Euclides, jaargang 82 // 2006-2007, nummer 2

2006·1.6 MB·Dutch

by  Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

E u c l i dEs
v a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r
o k t o b e r
0 6 2
n r
j a a r g a n g 8 2
Het dubbele
programma van
Jan Versluys
Bedrijfswiskunde
Meetkunde en
vwo-wiskunde d
Twee nieuwe
rubrieken
Orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren
colofon
o k t o b e r
0 6 2
n r
j a a r g a n g 8 2
Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging
van Wiskundeleraren.
Het blad verschijnt 8 maal per verenigingsjaar.
ISSN 0165-0394
Redactie
Bram van Asch
Klaske Blom
Marja Bos, hoofdredacteur
Rob Bosch
Hans Daale
Gert de Kleuver, voorzitter
Dick Klingens, eindredacteur
Wim Laaper, secretaris
Jos Tolboom
Joke Verbeek
Nederlandse Vereniging lidmaatschap
inzendingen bijdragen van Wiskundeleraren
Het lidmaatschap van de NVvW is inclusief Euclides.
Artikelen/mededelingen naar de Website: www.nvvw.nl De contributie per verenigingsjaar bedraagt voor
hoofdredacteur: Marja Bos, - leden: € 50,00
Koematen 8, 7754 NV Wachtum Voorzitter - leden, maar dan zonder Euclides: € 35,00
E-mail: [email protected] Marian Kollenveld, - studentleden: € 26,50
Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk - gepensioneerden: € 35,00
Richtlijnen voor artikelen
Tel. [phone] - leden van de VVWL: € 35,00
Tekst liefst digitaal in Word aanleveren; op papier in E-mail: [email protected] Bijdrage WwF (jaarlijks): € 2,50
drievoud. Illustraties, foto’s en formules separaat op Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden dienen zich op te
papier aanleveren: genummerd, scherp contrast. secretaris geven bij de ledenadministratie.
Zie voor nadere aanwijzingen: Wim Kuipers, Opzeggingen moeten plaatsvinden vóór 1 juli.
www.nvvw.nl/euclricht.html Waalstraat 8, 8052 AE Hattem
Tel. [phone] Abonnementen niet-leden
Realisatie
E-mail: [email protected] Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende
Ontwerp en productie: nummer.
De Kleuver bedrijfscommunicatie bv, Veenendaal ledenadministratie Niet-leden: € 55,00
Druk: Giethoorn Ten Brink, Meppel Elly van Bemmel-Hendriks, Instituten en scholen: € 140,00
De Schalm 19, 8251 LB Dronten Losse nummers zijn op aanvraag leverbaar: € 17,50
Tel. [phone] Betaling per acceptgiro.

s E-mail: [email protected]
E
d Advertenties
Informatie, prijsopgave en inzending:
i
Gert de Kleuver,
l
De Splitting 24, 3901 KR Veenendaal
c Tel. [phone]
u E-mail: [email protected]
E
E u c l i dEs
K I
ort vooraf nhoud
[ Marja Bos ]
Jaarvergadering/studiedag 4 november
In dit nummer vindt u vanaf bladzijde 71 een aantal stukken ten behoeve van de jaarvergadering
van de NVvW van zaterdag 4 november a.s. in het Cals College te Nieuwegein. Het gaat om
twee jaarverslagen, de één van het Verenigingsbestuur, de ander van de redactie van Euclides, en 41 Kort vooraf
om de notulen van de jaarvergadering van vorig jaar. [Marja Bos]
Het programma van 4 november (met als studiedag-thema: Doorlopende leerlijnen of breuk- 42 Het dubbele programma van Jan Versluys
vlakken?) vindt u in het vorige nummer van Euclides. Er worden in Nieuwegein weer tal van [Harm Jan Smid]
interessante workshops verzorgd! 64 De wiskunde bedrijven …
[Hans Daale]
Nieuwe rubrieken 49 ‘Oude’ meetkunde en vwo-wiskunde D
In dit nummer vindt u de eerste aflevering van twee nieuwe rubrieken. [Dick Klingens]
In de eerste plaats start Anne van Streun zijn serie Parate kennis en algebra, een rubriek 53 Parate kennis en algebra /
die voortvloeit uit het ‘Manifest Wiskundedidactiek’ dat bijgevoegd was bij Euclides 80-3 Aflevering 0: Aankondiging
(december 2004); zie ook www.nvvw.nl/old/manifest2005.html. [Anne van Streun]
Daarnaast verzorgt redacteur Klaske Blom in deze nieuwe jaargang een column naar aanleiding 55 De Cirkel van Benford
van ‘oude actuele artikelen’: Ik las en dacht… In deze eerste aflevering denkt Klaske hardop na [Jeroen Spandaw]
over kwaliteitseisen, aan de hand van een verslag uit 1975. Denkt u mee? 59 Ik las en dacht …
[Klaske Blom]
WiskundE-brief gefeliciteerd! 62 Boekbespreking /
Namens de redactie van Euclides breng ik hierbij graag onze felicitaties over aan de redacteuren Wat algebra is, dat kun je niet weten
van de WiskundE-brief, Gerard Koolstra en Jos Andriessen. Begin november bestaat de [Rainer Kaenders]
WiskundE-brief namelijk 10 jaar, en dat waren bepaald niet de minst woelige jaren voor 68 Boekbespreking / Math through the Ages
wiskundeonderwijzend Nederland! Gerard en Jos hebben inmiddels zo’n 400 keer een [Ger Limpens]
(gratis) nieuwsbrief naar de diverse mailboxen gestuurd, in een oplage die inmiddels de 2000 70 Teleblik, prachtige bronnen voor ons vak!
