Felix Hausdorff zum Gedächtnis: Band I: Aspekte seines Werkes

288 Pages·1996·16.7 MB·German

by  Egbert Brieskorn (auth.)

Egbert Brieskorn (Hrsg.)
Felix Hausdorff zum Gedachtnis
Band I
Felix Hausdorff im Arbeitszimmer seines Hauses in Bonn,
HindenburgstraSe 61, im Juni 1924.
Egbert Brieskorn (Hrsg.)
Felix Hausdorff
zum Gedachtnis
Band I
Aspekte seines Werkes
I I
Vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Felix Hausdorff zum Gediicbtnis I Egbert Brieskom (Hrsg.). -
Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg.
NE: Brieskom, Egbert [Hrsg.]
Bd. 1. Aspekte seines Werkes. - 1996
ISBN-13: 978-3-322-80277-4 e-ISBN-13: 978-3-322-80276-7
DOl: 10.1007/978-3-322-80276-7
Bildnachweis: Seite II
Photograph: Ludwig Hogrefe
Das Original, ein Stereobildpaar, befindet sich im NachlaB von Felix Hausdorff
in der Handschriftenabteilung der Universitiits-und Landesbibliothek Bonn.
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© Friedr. Vieweg & Sohn VerlagsgeseIlschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden, 1996
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1996
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Inhalt
Egbert Brieskorn
Einleitung ...................................................................... 1
Hans-Joachim IIgauds
Die fruhen Leipziger Arbeiten Felix Hausdorffs .................................... 11
Hans-Joachim Girlich
Hausdorffs Beitrage zur Wahrscheinlichkeitstheorie ................................ 31
Peter Koepke
Metamathematische Aspekte der Hausdorffschen Mengenlehre ...................... 71
Erhard Scholz
Logische Ordnungen im Chaos: Hausdorffs fruhe Beitrage zur Mengenlehre ........ 107
Peter Schreiber
Felix Hausdorffs paradoxe Kugelzerlegung im Kontext der Entwicklung
von Mengenlehre, MajJtheorie und Grundlagen der Mathematik .................... 135
Christoph Bandt und Hermann Haase
Die Wirkungen von Hausdorffs Arbeit uber Dimension und aujJeres MajJ ............ 149
Klaus Steffen
Hausdorff-Dimension, regulare Mengen und total irregulare Mengen ............... 185
Hans-Gunther Bothe und Jorg Schmeling
Die Hausdorff-Dimension in der Dynamik ....................................... 229
Erwin Neuenschwander
Felix Hausdorffs letzte Lebensjahre nach Dokumenten
aus dem Bessel-Hagen-NachlajJ ................................................ 253
Gunter Bergmann
Die vom Lande NRW 1980 erworbenen Schriftstucke
aus dem NachlajJ Felix Hausdorffs .............................................. 271
Claus Hertling
Verzeichnis der mathematischen Schriften Felix Hausdorffs ....................... 283
Einleitung
Egbert Brieskorn
Es gibt wohl kaum einen Mathematiker, der nicht den Namen Hausdorff kennt. Was ein
Hausdorff-Raum ist, weiB wohl jeder, und die meisten kennen vermutlich weitere mit die
sem Namen verbundene mathematische Gegenstande, etwa das Hausdorffsche Paradoxon
oder die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel oder die Hausdorff-MaBe und die Hausdorff
Dimension. Andererseits gibt es wohl nur wenige Mathematiker, die das gesamte Werk Fe
lix Hausdorffs in seinem Umfang und seinem inneren Zusammenhang tiberblicken konnen.
Zum einen umfaBt dieses Werk namlich nicht nur mathematische Arbeiten, sondern auch
philosophische und literarische: zwei Bticher, einen Gedichtband, ein Theatersttick und eine
Reihe von Essays, die Hausdorff unter dem Pseudonym Paul Mongre verOffentlicht hat. Zu
dies em Teil von Hausdorffs Werk haben bisher wohl nur sehr wenige Mathematiker einen
Zugang gefunden. Zum andern aber ist es auch bei Beschrankung auf das mathematische
Werk zur Zeit kaum moglich, dieses als Ganzes in seinem inneren Zusammenhang, seiner
Einbettung in den historischen Kontext und in seiner Wirkung zu tiberschauen.
