Gruppentheorie: Anwendungen in der Atom- und Festkörperphysik

297 Pages·1977·6.74 MB·German

by  Dr. Rainer Dirl

Rainer Dirl
Peter Kasperkovitz
Gruppentheorie
Anwendungen in der
Atom- und Festkorperphysik
Mit 27 Abbildungen
Vieweg
--Zum Thema -------------
Gruppentheorie
Zur Einfuhrung
Gruppen in der neuen Mathematik,
von I. Adler
Gruppentheorie
Anwendungen in der
Atom- und Festkorperphysik
von R. Dirll P. Kasperkovitz
Erganzende Bucher
Angewandte Gruppentheorie,
von A. P. Cracknell
Gruppentheorie und ihre Anvvendung
auf die Quantenmechanik der Atomspektren,
von E. Wigner
Einfuhrung in die mathematischen Methoden
der Theoretischen Physik,
von H. Dirschmid / W. Kummer / M. Schweda
Vieweg
Dr. Rainer Dirl und Dr. Peter Kasperkovitz sind Assistenten am Institut
fUr Theoretische Physik der Technischen Universitat Wien.
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Dirl, Rainer
Gruppentheorie: Anwendungen in d. Atom- u.
Festkiirperphysik / Rainer Dirl; Peter Kasperkovitz.
- 1. Auf!. - Braunschweig: Vieweg, 1977.
ISBN-I3: 978-3-528-19156-6 e-ISBN-I3: 978-3-322-85699-9
DOl: 10.1007/978-3-322-85699-9
NE: Kasperkovitz, Peter:
Verlagsredaktion: Alfred Schubert
1977
Aile Rechtc vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1977
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1977
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Satz: Vieweg, Braunschweig
Umschlaggcstaltung:
ISBN-I3: 978-3-528-19156-6
III
Vorwort
Dieses Buch ist aus Vorlesungen und Seminaren entstanden, die von Physikstudenten
nach ihrer Grundausbildung in den Gebieten "Mathematik" und "Quantenmechanik" be
sucht werden. Es hat sich gezeigt, da& diese Zielgruppe durchaus in der Lage ist, die hier
dargestellten Probleme zu verstehen und die Methoden, mit denen sie gelost werden kon
nen, zu erlernen. Man darf dabei allerdings nicht iibersehen, da& der ganze Inhalt dieses
Buches einer einsemestrigen Lehrveranstaltung von etwa zwanzig Wochenstunden ent
spricht. Wir empfehlen deshalb jedem Leser, sich zunachst, soweit dies im vorhinein mog
lich ist, dariiber klar zu werden, was er wissen mochte, und dann dieses Ziel auf moglichst
direktem Weg anzustreben. Fiir jene drei Arten von Lesern, die hauptsachlich an den An
wendungen in der Atomphysik, an denen in der Festkorperphysik oder an der allgemeinen
Methode interessiert sind, haben wir in den "Hinweisen flir den Leser" detaillierte Vor
schlage ausgebreitet. Allen anderen sollte die starke Gliederung des Stoffes und das aus
ftihrliche Sachverzeichnis helfen, allzugro&e Umwege zu vermeiden.
Da& nicht jeder Leser in diesem Buch genau das finden wird, was er sucht, wird nieman
den iiberraschen, der wei&, welchen Umfang die einschlagige Literatur bereits angenommen
hat. Das Prinzip, das uns bei der Auswahl des Stoffes geleitet hat, war vor allem die Erfah
rung, da& sich die Tragweite einer allgemeinen Aussage oder die Leistungsfahigkeit einer
Methode am besten an Hand einiger typischer Beispiele erfassen la&t. 1m Bereich der An
wendungen (Teil III-V) steht man auf der Suche nach so1chen Beispielen vor der Entschei
dung, ob man "akademische" oder "realistische" Beispiele wahlen solI. Die einen haben
den Vorteil, wegen ihrer Einfachheit auch einem Anfanger kaum Schwierigkeiten zu be
reiten; die anderen sind zwar wesentlich schwieriger und umfangreicher, daflir aber bei
der Losung iihnlicher Probleme von gro&erem Nutzen. Wir haben versucht, dadurch einen
Mittelweg einzuschlagen, da& wir uns auf die einfachsten "realistischen" Probleme (Atome
mit hochstens drei Valenzelektronen, einfach kubische Kristalle) beschrankt und diese aus
fiihrlich behandelt haben.