gepasseerd is. De WiskundE-brief speelt door haar wekelijkse verschijning mijns inziens een [Paul Vermeulen]
uitstekende rol in de informatievoorziening en meningsvorming onder wiskundedocenten. 71 Jaarverslag Euclides
1
Voor mensen die ‘de E-brief’ nog niet kennen: nadere informatie is te vinden op [Marja Bos] 4
www.digischool.nl/wi/WiskundE-brief/. 73 Mededeling / Samenwerken aan
samenhangend bèta-onderwijs
Visiedocument 74 Inhoud van de 81e jaargang (2005/2006)
Half september verscheen de conceptversie van het ‘Visiedocument’ van de vernieuwings- 77 Mededeling / BWNW online
commissie cTWO, een uitgebreid stuk met 22 standpunten dat als uitgangspunt gebruikt zal 78 Notulen van de Jaarvergadering van
worden bij de ontwikkeling van de havo/vwo-examenprogramma’s wiskunde A, B, C en D de NVvW op 5 november 2005
vanaf 2010. Ten tijde van het verschijnen van dit nummer van Euclides heeft inmiddels de [Wim Kuipers]
bijbehorende veldraadpleging plaatsgevonden, en mede op basis daarvan zal in november de 80 Verslag van het verenigingsjaar 2005/2006
eindversie van het visiedocument geschreven worden. Zie voor nadere informatie én de tekst [Wim Kuipers]
van het document: www.ctwo.nl. 82 Recreatie
[Frits Göbel]
Wiskunde in mbo en hbo 84 Servicepagina
Vanuit mbo en hbo lijkt het nogal stil geworden als het over wiskunde gaat, al dan niet
geïntegreerd in andere vakken. Plaats en functie van het ‘oude’ schoolvak wiskunde is in die
opleidingen de afgelopen jaren sterk veranderd. Positieve én negatieve reacties op die gewijzigde
rol buitelden tot voor kort over elkaar heen.
Wat zijn uw ervaringen? Als u ze wilt delen met andere wiskundedocenten, dan zien we uw
bijdrage graag tegemoet!

Daarnaast willen we in deze jaargang van Euclides aandacht schenken aan reken- en wiskunde-
onderwijs op de pabo’s. Zo vormen de landelijke rekentoetsen voor pabo-studenten de
laatste tijd een veelbesproken onderwerp. De eerste entreetoets rekenen zou volgens afspraak s
E
afgenomen worden vóór 1 oktober jl., maar dat is op lang niet elke pabo gelukt. We hopen u d
hierover in volgende nummers van Euclides nader te kunnen informeren.
i
l
Aan dit nummer werkte mee: Jan Smit.
c
u
E
H e t d u b b e l e p ro g ra m m a
va n J a n Ve r s l u y s
[ Harm Jan Smid ]
Zelfwerkzaamheid en zelfontdekkend leren zijn voor de wiskundeleraar van
vandaag vanzelfsprekende zaken. Dat was niet altijd zo en oudere collega’s
herinneren zich nog de tijd dat de leraar een veel meer centrale rol in de klas
speelde dan nu. Het opvallende is dat er ook in de negentiende eeuw toonaan-
gevende didactici waren die zelfwerkzaamheid en zelfontdekkend leren krachtig
propageerden. Toch kwam daar niet veel van terecht, en het hele idee van zulk
onderwijs verdween ruim een halve eeuw vrijwel uit de belangstelling.
Waarom lukte toen niet, wat nu wel lijkt te slagen? En kunnen we daar ook
voor de huidige tijd nog iets van opsteken?
