Fuzzy Methoden in der Wirtschaftsmathematik: Eine Einführung PDF
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Hubert Frank Fuzzy Methoden in der Wirtschaftsmathematik Aus dem Programm _____________ ____. Mathematik Fuzzy Methoden in der Wirtschaftsmathematik von Hubert Frank Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control von Jorg Kahlert und Hubert Frank Fuzzy Control fUr Ingenieue von Jorg Kahlert Derivate, Arbitrage und Portfolio-Selection von Wilfried Hausmann, Karthrin Diener und Joachim Kasler Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung von Ralf und Elke Korn Okonometrie von Jorg-Uwe Lobus EinfUhrung in die Finanzmathematik von Jiirgen Tietze Obungsbuch zur Finanzmathematik von Jiirgen Tietze EinfUhrung in die angewandte Wirtschaftsmathematik von Jiirgen Tietze Obungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik von Jiirgen Tietze vieweg _________________ Hubert Frank Fuzzy Methoden in der Wirtschaftsmathematik Eine Einfiihrung I I vleweg Die Deutsche BibJiothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz rur diese Publikation ist bei Der Deutschen BibJiothek erhaltlich. Prof. Dr. Hubert Frank Universitat Dortmund Fachbereich Mathematik Vogelpothsweg 87 44227 Dortmund E-Mail: [email protected] 1. Auflage Juli 2002 Aile Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden, 2002 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. www.vieweg.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuliissig und stratbar. Das gilt insbesondere rur Vervielfliltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspei cherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaitung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier ISBN-13: 978-3-528-03195-4 e-ISBN-13: 978-3-322-80232-3 DOl: 10.1 007/978-3-322-80232-3 Vorwort In der Wirtschaftsmathematik sind zu den bisher bewahrten Methoden, insbesondere der Stochastik, neue mathematische Methoden hinzugekommen, die eine effiziente und wirkungsvolle Erg3nzung zum Bisherigen liefem. Dies gilt vor aHem fUr die Methoden der Fuzzy Technologie, die bereits im Controlling von Maschinen und Fertigungs prozessen mit gro6em Erfolg eingesetzt werden. In vielen FaIlen sind Wahrschein lichkeiten Dicht das geeignete Beschreibungsmittel fUr UnsclUirfe und Ungenauigkeit. Genau diese Liicke rullt die neue Fuzzy Methodik. Ziel dieses Buches ist es aufzuzeigen, dass die Fuzzy Methoden ein mathematisch kor rektes und zuverUissiges Werkzeug zur Handhabung von unscharfbeschriebenen Infor mationen sind, und Anleitungen fUr deren Einsatz in der Wirtschaftsmathematik zu geben. Die Stoffauswahl ist so getroffen, dass wichtige Begriffe und Methoden behandelt werden und kein unnOtiger Balast mit mOglichen Varianten eingebracht wird. FUr die Vielfalt der AnwendungsmOglichkeiten muss auf die Literatur verwiesen werden. Der Aspekt, eine mOglichst einfache und dennoch umfassende Entwurfstechnik bereitzu stellen, ist das Hauptanliegen dieses Buches. 1m I. Kapitel werden zunAchst die Modellierungen von unscharfen Informationen als Fuzzy Mengen und deren Verkniipfung mit UNO und ODER dargestellt. FUr die Beschreibung und Weitergabe von unscharfen Informationen ist es wichtig, einen geeigneten Begriff der AhnIichkeit von Fuzzy Mengen zu benutzen und Aussagen iiber die Fuzziness im Sinne eines UnsclUirfema6es zu machen. Letzteres erfolgt in Verall gemeinerung der physikalischen Entropie. Bereits mit diesen einfachen Mitteln kann man nUichtige mathematische Werkzeuge auf Fuzzy Mengen verallgemeinem wie Clusteralgorithmen auf Datenmengen, OptimierungslOsungen und auf Regression be ruhende Prognose. Au6erdem bietet das Konzept der Fuzzy Relation eindrucksvoll MOglichkeiten fUr Multikriteria-und Gruppen-Entscheidungen an. Die mathematische Modellierung von umgangssprachlich beschriebenen Problemstel lungen und Expertensystemen bedarf einer sorgfiiltigen mathematischen Vorbereitung. Die mathematischen Grundlagen hierzu werden im 2. Kapitel im Sinne einer Verallge meinerung