Fundamentos Matematicos de la Ingenieria 1

129 Pages·2.884 MB·Spanish

by  Barreda Rochera, Miguel y Lopez Orti, Jose Antonio

Fundamentos Matemáticos
de la Ingeniería
Parte I: Álgebra Lineal
Miguel Barreda Rochera
José Antonio López Ortí
Departament De matemàtiques
Codi assignatura 503
M. Barreda Rochera / J. A. López Ortí - ISBN: 978-84-692-9833-6  Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Parte I: Álgebra Lineal - UJI
Edita: Publicacions de la Universitat Jaume I. Servei de Comunicació i Publicacions
Campus del Riu Sec. Edifici Rectorat i Serveis Centrals. 12071 Castelló de la Plana
http://www.tenda.uji.es e-mail: [email protected]
Col·lecció Sapientia, 28
Primera edició, 2010
www.sapientia.uji.es
ISBN: 978-84-692-9833-6

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Indice General
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Indice General
Pro´logo I
PNroo´tlaocgioo´n 5I III
N1.otSacisito´enmas deecuaciones lineales 7I I1I
1.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
9
1. Sistemas deecuaciones lineales 1
1.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1
1.2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1
1.2.2. Operaciones conmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1
1.3. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Operaciones conmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
1.3.1. Ca´lculo dedeterminantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
1.3.2. Propiedades delosdeterminantes . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Ca´lculo dedeterminantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
1.4. Matrizinversa.Rango deunamatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2. Propiedades delosdeterminantes . . . . . . . . . . . . . . 1180
1.4.1. Matrizinversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Matrizinversa.Rango deunamatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 2102
1.4.2. Rango deunamatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1. Matrizinversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2102
1.5. Sistemasdeecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2. Rango deunamatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113
1.5.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Sistemasdeecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157
1.5.2. Clasificacio´n delossistemasdeecuaciones lineales . . . . . 20
1.5.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157
1.5.2. Clasificacio´n delossistemasdeecuaciones lineales . . . . . 2280
2. Geometr´ıadel plano ydel espacio 29
2.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2. Geometr´ıadel plano ydel espacio 3269
2.2. Losespacios vectorialesR2 y R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3269
2.2.1. Elespacio vectorialR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Losespacios vectorialesR2 y R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3269
2.2.2. Elespacio vectorialR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1. Elespacio vectorialR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3269
2.3. Losespacios vectorialeseucl´ıdeosR2 y R3 . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2. Elespacio vectorialR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3392
2.3.1. Productoescalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3. Losespacios vectorialeseucl´ıdeosR2 y R3 . . . . . . . . . . . . . 4336
2.3.2. Mo´dulodeun vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1. Productoescalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4336
2.3.3. A´nguloentredosvectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2. Mo´dulodeun vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4336
2.3.4. Productovectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.3. A´nguloentredosvectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4347
2.3.5. Productomixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.4. Productovectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4358
2.4. Geometr´ıaaf´ın y eucl´ıdea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.5. Productomixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4470
2.4.1. Elespacio af´ın tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4. Geometr´ıaaf´ın y eucl´ıdea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4470
2.4.2. Variedades linealesafines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.1. Elespacio af´ın tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 4481
2.4.3. Posicionesrelativasentrevariedades linealesafines . . . . . 46
2.4.2. Variedades linealesafines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5403
2.4.4. A´nguloentrevariedadeslinealesafines . . . . . . . . . . . 55
2.4.3. Posicionesrelativasentrevariedades linealesafines . . . . . 5436
2.4.5. Distanciaentrevariedadeslineales afines . . . . . . . . . . 57
2.4.4. A´nguloentrevariedadeslinealesafines . . . . . . . . . . . 6525
2.4.5. Distanciaentrevariedadeslineales afines . . . . . . . . . . 6547
FundamentosMatema´ticosdelaIngenier´ıa–503–1r.semestre IV �c UJI
M. Barreda Ro2c0h0e9r/a2 0/ 1J0. A. López Ortí - ISBN: 978-84-692-9833-6 3 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Parte I: Álgebra Lineal - UJI
FundamentosMatema´ticosdelaIngenier´ıa–503–1r.semestre IV �c UJI
2009/2010
3. Espacios vectoriales 70 63
3.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. 0 63
3.1.1. Leyesdecomposicio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. 0 63
3.1.2. Estructurasalgebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. 1 64
3.2. Espaciosvectoriales.Elespacio vectorialRn . . . . . . . . . . . . 7. 7 70
3.2.1. Definicio´ndeespacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 7. 7 70
3.2.2. Elespacio vectorialRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. 9 72
3.3. Subespaciosvectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. 0 73
3.3.1. Definicio´ndesubespaciovectorial . . . . . . . . . . . . . 8. 0 73
3.3.2. Sumaeinterseccio´ndesubespacios . . . . . . . . . . . . 8. 2 75
3.4. Dependencia e independencialineal. Sistemagenerador de un sub-
espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. 4 77
3.4.1. Dependenciaeindependencialineal . . . . . . . . . . . . 8. 4 77
3.4.2. Sistemageneradordeun subespacio . . . . . . . . . . . . 8. 8 81
3.5. Bases y dimensio´n.Cambiosdebase . . . . . . . . . . . . . . . . 9. 0 83
3.5.1. Bases y dimensio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. 1 84
3.5.2. Cambiosdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 039 6

