Guía para la estimación de modelos ARCH

86 Pages·2007·7.73 MB·Spanish

ESTADISTICA ESPAÑCJLA
Vol. 35, Núm. 132, 1993, págs. 5 a 38
Guía para la estimación de modelos ARCH
ALFONSO NOVALES (*)
MERCEDES GRACIA-DIEZ (*)
Departamento de Econornía Guantitativa
Facultad de Ciencias Económicas
Universidad Complutense
RESUMENJ
Este trabajo presenta una revisión de los modelos de heteroscedas-
ticidad condiciona! autorregresiva, prestando especial atención a su
estimación de máxima verosimilitud. Se consideran las siguientes
formulaciones: e1 proceso univariante ARCH, el modelo ARCH de
regresión, los modelos ARCH generalizados tGARCH) y la especifi-
cación ARCH en media (ARCH-M). Para cada uno de ellos, se dedu-
cen las expresiones analíticas del vector gradiente y de la matriz
hessiana, lo que constituye su principal aportación, ya que dichas
expresiones no aparecen, por lo general, de forma suficientemente
explícita en la literatura. Además, se resumen las propiedades esta-
disticas de estos modelos, los contrastes de existencia de heterosce-
dasticidad condicional y la estrategia de identificación del orden del
proceso.
Palabras clave: heteroscedasticidad condicional, estimación por ^ná-
xima verosimilitud, estrategia de identificación.
Clasificación AMS: 62M 10, 62P20, 90A20.
{*) Queremos agradecer los comentarios recibidos de Juan Ayuso, M.a Luisa de la Torre, Víctor
Gonzalo, Teodosio Pérez-A►maral y dos evaluadores anónirnos. Todos fos errores son nuestros.
ĉ^ E^^-^,r^,^,i^..,r^r^,f^ E ^.,E^^,-,r^^^^^;^^
1. INTRODUCCI4N
La c^eciente disponibilidad de datos procedentes de ios mercados financieros,
hace que un número cada vez mayor de investigadores dedique parte de sus
esfuerzos al análisis empírico de las múltiples cuestiones teóricas de interés
relativas a tales mercados. Dentro de esta área de trabajo, fa modeiización tipo
ARCH (heteroscedasticidad condicional autorregresiva) ha sido ampliamente
utilizada, sin duda debido a ios aceptables resultados empíricos que ha venido
proporcionando.
A pesar de la existencia de «software» destinado, más o menos específica-
mente, a la estimación de este tipo de modelos, puede ser preferible Ilevar a cabo
la programación de la estimación de r^áxima verosimilitud (MV) de la estructura
ARCH por parte del investigador. Ello se debe a que, en algunos casos, las
rutinas de evaluación numérica de las derivadas de primer y segundo orden
incorporadas en los paq^etes estadisticos estándar no son lo suficientemente
precisas para garantizar la convergencia del proceso de estimación.
En nuestra propia experiencia hemos comprobado que, en ocasiones, un
proceso de estimación MV que resultaba no convergente utilizando expresiones
analiticas sólo para las primeras derivadas de la función de verosimilitud, ha
resultado rápidamente convergente al pragramar ia utiiización de expresiones
para las primeras y segundas derivadas. También hemos comprobado que cuan-
do no se utilizan expresiones analíticas para las segundas derivadas, los proble-
mas de convergencia del algorftmo de estimación son más frecuentes en modelos
con pocas variables explicativas. Por el contrario, modelos de regresión con
estructura ARCH y con un cierto número de variables explicativas relevantes han
alcanzado generalmente la convergencia en la estimación MV sin necesidad de
recurrir a segundas derivadas analíticas. Por todas estas razones, el investigador
puede preferir tener total control del código de programación que utiliza en la
estimación del modelo.
Una segunda motivación para este artículo consiste en la ut^lidad de recoger
en un mismo trabajo 1as diversas especificaciones de modelos con heterosce-
dasticidad c©ndicional, las distribuciones de sus estimadores, contrastes y posi-
ble utilización de dichos r^todelas.
EI propósito de este trabajo es, por tanto, proporcionar una introducción a los
rnodelos ARCH desde el punto de vista de la esti^nación de los mismos, pres-
tando especial atención a las expresiones analíticas del vector gradiente y la
rnatriz hessiana necesarias para utilizar un aigoritmo iterativo en ia estimación
MV. Es en este último aspecto donde reside su contribución original, por no
aparecer dichas derivadas de forma suficientemente explícita en los artículos
^habitualmente referidos en esta literatura. En todos los casos, la formulación es
(^UTA F'Af^2A l A E STfMA^;i(=^N [^f= Mf )Df ^ ,c A ^^2 C ^: N 7
lo suficientemente genérica para perrnitir que cualquier potencial usuario traslade
directamente !as expresiones que aquí se proporcionan a su propia aplicación, de
modo que pueda programar e! algoritmo de estimación MV sin mucho esfuerzo.
