Geometric Methods in the Algebraic Theory of Quadratic Forms

183 Pages·2004·1.73 MB·English

by  Tignol J.-P., Izhboldin O.T.

Cohomologie non ramifi´ee des quadriques
Bruno Kahn
Institutde Math´ematiques de Jussieu
175–179 rue du Chevaleret
75013 Paris, France
[email protected]
Introduction
Lebutdecetexte estdedonnerunsurvoldetechniquespermettant lecal-
culdelacohomologienonramifi´eedecertainesvari´et´esprojectiveshomog`enes
enpoids≤3.Bienque lacohomologienonramifi´eesoituninvariantbiration-
nel des vari´et´es propres et lisses (cf. th´eor`eme 3.3), ces techniques exigent la
donn´ee d’un mod`ele projectif lisse explicite.
Dans les §§1, 2 et 3, on rappelle les bases de la th´eorie : suite spectrale
deconiveau,complexesde Cousin,complexes deGersten, conjecture de Gers-
ten. Ces rappels, essentiellement fond´es sur l’article [6], sont formul´es pour
une «th´eorie cohomologique `a supports» quelconque qui satisfait a` certains
axiomes convenables. Des exemples de telles th´eories sont donn´es au §4.
A` partir du §6, on choisit comme th´eorie cohomologique la cohomo-
logie motivique ´etale `a coefficients entiers et on suppose que les vari´et´es
consid´er´ees sont lisses et g´eom´etriquement cellulaires (c’est-`a-dire admettent
une d´ecomposition cellulaire sur la clˆoture alg´ebrique) : c’est le cas par
exemple des vari´et´es projectives homog`enes. On introduit le compl´ement in-
dispensableauxsuites spectrales de coniveau:les suitesspectrales dites«des
poids», cf. [13]. La construction de ces suites spectrales repose sur la th´eorie
desmotifstriangul´esdeVoevodsky[44],cequiobligepourl’instanta`supposer
que le corps de base k est de caract´eristique z´ero.
Si X est une k-vari´et´e projective homog`ene, on souhaite calculer le noyau
et le conoyau des homomorphismes
Hn+2(k,Z(n))→Hn+2(X,Z(n)),n≥0. (*)
nr
Lam´ethode est de consid´erer ensemble lasuite spectrale de coniveauet la
suitespectrale despoids,chacuneen poidsn:ellesconvergenttoutes lesdeux
vers lacohomologiemotiviquede poids n de X. La cohomologienon ramifi´ee
faisantpartie du terme E de la premi`ere suite spectrale et le terme E de la
2 2
seconde´etantengrande partiecalculable,onpeut esp´erer ´etudier (*)de cette
J.-P.Tignol(Ed.):LNM1835,pp.1–23,2004.
(cid:1)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2004
2 Bruno Kahn
mani`ere. Des exemples sont donn´es dans les §§6 `a 10 : la plupart concernent
l’´etude de (*) pour les quadriques et pour n ≤ 3, faite en collaboration avec
RostetSujatha.Unbrefaperc¸udel’applicationdecestechniquesauxgroupes
SK et SK des alg`ebres centrales simples est ´egalement donn´e au §9.
1 2
1 Partie non ramifi´ee d’une th´eorie cohomologique
D´efinition 1.1 (pour ce mini-cours). a) Soit k un anneau de base (nœ-
th´erien r´egulier). Nous utiliserons la cat´egorie P/k suivante :
– Les objets de P/k sont les couples (X,Z), ou` X est un sch´ema r´egulier
de type fini sur k et Z est un ferm´e (r´eduit) de X.
– Un morphisme f: (X(cid:1),Z(cid:1))→(X,Z) est un morphismef: X(cid:1) →X tel
que f−1(Z)⊂Z(cid:1).
b)Uneth´eoriecohomologique (a`supports)surP/kestunefamilledefoncteurs
(hq: (P/k)o →Ab)q∈Z
(X,Z)(cid:8)→hq(X)
Z
v´erifiant la condition suivante : pour tout triplet (Z ⊂ Y ⊂ X) avec (X,Y),
(X,Z)∈P/k, on a une longue suite exacte
···→hq(X) →hq (X)→hq (X −Z)→hq+1(X) →...
Z Y Y−Z Z
fonctorielle en (X,Y,Z) en un sens ´evident.
On note hq(X)=hq (X) et onremarque quehq(X) =0pour tout(q,X).