Jan Versluys Een leerboek vakdidactiek wiskunde
Jan Versluys (1845-1920) was de man die In 1874 publiceerde Versluys een boek
in Nederland het krachtigst pleitte voor onder de titel Methoden bij het onderwijs
zulk onderwijs. Versluys kwam uit Zeeuws in de wiskunde en bij de wetenschappelijke
Vlaanderen, maar volgde de onderwijzers- behandeling van dat vak. Het was een boek
opleiding in Haarlem en behaalde op jonge over wat we nu vakdidactiek wiskunde
leeftijd de wiskundeaktes KI en KV . zouden noemen, het eerste in zijn soort in
2
4 Hij was meer dan 10 jaar leraar wiskunde Nederland (zie figuur 1).
aan de HBS in Groningen. Daarna Zoals al uit de titel blijkt, ging het hem
was hij vele jaren docent perspectief om twee dingen. In de eerste plaats om de
en beschrijvende meetkunde aan de onderwijsmethode: wat is de beste manier
Rijksnormaalschool in Amsterdam. Versluys om les te geven, en dan in het bijzonder in figuur 1
was dus beslist geen wereldvreemde de wiskunde? In de tweede plaats vond hij
theoreticus die geen idee had wat er in een het belangrijk dat de wiskunde correct werd
klas omging. onderwezen, in overeenstemming met de
Jan Versluys was verder voorzitter en wetenschappelijke opvattingen over het vak.
secretaris van talloze commissies en Versluys’ boek was bestemd voor diegenen
verenigingen, maar zijn invloed dankte hij die ‘examen in de wiskunde willen doen,
vooral aan de tientallen schoolboeken die of die met onderwijs in dat vak zijn
hij schreef en die op veel scholen jarenlang belast.’ Het was dus bedoeld voor leraren
gebruikt werden. Het gaat beslist niet te en diegenen die dat wilden worden. Hij
ver om Jan Versluys te beschouwen als dacht vermoedelijk aan die onderwijzers
de man die het wiskundeonderwijs eind die door het behalen van een wiskundeakte
negentiende eeuw begin twintigste eeuw leraar aan het voortgezet onderwijs wilden
grotendeels bepaalde. worden, en daarbij dan ook een pedago-
Het interessante is dat hij niet alleen school- gische aantekening (‘de akte Q’) moesten

boekenauteur was, maar ook uitvoerig halen. Van die akte Q kwam echter niet
schreef over didactische problemen. veel terecht. Klaske Blom vermeldt in haar
s Daarbij nam hij ook duidelijk een eigen scriptie over de wiskundeaktes dat ‘de
E
d standpunt in. Nu was Versluys niet in de wiskunde-examinatoren akte Q uitreikten
eerste plaats een origineel denker, maar aan een kandidaat, als deze op het
i
vooral iemand die goed op de hoogte was mondeling examen goed uit zijn woorden
l
van de heersende denkbeelden en daar kwam. Begrip van klassikaal onderwijs en
c uitstekend, en soms ook best wel kritisch, leerwijzen kwam niet aan bod.’ Misschien
over kon schrijven. Door je met Versluys was dat een van de redenen waarom het
u
bezig te houden leer je dus heel veel van de boek geen groot verkoopsucces was. Er figuur 2
E
didactische opvatingen uit die tijd. kwam nog een tweede druk, en niet meer.
Hoe geef je het beste les? Beknopt leerboek der vlakke meetkunde in Gorter, Kloos, Van Eeden, Verweij en nog
De belangrijkste boodschap over de manier heuristischen vorm, uit 1872 (zie figuur 2). vele anderen. Maar kennelijk heeft hij in
van lesgeven die Versluys zijn lezers wilde Willem Versluys, de schrijver van dat boek, zijn jonge jaren ook nog wel iets aan het
bijbrengen was dat dát onderwijs het beste was een jongere broer van Jan, ook opgeleid onderwijsvak gedaan. Van zijn boek is
is dat, zoals Versluys het noemde, zelf als onderwijzer, maar vooral bekend welgeteld één exemplaar bewaard gebleven!
vindend van aard is. Hij vond het belangrijk geworden als uitgever. En dat niet alleen Wat is nu die ‘heuristische vorm’, waarin
dat de leerlingen zelf actief bezig zijn, hetzij van de schoolboeken van zijn broer Jan, Willems boekje geschreven is, en waarin
voor zichzelf, hetzij aan de hand van een maar vooral als uitgever van de tachtigers: we als het ware Jans opvattingen gedemon-
onderwijsleergesprek, en op die manier
zelf zoveel mogelijk van de wiskunde
ontdekken. Het voornaamste argument
dat Versluys voor de superioriteit van zulk
onderwijs aanvoerde, was de motivatie van
de leerling. Kenmerkend is het volgende
citaat: ‘Een der hoofddoelstellingen van de
onderwijskunde is: zorg dat uwe leerlingen
belang stellen in het onderwijs, en dat kan
men doen door heuristisch onderwijs te
geven.’
Versluys gebruikte hier de term heuristisch.
Nu denken we bij heuristieken vooral
aan systematische probleemaanpak. Die
betekenis heeft het bij Versluys nog niet.
Heuristisch onderwijs is bij hem onderwijs
waarbij de leerling zelfontdekkend bezig
is, zonder dat expliciete richtlijnen voor
probleemaanpak daar een rol bij spelen.
3
Nu waren dat opvattingen die in de negen- 4
tiende eeuw door onderwijsvernieuwers wel
meer gepropageerd werden, maar Versluys
nam bij zijn pleidooi een radicaal standpunt
in. Zo vond hij bijvoorbeeld dat bij echt figuur 3 Congruentie volgens W. Versluys
heuristisch meetkundeonderwijs de leerling
niet alleen zelf het bewijs bij de door de
leraar gegeven stelling moet zoeken, maar
dat die leerling ook zelf die stelling eerst
moet vinden en formuleren.