DafUr gibt es mehrere Grtinde. Wer etwa die Wirkungsgeschichte von Hausdorffs Werk
untersuchen will, steht vor dem Problem einer kaum zu begrenzenden Ftille von Material.
Hausdorff hat durch seine Arbeiten und besonders durch sein 1914 erschienenes Buch
"Grundztige der Mengenlehre" wesentlich dazu beigetragen, daB die von Georg Cantor
geschaffene Mengenlehre zum Fundament der gesamten Mathematik wurde. Er hat in
diesem seinem Hauptwerk insbesondere die mengentheoretische Topologie so entwickeIt,
wie es das struktureIIe Denken der modern en Mathematik erfordert. Nicolas Bourbaki stellt
dazu fest:
,,Mit Hausdorffbeginnt die mengentheoretische Topologie, so wie wir sie heute verstehen.
Auf den Umgebungsbegriffzurtickgreifend verstand er es, unter den Hilbertschen Axiomen
tiber Umgebungen in der Ebene diejenigen herauszugreifen, die seiner Theorie gleichzeitig
die wtinschenswerte Prazision und die erwtinschte Allgemeinheit gaben. Das Kapitel, in
dem er die Folgerungen daraus entwickelt, ist immer noch ein Vorbild fUr eine axiomatische
Theorie, die abstrakt, doch von vornherein auf die Anwendungen eingestellt ist."
Die gleichzeitig aIIgemeine und prazise auBerordentliche Erweiterung des Raumbegriffs,
die durch diese Theorie zur VerfUgung gestellt wurde, hat in den vergangenen achtzig J ahren
in allen Gebieten der Mathematik und dartiber hinaus auch in anderen Wissenschaften eine
solehe Ftille von Anwendungen hervorgebracht, daB deren Darstellung den Rahmen jeder
verntinftig begrenzten Wirkungsgeschichte sprengen wtirde.
2 Egbert Brieskom
Jene eigentiimliche Verbindung von groBer Allgemeinheit mit einer Prazision, welche
eine feine Abstimmung eines Spektrums von Begriffen bei Anwendungen auf sehr ver
schiedenartige komplexe Situationen ermoglicht, kennzeichnet auch eine andere bedeuten
de Leistung Hausdorffs, die heute in vielen Zusammenhangen, besonders in der hoheren
Analysis, von grundlegender Bedeutung ist. Gemeint ist die Arbeit "Dimension und auBe
res MaB" aus dem Jahre 1918. In dieser Arbeit filhrte Hausdorff eine Klasse von MaBen
ein, die man heute Hausdorff-MaBe nennt. Implizit erhalt die Arbeit einen vollig neuarti
gen Dimensionsbegriff. Die neue, filr Teilmengen metrischer Raume definierte Dimension
heiBt heute Hausdorff-Dimension. Sie muB als Werte nicht mehr nattirliche Zahlen haben,
sondern kann als Wert jede nichtnegative reelle Zahl annehmen. In seiner Arbeit konstruiert
Hausdorff filr jede natiirliche Zahl n und filr jede reelle Zahl p zwischen 0 und n Teilmengen
des n-dimensionalen euklidischen Raumes mit der Hausdorff-Dimension p.
Die Zeichnung auf dem Umschlag dieses Buches - sie stammt aus Hausdorffs ,,Men
genlehre" von 1927 - zeigt ein Beispiel filr eine derartige Konstruktion. Die unendliche
Fortsetzung des Prozesses, des sen erste drei Stufen die Zeichnung darstellt, filhrt zu einem
ebenen Jordanbogen mit der Hausdorff-Dimension In(2) /In( T). Dabei ist T = (v'5 + 1) /2.
Die Arbeit "Dimension und au Beres MaB" hat eine auBerordentliche und immer noch
anhaltende Wirkung g.ehabt, und schon die Darstellung aller Wirkungen dieser einen Arbeit
ware von einem einzelnen Mathematiker oder Mathematikhistoriker kaum zu bewaltigen.
