FISICA MATEMATICA 2 Corso di 6 Crediti Corso di Laurea Magistrale in Matematica AA 2014 ...

169 Pages·2016·2.32 MB·Italian

FISICA MATEMATICA 2
Corso di 6 Crediti
Corso di Laurea Magistrale
in Matematica
A.A. 2014-2015
Cornelis VAN DER MEE
Dipartimento di Matematica e Informatica
Universita` di Cagliari
Viale Merello 92, 09123 Cagliari
070-6755605 (studio), 070-6755601 (FAX), 328-0089799 (cell.)
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oppure: http:\\krein.unica.it\∼cornelis
LaTeX compilation date: 9 maggio 2015

Indice
I Equazioni di Hamilton 1
1 Equazioni del moto di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Trasformazioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Parentesi di Poisson e di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Lagrangiana per i Sistemi Continui . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Hamiltoniana per i Sistemi Continui . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II Punti di equilibrio 21
1 Sistema autonomo generalizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Derivata di Lie e costanti del moto . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Classificazione dei punti di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
IIIStabilit`a secondo Liapunov 31
1 Stabilit`a secondo Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Sistemi autonomi sulla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Sistemi lineari a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Funzione di Liapunov e linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Stabilit`a e loro applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
IVStabilit`a dei sistemi dinamici discreti 53
1 Teorema delle contrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2 Alcuni esempi illustrativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 L’insieme di Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
V Biforcazioni e cicli-limite 67
1 Teorema di Poincar´e-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2 Applicazioni ai sistemi non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
i
VIFrattali 91
1 Insieme di Cantor e le sue varianti . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2 Caratteristiche dei frattali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3 Dimensione di Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
VIIEquazioni Integrabili 103
1 Storia di alcune equazioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . 103
2 Generazione di equazioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3 Inverse scattering transform per la KdV . . . . . . . . . . . . . 110
4 Inverse scattering transform per la NLS . . . . . . . . . . . . . . 118
5 Superfici solitoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A 3-ciclo implica caos 129
B Gruppi di Lie 135
1 Algebre di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2 Algebra di Lie di un gruppo di matrici . . . . . . . . . . . . . . 136
3 Alcuni esempi dettagliati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
C Forma Normale di Jordan 145
1 Catene di Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2 Forme normali di Jordan: Matrici complesse . . . . . . . . . . . 147
3 Forme normali di Jordan: Matrici reali . . . . . . . . . . . . . . 148
4 Decomposizione spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
D Esercizi 151
Bibliografia 160
ii
Capitolo I
Equazioni di Hamilton
1 Equazioni del moto di Hamilton
Nella formulazione lagrangiana il moto di un sistema ad n gradi di libert`a viene
descritto dalle n equazioni
(cid:18) (cid:19)
d ∂L ∂L
− = 0, (I.1)
dt ∂q˙ ∂q
i i
dove L = L(q ,...,q ,q˙ ,...,q˙ ,t) `e la lagrangiana. Lo stato del sistema viene
1 n 1 n
rappresentato da un unico punto nello spazio delle configurazioni n-dimensionale
le cui coordinate sono le coordinate generalizzate q . Descrivere il moto del
i
sistema significa seguire questo punto lungo la sua traiettoria nello spazio delle
configurazioni. Tutte le n coordinate devono essere indipendenti e non devono
essere presenti equazioni di vincolo. Se le n coordinate non fossero indipendenti
si dovrebbe, prima di impostare il problema, ridurre il numero delle incognite
ad un opportuno m < n.