der mathematischen Aussagenlogik erbracht. Die Untersuchungen auf der Basis von Fuzzy Wahrheitswerten verdeutIichen, dass fUr ein auf Regeln basiertes Schlie6en von Fakten auf Foigerungen Dicht jeder in der Mathematik vorfindbare Operator zur Modellierung herangezogen werden kann. Der zentraIe Knackpunkt ist der Modus Ponens - die Ersetzungsregel -, die eine "schliissige" Regel auf den Wahr heitswerten sein muss. 1m 3. Kapitelliegen dann diese Ergebnisse der Herieitung von Entwurfskonzepten fUr die Modellierung mit Fuzzy Logik zugrunde. Die hergeleitete Entwurfsanieitung ist fiberzeugend einfach und besteht darin, dass aus drei Operatorenpaaren zunachst ein fUr die Problemstellung passendes Paar ausgewAhlt wird. Daraus ergibt sich ein soge nanntes Jnferenzschema, mit dem sowohl die Fuzzy Wahrheitswerte der Aussagen fiber unscharfe Informationen als auch die ZugeMrigkeitswerte der dazu modellierten Fuzzy Mengen berechnet werden. Die· Feineinstellung wird dann mittels ordnungserhaltender Automorphismen des Einheitsintervalls der Fuzzy Wahrheitswerte bewerkstelligt. Diese einfache Modellierungsanieitung ist ein Novum und bringt Licht in das Dickicht der veroffentlichten Fallbeispiele. Jetzt konnen damit Spreu und Weizen getrennt werden. Dieses Buch ist aus Voriesungen an der Universitlit Dortmund entstanden. FUr An regungen und Korrekturen danke ich vor aIlem meiner ehemaligen Assistentin, Frau Dr. Petra Neuhaus-Hanisch. Dortmund im Marz 2002 H. Frank Inhaltsverzeichnis 1 FUZZY MENGEN UND ENTSCHEIDUNGSSYSTEME ........................... 1 1.1 NAIVE Fuzzy MENGENLEHRE ....................................................................... 3 1.2 OPERATOREN AUF FUZZY MENGEN ............................................................. 15 1.3 Fuzzy ALGEBREN ...................................................................................... 21 1.4 MAnE FOR DIE FuZZINESS ........................................................................... 23 1.5 Fuzzy RELATIONEN ................................................................................... 31 1.6 Fuzzy RELATIONSMATRIZEN ...................................................................... 37 1.7 Fuzzy PARTITIONEN .................................................................................. 55 1.8 Fuzzy ENTSCHEIDUNGSSYSTEME ............................................................... 65 1.9 Fuzzy OPTIMIERUNG ................................................................................. 85 1.10 Fuzzy CLUSTERANALYSE ......................................................................... 109 1.11 Fuzzy LINEARE REGRESSION .................................................................... 131 2 FUZZY LOGIK ......................................................................................... 141 2.1 EINLEITENDE BEMERKUNGEN ................................................................... 143 2.2 ZUR KLASSISCHEN MATHEMATISCHEN LOGIK ............................................ 145 2.3 ALGEBREN FOR Fuzzy WAHRHEITSWERTE ................................................ 157 2.4 Fuzzy AUSSAGENLOGIK ........................................................................... 163 3 FUZZY LINGUISTIK UND EXPERTENSYSTEME •••••••••••••••••••••••••••••• 175 3.1 DAS KONZEPT DER FUZZY LINGUISTISCHEN V ARIABLEN ............................. 177 3.2 Fuzzy LINGUISTISCHE OPERATOREN UND ATTRIBUTE ................................ 187 3.3 DIE SEMANTISCHEREGEL ......................................................................... 195 3.4 Fuzzy LINGUISTISCHES SCHLIEBEN UND INFERENZSCHEMATA .................... 199 3.5 BEISPIELE FOR Fuzzy EXPERTENSYSTEME ................................................. 207 3.6 ERSETZUNGREGEL DER Fuzzy INFERENZ .................................................... 219 LITERA TUR ........................................................................................................ 231 SACHWORTVERZEICHNIS .............................................................................. 