Fragt man, was Hausdorff zu solchen weit in die Zukunft wirkenden Leistungen befahig
te, fragt man nach der Entwicklung seines Denkens und dem inneren Zusammenhang seiner
Arbeiten sowie nach ihrer Einbettung in den historischen Kontext, dann sieht man sich in
mehrfacher Hinsicht vor interessante, aber schwierige Probleme gestellt. Hausdorff war
nicht nur ein schopferisch tatiger Mathematiker, sondern er hat auch in der Reflexion tiber
seine Wissenschaft bewuBt den Wandel zur mathematischen Moderne mit vollzogen und da
zu in der Auseinandersetzung mit anderen Auffassungen eigene wissenschaftstheoretische
und erkenntniskritische Positionen entwickelt. Er hat davon manches in mathematischen
Vortragen und Vorlesungen, anderes in seinen philosophischen Arbeiten vorgetragen, und es
ware sicher keine leichte, wohl aber eine interessante Aufgabe, diese Gedanken Hausdorffs
im Zusammenhang darzustellen und in den historischen Kontext einzuordnen.
Fragt man nach der Entstehungsgeschichte von Hausdorffs Arbeiten, nach ihrem Zusam
menhang untereinander und ihrer Beziehung zu den Arbeiten anderer, dann ist man bei der
Suche nach Antworten nicht nur auf das verOffentlichte Werk angewiesen. Es gibt einen
umfangreichen wissenschaftlichen NachlaB von weit tiber filnfundzwanzigtausend Seiten.
Er umfaBt neben Materialien aus der Schtiler- und Studentenzeit Manuskripte zu Haus
dorffs Vorlesungen, Vortragen und Veroffentlichungen sowie viele Studien und Referate
und umfangreiche Berichte zu Spezialgebieten. Dieser NachlaB zeigt, mit welcher Sorg
faIt Hausdorff in groBem Umfang die Veroffentlichungen anderer Mathematiker kritisch
durchgearbeitet hat, wie er deren wesentlichen Kern herausgearbeitet, die Fehler verbessert
und die Beweise einfacher und durchsichtiger gestaltet hat. Er zeigt auch, daB Hausdorff
Ergebnisse, die heute mit den Namen anderer Mathematiker verbunden sind, gleichzeitig
mit diesen gefunden hat oder sogar vor ihnen. So war beispielsweise die lange Gerade, die
man heute auch Alexandroffsche Gerade nennt, wei I sie in einer Publikation zuerst von Paul
Alexandroff im Jahre 1924 behandelt wurde, Hausdorff schon 1915 bekannt (vgl. NachlaB,
Kapsel31, Faszikel 121, Blatt 2).
Einleitung 3
Hausdorffs NachlaB ist ein Zeugnis der mathematischen Arbeit eines ganzen Lebens.
Felix Hausdorff hat seine Arbeit bis zum Tode fortgefilhrt, auch dann noch, als er wie
aIle Juden im nationalsozialistischen Deutschland Demutigungen und Gemeinheiten aIler
Art erleben muBte. Seine letzte mathematische Eintragung stammt vom 16. Januar 1942.
Zehn Tage spater, als die Einweisung in ein SammeI1ager filr Juden bevorstand, nahm Felix
Hausdorff sich zusammen mit seiner Frau und deren Schwester das Leben.
N ach der Niederlage des nationalsozialistischen Deutschland hat es mehr als zwanzig Jah
re gedauert, bis die deutschen Universitaten und wissenschaftlichen Vereinigungen damit
begannen, die dunkelste Zeit ihrer Geschichte offenzulegen. Die Artikelreihe "KoIlegen
in einer dunklen Zeit" von Maximilian Pinl, die in den Jahresberichten der Deutschen
Mathematiker-Vereinigung der Jahre 1969 bis 1974 verOffentlicht wurde, machte das Aus
maB des sen deutlich, was manjudischen Mathematikern in Deutschland angetan hatte. Den
Mathematiker Felix Hausdorff wurdigte die Deutsche Mathematiker-Vereinigung 1967, ein
Jahr vor der hundertsten Wiederkehr seines Geburtstages. Der Band 69 der Jahresberichte
enthielt ein Bild vom Leben Hausdorffs, verfaBt von Magda Dierkesmann, einen Bericht
iiber das mathematische Werk von G.G. Lorentz, personliche Erinnerungen von H. Bonnet
und einen vorlaufigen Bericht iiber den wissenschaftlichen NachlaB von Gunter Bergmann.