Nu wist Versluys natuurlijk ook wel dat
dit allemaal gemakkelijker gezegd dan
gedaan was, en dat de meeste leraren zo niet
lesgaven. Hoewel hij volhield dat je ook
met een zoals hij dat noemde ‘dogmatisch’
leerboek, dat wil zeggen een traditioneel
leerboek waarin de stof systematisch behan-
deld en uitgelegd wordt, best zelf-vindend
onderwijs kunt geven en dat hierin nu

juist een prachtige uitdaging voor de leraar
is gelegen, moet hij ook zelf wel geweten
hebben dat nog niet zo eenvoudig was. Een s
E
leraar die zelf-vindend onderwijs zou willen d
geven, zou natuurlijk erg geholpen zijn met
i
een boek dat daarop ingericht is.
l
de broer van Jan Versluys c
Het interessante is nu, dat hij ook naar zo’n
u
leerboek verwijst. Hij ontleende een aantal figuur 4 Congruentie volgens J. Versluys
E
voorbeelden aan een boek van W. Versluys,
streerd kunnen zien? Welnu, daarbij moeten gelijke hoeken niet voldoen, en ook wordt woorden dat ook zo’n boek uitstekend is.
we beslist niet denken aan een moderne getoond dat je bij twee gelijke zijden en de Maar het hele onderwijs opzetten in de
werkboek-achtige opzet, waarbij de overstaande hoek nog twee verschillende vorm van onderwijsleergesprekken, zonder
leerlingen aan de hand van het boek ‘zelf- driehoeken kunt maken (zie figuur 3). ondersteuning van een boek, is wel erg
ontdekkend’ aan het werk worden gezet. Pas dan verschijnen de bekende congru- hoog gegrepen. Zelfwerkzaamheid in de
Integendeel, het is een echt leerboek, waarin entiegevallen. Een vergelijking met de klas was dan ook pas te realiseren toen
de leerstof systematisch wordt uiteengezet. behandeling in het planimetrieboek uit daarvoor ook geschikte boeken en andere
Net als alle andere meetkundeboeken uit 1869 van Jan Versluys zelf (!) is opvallend: hulpmiddelen werden ontwikkeld. Daarin
die tijd begint het met het opzetten van een dat heeft veel meer het karakter van een slaagde men in de negentiende eeuw
axiomastelsel, waarna de bekende eigen- compacte samenvatting van de stof niet, men zag het belang daarvan ook
schappen van hoeken en lijnen, driehoeken (zie figuur 4). onvoldoende in, en daardoor kwam er van
en vierhoeken, congruentie en gelijkvormig- de didactische ideeën uit die tijd uitein-
heid, bogen en cirkels worden afgeleid. De Wat ging er mis? delijk toch weinig terecht. Het didactisch
opgaven zijn pas helemaal aan het einde Hoe aardig het boekje van Willem Versluys programma van Versluys – zijn streven naar
van het boekje in een apart hoofdstuk ook was, het was geen succes. Het bleef bij zelfwerkzaamheid en zelf-vindend onder-
opgenomen. En dat zijn grotendeels ook de eerste druk, en alleen al het feit dat er wijs – is dan ook uiteindelijk niet gelukt.
de gebruikelijke opgaven; van bijvoorbeeld maar één exemplaar bewaard is gebleven,
zelf ontdekken of formuleren van eigen- laat zien dat het weinig gebruikt werd. En Een wetenschappelijk verantwoorde
schappen of stellingen is maar een enkele ondanks de pleidooien van Jan Versluys, die aanpak
keer sprake. toch de toonaangevende didacticus van zijn Maar Versluys had nog een programma-
Evenmin worden er richtlijnen gegeven tijd was, kwam van die zelfwerkzaamheid punt: de ‘wetenschappelijke behandeling’
voor het oplossen van de vraagstukken. Van weinig terecht en verdween het hele thema van het vak. Dat treft ons misschien nu
zoiets als heuristieken of een Systematische tientallen jaren uit de belangstelling. Wat wat vreemd, maar dit moet gezien worden
Probleem Aanpak is geen sprake. Nee, ging er dan mis? tegen de achtergrond van de geschiedenis
Willem Versluys was geen Bos, Lepoeter Ik denk dat dat kwam omdat de eisen die van de wiskunde in de negentiende
of Van Streun van 100 jaar geleden. Het aan de leraar gesteld werden, te hoog waren. eeuw. Ons vak maakte in die tijd een
boek is ook kennelijk niet bedoeld om er Wat Jan Versluys wilde is dat de leraar op stormachtige ontwikkeling door, niet in de
44
44 de leerlingen zelf, zonder dat de leraar de een of andere manier het onderwijs zó laatste plaats wat betreft de strengheid van
2
stof eerst behandeld heeft, mee aan het organiseerde dat de leerling ‘zelf-vindend’ behandeling en de nauwkeurigheid van de
werk te zetten. Uit alles blijkt dat voor Jan bezig was. Dat kon dat in zijn visie echter gehanteerde begrippen. In de leerboeken
en Willem Versluys de leraar de centrale rol alleen maar door het voeren van wat we nu uit de tijd vóór Versluys werd daar nogal
in het leerproces had, en had het boek niet een onderwijsleergesprek zouden noemen, slordig mee omgesprongen; iets waar hij
meer dan een rol achteraf. niet aan de hand van een boek. Wel pleitte felle kritiek op had.