239 1 Fuzzy Mengen und Entscheidungssysteme 1.1 Naive Fuzzy Mengenlehre 3 1.1 Naive Fuzzy Mengenlehre In der klassischen Mengenlehre ist die Teilmenge einer Menge dadurch wohldefiniert, dass fur jedes Element der Menge eindeutig gesagt is!, ob es zur Teilmenge gehOrt oder nicht gehOrt. Man spricht dabei vom Zweiwertigkeitsprinzip der ZugehOrigkeit. Diese Zweiwertigkeit tritt auch in der mathematischen Logik in der Form "wahr oder falsch" auf. Die klassische Mengenlehre und die mathematische Logik erweisen sich bei tiefergehender Betrachtung a1s deckungsgleich. In Problernstellungen der Praxis ist keineswegs immer mit Sicherheit zu sagen, ob ein Objekt oder eine Information zu einer betrachteten Teilmenge gehOrt oder nieht gehOrt. Man denke etwa an die Aussage iiber die Stabilitiit einer wrurrung. Wer kann schon mit absoluter Sicherheit sagen, dass der EURO gerade stabil oder nicht stabil ist. Fiir die Problembeschreibung sind Zwischenstufen zwischen "wahr" und "falsch" geeignet. Dies fordert uns dazu heraus, die klassische Mengenlehre zu relaxieren, indem wir das ZugehOrigkeitsprinzip relaxieren und ZugehOrigkeitsstufen zwischen "wahr" und "falsch", oder mathematisch ausgedriickt zwischen Werten 1 und 0 zuzulassen. Hierzu gehOrt dann a1lerdings auch eine mathematische Logik, die in gleicher Weise relaxiert ist und dann a1s Mebrwertige Logik bezeichnet wird. Mit Mehrwertiger Logik hat sieh zunachst der Mathematiker Lukasiewicz in den zwanziger Jahren befallt. Die Anwendung auf die Verarbeitung unscharfbeschriebener Informationen erfolgte unabhangig von den Untersuchungen von Lukasiewicz durch Lotti A. Zadeh 1965, der die "fuzzy set theory" begriindete. Wir betrachten zunachst das Intervall [3,4]ER der reellen Zahlen zwischen 3 und 4. Diese Teilmenge der reellen Zahlen ist hart definiert und kann durch eine Funktion auf R beschrieben werden, die wir cbarakteristiscbe Funktion X nennen. I fur X E [3,4] { X(x) := 0 sonst O~O--~~2--3~-4--~5--6----X H. Frank, Fuzzy Methoden in der Wirtschaftsmathematik © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 2002 4 Fuzzy Mengen und Entscheidungssysteme Es liegt daher der naive Ansatz nahe, eine Menge mit relaxierten ZugehOrigkei°tsw erten durch eine charakteristische Funktion zu beschreiben, die Werte zwischen und 1 annehmen kann. 1.1.1 Definition Es sei eine Grundmenge G gegeben. Wir nennen eine Abbildung f: G ~ [O,IJ eine Fuzzy Menge in G. Bemerkung: Die Abbildung f wird auch aIs ZugehorigkeitsfunktioD der Fuzzy Menge bezeichnet, die jedem Element xeG den ZugehOrigkeitsgrad f(x) aus dem Intervall [0, IJ zu ordnet. Wir werden im Folgenden nicht zwischen der ZugehOrigkeitsfunktion und der dadurch definierten Teilmenge {(x,f(x»I xeG} von GxR sprachlich unterscheiden. Existiert genau ein Element aeG mit f(a) =1 und gilt fUr aIle xeG\{a} f(x)=O, so hellit die Fuzzy Menge f auch ein Singleton und wir schreiben kurz {all}. Wir schreiben eine Fuzzy Menge auf einer endlichen Menge G in VeraIIgemeinerung der Singletons auch aIs Menge in der Form {f(x)/x I xeG}. Bemerkung: 1st der ZugehOrigkeitsgrad f(x)=1 fUr ein Element x der Fuzzy Menge f, so liegt der Fail der klassischen Mengeulehre des Elementseins vor. 1st f(x)=O, so gehOrt das Element xe G nicht der Fuzzy Menge fan. 1.1.1.1 Beispiel: Die Menge der reellen Zahlen viel grofier als I Mathematisch wird diese Menge mittles des Symbols» belegt durch M:= {x I xeR, x»I} und durch unterschiedliche ZugehOrigkeitsunktionen beschrieben. Drei Beispiele flir ZugehOrigkeitsfunktionen sind in der untenstehenden Abbildung zu sehen. Allen Funk tionen ist gemeinsam, dafi die Funktionswerte sich flir gr06e x immer mehr der 1 rUi.hem, aIlerdings unterschiedlich schnell. Das Annahem an die 1 ist eine Sache der individuellen problemorientierten Betrachtungsweise. Es ist flir aile drei Beispiele die unten definierte Hohe gleich 1. Sie sind jedoch subnormale Fuzzy Mengen (siehe Definition 1.1.4).
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