Es scheint, daB diejenigen, die als Nachfolger der jiidischen Professoren Hausdorff und
Toeplitz nach Bonn berufen wurden, kein sonderliches Interesse an diesem NachlaB gehabt
haben. Es ist das groBe Verdienst von Giinter Bergmann, den umfangreichen wissenschaftli
chen NachlaB Felix Hausdorffs in jahrelanger Arbeit geordnet zu haben. Der ganze NachlaB
befindet sich seit 1980 in der Handschriftenabteilung der Universitats- und Landesbiblio
thek Bonn. Einen Teil der Studien und Referate hat Giinter Bergmann als "Nachgelassene
Schriften" in zwei Faksimile-Banden publiziert. Eine ernsthafte historische Forschung zum
Werk Felix Hausdorffs ist jedoch bisher aIlenfaIls in Ansatzen in Gang gekommen. AIle
notwendigen Voraussetzungen filr eine solche Forschung sind inzwischen geschaffen wor
den. In den vergangenen zwei Jahren ist der NachlaB in einer auBerordentlich sorgfaltigen
Arbeit durch Walter Purkert bibliothekarisch erschlossen worden. Mit einem Findbuch und
mit elektronisch gespeicherten Daten stehen nunmehr hervorragende Hilfsmittel filr die
Arbeit mit dem NachlaB zur Verfilgung. Fur einige Beitrage des hier vorgelegten Bandes,
beispielsweise den von Hans-Joachim Girlich, ist diese ErschlieBung des Nachlasses bereits
von Nutzen gewesen. Insgesamtjedoch ist eine historisch fundierte DarsteIlung und Wiirdi
gung des gesamten Werkes von Felix Hausdorff beim gegenwartigen Stand der Forschung
nicht moglich, und auf eine Edition seiner gesammelten Werke kann man einstweilen nur
hoffen.
Angesichts dieser Lage kann man nur versuchen, der heutigen Generation von Mathe
mati kern die Bedeutung Felix Hausdorffs durch Herausarbeiten einzelner Aspekte seines
Werkes zu verrnitteln, unter denen dessen Wirkung auf die Entwicklung unserer Wissen
schaft oder aktueIl besonders interessante Forschungen sichtbar wird. AniaB zu solchem
Bemiihen gab im Jahre 1992 die Erinnerung an den 26. Januar 1942, Hausdorffs Todestag.
An verschiendenen Orten fan den Veranstaltungen zu seinem Gedachtnis statt, und daraus
sind mehrere Publikationen hervorgegangen, die an Hausdorffs Leben und Werk erinnern
und seine Bedeutung filr unsere Zeit verrnitteln wollen. Dazu zahlt auch der hier vorgelegte
Band.
Die Initiative zu seiner Entstehung ging von meinem KoIlegen Jiirgen Flachsmeyer aus.
4 Egbert Brieskorn
Es war geplant, daB wir, er und ich, diesen Band gemeinsam herausgeben wollten, als einen
gemeinsamen Beitrag der UniversiUiten Greifswald und Bonn, an den en Hausdorff gelehrt
hat. Leider fiihrten gesundheitliche und andere Probleme dazu, daB nicht alles so wie geplant
realisiert werden konnte und Herr Flachsmeyer 1992 die Mitarbeit an dem Gedenkband
aufgeben muBte. Von den Beitragen dieses Bandes sind aber doch drei auf seine Initiative
zurtickzufiihren, und dafiir wie fiir aIle anderen Anregungen darf ich ihm an dieser Stelle
meinen Dank aussprechen. Zu den Autoren des Bandes gehoren Mathematiker aller drei
Universitaten, an denen Hausdorff gelehrthat-Leipzig, Greifswald und Bonn - und auch die
anderen Autoren sind in der einen oder anderen Weise mit diesen Universitaten verbunden
gewesen. Besonders bei den Beitragen aus Leipzig hat die Kenntnis der Geschichte dieser
Universitat dazu beigetragen, auch das Umfeld sichtbar werden zu lassen, in dem die ersten
wissenschaftlichen Arbeiten Felix Hausdorffs entstanden sind.