La organización del trabajo es la siguiente: en fa Sección ^ se justifica la
modelización de heteroscedasticidad condicional. En la Sección 3 se presenta el
modelo univariante ARCH como generalización de un proceso de ruido blanco.
En la Sección 4 se trata el modelo ARCH de regresión, su estimación MV y
contrastes de estructura ARCH. La Sección 5 se dedica a la especificación,
estimación y contrastes de la estructura ARCH generalizada (GARCH). En la
Sección 6 se desarrolla el procedimiento de estimación del modelo ARCH en
media (ARCH-M). Finalmente, en la Sección 7 se resumen las principales cues-
tiones metodológicas respecto a la utilización y estimación de estos modelos.
2. JUSTIFICACION DE LA MODEL1zACION DE HETEROSCEDASTICIDAD
CONDICIONAL
Cuando se considera el modelo univariante AR(1): yt = pyt_^ +^ con ( p ^< 1 y
^t^i.i.d.N(0, 6^), se tiene que la esperanza matemática del proceso estocástico yt
es cero y que su varianza es 6? /(1 - p2). De modo más general, si el modelo
fuese yt = a+ pyt_^ +£t, se tendría que E(yt) = a/(1 -- p) y var(yt) = cs2/(1 - p^), por
lo que la inclusión de un término constante afecta a la esperanza, pero na a la
varíanza del proceso.
Los términos «esperanza» y«varianza» que acabamos de usar son incondi-
cionales, o dicho de otro rnodo, corresponden a la distribución marginal de yt.
Alternatívamente, podemos preguntarnos acerca de la distribución condiciona/de
y^ dado el conjunto de^ información S2t_^ de que se dispone en el instante t-1, que
suponemos que incluye todo el pasado de la variable yt: S^t_^ _{ Yt_^, yt_2,... }. En
tal caso:
E(Yt I S^t-^ )= Et-^ Yt = a+ pYt-^
mientras que:
var (Yt ^ SZt_^ ) = vart-^ (Yc) = Et-^ (Yt - Et-^Yt )2 = Et-^ ^t =
donde estamos suponiendo que el modelo univariante está carrectamente espe-
cificado y, en particular, que yt_^ realmente resume toda la información contenida
en S2t_^ acerca de yt. Es importante observar que, aunque var (yt j S2t_,) < var (yt),
las varianzas condiciona! e incondicional son ambas constantes en el tiempo.
F`^1A[?I`.;il( ;A. ĉ 5^'APJ^ )1 F^
Esta distincíón puede generalizarse a todo modelo de regresión: yc = xt'^3 + ut,
con variabies explícativas deterministas y uc ^ i.i.d.N(0, cs^ ). La distribución de yt
condicional en s2t_^, donde S2t_ ^={ xt, xc ^,^^^, Yc ,, Yc 2, •••} es, en este caso,
también Normal con Et__^ yt = xt' ^i y vart__^(yt) - csú, momentos que coinciden con
los de la distribución marginal de yt. Sin embargo, si ut tiene autocorrelación de
orden uno, por ejemplo ut = put_ ^+ct con ^ p ^< 1 y^t ^ i.i.d. N(0, 6? }, enton-
ces la distribucíón rnarginal de y^ es:
Yt^N(xt'^3,csu) con6^- 2
1-p
mientras que la distribución condicional es:
^ ^ z
Yt S^t_^ ^ N [ PYt-^ +( xc - Pxt-^ ) R^ ^^^ j
con menor varianza que la distribución marginal. Obsérvese que ambas varian-
zas son, nuevamente, constantes a través del tiempo.
Tanto en el modelo AR(1) como en el de regresión, utilizar como fórmula de
previsión la esperanza condicional E(yt ( S^t_^ ) resulta óptimo si se quiere mini-
mizar el error cuadrático medío (ECM) de la previsión resultante. Sin embargo,
no se utiliza la varianza condicional de yt para tratar de mejorar estas previsiones
y ésta puede ser una información relevante.
