.1 Ordenaçõesegrausdeinterseçãodeumhipergrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2 Hipergrafoderestriçõesdarede R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1
4.3 Hipergrafoderestriçõesdarede R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2
4.4 Hipergrafosderestriçõesdasredes R e R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3 4
4.5 BialberodiCasorzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6 DecomposiçãoEpífitasegundo x1 eumailustraçãodestadecomposição . . . . . . 123
4.7 ExemplodedecomposiçãoEpífitasegundo x1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.8 UmBerge-caminhocomumaarestacomgraudeinterseção2 . . . . . . . . . . . . 126
4.9 Estruturadedadosparaexecuçãodeordem_de_grau_2 . . . . . . . . . . . . . 129
4.10 Hipergrafoderestriçõescomumarestriçãobinária R . . . . . . . . . . . . . . . 131
C5
4.11 ValoraçãodarededoExemplo4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.12 FunçãodeRosenbrock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.13 UmadecomposiçãoEpífitadafunçãodeRosenbrock . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.14 FluxodeexecuçãodométodoRAC_direcionada_aproxaplicadoàfunçãode
Rosenbrock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.15 GrafosG1 eG2 ordenadosealarguradecadavérticenarespectivaordenação . . . 141
4.16 HipergrafosH ,H eH ordenadosealarguraepífitadecadaordenação . . . . . 142
2 3 4
4.17 Ilustraçõesdedecomposições2-Epífitae3-Epífita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145