Nella formulazione hamiltoniana si cercher`a di descrivere il moto con un
sistema di 2n equazioni differenziali del primo ordine. Le 2n equazioni del moto
descriveranno l’evoluzione del punto rappresentativo del sistema in uno spazio
di dimensione 2n, detto spazio delle fasi, le cui coordinate saranno le 2n variabili
indipendenti associate al sistema. La scelta naturale, ma non l’unica possibile,
per raddoppiare le coordinate indipendenti del problema, `e quella di scegliere
meta` di esse come le n coordinate generalizzate q . Come rimanenti coordinate
i
scegliamo i momenti coniugati o generalizzati p definite da:
i
∂L
p = (q ,...,q ,q˙ ,...,q˙ ,t). (I.2)
i 1 n 1 n
∂q˙
i
Levariabili(q,p) = (q ,...,q ,p ,...,p )sonogeneralmentenotecomevariabili
1 n 1 n
canoniche.
1
La cosiddetta trasformazione di Legendre da (q,q˙,t) a (q,p,t) agisce come
segue. Il differenziale della lagrangiana L(q,q˙,t) `e
n (cid:18) (cid:19)
(cid:88) ∂L ∂L ∂L
dL = dq + dq˙ + dt
i i
∂q ∂q˙ ∂t
i i
i=1
n (cid:18) (cid:19)
(cid:88) ∂L ∂L
= dq +p dq˙ + dt.
i i i
∂q ∂t
i
i=1
Definendo l’hamiltoniana come
n
(cid:88)
H(q,p,t) = q˙ p −L(q,q˙,t), (I.3)
i i
i=1
e differenziando il secondo membro della (I.3), si ottiene
n
(cid:88)
dH = (q˙ dp +p dq˙ )−dL
i i i i
i=1
n n (cid:18) (cid:19)
(cid:88) (cid:88) ∂L ∂L
= (q˙ dp +p dq˙ )− dq +p dq˙ − dt
i i i i i i i
∂q ∂t
i
i=1 i=1
n (cid:18) (cid:19)
(cid:88) ∂L ∂L
= q˙ dp − dq − dt
i i i
∂q ∂t
i
i=1
n
(cid:88) ∂L
= (q˙ dp −p˙ dq )− dt.
i i i i
∂t
i=1
D’altra parte, il differenziale dell’hamiltoniana `e dato da:
n (cid:18) (cid:19)
(cid:88) ∂H ∂H ∂H
dH = dq + dp + dt.
i i
∂q ∂p ∂t
i i
i=1
Di conseguenza, otteniamo le 2n+1 equazioni
∂H
q˙ = , i = 1,...,n, (I.4a)
i
∂p
i
∂H
−p˙ = , i = 1,...,n, (I.4b)
i
∂q
i
∂L ∂H
− = . (I.4c)
∂t ∂t
Le equazioni (I.4a) e (I.4b) sono note come le equazioni di Hamilton. Esse co-
stituiscono un sistema di 2n equazioni del moto del primo ordine e sostituiscono
le n equazioni del secondo ordine di Lagrange.
2
Nello studio di un problema concreto la costruzione dell’hamiltoniana de-
ve comunque passare attraverso la formulazione lagrangiana. Il procedimento
formale richiede una sequenza piuttosto impegnativa di passaggi:
a. Dopo aver scelto le coordinate generalizzate q , si costruisca la lagrangiana
i
L(q,q˙,t) = T −V.
b. Attraverso le definizioni (I.2) si ricavano i momenti generalizzati in fun-
zione di q, q˙ e t.
c. Utilizzando la (I.3) si costruisce l’hamiltoniana, che risulta (in questo
stadio) essere una funzione di q, q˙, p e t.
d. Invertendo le (I.2) si ricavano le q˙ in funzione di (q,p,t).
i
e. Eliminando q˙ dall’espressione per l’hamiltoniana, si arriva ad un’hamil-
toniana H = H(q,p,t). Soltanto da questo punto si possono derivare le
equazioni di Hamilton.