Damit sind wir beim Inhalt des hier vorgelegten Bandes, tiber den ich im folgenden einen
Uberblick geben mochte. Etwas schematisch kann man die in dies em Band versammelten
Arbeiten in vier Gruppen einteilen.
Eine erste Gruppe von zwei Arbeiten ist den Beitragen Felix Hausdorffs zur angewand
ten Mathematik gewidmet. Der sehr sorgfaltig recherchierte Artikel "Die frtihen Leipziger
Arbeiten Felix Hausdorffs" von Hans-Joachim Ilgauds behandelt Hausdorffs Beitrage
zur mathematischen Astronomie, die von dem Leipziger Mathematiker und Astronomen
Heinrich Bruns angeregt wurden. Dazu gehoren Hausdorffs Dissertation und seine Habilita
tionsschrift, deren Themen die astronomische Refraktion und Extinktion sind. Herr Ilgauds
stellt sowohl die historischen Wurzeln des Bruns-Hausdorffschen Verfahrens dar wie die
Grtinde dafiir, daB dieses Verfahren sich schlieBIich als ftir die Astronomie unzureichend
erwies. Diese Grtinde betrafenjedoch nicht die mathematische Seite des Verfahrens. Haus
dorff handhabte die mathematischen Probleme des Brunsschen Verfahrens mit virtuoser
Geschicklichkeit:
"Die drei Hausdorffschen Arbeiten tiber die astronomische Refraktion stellten dem noch
am Anfang seiner wissenschaftlichen Laufbahn stehenden Mathermatiker auch ein glanzen
des mathematisches Zeugnis aus."
Der Artikel "Hausdorffs Beitrage zur Wahrscheinlichkeitstheorie" von Hans-Joachim
Girlich spannt einen Bogen von Hausdorffs frtiher Lehrtatigkeit in Leipzig auf dem Ge
biet der Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihrer Anwendungen bis hin zu seiner groBen
Vorlesung tiber Wahrscheinlichkeitsrechnung in Bonn im Sommersemester 1923. Er un
tersucht die Hausdorffschen Positionen in ihrer zeitlichen Abfolge sowie die Quellen, aus
denen Hausdorff schopfte. Er versucht, die Entwicklungslinien nachzuvollziehen, die auf
GauB, Bessel, Bruns, Tschebycheff und Borel zurtickgehen und von Hausdorff zu zwei
Strangen gebtindelt wurden: dem GauBschen Fehlergesetz und den damit verbundenen
Grenzwertsatzen und Momentenproblemen einerseits und einer maBtheoretischen Behand
lung des starken Gesetzes der groBen Zahlen andererseits. Hausdorffs Vorlesung von 1923
"verband erstmalig in einer Gesamtschau die moderne analytische Theorie mit einer
tragfahigen axiomatischen Basis" ,
und sie war anderen zeitgenossischen Darstellungen der Wahrscheinlichkeitstheorie weit
voraus.
Die Beitrage der zweiten Gruppe sind Hausdorffs Arbeiten zur Mengenlehre und Punkt
mengenlehre gewidmet. Sie haben - bei durchaus unterschiedlicher Perspektive - gemein-
Einleitung 5
sam, daB sie erkenntnistheoretische Fragen bertihren und dabei auch in sehr interessan
ter Weise versuchen, Hausdorffs mathematische Arbeit vor dem Hintergrund von dessen
erkenntniskritischen und philosophischen Ansatzen zu sehen. DaB es sich dabei urn In
terpretationen handelt, versteht sich von selbst. Soweit dabei auf meinen eigenen, noch
ausstehenden Beitrag Bezug genommen wird, muB einstweilen offen bleiben, ob diese
Interpretationen und meine sich decken.
