Groupe de Brauer: Séminaire, Les Plans-sur-Bex, Suisse 1980 PDF
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Lecture Notes ni Mathematics Edited by .A Dold dna .B Eckmann 844 Groupe ed reuarB Seminaire, seL ,xeB-rus-snalP Suisse 1980 Edite par .M et Kervaire .M Ojanguren I IIIIIIII I galreV-regnirpS Berlin Heidelberg New York 1981 Editeurs lehciM eriavreK Institut de Mathematiques Universit6 de Geneve 2 Rue du Lievre Geneve 1211/Suisse Manuel Ojanguren Institut de Mathematiques Universit6 de Lausanne 1015 Lausanne/Suisse SMA Classifications :)0891( 12A62, ,51E21 14C35, 13A20, 14G05, 16A27 ISBN 3-540-10562-X Springer-Verlag Berlin Heidelberg-NewYork ISBN 0-387-10562-X Springer-Verlag NewYork Heidelberg Berlin emhanfualetitzruK-PIC Brauer: de Groupe Bibliothek. Deutschen der ,erianimes seL ,xeB-rus-snalP Suisse, 0891 / .de rap .M eriavreK te .M - Ojanguren. Heidelberg; Berlin; weN :kroY Springer, .1891 in notes (Lecture ;scitamehtam 844) Vol. Heidelberg, (Berlin, 3-540-10562-X ISBN weN )kroY Berlin) York (New Heidelberg, 0-387-10562-X tSBN :EN ,eriavreK Michel ;].gsrH[ GT This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to "Verwertungsgesellschafl Wort", Munich. © by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1891 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 214t/3140-543210 P R E F A C E Les articles de ce volume reproduisent une partie des expos@s qui ont @t6 donn6s lors d'un s@minaire sur le groupe de Brauer qui a eu lieu aux Plans-sur-Bex (Vaud) du 16 au 22 mars 1980. On trouvera en outre dans ce volume le texte de la th@se de O. Gabber qui est publi@e ici avec la permission de l'auteur. Le s6minaire faisait partie du programme d'enseignement du Troisi~me Cycle Romand de Math6matiques qui en a assur@ le finance- ment et l'organisation scientifique. Au nom de tousles participants, nous exprimons nos plus vifs remerciements ~ Monsieur et Madame Andr@ Amiguet dont le sens de l'organisation, la bonne humeur et l'6nergie in@puisable permettent la r@alisation annuelle et le succ@s des Rencontres Internationales des Plans-sur-Bex. Nous remercions @galement Madame CI. Brugger pour son excellent travail de dactylographie qui a permis de publier ces comptes rendus dans les d61ais les meilleurs. M. Kervaire M. Ojanguren TABLE DES MATIERES J.-P. TIGNOL : Corps ~ Involution Neutralists par une Extension Abelienne El~mentaire S. ROSSET : The Goldie Rank of Virtually Polycyclic Groups 35 B. FEIN & M. SCHACHER Brauer Groups of Rational Function Fields over Global Fields 46 S. BLOCH Torsion Algebraic Cycles, K 2, and Brauer Groups of Function Fields 75 A° TANNENBAUM : The Brauer Group and Unirationality : An Example of Artin-Mumford 103 O. GABBER : Some Theorems on Azumaya Algebras 129 M.A. KNUS & M. OJANGUREN : Cohomologie Etale et Groupe de Brauer 210 W. HURLIMAN Sur le Groupe de Brauer d'un Anneau de PolynSmes en Caract~ristique pet la Th~orie des Invariants 229 P A R T I C I P A N T S AYOUB G. (Lausanne KERVAIRE M. (Gen~ve) FLUCKIGER-BAYER E. (Gen~ve) KNUS M. (ZUrich) BLOCH S. (Chicago) KRATZER Ch. (Lausanne) BOECHAT J. (Lausanne LANG Fr. (Lausanne) BOILLAT