Esempio I.1 (campo elettromagnetico) Sia
(cid:18) (cid:19)
1
L = 1m|(cid:126)r˙|2 −q V((cid:126)r)− (cid:126)r˙ ·A(cid:126) ,
2 c
dove m e q sono la massa e la carica della particella, c `e la velocit`a della luce e
(cid:126) (cid:126)
V = V((cid:126)r) e A = A((cid:126)r) sono i potenziali elettrici e magnetici. Le tre equazioni di
Eulero-Lagrange assumono la seguente forma
(cid:32) (cid:33)
1∂A(cid:126) q (cid:16) (cid:17) q
¨ ˙ (cid:126) (cid:126) ˙ (cid:126)
m(cid:126)r = −q ∇V + + (cid:126)r∧(∇∧A) = qE + ((cid:126)r∧B),
c ∂t c c
(cid:126) (cid:126)
dove E e B sono i campi elettrici e magnetici. Le coordinate generalizzate sono
(cid:126)r = (x,y,z), mentre i momenti generalizzati sono:
∂L q ∂L q ∂L q
p = = mx˙ + A , p = = my˙ + A , p = = mz˙ + A .
1 1 2 2 3 3
∂x˙ c ∂y˙ c ∂z˙ c
In altre parole, p(cid:126) = m(cid:126)r˙ + qA(cid:126). Quindi l’hamiltoniana `e data da:
c
1 (cid:12) q (cid:12)2
H =(cid:126)r˙ ·p(cid:126)−L = 1m|(cid:126)r˙|2 +qV((cid:126)r) = (cid:12)p(cid:126)− A(cid:126)(cid:12) +qV((cid:126)r).
2 2m (cid:12) c (cid:12)
Le sei equazioni di Hamilton si riducono a:
q q q
(cid:126) ˙ ˙ (cid:126)
p(cid:126)− A = m(cid:126)r, p(cid:126) = −q∇V + (p(cid:126)− A)·∇A.
c mc c
(cid:50)
3
Esempio I.2 (Toda lattice periodico) Consideriamo la hamiltoniana
n
(cid:88)
H = 1 p2 +V(q −q )+V(q −q )+...+V(q −q )+V(q −q ),
2 j 2 1 3 2 n n−1 1 n
j=1
dove
1
V(r) = e−r +r−1 = r2 +O(r3), V(cid:48)(r) = 1−e−r = r+O(r2), r → 0.
2
Allora le equazioni di Hamilton sono le seguenti:
∂H
q˙ = = p ,
j j
∂p
j
∂H
p˙ = − = V(cid:48)(q −q )−V(cid:48)(q −q )
j j+1 j j j−1
∂q
j
= e−(qj−qj−1) −e−(qj+1−qj),
essendo q = q e q = q . Di conseguenza, otteniamo la cosiddetta equazione
0 n n+1 1
non lineare della Toda lattice

e−(q1−qn) −e−(q2−q1), j = 1,

q¨j = e−(qj−qj−1) −e−(qj+1−qj), j = 2,...,n−1,

e−(qn−qn−1) −e−(q1−qn), j = n.
Quest’equazione coincide con l’equazione di Eulero-Lagrange. Si vede subito che
H e p +...+p sono costanti del moto. (cid:50)
1 n
Una coordinata si dice ciclica se non compare esplicitamente nella lagrangia-
na. In virtu` delle equazioni di Eulero-Lagrange, se q `e una coordinata ciclica,
j
allora il momento generalizzato p `e una costante del moto, poich`e
j
∂L ∂H
p˙ = = − = 0.
j
∂q ∂q
j j
Inoltre, se q `e ciclica, allora non compare esplicitamente nemmeno nell’hamil-
j
toniana, infatti, sfruttando le equazioni di Eulero-Lagrange, si ha
∂L ∂H
0 = = − .
∂q ∂q
j j
4
Un’altra legge di conservazione segue dalla (I.4c) nel caso in cui H (o L) non
dipende esplicitamente dal tempo. Infatti, in tal caso, si ha
n (cid:18) (cid:19)
dH (cid:88) ∂H ∂H ∂H
= q˙ + p˙ +
i i
dt ∂q ∂p ∂t
i i
i=1
n
(cid:88) ∂H
= (−p˙ q˙ +q˙ p˙ )+
i i i i
∂t
i=1
∂H ∂L
= = − .