X ∅
D´efinition 1.2. La th´eorie hq v´erifie l’excision Zariski (resp. Nisnevich) si
elle est additive :
hq (X (cid:10)X(cid:1))=hq(X)⊕hq (X(cid:1))
Z(cid:4)Z(cid:1) Z Z(cid:1)
etsif∗: hq(X) −→∼ hq (X(cid:1))lorsquef: (X(cid:1),Z(cid:1))→(X,Z)est donn´ee parune
Z Z(cid:1)
immersion ouverte (resp. par un morphisme ´etale) tel que Z(cid:1) = f−1(Z) et
f: Z(cid:1) −∼→Z.
Si h∗ v´erifie l’excision Zariski,pour tout recouvrement ouvert X =U ∪V
on a une longue suite exacte de Mayer–Vietoris :
···→hq(X)→hq(U)⊕hq(V)→hq(U ∩V)→hq+1(X)→...
Sih∗ v´erifie l’excisionZariski,onpeut construire des complexes de Cousin
et une suite spectrale de coniveau (Grothendieck) :
A) Soit Z(cid:3) = (∅ ⊂ Zd ⊂ Zd−1 ⊂ ···⊂ Z0 = X) une chaˆıne de ferm´es. Les
suites exactes
···→hp+q (X) −i−p+−1−,q−−→1 hp+q(X)−j−p→,q hp+q (X −Z )
Zp+1 Zp Zp−Zp+1 p+1
−k−p,→q hp+q+1(X)→...
Zp+1
Cohomologie non ramifi´ee des quadriques 3
d´efinissent un couple exact
Dp+1,q−(cid:4)(cid:4)(cid:3)1(cid:3)k(cid:3)p(cid:3),q(cid:3)(cid:3)(cid:3)i(cid:3)p(cid:3)+1,q−1(cid:3)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)j(cid:2)p(cid:2),(cid:2)q(cid:1)(cid:1)(cid:2)Dp,q
Ep,q
(ou` kp,q est de degr´e (0,+1)), avec Dp,q = hp+q(X), Ep,q = hp+q (X −
Zp Zp−Zp+1
Z ). Cela donne une suite spectrale de type cohomologique qui converge
p+1
vers D0,n =hn(X), la filtration associ´ee ´etant
(cid:8) (cid:9)
Fphn(X) =Im hn (X)→hn(X)
Zp
avec
Ep,q =Ep,q, dp,q =kj.
1 1
B) On suppose X ´equidimensionnel de dimension d et on ne s’int´eresse
qu’auxZ(cid:3) tels que codim Z ≥p.On passe `a lalimite sur ces Z(cid:3) : on obtient
X p
un nouveau couple exact, avec
Dp,q =−li→mhpZ+pq(X)=:h≥p+pq(X)
Z(cid:1)
Ep,q =limhp+q (X −Z ).
−→ Zp−Zp+1 p+1
Z(cid:1)
En utilisant l’excision Zariski, on trouve un isomorphisme
(cid:10)
l−i→mhpZ+p−qZp+1(X −Zp+1)(cid:2) hxp+q(X)
Z(cid:1) x∈X(p)
ou` X(p) ={x∈X |codim {x}=p} et
X
hp+q(X) := lim hp+q (U)
x −→ {x}∩U
U(cid:8)x
U ouvert
(groupe de cohomologielocale), ce qui donne la forme classique du terme E
1
de la suite spectrale de coniveau :
(cid:10)
Ep,q = hp+q(X)⇒hp+q(X). (1)
1 x
x∈X(p)
La filtration a` laquelle elle aboutit est la filtration par la codimension du
support
(cid:11) (cid:8) (cid:9)
Nphn(X)= Im hn(X) →hn(X)
Z
codimXZ≥p (cid:11) (cid:8) (cid:9)
= Ker hn(X) →hn(X −Z) .
codimXZ≥p
4 Bruno Kahn
D´efinition 1.3. a) Le complexe de Cousin en degr´e q de h sur X est le
complexe des termes E de la suite spectrale :
1
(cid:10) (cid:10)
0→ hq(X) −d−01,→q h1+q(X)−d−11,→q ...
x x
x∈X(0) x∈X(1)
(cid:10)
−d−p1−−−1,→q hp+q(X) −d−p1,→q ...
x
x∈X(p)
b) La cohomologie non ramifi´ee de h sur X (en degr´e q) est le groupe
(cid:8) (cid:10) (cid:10) (cid:9)
E0,q =Ker hq(X)−d−01,→q h1+q(X) =:hq (X).