Toch verschilt het boekje wel degelijk hij ervoor leerlingen soms ook de opgaven Versluys maakte in zijn didactiekboek
van de meer gebruikelijke leerboeken uit op het bord en individueel in het schrift een belangrijk punt van de correctheid
die tijd. Dat verschil zit hem in een meer te laten maken. Het boek biedt bij dit van formuleringen en bewijzen in zijn
natuurlijke volgorde en beperking van de onderwijs geen directe ondersteuning schoolboeken. Het interessante is dat hij die
leerstof, een tamelijk consequent beroep op en heeft uitsluitend een functie achteraf. nadruk op logische strengheid verbond met
de aanschouwing, het achterwege laten van Vandaar dat Jan Versluys dan ook eigenlijk een ander toen gangbaar didactisch idee:
bewijzen van zaken die voor iedere leerling geen bezwaar heeft tegen een ‘dogmatisch’ de vormende waarde van het wiskundeon-
onmiddellijk duidelijk zijn, en vooral in de leerboek – in feite waren zijn eigen derwijs. Versluys formuleerde het zo: ‘Het
makkelijk leesbare stijl waarin het boekje leerboeken ook zo opgezet. nut van het onderwijs ligt bij de wiskunde
is geschreven. Definities, stellingen en Het heuristische leerboek van broer Willem niet hoofdzakelijk in de kennis zelf, maar
bewijzen worden eigenlijk nauwelijks van heeft dus eigenlijk iets tegenstrijdigs: in de wijze waarop zij wordt onderwezen.’
elkaar onderscheiden, het geheel is in een hoewel het voor leerlingen veel beter Versluys legde daarbij expliciet verband
soort lopend verhaal gegoten. Stellingen leesbaar lijkt dan de traditionele boeken, tussen vormende waarde en logische

worden niet afzonderlijk geformuleerd was het toch ook bedoeld voor gebruik ná strengheid. Aan zomaar wiskunde leren
maar komen als het ware op een natuurlijke het onderwijsleerproces, als het zelf-vind- heb je niet veel. Volgens Versluys: ‘Zodra
ss manier uit het verhaal te voorschijn. Zoals proces idealiter al tijdens de les onder regie de logische gestrengheid te wenschen overlaat,
EE
dd Willem het in zijn voorwoord zegt: ‘… van de leraar heeft plaatsgevonden. Op z’n verkeert veel van het nut, dat onderwijs in
eigenschappen springen alleen daardoor in het best sluit de vorm van zijn leerboek dan de wiskunde oplevert, in nadeel.’ Hij doelt
ii
oog, doordat ze cursief gedrukt zijn.’ aan bij wat de leerlingen gewend waren, daarbij op twee zaken. Van mechanisch
ll
Een aardig voorbeeld van die natuurlijke maar even goed kun je zeggen dat in zo’n wiskunde leren, de methode Willem
cc opbouw is de behandeling van congru- situatie het leerboek beter een systematische Bartjens om het kort samen te vatten,
ente driehoeken. Eerst wordt uitgelegd samenvatting van het behandelde kan waaraan in de negentiende eeuw ook nog
uu
waarom één of twee gelijke elementen bieden - een dogmatische vorm dus. wel vormende waarde werd toegekend,
EE
nooit voldoende kunnen zijn, waarom drie En Jan Versluys zegt ook zelf met zoveel daarvan moest Versluys niets hebben. Maar
hij verzet zich ook tegen onnauwkeurigheid met alle willekeurige getallen kon doen. nu volkomen geaccepteerd, en zoals Anne
in formuleringen of het wegmoffelen van Dat Versluys vermoedelijk een goed van Streun in zijn oratie opmerkte, bestaat
allerlei stappen in een bewijs. Een voorbeeld docent was is ook verder wel uit zijn er zoiets als een ‘zelfstandig werken trend’
dat hij daarvan geeft is de gewoonte van boek te merken. Het bevat talrijke goede in veel scholen. Hij was daar trouwens niet
zijn voorgangers om allerlei eigenschappen observaties en opmerkingen, waar ook nu onverdeeld positief over!