^En qué sentido puede utilizarse la varianza de la distribucíón condicional para
mejorar la previsión? Si dicha varianza es constante, como es el caso de los
ejemplos anteriores, y el objetivo es obtener la previsión con menor ECM, esta
información no es relevante. Sin embargo, puede haber modelos en los que la
varianza condicional no sea constante, sino que dependa del conjunto de infor-
macidn disponible en cada instante. En este caso, ignorar tal hecho conduciría
a estimadores ineficientes y por ello, con intervalos de confianza para la previsión
más amplios, así como con mayar variabilidad de la propia previsión puntual,
como reflejaria la mayor amplitud del ranga de sus posibles valores para un nivel
de confianza dado. ^
Los textos habituales de Econometria describen los procedimientos para me-
jorar la eficiencia de las estimaciones en situaciones de heteroscedasticidad
estática, especialmente cuando ésta se hace depender explícitamente de varia-
bles de dentro o fuera del modelo. Sin embargo, no es tan habitual encontrar
referencias al caso especial de heteroscedasticidad condicional que acabamos
de apuntar. Este tipo de heteroscedasticidad puede ocurrir en datos de series
temporaies y su detección y tratamiento ha sido el objeto de diversos trabajos
de investigación en los últimos años, a partir del artículo pionero de Engle (1982).
C;l)IA F'ARA L.A ESTIMACI(^N UE MC)DEl_(^S AHCN 9
Supongamos, por ejemplo, que los residuos grandes y pequeños de un modelo
de regresión aparecen agrupados a intervalos; ello sugiere que la varianza del
término de error cambia suavemente en el tiempo, y que podría predecirse a
partir de los residuos previos. De este modo, se especificaría una dependencia
del tipo: ^= f(ct ^, st 2, ...) donde at denota la varianza de ^ cambiante en el
tiempo, y f es una función continua del vector de residuos pasados elevados al
cuadrado (1).
Existen, además, teorías que requieren la rnodelización y estimación numérica
de variables que representan la volatilidad de yt (generalmente de su componente
no predecible), que puede asocíarse al concepto estadistico de varianza condi-
cional. Así, en Finanzas, las carteras de activos de inversión se escogen a partir
de la media y varianza esperadas de las tasas de rendimiento, de forma que los
cambios en la composición de la cartera deben explicarse por estos factores. En
este contexto, si se especifica un modelo econométrico tradicional para el rendi-
miento medio esperado, su varianza queda restringida a una constante y no es,
por tanto, consistente con el supuesto teórico de partida.
En consecuencia, necesitamos desarrollar modelos econométricos en que se
permita que la varianza condicional del proceso cambie en el tiempo. Una posible
alternativa son los modelos ARCH, que describímos en las secciones siguientes.
3. EL MODELO UNIVARIANTE ARCH
Comenzamos por el caso más sencillo, considerando la siguiente generaliza-
ción de un proceso observable de ruido blanco, que denotamos por Et, cuyos
momentos condicionaies son:
Et-^ cr = 0
Et-^ ^t2 = ht
donde ht es una función contenida en el conjunto de información disponible en
el instante t-1 : ^t-1 ^ 4 Et-1 ^ £c-2, • • • }. En consecuencia:
E^=E Et_^ ^=0
var(^) =E^^=E Et_^ ^2=E ht
(1) Los residuos se incluyen como argumentos de f elevados al cuadrado para hacerios compa-
rables con la varianza a^
1O E^ `^^T^1.C^ál^-^1I^^,^^ F^,^;F'AN^^d ^^a
Si suponemos, por ejemplo, que:
ht = óo + b^^t ^, con bo > 0, ^> > 0,
se tiene el modelo ARCH de orden 1, puesto que la varianza condicional depende
de un retardo de Et. En términos de la distribución condicional de Et, suponiendo
además Normalidad, el rnodelo ARCH(1) puede escribirse como:
^t ^ ^^t-^ ^N(^^hi ) [1)
ht =óo+b^ ct ^ , bo> 0, ^^ ?0 [2]
Más generalmente, si se supane que:
hi =So+S^ ^t ^+...+óp^t p óo>O,S;>0 , ^•, p [3]
las ecuaciones [1] y[3] constituyen el modela ARCH(p).
Nótese que ht ha de ser positiva, puesto que es la varíanza condicional de
Et, por lo que los parámetros b; i= 1,...,p deben ser no negativos. Una estimación
de ó;<o, aun pudiendo ser compatible con hi ? 0 a l0 largo de todo ei intervala
muestral utilizado, debe generar sospechas de mala especificación de la hete-
roscedasticidad condicional, bien en relación al número de retardos de ct inclui-
dos, o bien a que !a representación de dicha heteroscedasticidad requiera un
modelo más general que el de la ecuación [3].