2 x x nr
x∈X(0) x∈X(1)
Si X =X1(cid:10)···(cid:10)Xr, on a hqηi(X)=hqηi(Xi)=−li→mU⊂Xihq(U), ou` ηi est
le point g´en´erique de Xi : ce groupe ne d´epend que de ηi et nous(cid:12)le noterons
habituellementhq(η ) ou hq(K ) si η =SpecK . On a hq (X)= hq (X ).
i i i i nr i nr i
Pour X connexe, on a donc
(cid:8) (cid:10) (cid:9)
hq (X)=Ker hq(η)→ h1+q(X) .
nr x
x∈X(1)
2 Puret´e; complexes de Cousin et complexes de Gersten
On se donne une th´eorie cohomologiquegradu´ee
h∗: (X,Z)(cid:8)→hq(X,n), q,n∈Z.
Z
(L’entier n s’appelle le poids.)
D´efinition 2.1. h∗ est pure si, pour tout (X,Z)∈P/k avec X r´egulier et Z
r´egulierpurementdecodimensioncdansX,ons’estdonn´edesisomorphismes
π : hq−2c(Z,n−c)−∼→hq(X,n)
X,Z Z
contravariants en les (X,Z) comme au-dessus (`a c fix´e).
(On dit que h∗ est faiblement pure si la puret´e n’est exig´ee que pour X
et Z lisses sur k : si k est un corps parfait, cela revient au mˆeme.) Si k
est raisonnable (par exemple un corps ou SpecZ), cette condition entraˆıne
l’excisionNisnevich:c’est´evidentpour des couplescommedans lad´efinition,
et en g´en´eralon s’yram`ene par r´ecurrence nœth´erienne en consid´erant le lieu
non r´egulier de Z, qui est ferm´e et diff´erent de Z.
Sih∗ estpure,lasuitespectrale (1)prendlaformepeut-ˆetre plusfamili`ere
(cid:10)
Ep,q = hq−p(κ(x),n−p)⇒hp+q(X). (2)
1
x∈X(p)
Cohomologie non ramifi´ee des quadriques 5
Enparticulier,lescomplexesdeCousindeviennentdescomplexes de Gers-
ten (on suppose X connexe pour simplifier) :
(cid:10) (cid:10)
0→hq(κ(X),n)→ hq−1(κ(x),n−1)→ hq−2(κ(x),n−2)...
x∈X(1) x∈X(2)
et on retrouve une d´efinition plus famili`ere de h :
nr
(cid:8) (cid:10) (cid:9)
hq (X,n)=Ker hq(κ(X),n) → hq−1(κ(x),n−1) .
nr
x∈X(1)
Remarque 2.2. Dans certains cas, on n’a la puret´e qu’a` isomorphisme pr`es;
pour obtenir des isomorphismes de puret´e canoniques, on doit introduire des
variantes de la th´eorie h, a` coefficients dans des fibr´es en droites. C’est le cas
notamment pour les groupes de Witt triangulaires de Barge–Sansuc–Vogel,
Pardon, Ranickiet Balmer–Walter ([3], voir aussi [39]).
3 Conjecture de Gersten
D´efinition3.1. Pourtout(p,q),onnoteEp,qlefaisceauassoci´eaupr´efaisceau
1
Zariski (cid:10)
U (cid:8)→Ep,q(U)= hp+q(U).
1 x
x∈U(p)
On a ainsi pour tout q un complexe de faisceaux
0→Hq →E0,q →E1,q →···→Ep,q →...
1 1 1
aveclesEp,q flasques pourlatopologiedeZariski,ou`Hq estlefaisceauassoci´e
1
au pr´efaisceau U (cid:8)→hq(U).
D´efinition 3.2. On dit que h v´erifie la conjecture de Gersten sur X si ce
complexe est exact pour tout q.
Si c’est le cas, le complexe
0→E0,q →E1,q →···→Ep,q →...
1 1 1
d´efinit une r´esolution flasque de Hq, et on peut ´ecrire le terme E de la suite
2
spectrale de coniveau
Ep,q =Hp (X,Hq).
2 Zar
Th´eor`eme 3.3 (Gabber [8], essentiellement). Supposons que k soit un
corpsinfini.Alors,pour queh v´erifielaconjecturedeGersten surtoutX lisse
sur k, il suffit que les deux conditions suivantes soient v´erifi´ees :
(1) h v´erifie l’excision Nisnevich.