van bewerkingen met natuurlijke getallen een beginnend docent haar voordeel mee Maar als uit de geschiedenis blijkt, dat
wel te bewijzen, maar dan vervolgens net zou kunnen doen. Zo bijvoorbeeld de vernieuwingspogingen kunnen mislukken
te doen of die eigenschappen dan ook volgende fraaie tirade: ‘Na een eigenschap door het ontbreken van geschikt materiaal,
zonder meer voor breuken en/of negatieve te hebben bewezen, gaat een jeugdig docent, moeten we ons ook realiseren dat
getallen gelden, terwijl het toch, aldus als hij met minachting voor onderwijskunde omgekeerd dat materiaal kennelijk veel
Versluys, duidelijk is dat bijvoorbeeld de is bezield door anderen, die zelf niet weten dominanter is dan we wel eens beseffen.
definitie van vermenigvuldiging die voor wat goed onderwijs is, onmiddellijk tot een Buitenlandse docenten die het Nederlandse
natuurlijke getallen gegeven wordt, voor volgende eigenschap over. Daar zit nu juist wiskundeonderwijs in de praktijk
negatieve getallen onzin is. Alle al bekende de groote fout. (…) Hij praat natuurlijk meemaken, verbazen zich nogal eens over
eigenschappen moeten dus voor negatieve bijvoorkeur zelf en komt er zo toe de eene de overheersende rol van het schoolboek,
getallen weer opnieuw bewezen worden. stelling na de andere te behandelen, zodat waar docenten nauwelijks van durven af
Het is niet moeilijk in te zien dat dit deel alles bij den leerling het eene oor in- en het te wijken. De huidige leer- en werkboeken
van zijn programma veel makkelijker andere oor uit gaat.’ Overigens, Versluys maken werkvormen mogelijk die vroeger
realiseerbaar was. Het stelde vooral eisen was 29 toen hij deze waarschuwing voor praktisch niet goed realiseerbaar waren,
aan de vakkennis van de docent, en de ‘jeugdige docent’ schreef… Misschien maar hebben jammer genoeg ook de rol van
daarmee was het aan het einde van de lijkt die waarschuwing in deze tijd van de leraar uitgehold.
negentiende eeuw heel behoorlijk gesteld. volledige zelfwerkzaamheid niet meer zo En die ‘wetenschappelijke behandeling’? In
Wiskundedocenten waren inmiddels relevant. Maar Versluys heeft ook daarover die ‘vormende waarde’ geloven we niet meer
grondig in hun vak geschoold. En voor wel wat op te merken: ‘Veel leerlingen zijn zo, maar persoonlijk denk ik wel dat ons
welke vakgerichte docent is het nu niet geneigd anderen voor zich te laten rekenen of wiskundeonderwijs te lijden heeft onder
aantrekkelijk je eigen vak zo verantwoord werken.’ Of ook dit: ‘De leerlingen schrijven slordig formuleren en onheldere begripsvor-
mogelijk te brengen, zoveel mogelijk gaarne het antwoord op de eerste de beste ming, en dat daar te weinig aandacht voor
55
aansluitend bij de manier waarop je het plaats, dikwijls midden in een berekening.’ is. Precisie en nauwkeurig formuleren zijn 44
zelf geleerd hebt, zeker als je daarbij de En hij stelt zich de volgende vraag: ‘Als wel degelijk cruciale aspecten van wiskunde 2
overtuiging mag koesteren dat nu juist die men den leerlingen de antwoorden in handen en daar komt vaak niet veel van terecht. Als
aanpak ook didactisch en opvoedkundig geeft van de vraagstukken, die zij moeten het didactiekboek van Jan Versluys ons er
het beste voor de leerling is? Die benadering oplossen, kan dan ook misbruik gemaakt toe brengt daarover, en over al die andere
stelde bovendien geen moeilijke didactische worden van die antwoorden?’ Kennelijk zaken die het aanroert, nog eens na te
eisen – en op dat terrein waren de docenten speelde dat probleem van de antwoorden- denken, heeft het 132 jaar na dato toch nog
toen immers nauwelijks geschoold. Dat boekjes toen ook al! zijn waarde!
programma kon bovendien wel heel goed
door middel van de leerboeken bevorderd Een leerzame mislukking?
worden, en in dat opzicht heeft Jan Versluys Je kunt zo’n didactiekboek van Jan Versluys
ongetwijfeld het wiskundeonderwijs wél natuurlijk gewoon uit historische interesse
vele decennia grondig beïnvloed. Het idee lezen, daar is niets op tegen. Toch valt
dat een wetenschappelijke behandeling van er nog wel wat van te leren. Een van
de wiskunde een grote vormende waarde de opvallende dingen uit de historische
heeft, is bijvoorbeeld bij E.J. Dijksterhuis (vak)didactiek is dat er in het verleden
prominent aanwezig. vaak hele zinnige en modern aandoende
opvattingen werden gepropageerd, maar dat
Van de praktische kant je het gevoel hebt dat daar in de praktijk zo

Nu denk ik dat Versluys een veel te goed weinig van terecht kwam. Hoe kwam dat?