4. Diagonalizacio´ndematrices 10180 1
4.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 0180 1
4.2. Valores yvectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 0180 1
4.3. Ecuacio´n caracter´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1110 4
4.4. Matrices diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1150 8
4.5. Diagonalizacio´ndematricesreales sime´tricas . . . . . . . . . . . 1. 2172 0

Bibliograf´ıa 12182 1

FundamentosMatema´ticosdelaIngenier´ıa–503–1r.semestre V �c UJI
M. Barreda Roche2r0a0 9/ /J2. 0A1.0 López Ortí - ISBN: 978-84-692-9833-6 4 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Parte I: Álgebra Lineal - UJI
Pro´logo
La asignatura Fundamentos Matema´ticos de la Ingenier´ıa de la titulacio´n de
Ingenier´ıaTe´cnicaenDisen˜oIndustrialconstade4.5cre´ditosteo´ricos,1.5cre´ditos
depra´cticosy1.5cre´ditosdelaboratorio.Tienecara´ctertroncal,anualyseimparte
en primercurso.
La asignatura esta´ dividida en tres partes bien diferenciadas: A´lgebra Lineal,
que se imparte durante el primer semestre y objeto del presente material, Ca´lculo
Diferencial e Integral, que se imparte durante el segundo semestre, y las pra´cticas
delaboratorioqueseimpartenen variosgrupos,unosenel primersemestreyotros
en el segundosemestre.
LosestudiantespuedenaccederalaTitulacio´ndeIngenier´ıaTe´cnicaenDisen˜o
Industrialdesdecualquieradelassiguientesopciones:
COU. Opcio´n Ay C.
Bachillerato LOGSE. Opcio´ncient´ıfico-te´cnica, artes yciencias sociales.
Accesomayoresde25an˜os.Opcio´ncient´ıfico-te´cnica,artesycienciassocia-
les.
FP II. Diferentes opciones.
Ciclos formativosdegrado superior.Diferentes opciones.
Mo´dulosprofesionales denivelIII. Diferentes opciones.
aunquelav´ıadeacceso predominantees elbachillerato LOGSE.
Elmaterialqueaqu´ıpresentamoscubrelosaspectosteo´ricos/pra´cticosdelapri-
merapartedelaasignatura(A´lgebraLineal),sinpretenderserunmanualexhaustivo
deloscontenidosdelamisma,yaqueloscre´ditosteo´ricosseimpartenunavezpor
semana, durante el primer semestre, en sesiones de una hora y media, y los cre´di-
tos pra´cticos seimpartenunavezcadados semanas,duranteel primersemestre,en
sesionesdeunahora.
Este manual esta´ dividido en cuatro temas y cubre los aspectos fundamentales
del a´lgebra lineal. En los dos primeros temas se hace un repaso de aspectos ya es-
tudiados en el bachillerato cient´ıfico-te´cnico, como son los sistemas de ecuaciones
lineales, estudia´ndolos desde el punto matricial, y la geometr´ıa del espacio tridi-
mensional, ya que la v´ıa de acceso del bachillerato LOGSE no garantiza que los
FundamentosMatema´ticosdelaIngenier´ıa–503–1r.semestre I �c UJI
2009/2010
M. Barreda Rochera / J. A. López Ortí - ISBN: 978-84-692-9833-6 5 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Parte I: Álgebra Lineal - UJI