6 Bruno Kahn
(2) Lemmecl´e.Pourtoutn,pourtoutouvertV deAn,pourtoutferm´eF ⊂V
k
et pour tout q∈Z, le diagramme de gauche est commutatif :
hq (A1)(cid:2)(cid:2) j∗ hq (P1) A1 j (cid:1)(cid:1) P1
A1F V(cid:4)(cid:4)(cid:3)(cid:3)(cid:3)π(cid:3)∗(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)P1F (cid:5)(cid:5)s∗∞V V (cid:4)(cid:4)π(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)π˜(cid:6)(cid:6) (cid:5)(cid:5)V(cid:7)(cid:7)s∞
hq(V) V
F
ou` s∞ est la section `a l’infini.
La condition (2) est v´erifi´ee dans chacun des cas suivants :
(3) h est invariante par homotopie : pour tout V lisse, h∗(V) −∼→h∗(A1) (il
V
suffit que ce soit vrai pour V comme en (2)).
(4) h est «orientable» : il existe une th´eorie cohomologique e et, pour tout
(X,Z)∈P , une application
k
Pic(X) →Hom(e∗(X),h∗(X))
Z Z
naturelle en (X,Z), d’ou` (pour (X,Z) = (P1 ,P1)) un homomorphisme
V Z
α
V,F
e∗ (P1) [O(1)]−[O] (cid:1)(cid:1)h∗ (P1)
P1Fπ˜ (cid:7)(cid:7) V (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5)α(cid:5)V(cid:5),F(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:8)(cid:8) P1F V
e∗(V)
F
et, pour (V,F) comme en (2), l’application
hq(V)⊕eq (V)−(−π−∗,−α−V,−F→) hq (P1 )
F F P1 V
F
est un isomorphisme.
Preuve. Voir[6].Pourkfini,ons’entireensupposantl’existencedetransferts
sur h (pour des revˆetements ´etales provenant d’extensions du corps de base).
(cid:16)(cid:17)
Cons´equences pour la cohomologie non ramifi´ee
Th´eor`eme 3.4. Sous les hypoth`eses (1) et (2) du th´eor`eme 3.3, pour toute
vari´et´e X lisse sur k :
a) hq (X) (cid:2) H0 (X,Hq)(cid:2) H0 (X,Hq), ou` H∗ d´esigne la cohomologie de
nr Zar Nis Nis
Nisnevich (ceci s’´etend `a tous les termes E de la suite spectrale de coniveau,
2
et ne sera pas utilis´e ici).
b) Si X est de plus propre, hq (X) est un invariant birationnel.
nr
c) Soient X, Y lisses et int`egres et p: X → Y un morphisme propre. Sup-
posons que la fibre g´en´erique de p soit k(Y)-birationnelle a` l’espace projectif
Pd . Alors, hq (X) −p→∗ hq (Y) est un isomorphisme.
k(Y) nr nr
Cohomologie non ramifi´ee des quadriques 7
Preuve. [6]. (cid:16)(cid:17)
Par cons´equent, sous (1) et (2), X (cid:8)→hq (X) est un invariant birationnel
nr
stable pour les k-vari´et´es propres et lisses. On lenotera souvent hq (k(X)/k),
nr
ou simplement hq (k(X)).
nr
D´efinition3.5. Pour K/k uncorps de fonctions(ayantun mod`elepropre et
lisse), on note ηq l’application
K,h
hq(k)→hq (K/k).
nr
SiK/k est stablement rationnelle (K(t ,...,t )/k est transcendante pure
1 r
pour r assez grand), ηq est un isomorphisme pour tout q. On s’int´eressera
K,h
principalementa`l’´etudede ηq quandK/k est g´eom´etriquement stablement
K,h
rationnelle.
4 Exemples de bonnes th´eories cohomologiques
Les exemples ci-dessous v´erifient tous l’excision Nisnevich et sont inva-
riants par homotopie. (4.2) v´erifie un th´eor`eme de puret´e, (4.1) et (4.4)
v´erifientunth´eor`eme depuret´e faible;quanta`(4.3),seulun th´eor`eme depu-
ret´e pour un support de dimension z´ero est actuellement d´emontr´e (il s’agit
d’ailleurs d’un th´eor`eme de puret´e «tordu», la th´eorie n’´etant pas orien-
table) : il est suffisant pour les applications.
(4.1) Cohomologie ´etale. hq(X,n)=Hq(X ,µ⊗n), (N,cark)=1.