Der Artikel von Peter Koepke zeigt uns ,,Metamathematische Aspekte der Hausdorff
schen Mengenlehre". Bekanntlich ist Felix Hausdorff weder in seinen verOffentlichten Ar
beiten noch in seinem Buch "Grundztige der Mengenlehre" von einem Axiomensystem der
Mengenlehre ausgegangen, obwohl er die axiomatische Methode - etwa bei der Entwick
lung der mengentheoretischen Topologie - in vorbildlicher Weise zu handhaben wuBte.
Peter Koepke interpretiert nun Hausdorffs Beitrage zur Mengenlehre und seine Position
zum Problem der Grundlagen der Mengenlehre, also zur Frage nach den Fundamenten des
Fundaments, aus der Sicht des heute erreichten Standes metamathematischen Wissens tiber
die Axiome der Mengenlehre. Am Beispiel der Cantorschen Kontinuumshypothese, die
ein wichtiges Motiv fUr Hausdorffs mengentheoretische Arbeiten war, vermittelt der Autor
auch dem nicht mathematisch gebildeten Leser in gut versHindlicher Weise einen Eindruck
von Unabhangigkeitsbeweisen mit inneren Modellen und der Erzwingungsmethode. Peter
Koepke zeigt, daB Hausdorff in seinen Arbeiten zur Mengenlehre bis an die Grenzen ge
gangen ist, wo eine axiomatische Behandlung unumganglich wird. Ein auf den ersten Blick
erstaunliches Ergebnis dieser Sicht auf die nichtaxiomatische Hausdorffsche Mengenlehre
aus metamathematischer Perspektive ist, daB so der inhaltliche Zusammenhang von zeitlich
weit getrennten Teilen von Hausdorffs Werk sichtbar wird:
"Damit sind, auf "metamatematische Weise", die exorbitanten Kardinalzahlen der Haus
dorffschen Kardinalzahltheorie mit solchen Fragen der deskriptiven Mengenlehre und der
MaBtheorie verbunden, tiber die Hausdorff gearbeitet hat."
Hochinteressant ist schlieBlich auch die folgende These von Peter Koepke:
"Unabhangigkeitsresultate konnen als Absage an ein absolutes mengentheoretisches Uni
versum interpretiert werden, in erstaunlicher Analogie zur Hausdorffschen Erkenntnistheo
rie des Chaos in kosmischer Auslese."
Der Beitrag "Logische Ordnungen im Chaos: Hausdorffs frtihe Beitrage zur Mengenleh
re" von Erhard Scholz diskutiert Hausdorffs Arbeiten zur Mengenlehre auf dem Hinter
grund von dessen philosophischen Auffassungen und versucht bei dieser Durchmusterung
mit einfUhlsamem historischem Blick die Entwicklung von Einstellungen und Denkformen
zu erkennen. Er behandelt dabei Hausdorffs Axiomatisierung des Zeitbegriffs in seiner
Vorlesung vom Wintersemester 190311904 als Beispiel fUr die Vorgehensweise des von
Hausdorff vorgeschlagenen "besonnenen Empirismus". Es folgt ein Blick auf Hausdorffs
Untersuchungen zur Struktur geordneter Mengen, insbesondere seine Ergebnisse zur Klas
sifikation von Ordnungstypen und zur Erzeugung der zerstreuten Ordnungstypen aus den
regularen Anfangszahlen als "Uratomen der Typenwelt". In diesem Zusammenhang ent
stand Hausdorffs Frage nach der Existenz regularer Anfangszahlen mit Limesindex, die
Hausdorff selbst als "exorbitant groB" charakterisiert hat. Die weitere Entwicklung dieser
Frage ist in dem Artikel von Peter Koepke behandeIt. 1m Beitrag von Erhard Scholz folgt
dann eine Diskussion der Herausbildung der Axiome des Hausdorff-Raumes und der Frage
ihrer Beziehung zu Hilberts Axiomatisierung der topologischen Ebene aus dem Jahre 1902,