Por otra parte, tomando esperanzas en [2], se tiene que Eht = óo + b^ Eht ^,
por lo que es obvio que el proceso ARCH(1) debe satisfacer además la condición
I S^ I< 1 para obtener la estacionariedad en varianza del modelo y evitar que
hi sea explosivo. Esta candición, en general se expresa:
Teorema
EI proceso ARCH lineal de orden p definido por las ecuaciones [1 ] y[3] es
estacionario en covarianza si y sólo si las raíces de la ecuación característica de
ht caen fuera del círculo unidad [ver Engle (1982) para su demostración].
Dicha estacionariedad es una condición necesaria para aceptar como especi-
ficación correcta el modelo ARCH que se ha estimado.
C^^IJIA F'AF2A LA E^^`^^fIMACIC)N C7E "^1<)C7F^.^^)`^ Af^C:F^^
3.1. Distribución del modelo ARCH(1)
Bajo el supuesto de que el proceso €t en [1] y[2] sigue una distribución Norrnal,
sus momentos de orden ímpar serán nulos por simetría. En cuanto a los momen-
tos de orden par, la varianza incondicional es:
E^t = E hi = óo + S^ E^t ^
con lo que, bajo el supuesto de estacionariedad, se tiene:
E Et2 -- ^^2. -_ - --S -o_
1 - ^i ^
De esta forma, utilizanda la expresión de 6? en [4J, el proceso ARCH(1) en [2]
también puede escribirse como:
2 2_ 2
ht - 6^_ - b^ (^t-^ --
por lo que la varianza condicional del proceso, ht , excede a su varianza incon-
dicional, 6^, en aquellos períodos en que el cuadrado de la observación previa
excede a su varianza. Es decir, sorpresas altas (positivas o negativas) hacen que
la varianza condicional de Et en el período siguiente sea asimismo elevada.
Por otra parte, obsérvese que la predicción de la varianza condicional del
proceso s períodos hacia adelante viene dada, a partir de [2], por:
s=sp(1+b^+ó;+...+^,-^^+ó;^^
Ethi+
con lo que, si el proceso es estacionario, la predicción de la varianza condicional
converge a la varianza incondicional cuando el horizonte de previsión s-^^.
En cuanto al momento de orden 4 respecto al origen, en Engie (1982) se
demuestra que tiene la siguiente expresión:
2 1 -^^2
E ^4 = 3 (var£t )
1 - 3 á^
Como puede observarse, este momento es igual a 3 veces la varianza de ^t
al cuadrado (como el de una variable Normal dependiente e idénticamente
distribuida) por un factor adicional que excede a la unidad. Ello quiere decir que
las colas de la distribución marginal de ^t tienen más densidad que las de la
distribución Normal. En particular, los momentos de cuarto orden podrian no existir,
lo que ocurrirá si b> >^(1 /3 ). De este modo, puede probarse que al aumentar el valor
de b^, se van teniendo resultados de inexistencia de momentos de orden par.
Todos estos resultados se generalizan a procesos ARCH de orden superior.
12 ESTAC)I ;TI(::A E SPANC)L A
3.2. EI modelo AR(1) con estructura ARCH
Para una mejor comprensión del tema, examinemos las propiedades de un
proceso univariante AR(1) con estructura ARCH(1). En particular, prestaremos
especial interés a las semejanzas y diferencias que presentan sus momentos con
respecto a un proceso AR(1) habitual. Sea el proceso:
Yt = PYt-^ + Et, ^ p ^< 1 [5]
donde Et es una perturbación aleatoria, tal que:
Et-^ £t = 4 y Et_^ £i = h?
y ht se define como en [2]:
ht =^+ b^ ^2 ^ con b° > 0, b^ ? 0
Respecto a la perturbación ^t, se tiene que E^t = 0 y si ^ b^ ^< 1:
var (ct ) - a^ - ^°----
1 - b^
Adem^s, E( ct ^_1 )= 0 por hipótesis del modelo, y lo mismo ocurre para
desfases mayores, por la que €t no presenta autocorrelación. Sin embargo, las
perturbaciones ^t no son independientes en el tiempo, pues sus momentos de
segundo orden están correlacionados.