Z Z ´et N
Variantes : HZq(X´et,(Q/Z)(cid:1)(n)), ou` (Q/Z)(cid:1)(n) = −li→m(N,cark)=1µ⊗Nn,
Hq(X ,Q/Z (n)),ou` Q /Z(n)=limµ⊗n pour l premier (cid:18)=cark,etc.
Z ´et l l l l −→ lν
Le cas particulier le plus int´eressant pour nous est q =n+1.
(4.2) K-th´eorie alg´ebrique. hq(X) =KZ(X)(cid:2)K(cid:1)(Z) (Quillen).
Z q q
(4.3) Les groupes de Witt triangulaires de P. Balmer. [3, 2]
(4.4) Cohomologie motivique, Zariski ou ´etale. SuslinetVoevodskyont
d´efinidans[42]descomplexesdefaisceauxZ(n)sur(Sm/k) (cat´egorie
Zar
des k vari´et´es lisses munie de la topologie de Zariski). On prend
hq(X,n)=Hq(X ,Z(n))
Z Z Zar
ou
hq(X,n)=Hq(X ,α∗Z(n))
Z Z ´et
ou` α est laprojection du site ´etale (Sm/k) sur (Sm/k) . Variantes :
´et Zar
on prend Z (n) := Z(n)⊗ Z , etc. (Si on est en caract´eristique p,
(l) (l)
Hq(X ,α∗Z(n)) ne devient invariant par homotopie et ne v´erifie un
Z ´et
th´eor`eme de puret´e qu’apr`es avoir invers´e p; toutefois, cette th´eorie a
les propri´et´es (1) et (4) du th´eor`eme 3.3mˆeme avantd’inverser p,donc
8 Bruno Kahn
v´erifie laconjecture de Gersten.) Dans lasuite, on notera en g´en´eral les
groupes de cohomologiemotivique avec H plutoˆt que H.
On a : (cid:13)
(cid:5) (cid:6)
0 si q >n
Hq (Speck) ,Z(n) =
Zar KM(k) si q =n;
n
en caract´eristique 01 et sous la conjecture de Bloch–Kato (par exemple
pour l=2 ou pour n≤2) :
(cid:5) (cid:6)
Hn (Speck) ,Z (n) =KM(k)⊗Z
(cid:5) ´et (l) (cid:6) n (l)
Hn+1 (Speck) ,Z (n) =0 («Hilbert 90»).
´et (l)
Enfin, on a une longue suite exacte, pour l(cid:18)=cark :
...Hq(X ,Z (n))→Hq(X ,Q(n))→Hq(X ,Q/Z (n))
´et (l) ´et ´et l l
−→∂ Hq+1(X ,Z (n))→...
´et (l)
ou`lesgroupes a`coefficients Q /Z sontceux de(4.1).PourX =Speck,
l l
ona Hq(X,Q(n))=0pour q >n,donc ∂ est un isomorphismed`es que
q≥n+1. Le cas qui nous int´eresse est q =n+1.
5 Cohomologie non ramifi´ee finie et divisible
SoientX unevari´et´e lissesur k et mun entierpremier a`cark.On dispose
des homomorphismes de comparaison
ηi : Hi(k,µ⊗(i−1))→Hi (X,µ⊗(i−1))
m m nr m
ηi: Hi(k,Q/Z(i−1))→Hi (X,Q/Z(i−1))
nr
et d’homomorphismes
Kerηi →Kerηi, Cokerηi →Cokerηi.
m m
Soitδ le pgcd de cark et des degr´es des points ferm´es de X : alorsKerηi
m
et Kerηi sont annul´es par δ (argument de transfert). On suppose que δ |m.
Supposons la conjecture de Bloch–Kato vraie en degr´e i−1 pour tous les
facteurs premiers de m. Alors la suite
0→Hi(k,µ⊗(i−1))→Hi(k,i−1)−m→Hi(k,i−1)
m
est exacte. On en d´eduit que Kerηi −→∼ Kerηi.
m
1 Le travail de Geisser et Levine [9] et le fait que la cohomologie motivique de
Speckco¨ıncideavecses groupesdeChowsup´erieurs [46]impliquentquecette
(cid:0) (cid:1)
restriction n’est pas n´ecessaire.
Cohomologie non ramifi´ee des quadriques 9
Pour les conoyaux, supposons pour simplifier que δ = 2 (on trouvera un
´enonc´e g´en´eral dans [17, §7]). Sous la conjecture de Milnor en degr´e i−1,on
a alors une suite exacte
0→(Kerηi) →Cokerηi →Cokerηi (3)
2 0 2
avec (Kerηi) ={x∈Kerηi |(−1)·x=0}[17, prop.7.4]).De plus, lafl`eche
2 0 2
de droite est surjective si µ2∞ ⊂k [18, th. 1].