J. (Berne) MATHEY J.B. (Neuch~tel) BOVET H. (Lausanne OJANGUREN M. (Lausanne) CIBILS C. (Gen~ve) PINO-ORTIZ O. (Gen~ve) COLLIOT-THELENE J.L. (Orsay) PROCESI CI. (Roma) CONTI B. (Fribourg) REICHENTHAL S. (Lausanne) CORAY D. (Gen~ve) ROSSET S. (Tel Aviv) DEFFERRARD J.M. (Neuch~tel) SANSUC J.J. (Paris) DRAXL P. (Bielefeld) SCHACHER M. (UCLA) ELIAHOU S. (Gen~ve) SIGRIST F. (Neuch~tel) FEIN B. (Oregon State SPALTENSTEIN N. (Lausanne) University) ST~PFLI-ROLLIER .N (Lausanne) GERBER A. (Berne) STEINER Ph. (Gen~ve) GONIN J.B. (Lausanne) TADDEI G. (Gen~ve) GRIVEL P.P. (Gen~ve) TANNENBAUM A. (ZUrich & HABEGGER N. (Gen~ve) Tel Aviv) DE LA HARPE P. (Gen~ve) THEVENAZ J. (Lausanne) HATT-ARNOLD D. (Gen~ve) TIGNOL J.P. (Louvain) HURLIS~NN W. (ZUrich) VUST Th. (Gen~ve) JONES V. (Gen~ve) CORPS A INVOLUTION NEUTRALISES PAR UNE EXTENSION ABELIENNE ELEMENTAIRE J.-P. Tignol Universit~ Catholique de Louvain B-1348 Louvain-la-Neuve, Belgique. Les corps consid6r~s dans ce travail sont de caract~ristique diff~ren- te de .2 Une involution d'un anneau est un anti-automorphisme dont le carr~ est l'identit6. Si les ~l~ments du centre sont invariants par l'involution, on dit que celle-ci est de premiere esp¢ce; dans le cas contraire, on dit que l'involution est de seconde esp¢ce. A.A.Albert [2,Th. I0.19] a d6montr~ qu'une alg~bre simple A de rang fi- ni sur son centre F poss~de une involution de premiere esp~ce si et seulement si son exposant est I ou .2 (Par d~finition, l'exposant de A est l'ordre de sa classe de similitude darts le groupe de Brauer Br(F); une alg~bre d'exposant Iest donc une alg~bre de matrices.) Iien r@- sulte que le degr~ d'un corps ~ involution de premiere esp~ce, c'est- ~-dire la racine carrie de son rang sur le centre, est une puissance de .2 Les alg~bres simples de degr~ 2, appel~es alg~bres de quaternions, et plus g~n~ralement les produits tensoriels de telles alg~bres, poss~dent une involution de premiere esp~ce; un probl~me classique, ~nonc~ ici sous forme de conjecture, est de d~terminer si tout ~l~ment d'ordre 2 dans le groupe de Brauer est la classe d'un tel produit: Conjecture principale: tout corps ~ involution de premiere esp¢ce, de rang fini sur son centre, est semblable ~ un produit tensoriel de corps de quaternions. Peu de r~sultats ~tayent cet~e conjecture; cependant, on ne connaissait nagu~re aucun contre-exemple ~ la conjecture suivante, dont l'~nonc~ est pourtant sensiblement plus fort: Conjecture forte: tout corps ~ involution de premiere esp¢ce, de rang fini sur son centre, est un produit tensoriel de corps de quaternions. La conjecture forte est ~videmment vraie pour les corps de degr~ ;2 elle l'est ~galement pour les corps de degr~ 4, d'apr~s un th~or~me de A.A.Albert [I]. En 1977, L.H.Rowen [12,Th.6.2] d~montre que tout corps ~ involution de premiere esp~ce, de degr~ 8, (de caract6ristique diff~rente de 2), contient un sous-corps commutatif maximal qui est une extension ab61ienne ~l~mentaire du centre; ce r~sultat permet de prouver [17] que la conjecture principale est vraie pour les corps involution de degr~ ;8 cependant, S.A.Amitsur, L.H.Rowen et l'auteur [3] ont