docent was om die strengheid te veel op In dit specifieke geval heb ik het idee dat
de spits te drijven. Ook zijn didactiekboek de oorzaak het ontbreken van geschikt ss
EE
geeft daarvoor de nodige aanwijzingen. materiaal was. Ook met het boekje van dd
Zo vindt hij het onzin om leerlingen Willem Versluys kon je de leerlingen niet
ii
meetkundige eigenschappen te laten zomaar ‘zelf-vindend’ bezig laten zijn.
ll
bewijzen die voor ieder kind duidelijk uit Pas de boeken van Bos en Lepoeter uit Over de auteur
de figuur blijken. En je mocht volgens de jaren vijftig van de vorige eeuw boden Harm Jan Smid is werkzaam aan de TU cc
hem ook best een bewijs van een reken- die mogelijkheid. De grote doorbraak Delft. Zijn speciale interesse gaat uit naar
uu
kundige eigenschap met getallen geven, als kwam in 1968 met de eerste versie van de geschiedenis van het wiskundeonderwijs.
EE
maar duidelijk was dat je die redenering Moderne wiskunde. Zelfstandig werken is E-mailadres: [email protected]
d e w i s k u n d e
b e d r i j v e n …
[ Hans Daale ]
StudEntEn BEdrIJfSWISK undE aan hE t W oord
6
4 In de vorige jaargang is aandacht besteed volledig verslag te kunnen doen van alles ‘je moet toch wel aardig goed in wiskunde
aan de hbo-opleiding Bedrijfswiskunde, dat naar voren werd gebracht. Overigens, de zijn. En je moet dan wel heel hard werken
maar dan vanuit het specifieke perspectief studenten mochten vrijuit praten, dus we om goed bij te blijven in de klas.’ Hij geeft
van de hogeschool.[1] Er werd ingezoomd mogen aannemen dat via deze steekproef aan dat de docenten hier een goede basis-
op de wijze waarop bij de Noordelijke toch een realistisch beeld naar voren kan kennis van je verwachten, maar ‘gelukkig
Hogeschool Leeuwarden onder leiding worden gebracht. mag je van alles vragen en ze nemen best
van Klaas-Jan Wieringa wordt geprobeerd veel tijd voor je, als je maar belangstel-
wiskunde in een bedrijfsmatige verpakking Rondetafelgesprek ling toont.’ Overigens lijkt een bepaalde
aan de student te brengen. Zeker gelet op Om het gebeuren zo efficiënt mogelijk te aanleg voor het lesgeven deze studie vooral
de potentiële markt voor zo’n type student laten plaatsvinden, wordt mijn gesprek aantrekkelijk te maken: Marloes geeft aan
lukt ze dat best aardig als we de aanmel- met een aantal studenten meteen maar dat ze eerst voor de PABO had gekozen,
dingscijfers voor wiskunde en aanverwante in het kader van een les ‘communicatie’ maar deze studie toch leuker vindt.
studies voor het lopende studiejaar onder geplaatst. Onder het toeziend oog van een Op de vraag of de decaan van hun middel-
de loep nemen. videocamera mag ik met de groep aan de bare school wist dat deze studie bestond,
Om toch ook eens zicht te krijgen op de slag, kritisch gadegeslagen door de rest wordt aangegeven dat dit wisselend is.
andere kant van de waarderingsmedaille van de klas om te zien hoe een dergelijke Het is toch vaak een kwestie van horen
voor de studie mocht ik een tijdje geleden activiteit in z’n werk gaat. Aangezien ik zeggen, en dan pas zelf ontdekken wat de
spreken met studenten van de studie geen geschoolde journalist ben, hoop ik studie inhoudt en wat je ervan vindt. Maar
Bedrijfswiskunde. Daarvoor werd een wel dat door mij geen ontluikende talenten kennelijk kan een enthousiast verhaal veel

speciaal groepsgesprek gearrangeerd in op het verkeerde been zijn gezet qua teweeg brengen, want Tine meldt dat er
Leeuwarden en kon ik een paar studenten ondervragings technieken… van haar school ‘vier leerlingen iets met
s op hun stageadres bezoeken – waarbij, ook Degenen die bij mij op gesprek mochten wiskunde en ook bij deze studie zijn gaan
E
d niet onbelangrijk, kon worden bezien wat komen, zijn met het eerste leerjaar bezig. doen. Dus mijn oude wiskundedocent is
dergelijke bedrijven van dit soort studenten Ze geven allemaal aan dat er sprake was van daar zeker trots op.’
i
vinden. En tevens is een tweetal afgestu- een bewuste keuze. ‘Hoewel’, zegt Rory,
l
deerden gevraagd om terug te kijken op ‘ik had eerst wat twijfels, maar toen ze bij Grappig is dat veel BW-studenten zich op
c hun studie. de voorlichting aangaven dat je een goede een bijzonder soort arbeidsmarkt bewegen.