Was diese Beispiele veranschaulichen solIen, ist im zweiten Teil des Buches zusammen
gefa&t. Dort wird ganz alIgemein gezeigt, we1che Beziehungen zwischen der Gruppentheorie
und der (nichtrelativistischen) Quantenmechanik bestehen und wie sie ausgeniitzt werden
konnen, urn ein gegebenes Eigenwertproblem zu vereinfachen (Symmetriegruppen) oder
gar volIstandig zu losen (dynamische Invarianzgruppen). Da er das Programm enthalt, nach
dem im folgenden stets vorgegangen wird, kann dieser Teil als das Kernstiick des ganzen
Buches angesehen werden.
Wann die im zweiten Teil angeftihrten Methoden iiberhaupt anwendbar sind und wie in
verschiedenen Fallen im Einzelnen vorzugehen ist, zeigt der erste Teil des Buches, in dem
alle spater benOtigten mathematischen Begriffe kurz erklart werden. Urn Lesern, die keine
Mathematiker sind, den Zugang zu erleichtern, haben wir bei schwierigeren oder langeren
Beweisftihrungen nur auf die einschlagige Literatur verwiesen. Dem selben Zweck dienen
auch die iiber dreihundert Beispiele und Aufgaben (mit bekannten Losungen), die sich
IV Vorwort
meistens auf den rein mathematischen Teil eines der spater behandelten Probleme bezie
hen. Da bei diesen Anwendungen der Gruppentheorie nur Darstellungen kompakter Grup
pen auftreten, werden im ersten Teil vor allem die Eigenschaften dieser Gruppen beschrie
ben. Durch die Art, in der die meisten Aussagen formuliert sind, treten dabei die gemein
samen Eigenschaften der endlichen und der kompakten Lieschen Gruppen besonders her
vor. Noch deutlicher ist dies bei den diesen Gruppen zugeordneten Gruppenalgebren der
Fall, die nicht nur im rein mathematischen, sondern auch in allen anwendungsorientierten
Teilen unseres Buches eine besondere Stellung einnehmen. Dies sollte dazu beitragen, wei
tere Kreise mit dieser Konstruktion, die auBerst nlitzlich (projektionsoperatoren anstelle
von unitaren Operatoren), aber leider zu wenig bekannt ist, vertraut zu machen.
Wir haben uns bemtiht, den Text so abzufassen, daB er nicht nur zur Unterstlitzung
einer Spezialvorlesung oder als Diskussionsgrundlage eines Seminars dienen kann, sondem
auch zum Selbststudium geeignet ist. Wenn die Darstellung an man chen Stellen von ver
trauten Formulierungen abweicht, dann nicht, weil wir umjeden Preis originell sein woll
ten, sondern nur deshalb, weil uns die schlieBlich gewahlte Formulierung den Sachverhalt
klarer wiederzugeben schien. Wir hoffen, daB das Streben nach Klarheit, das die Form
dieses Buches vom logischen Aufbau bis zur Wortwahl bestimmte, dem Leser helfen wird,
sich seinen Inhalt schneller und leichter anzueignen, als es uns moglich war. Noch schaner
ware es allerdings, wenn beim Lesen dieses Buches auch etwas von jenem Reiz splirbar
wfude, denjede Methode besitzt, mit der eine ganze Schar von Problemen vollstandig
ge16st werden kann.
Rainer Dirl
Wien, Januar 1977 Peter Kasperkovitz
v
Inhalt
Hinweise fur den Leser IX
Symbolliste XI
Teill: Mathematische Begriffe
1. Kompakte Gruppen
1.1. A. Gruppen 1
1.1. B. Topologische Riiume 6
1.2. Topologische Gruppen 8
1.3. Kompakte Gruppen 9
1.4. A. Endliche Gruppen 10
1.4. B. Analytische Gruppen 10
2. Gruppenalgebren 16
2.1. Das Mittelwertsfunktional 16
2.2. Der Hilbertraum L2(G) 18
2.3. Die reguliire Darstellung 19
2.4. Die Gruppenalgebra A (G) 20