montr~ que la conjecture forte n'est pas vraie: il existe un corps ~ involution de premiere esp~ce, de degr~ 8, ayant pour centre le corps des fractions rationnelles en quatre ind~termin~es sur le corps des nombres rationnels, qui ne se d~compose pas en produit ten- soriel de trois corps de quaternions. La d~monstration de la conjecture principale pour les corps ~ involu- tion de degr~ 8 et la construction de contre-exemples ~ la conjecture forte (ainsi qu'une d~monstration, due ~ M.Racine [10] , du th~or~me d'Albert sur les corps ~ involution de degr~ 4) reposent sur certaines propri~t~s d'un complexe de groupes ab~liens associ~ ~ une extension ab~lienne d'exposant 2 de corps commutatifs. Le but du present travail est d'introduire ce complexe et d'en donner quelques propri~t~s. Diver- ses applications ~ la th~orie des formes quadratiques, dues ~ R.Elman, T.Y.Lam, A.R.Wadsworth, D°B.Shapiro et !'auteur, ne sont pas abord~es ici; elles font l'objet d'articles en preparation. Pour pr~ciser le contenu de ce travail, il convient d'introduire quel- ques notations: si F est un corps commutatif, on note x F le groupe mul- 3 tiplicatif de F et Fle quotient FX/FX~; on d6signe par Br2(F) le grou- pe des 616ments de Br(F) dont l'ordre divise .2 Soit ~ l'homomorphisme "symbole quaternionien" de F ® F dans Br2(F), d6fini par: ~(Z x ® y) = Q(~,y/F), o~ (x,y/F) est la classe de similitude de l'alg~bre de quaternions sur F dont les 616ments ,i j de la base usuelle satisfont les relations: 2 = x; i 2j = y. (Dans la suite, l'616ment (x,y/F) de Br(F) est souvent not6 (x,y), lorsqu'aucune confusion n'est a craindre.) Soit (ker ~)' le sous-groupe de F ® F engendr6 par les 616ments d6composables (c'est- a-dire de la forme x ® y) contenus dans le noyau de .o La conjecture principale peut s'6noncer comme suit: pour tout aorps (commutatif) ,F la suite: ^ (ker ~)' ~ F ® F ~ Br2(F) ~ I (0.1) est exacte en Br2(F); par ailleurs, l'exactitude de la suite ci-dessus en F ® F est 6quivalente a l'injectivit6 du "symbole quaternionien" du groupe k2F de Milnor dans Br2(F), car, d'apr~s [16,p.266] , le quotient ® F/(ker ~)' s'identifie a k2F. Le complexe C(M/F) associ6 a une extension ab61ienne d'exposant 2 s'ob- tient en remplagant, dans la suite (0.1), l'un des facteurs F du pro- duit tensoriel par le noyau de l'homomorphisme canonique de F dans M, et en modifiant les autres termes en cons6quence.(La d6finition pr6cise est donn6e au §I.) Les groupes d'homologie du complexe sont not6s Ni(M/F) • Lorsque le rang de M sur F ne d6passe pas 4, le complexe C(M/F) est acy- clique; on montre dans les §§2 et 3 que ce r6sultat permet de d6montrer la conjecture forte pour les corps de degr4 4 et la oonjecture princi- pale pour les corps de degr6 .8 Lorsque l'extension M/F est telle que N2(M/F) ne soit pas trivial, alors certains produits crois~s ab~liens g~n6riques construits ~ partir de l'extension M/F sont des contre-exemples a la conjecture forte (voir 4 [18]). Dans le §4, on montre que, pour une extension M/F de rang 8, le groupe N2(M/F) est isomorphe ~ un quotient de sous-groupes du groupe multiplicatif F×; cet isomorphisme