Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik 2013

145 Pages·2013·4.21 MB·German

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Fakultät für Physik
und Astronomie der
Ruhr-Universität Bochum
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Institut für Theoretische Physik
Weltraum- und Astrophysik
Manuskript zur Vorlesung
Grundlagen der
Quantenmechanik
und Statistik
–basierendaufVorlesungengehaltenvonH.Fichtner–
Bochum 2013

Manuskript zur Vorlesung
Grundlagen der Quantenmechanik
und Statistik
Horst Fichtner
Institut für Theoretische Physik
Lehrstuhl IV: Weltraum- und Astrophysik
21. März 2013
Version: 1.2

Vorwort
DiesesSkriptbasiertaufderVorlesung„GrundlagenderQuantenmechanikundStatistik“
ausdenSommersemestern2007und2008anderRuhr-UniversitätBochum,gehaltenvon
PDDr.HorstFichtner.DievorliegendeLATEX-VersionsowiealleAbbildungenwurden
vonTobiasKrählingerstellt.
Zum Titelbild: Das Titelbild zeigt stehende Elektronenwellen in einem Quantenkorral
– einem Ring aus 48 Eisenatomen. Hierzu wurden zunächst die Eisenatome auf eine
KupferoberflächeaufgedampftundanschließenddieräumlichstatistischverteiltenEise-
natomemitderSpitzeeinesNiedertemperatur-RastertunnelmikroskopzueinemKreis
miteinemRadiusvon7,1nmangeordnet.DasvomRastertunnelmikroskopaufgenom-
mene Bild zeigt stehende Wellen in der Ladungsverteilung auf der Kupferoberfläche.
DieseräumlichenOszillationensindquantenmechanischeInterferenzmuster,diedurch
dieStreuungdeszweidimensionalenElektronengasesandenEisenatomenundlokalen
Defektenhervorgerufenwerden(Quelle:IBMAlmadenResearchCenter,Visualization
Lab,http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/stm.html)
Vorbemerkung:DasvorliegendeSkriptkann(undsoll)keinLehrbuchersetzen.Insbeson-
dereistes(immernoch)nichtsogründlichKorrekturgelesenwiemanchesBuch.Daher
sindwir(weiterhin)dankbarfürjedenHinweisauf(wahrscheinlichnochexistierende)
Fehler!
– i –

Inhaltsverzeichnis
Vorwort i
I. Quantenmechanik 1
1. Warum Quantentheorie? 3
1.1. TeilchencharakterderStrahlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. DiePlanck’scheStrahlungsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. DerPhotoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3. DerCompton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. WellencharakterderMaterie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. DieAtommodellevonRutherfordundBohr . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2. DieMateriewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3. InterferenzvonMateriewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. DieEinordnungderQuantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Wellenmechanik 17
2.1. DieWellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. DieDispersionsrelationfürMateriewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. DieKlein-Gordon-unddieSchrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4. EigenschaftenderSchrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5. DieInterpretationderWellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6. Erwartungswerte,OperatorenunddasKorrespondenzprinzip . . . . . . 28
2.7. DieEigenschaftenderquantenmechanischenOperatoren . . . . . . . . . . 30
2.8. Diebra-undket-VektorenundderHilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.9. DieHeisenberg’scheUnschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3. Lösung der Schrödinger-Gleichung für spezielle physikalische Systeme 37
3.1. DasfreieTeilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. DereindimensionaleharmonischeOszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. AllgemeineszuPotentialen,gebundenenundStreuzuständen . . . . . . . 43
3.4. DerTunneleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1. DieWKB-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.2. α-ZerfallalsBeispielfürdenTunneleffekt . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5. KonservativeZentralkraftsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5.1. DerDrehimpulsoperator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
– iii –
Inhaltsverzeichnis
3.5.2. DasWasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.3. DieFeinstrukturdesWasserstoffatoms . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4. Systeme von Quanten 67
4.1. DieSchrödinger-GleichungfürTeilchensysteme . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2. DasPeriodensystemderElemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5. Die Interpretation(sprobleme) der Quantenmechanik 71
II. Statistik 75
6. Warum Statistik (=ˆ statistische Mechanik)? 77
6.1. PragmatischeMotivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2. „Prinzipielle“Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3. PhysikalischeMotivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4. HauptsätzederThermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7. Kinetische Gastheorie 81
7.1. VerteilungsfunktionenundMomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2. DieMaxwell’sche(Geschwindigkeits-)VerteilungunddasidealeGas . . . 84
7.3. Die(Informations)Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.3.1. AllgemeineBetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.3.2. AnwendungaufeinthermodynamischesSystem . . . . . . . . . . 86
7.3.3. AnwendungaufeinidealesGas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.3.4. Exkurs:VolumeneinesZustandsimµ-Raum . . . . . . . . . . . . 90
8. Thermodynamik 91
8.1. Zustandsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2. TemperaturundEntropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.3. Zustandsänderungen:reversibleundirreversibleProzesse . . . . . . . . . 94
8.4. DieHauptsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.5. Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.5.1. DasidealeGas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.5.2. DasrealeGas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.5.3. FlüssigeundfesteStoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.6. DerCarnot’scheKreisprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.7. DiethermodynamischenPotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.7.1. KonstanteTeilchenzahl(dN = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.7.2. VariableTeilchenzahl(dN (cid:44) 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9. Statistische Mechanik 109
9.1. DieZustandssummeunddiestatistischenGesamtheiten . . . . . . . . . . 109
9.1.1. DieZustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.1.2. DiestatistischenGesamtheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.1.3. DieZustandssummedesklassischenidealenGases . . . . . . . . . 113
– iv –
Inhaltsverzeichnis
9.2. PhasenraumdichteundDichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.2.1. Mikrodynamikim(klassischen)Phasenraum . . . . . . . . . . . . . 114
9.2.2. Mikrodynamikim(quantenmechnischen)Hilbert-Raum . . . . . . 117
9.3. (Ideale)Quantengase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.3.1. DieZustandssummeundBesetzungszahlen . . . . . . . . . . . . . 119
9.3.2. Bose-Einstein-undFermi-Dirac-Statistik . . . . . . . . . . . . . . 120
9.3.3. Entropieder(idealen)Quantengase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.3.4. QuantenstatistischeAnwendung:dasPhotonengas . . . . . . . . . 122
III. Anhang 125
A. Abschließender Überblick: Das Grundgerüst der Theoretischen Physik 127
A.1. DieTheoretischePhysikimStudium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.2. MathematischeBeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.3. DieGrundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
B. Mathematische Grundlagen 129
B.1. OperatorenundSkalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
C. Periodensystem 131
D. Verzeichnisse 133
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Tabellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
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