2.5. A. Gruppenalgebren endlicher Gruppen 22
2.5. B. Gruppenalgebren analytischer Gruppen 24
3. Irreduzible Darstellungen 29
3.1. Ideale 29
3.2. Einheiten und UIRs 33
3.3. A. Irreduzible Darstellungen endlicher Gruppen 41
3.3. B. Irreduzible Darstellungen analytischer Gruppen 44
4. Charaktere 47
4.1. Automorphismen einer Gruppe 47
4.2. Automorphismen einer Gruppenalgebra 52
4.3. Das Zentrum der Gruppenalgebra 56
4.4. A. Normierte Klassensummen 60
4.4. B. Casimiropcratoren 65
5. Homomorphismen 69
5.1. A. Homomorphismen 69
5.1. B. Bistetige Abbildungen 75
5.2. Offene Homomorphismen 77
5.3. Halbdirekte Produkte 82
6. Induzierte und subduzierte Darstellungen 84
6.1. Irreduzible Darstellungen direkter Produkte 84
6.2. Irreduzible Darstellungen halbdirekter Produkte 88
6.3. Subduzierte und induzierte Darstellungen 100
6.4. Kronecker-Produkte 109
6.5. Kopplungskoeffizienten und Tensorbasen 114
VI Inhalt
Teilll: Gruppentheorie und Quantenmechanik 116
7. SymmetrieangepaBte Basen und Operatoren 116
7.1. Gruppen unitarer Operatoren 116
7.2. Darstellungen in Hilbertriiumen 117
7.3. Tensoroperatoren 120
7.4. Wigner-Eckart Theorem 122
8. Die Bedeutung einer Gruppe fUr ein quantenmechanisches Problem 124
8.1. Symmetriegruppen 124
8.2. Invarianzgruppen 128
8.3. Nicht-Symmetriegruppen 129
8.4. Nicht-Invarianzgruppen 130
8.5. Gebrochene Symmetrien 131
Teil III: Atomphysik 136
9. Das ~-Potential 136
9.1. Zustande 136
9.2. Die Symmetricgruppc SU (~ X S 2 139
9.3. Die Invarianzgruppe SU (2) (X S 2 141
9.4. Der Untergruppcnverband 0* X S2 (SU(2) X S2 c SU(2)2 (X S2 144
10. Allgemeines Zentralpotential und weitere Wechselwirkungen 147
10.1. Z ustande (Austa uschsymmetrie) 147
10.2. Zentralpotentiale 148
10.3. Spezielle Zustande 150
10.4. Konsequenzen des Pauliverbots 153
11. Einelektronenatome ISS
1l.l. Zustandl' 155
11.2. Spin-Bahn-Wechsclwirkung 157
11.3. Aul:'eres Magnetfeld 160
11.4. F1cktrisches Fcld 162
11.5. Spin-Bahn-Wechselwirkung und Magnetfeld 164
11.6. Spin-Bahn-Wechselwirkung und elektrischcs Feld 167
12. Zweielektronenatome: Iniiquivalente Elektronen 169
1 2.1. Z ustiindc 169
12.2. Antisymmetriesicrung 171
12.3. Coulomb-Wechselwirkung 173
12.4. Spin-Bahn-Wechselwirkung 174
12.5. Magnetfeld 178
12.6. Coulomb-und Spin-Bahn-Wcchselwirkung 179
12.7. Coulomb-, Spin-Bahn-Wechselwirkung und Magnetfeld 182
lnhalt VII
13. Zweielektronenatome: Xquivalente Elektronen 183
13.1. Zustande 183
13.2. Antisymmetrisierung 184
13.3. Coulomb-Wechselwirkung 184
13.4. Spin-Bahn-Wechselwirkung 185
13.5. Magnetfeld 187
13.6. Coulomb-und Spin-Bahn-Wechselwirkung 188
13.7. Coulomb-, Spin-Bahn-Wechselwirkung und Magnetfeld 189
14. Dreielektronenantome: Drei iniiquivalente Elektronen 190
14.1. Zustande 190
14.2. Antisymmetrisierung 195
14.3. Coulomb-Wechselwirkung 195
14.4. Spin-Bahn-Wechselwirkung 197
14.5. Magnetfeld 198
14.6. Coulomb-und Spin-Bahn-Wechselwirkung 199
14.7. Coulomb-, Spin-Bahn-Wechselwirkung und Magnetfeld 199
15. Dreielektronenatome: Zwei iiquivaiente Elektronen 200
15.1. Zustande 200
15.2. Antisymmetrisierung 202
15.3. Coulomb-Wechselwirkung 203
15.4. Spin-Bahn-Wechselwirkung 203
15.5. Magnetfeld 204
15.6. Coulomb-und Spin-Bahn-Wechselwirkung 204
15.7. Coulomb-, Spin-Bahn-Wechselwirkung und Magnetfeld 204
16. Dreielektronenatome: Xquivaiente Elektronen 205
16.1. Zustande 205