permet d'interpr~ter g6om6triquement la trivialit6 du groupe :N (M/F). On donne 6galement, ~ la fin de ce §, un exemple d'extension de rang 8 telle que 2N (M/F) ~ ;I cet exemple est d~ ~ S.A.Amitsur, L.H.Rowen et l'auteur. L'objet du §5 est de montrer que, si K est une extension de F de rang impair, alors les groupes d'homologie du complexe C(M/F) sont appliqu6s de mani~re injective dans ceux du complexe C(M.K/K), par extension des scalaires. Enfin, dans le §6, on d6montre que le complexe associ6 5 une extension ab61ienne d'exposant 2 d'un corps complet pour une valuation discrete non dyadique a mSme homologie que celui qui est associ6 5 l'extension r6siduelle. Ce r6sultat permet de construire, pour tout entier n > 3, une extension ab@lienne 61~mentaire de rang n 2 telle que ~N (M/F) soit non trivial. De nombreuses conversations avec le Professeur J.Tits m'ont 6t6 tr~s utiles; je lui en suis vivement reconnaissant. §I: D6finitions Soit Fun corps commutatif (de caract~ristique diff~rente de 2); soit × = F F-{0} le groupe multiplicatif de F et F = F×/F 2× . Soit encore s F une clSture s6parable de .F La th6orie de Kummer 6tablit une correspon- dance biunivoque entre les sous-groupes finis de F et les extensions ab61iennes finies d'exposant 2 de F contenues darts F . Le sous-groupe F (M) de F associ6 par cette correspondance ~ une extension M est le noyau de l'homomorphisme canonique de F dans M; de sorte que si l'ex- tension M est obtenue en adjoignant ~ F les racines carr6es (dans F ) 5 d'~l~ments a], ..., n a de F x, alors (M)F est le sous-groupe de F engen- dr~ par les images de I, a ..., . n a De plus~ la th~orie de Kummer met en dualit~ le groupe (M)F et le groupe de Galois G de M sur F; en d~signant par X(G) le groupe des caract~res de G, on a un isomorphisme: K: x(G)-, )M( F d~fini de la mani~re suivante: si X est un caract~re non trivial de G, alors le sous-corps M des ~l~ments de M invariants par ker X est une × extension quadratique de F et le sous-groupe F (Mx) de F contient donc deux ~l~ments; par d~finition, KX est l'~l~ment non trivial de F. (Mx) Soit o: X(G) ® F ~ Br 2 )F( l'homomorphisme d~fini par: ~[z x ® fx) = ®(~x,:~x):. Comme les ~l~ments KX sont tous triviaux dans M~ l'image de d est con- tenue dans le noyau de l'homomorphisme p d'extension des scalaires: :p Br 2 )F( ~ Br (M). 2 Par ailleurs, les ~l~ments d~composables de ker o sont de la forme X ® f, oO f appartient ~ l'image de l'application d6duite de la norme, de M dans F. X ^ A 9oit ~: @, M ~ X(G) ® F ×e X[G) × (le ' indiquant que le caract~re trivial est exclu de la sommation) l'homomorphisme d~fini par: .((mx)xeX(G)) = x × ® NMx/F(m×); l'imag~ de ~ est donc le sous-groupe de ker a engendr~ par les ~l~ments d~composables qu'il contient et le complexe suivant est analogue ~ la suite (0.I): ^ ",9 ^ O" p @'M ~- X(G) ® F ~ Br 2 (F) ~- Br2 [M). × X Pour le calcul du groupe d'homologie de ce complexe en Br2 (F), il est utile de lui ajouter un terme ~ droite, semblable au dernier terme d'un complexe dSfini par R.Elman, T.Y.Lam et A.R.Wadsworth [ 8] : pour g ~ G,
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