6 Suite spectrale des poids
6.1 Construction de suites spectrales
Soit T une cat´egorie triangul´ee, et soit X ∈ T : une filtration sur X est
une suite de morphismes
···→Xn−1 →Xn →···→X.
Une tour de sommet X est une suite de morphismes
X →···→Xn →Xn−1 →...
On ne s’int´eresse qu’aux filtrations et aux tours finies, c’est-a`-dire telles
que X →X (ou X →X ) soit un isomorphisme pour n assez grand et que
n n
X =0 pour n assez petit.
n
Sion se donne une filtration,onnote Xn/n−1 «le» cˆone de Xn−1 →Xn :
rappelons qu’ilest d´efini a` isomorphisme non unique pr`es. Pour Y ∈T, on a
de longues suites exactes de groupes ab´eliens
···→Hom(Y,Xq−1[n])→Hom(Y,Xq[n])→Hom(Y,Xq/q−1[n])
→Hom(Y,Xq−1[n+1])→...
d’ou`, comme au §1, un couple exact et une suite spectrale fortement conver-
gente de type cohomologique
E2p,q =Hom(Y,Xq/q−1[p+q])⇒Hom(Y,X[p+q]).
(Lanum´erotationchoisieiciesttellequ’onobtientuntermeE etnonpas
2
un terme E .)
1
Sionsedonneune tour,onobtientdemˆemeunesuite spectrale fortement
convergente de type homologique,aboutissant `a Hom(X[p+q],Y).
10 Bruno Kahn
6.2 La cat´egorie DMeff (k) de Voevodsky [44]
gm
C’estunecat´egorietriangul´eetensoriellemunied’unfoncteurM: Sm/k→
DMeff(k), v´erifiant entre autres
gm
– Mayer–Vietoris : Si X = U ∪V est un recouvrement ouvert, on a un
triangle exact
M(U ∩V)→M(U)⊕M(V)→M(X)→M(U ∩V)[1].
– Invariance par homotopie : M(A1 )−∼→M(X).
X
Ceci permet demontrer une d´ecompositioncanonique(quid´efinitZ(1))
M(P1)=Z⊕Z(1)[2]
ou` l’on a pos´e Z := M(Speck). (Voir §1 de l’article de Vishik dans ces
comptes rendus.)
– Puret´e : si Z ⊂ X est un couple lisse de pure codimension c, on a un
triangle exact
M(X−Z)→M(X)→M(Z)(c)[2c]→M(X −Z)[1]
ou` M(Z)(c):=M(Z)⊗Z(1)⊗c.
Sous la r´esolution des singularit´es, il y a aussi un foncteur Mc: Sch/k →
DMeff(k), ou` Sch/k est la cat´egorie des sch´emas de type fini sur k, covariant
gm
pour les morphismes propres, contravariant pour les morphismes ´etales, et
v´erifiant :
– Localisation :siZ −→i X est une immersionferm´ee, d’immersionouverte
compl´ementaire X −Z −→j X, on a un triangle exact
Mc(Z)−i→∗ Mc(X) −j→∗ Mc(X −Z)→Mc(Z)[1].
– Il existe un morphisme M(X) →Mc(X) qui est un isomorphisme si X
est propre.
– Dualit´edePoincar´e :siX estlissededimensiond,onaunisomorphisme
M(X)∗ (cid:2)Mc(X)(−d)[−2d]
ou` M(X)∗ est le dual de M(X) dans la cat´egorie rigide DM (k), ob-
gm
tenue a` partir de DMeff(k) en inversant l’objet de Tate Z(1).
gm
D´efinition 6.1. a) Une vari´et´e r´eduite X ∈Sch/k de dimension n est cellu-
laire (d´efinition r´ecursive) si elle contient un ouvert U isomorphe `a An et tel
k
que X −U soit cellulaire.
b) X ∈ Sch/k est g´eom´etriquement cellulaire si X¯ := X ⊗ k¯ est cellulaire,
K
ou` k¯ est une clˆoture alg´ebrique de k.
Exemple 6.2. L’exempleprincipaldevari´et´esg´eom´etriquementcellulairespro-
jectives et lisses est celui des vari´et´es projectives homog`enes X, c’est-`a-dire