16.2. Antisymmetrisierung 210
16.3. Coulomb-Wechselwirkung 210
16.4. Spin-Bahn-Wechselwirkung 212
16.5. Magnetfeld 213
16.6. Coulomb-und Spin-Bahn-Wechselwirkung 213
16.7. Coulomb-, Spin-Bahn-Wechselwirkung und Magnetfeld 215
TeilIV: Kristallfeldtheorie 216
17. Einelektronenatome 216
17.1. Kristallfeld 216
17.2. Spin-Bahn-Wechselwirkung und Kristallfeld 220
18. Zweielektronenatome 223
18.1. Kristallfeld 223
18.2. Coulomb-, Spin-Bahn-Wechselwirkung und Kristallfeld 225
19. Dreielektronenatome 228
19.1. Kristallfeld 228
19.2. Coulomb-, Spin-Bahn-Wechselwirkung und Kristallfeld 230
VIII Inhalt
Teil V: Festkorperphysik 233
20. Energiebiinder 233
20.1. Zustande 234
20.2. Der Hamiltonoperator 238
20.3. Energiebiinder 240
20.4. Niiherungsmethoden 246
21. Gitterschwingungen 249
21.1. Symmetrien der effektiven Wechselwirkung 249
21.2. Gleichgewichtskonfigurationen 255
21.3. Die harmonische Niiherung 258
21.4. Eigenfrequenzen und Polarisationsvektoren 263
21.5. N ormalschwingungen 270
Literatur 276
Sachwortverzeichnis 280
IX
Hinweise fiir den Leser
Lesem, die sich rasch einen Oberblick tiber die allgemeine Methode, tiber Anwendungen
in der Atomphysik fund Kristallfeldtheorie} oder solche in der Festkorperphysik verschaf
fen wollen, empfehlen wir, sich [in dem in den Klammem angegebenen Ausm~] mit folgen
den Begriffen vertraut zu machen:
(1) Allgemeine Methode
Kap. I: Gruppe [(l.lA.I-3)],Komplex [(l.lA.7)], Untergruppe.
Kap.2: Mittelwert [(2.1.1-5,9); (2.5A.l); (2.5B.2)], Hilbertraum L2(G) [(2.2.1-6)],
regulare Darstellung [(2.3.1,2)], Gruppenalgebra[(2.4.1, 3-5, 7-11)].
Kap.3: Einheiten [(3.2.1-4)], UIRs [(3.2.45-49)], Zusammenhang zwischen Einheiten
und UIRs [(3.2.44»), Zerlegung des Einheitsoperators [(3.2.54)].
Kap.4: primitive idempotente Zentrumselemente [(4.3.10)], primitive Charaktere
[(4.3.12,14-18)].
Kap.5: Homomorphismus [(5.1 A.1)], Darstellung, Matrixdarstellung, treu.
Kap.6: direkte Produkte [(6.1.12, 13); s. auch Konvention (5.1A.37)], Kronecker
Produkte [(6.4.1-5)], CG-Koeffizienten [(6.4.11,12,22,23)], Kopplungs
koeffizienten [(6.5.1, 2)].
Kap.7: zeitliche Entwicklung [(7.1.1, 2)], Topologie einer Gruppe von Operatoren
[(7 .1.3)], angep~te Basis [(7.2.1,2, 12, 13, 15, 16)], Tensoroperator [(7.3.9)],
Tensorzerlegung eines Operators [(7.3.13-15)], WE-Theorem [(7.4.4,5,7,9,
11,12)].
Kap.8: Symmetriegruppe [(8.Ll)], Vereinfachung des Eigenwertproblems [(8.l.5,
7 -11); Bild 8.1-4], Nicht-Symmetriegruppe [Abschnitt 8.3), gebrochene
Symmetrie (Vertriiglichkeitsbedingungen) [Abschnitt 8.5 bis (8.5.16)].
(2) Atomphysik fund Kristalffeldtheorie}
Kap.I-8 wie unter (1), auBerdem
Kap. 1: Sn [B-l.l.5], {O*[B-l.l.lO]}, SU(2) [B-1.l.3, 12; (LlA.13)], Euler-Winkel
[B-1.4.3, 4], Liesche Algebra von SU(2) [B-1.4.6, 9,10].
Kap.2: Gewichtsfunktion (Euler-Winkel) [(2.5B.I0)], Drehimpulsoperatoren
[(2.5B.20,21); B-2.5.3].
Kap.3: UIRs von Sn [B-3.3.l], {UIRs von 0* [B-3.3.2]}, UIRs von SU(2)
[B-3.3.7,8].
Kap.4: reelle 3-dimensionale UlR von SU(2) [(4.2.18-21)], {Charaktertafel von 0*
[Tab. 4.4)}, Casimiroperator von SU(2) [B4.4.3).
Kap.5: SU(2)n (x Sn [B-5.3.3].
Kap.6: UIRs von SU(2)n [A-6.l.15], UlRs von SU(2)2 (x S2 [B-6.2.5], {Dj .t, 0*
[B-6.3.1]}, Vielfachheiten flir Sn und SU(2) [B-6.4.1; (6.4.9)], CG-Koeffi
zienten fur Sn und SU(2) [B-6.4.3,4].