∂t ∂t
Infine supponiamo che le coordinate generalizzate q ,...,q e i momenti ge-
1 n
neralizzati p ,...,p non siano indipendenti ma invece siano sottoposti ad m
1 n
(con m < n) vincoli
ψ (q ,...,q ,p ,...,p ,t) = 0, k = 1,...,m.
k 1 n 1 n
Introducendo i moltiplicatori di Lagrange λ ,...,λ e l’hamiltoniana estesa
1 m
H (q ,...,q ,p ,...,p ,λ ,...,λ ,t) = H(q ,...,q ,p ,...,p ,t)
e 1 n 1 n 1 m 1 n 1 n
m
(cid:88)
+ λ ψ (q ,...,q ,p ,...,p ,t),
k k 1 n 1 n
k=1
otteniamo le seguenti equazioni di Hamilton:
m
∂H ∂H (cid:88) ∂ψ
e k
q˙ = = + λ , i = 1,...,n, (I.5a)
i k
∂p ∂p ∂p
i i i
k=1
m
∂H ∂H (cid:88) ∂ψ
e k
−p˙ = = + λ , i = 1,...,n, (I.5b)
i k
∂q ∂q ∂q
i i i
k=1
∂H
e
0 = = ψ , j = 1,...,m. (I.5c)
j
∂λ
j
Introduciamo ora la formulazione simplettica delle equazioni di Hamilton.
Consideriamo le nuove variabili η = (η ,...,η ) nel seguente modo:
1 2n
(cid:40)
q , i = 1,...,n,
i
η =
i
p , i = n+1,...,2n.
i−n
Allora
∂H
(cid:18) (cid:19)  = −p˙ , i = 1,...,n,
∂H ∂q i
= i
∂H
∂η
i  = q˙i−n, i = n+1,...,2n.
∂p
i−n
5
Di conseguenza, le equazioni di Hamilton si possono scrivere nel seguente modo:
∂H
η˙ = J , (I.6)
∂η
dove
(cid:18) (cid:19)
0 I
J = n×n n .
−I 0
n n×n
La matrice J si dice simplettica nel senso che
JT = −J, J2 = −I .
2n
Inoltre, detJ = 1.
2 Trasformazioni canoniche
Eseguiamo una trasformazione simultanea delle coordinate e dei momenti indi-
pendenti q e p in un nuovo sistema P e Q mediante un sistema di equazioni
i i i i
invertibili
(cid:40)
Q = Q (q,p,t),
i i
(I.7)
P = P (q,p,t),
i i
che costituisce una trasformazione puntuale dello spazio delle fasi. Passando da
coordinate canoniche q e p a coordinate canoniche Q e P, la trasformazione si
dice canonica se esiste una funzione K(Q,P,t) tale che
∂K ∂K
˙ ˙
Q = , P = − . (I.8)
i i
∂P ∂Q
i i
La funzione K gioca il ruolo dell’hamiltoniana nel nuovo sistema di coordinate.
Si pu`o dimostrare l’esistenza di una funzione generatrice F = F (q,Q,t) tale che
1
∂F
1
K = H + .
∂t
Una trasformazione canonica del tipo (I.7) si dice ristretta se la funzione gene-
ratrice F = F (q,Q,t) non dipende esplicitamente da t. In tal caso K = H per
1
tutte le trasformazioni canoniche ristrette.
Esempio I.3 (oscillatore armonico) L’hamiltoniano associato all’oscillatore
armonico ha, per opportune costanti m (massa) e k (coefficiente elastico), la
seguente forma
p2 p2 +m2ω2q2
H = + 1kq2 = ,
2m 2 2m
6