Respecto al proceso yt, los momentos de su distribución marginal vienen dados
por:
E yt=0
var ( Yt ) - 6^ - 1 S°
1-p2 1--p21-b^
mientras que los momentos de su distribución condicional en
S^t_ ^_{ yt_. ^, yt_2, ... } son:
Et-^ Yt = PYt-^
vart-^ ( Yt )= Et-^ ^ Yt - Et-^ Yt ) 2= Et_^ £i = ht
=ó°+b^ ^2^ =b°+S^ [Yt-^ -PYt-2l2
C^:^UTA f^'AF^A LA E^^TIMAC:IUN D^ w1t)l)F;_^ ^`^ Ak^^;^^ ^^
En cualquier caso, es importante observar que tanto la esperanza como la
varianza condicionales de yt dependen de la información disponible en cada
instante y no son, por tanto, constantes.
Estos resultados se generalizan fácilmente a un modelo AR(1) con estructura
ARCH(p), definido por las ecuaciones [5] y[3]. En este caso, la varianza incon-
dicional de yt es también constante:
so
var(Yt)=__
1 -Q2 1 -b1 - ...
mientras que la varianza condicional del proceso en S2t _ 1 depende de la informa-
ción disponible en cada instante, siendo su expresión:
vart-1 (Yt)=ht =bo+ólEt 1+...+bp^t p
! ^0 + S1 ( Yt-1 T PYt-2 )2 + • • • + bp ( Yt-p-1 - PYt-p )2
3.3. Estimación de máxima verosimilitud del modelo ARCH(p^
univariante
Sea el proceso descrito en las ecuaciones [1 ] y[3]. Dado que cada observación
^t del proceso tiene una distribución condicional Normal independiente de las
dernás, el logaritmo de la función de verosimilitud condicional es ia suma del
logaritmo de la verosimilitud de cada una de ias T observaciones muestrales, por
lo que puede escribirse como:
^=^T 1,=-^T 1- in ( ht ^ + __^t 2-
[6]
^-, t-, 2 2ht
donde se han eliminado las constantes y It denota el logaritmo neperiano de la
contribución del período t a la función de verosimilitud, cuyas derivadas primera
y segunda respecto a b son:
ai, - _^ _ an,2 E^2 - 1
[7]
as 2n, as n,
a2 It aht ^ht ^t + ct 1 ^ 1 ht
___._ _ ^ ___1 _ -_ -
ab^b' 2h4 ^b ^b' ht hi ^b' 2h?
1^^^ E s^rfa[^i^^rit^,^ E sF^^>^n^^:^^i A
En estas expresiones b es un vector cie p+1 parámetros desconocidos y el
resto son escalares, por lo que el gradiente anterior es un vector (p+1)x1 y la
matriz hessiana es simétrica de orden (p+1)x(p+1).
La estructura ARCH introduce dependencia entre las distribuciones de proba-
bilidad de ^t correspondientes a períodos sucesivos de tiempo, por lo que tiene
sentido definir la matriz de información como la esperanza condicíonal del hes-
siano de la función de verosimilitud, cambiada de signo. Entonces, utilizando el
hecho de que ht es medible respecto a S^2t_^ (es decir, depende sólo de variables
en S2t_^) así como que: Et._ ^^^ ^ hi , se obtiene: Et_ ^(^^ I ht )= 1, por lo que la
matriz de información resulta:
a^ It 1 ahi ahi
Is^=--^^ Et_ as<^_s^ - ^^ 2ht4 ^^s as^ [8]
En el caso habitual con que ht se supone una función líneai como en [3]:
ht =so+s^ Et ^ +... +sp^t P --^ ht =zt's
donde
^ 2 2
Zt = ( 1, ^_ ^ , . . . , st_p )
s'=( sp, s^ , ... , sp )
entonces, ah^ /as = zt y a partir de la expresión [7] se tiene que:
a_a._sL __^^ -a.asl.t.__^^ zh1_ .t_ Zt h£_tt^__ 1 [9]
mientras que la expresión en [8] puede escribirse:
,
_1 ^ zt zt
t -_h4-- [10]
I ss 2
t
Las expresiones [9] y[10] resultan útiles al programar la estimación numérica
del vector gradiente y la matriz hessiana del modelo univariante ARCH(p). Estos,
a su vez, se utilizan en un algoritmo iterativo del tipo de ^^scoring» para obtener
el estimador MV de los parámetros del modelo. Este algoritmo es:
^ ^ -1 ^ a^t
^ _.___ ^
Si+ 1 ^ Si + ^^ si t as s;