estudiantes hayan estudiado matema´ticas en el bachillerato. Si bien, desde un pun-
to de vista matema´tico, los dos primeros temas se deber´ıan estudiar despue´s del
tercero (espacios vectoriales), hemos cre´ıdo conveniente seguir el mismo esquema
del bachillerato debido al poco tiempo disponible para impartir la asignatura. En
el tercer temaestudiamoslosespaciosvectorialesreales,centra´ndonosen losespa-
cios vectoriales R2, R3 y R4. El cuarto tema lo dedicamos a la diagonalizacio´n de
matrices reales.
Encada unodelostemas,adema´s deexponerel contenidoteo´rico,semuestran
ejemplos sencillos que ayudan al estudiante a comprender los aspectos teo´ricos, y
ejercicios paraprofundizaren losmismos.
FundamentosMatema´ticosdelaIngenier´ıa–503–1r.semestre II �c UJI
2009M/20. 1B0arreda Rochera / J. A. López Ortí - ISBN: 978-84-692-9833-6 6 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Parte I: Álgebra Lineal - UJI
Notacio´n
La notacio´n que emplearemos en este material es la esta´ndar en matema´ticas.
DesignaremosporN al conjuntodelosnu´merosnaturales
N = 1,2,3,4,...
{ }
porZal conjuntodelosnu´merosenteros
Z = ..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,...
{ − − − − }
porQ alconjuntodelosnu´merosracionales
Q = m/n : m Z,n N
{ ∈ ∈ }
por R al conjunto de los nu´meros reales y por C al conjunto de los nu´meros com-
plejos.
Elrestodelanotacio´nempleadaseira´ introduciendoencadaunodelostemas.
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2009/2010
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Parte I: Álgebra Lineal
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Tema 1
Sistemas de ecuaciones lineales
1.1. Introduccio´n
En este tema se aborda el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales con
coeficientes reales. El ejemplo ma´s sencillo es el de una ecuacio´n lineal con una
inco´gnita(ecuacio´n deprimergrado):
a x = b (1.1)
·
donde a,b R, con a = 0, son conocidos. Evidentemente, la u´nica solucio´n de la
∈ �
ecuacio´n (1.1)es
b
x =
a
El estudio matricial de los sistemas de ecuaciones lineales permite escribir for-
malmente estos sistemas como en la ecuacio´n (1.1). Adema´s, y ma´s importante,
permiteestudiarsu compatibilidadmedianteel teoremade Rouche´-Fro¨benius y re-
solverlosmediantelaregladeCramer.
1.2. Matrices
Como se ha indicado en la introduccio´n nos vamos a limitar a las matrices con
coeficientes reales. En estaseccio´n vamosaintroducirlasdefiniciones ma´susuales
sobrematrices ylas operaciones quesepueden realizarcon ellas.
1.2.1. Definiciones
Dados m,n N, se llama matriz real de taman˜o m n a una coleccio´n de
∈ ×
m n nu´meros reales, que representamos en una tabla rectangular de m filas y n
·
columnas
a a a
11 12 1n
···
a a a
A =  .21 .22 ··.· 2.n
. . . .
. . . .
 
am1 am2 amn
 ··· 
 
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