In dit artikel een impressie van die baan kunt krijgen, wist ik het wel.’ Marco Ze moeten – uiteraard – bijklussen en
u
verkenningsactiviteiten, aan de hand van is eigenlijk toch ook wel op het spoor gezet daarbij kunnen ze al gauw, omdat ze
E
de meest opvallende uitspraken, zonder door zijn vader die leraar wiskunde is, maar wiskunde studeren, simpelweg aan de slag
als ‘bijspijkeraar’. Maar dan vooral ook in hebben onderdak gevonden bij het Medisch Naast het technische werk van de stage
de hoofdfase bij collega-studenten van de Centrum Leeuwarden, het MCL. (Renke: ‘We zouden hierop best willen
PABO. Het verhaal is zo onderhand wel Na enig zoeken in de wirwar van gangen voortbouwen in onze afstudeeropdracht’)
bekend: veel studenten willen wel voor en zalen arriveer ik in een kamertje blijkt dat ook de communicatieve vaardig-
de klas, maar ontberen de noodzakelijke waar ze hun werk doen en mij kunnen heden van erg groot belang zijn. ‘Je moet
basisvaardigheden van het rekenen. En dit vertellen waarmee ze bezig zijn. ‘Werken goed weten hoe je jouw uitkomsten van
gat in de kennismarkt vullen deze oudere zonder wachtlijst, dat is de naam van ons een onderzoek en de ideeën die je hebt
BW-studenten moeiteloos op. ‘Bovendien’, project’, meldt Antje. ‘Iedereen kent wel om iets te veranderen, in een vergadering
zo geeft Tine aan, ‘leer je er straks in de het probleem van de keten van bezoeken, met alle andere mensen moet verkopen’,
hoofdfase zelf ook van omdat je iets moet onderzoeken en gesprekken als je eenmaal meldt Antje. ‘Je hebt met allerlei belangen
uitleggen. Dat is toch wel handig, als in het zorgcircuit zit. En zeker als je op te maken en dan kun je wel goed uitziende
controlemiddel.’ een dag een traject binnen het ziekenhuis modellen op de computer hebben ontwik-
moet doorlopen, merk je dat men voor keld, met alle theorie en creativiteit die
In dit groepsgesprek en rondkijkend in elke patiënt voldoende tijd wil uittrekken wij toch zeker hebben, maar dan moeten
de klas – men is behoorlijk gediscipli- – logisch als je kwaliteit nastreeft – maar anderen er ook van overtuigd worden
neerd, maar dat kan ook zijn vanwege dan kunnen allerlei planningen wel eens en blijven.’ ‘Maar daar leren wij weer
het Euclidische bezoek – zie ik duidelijk in de knel komen. Hoeveel ruimte moet ontzettend veel van,’ vult Renke aan, ‘want
gemotiveerde studenten. Voelen ze zich nou er tussen bepaalde activiteiten zijn, niet hbo’ers moeten ook dit soort zaken goed
erg bijzonder, vormen ze een opvallende teveel maar ook niet te weinig, dat is de kunnen.’
groep? ‘Nou, niet echt’, verweert Marloes kern van ons denkwerk.’ Hun onderzoek Ze hebben het in ieder geval getroffen met
zich, ‘maar mensen hebben wel een speciaal blijkt zich toe te spitsen op de processen de stagebegeleidster in het MCL die ook bij
beeld van ons en van de studie, als je vertelt binnen de afdeling geriatrie, dus kan ik dit soort lastige vergaderingen meedenkt.
wat je studeert.’ Maar dan ben je toch melden nog niet te mogen spreken uit Het vormt een goede aanvulling op hetgeen
heel erg geschikt om de rol van een soort eigen ervaringen. Maar Renke geeft aan ze bij de vorige stage hebben meegekregen,
wiskundeambassadeur op je te nemen, om dat hun onderzoek er is om te bezien hoe waar het om een publieke organisatie
een volgende groep studenten te werven? zo’n keten met bezoeken aan verschillende ging. Ze krijgen op deze wijze veel ruimte
‘Dat heeft toch weinig zin,’ vindt Tine. afdelingen kan worden vormgegeven, ook om iets uit te denken. Dat is ook te
7
En Rory valt haar bij: ‘Je ziet dat je op in combinatie met hetgeen al bij de huisarts merken aan het enthousiasme van beide 4
de havo gewoon druk genoeg bent met gebeurt. ‘Onze voorstellen op grond van bedrijfswiskundigen-in-de-dop.
je normale zaken en dan kijk je echt niet wat wij allemaal tegenkomen, kunnen
precies wat je later wilt gaan doen, en zeker best straks overal van belang zijn. Bij het Eenzelfde tevredenheid is terug te
nog niet als het gaat om zoiets speciaals als project dat we nu begeleiden, is sprake van vinden bij Kristian. Hij loopt stage bij
wiskunde.’ Mijn professionele verbazing een landelijke coördinatie, dus je weet het SuperConnie, in Heerenveen. Een intrige-
als voormalig decaan op een havo-school maar nooit.’ Ze maken me in ieder geval rende naam voor deze onderneming, zeker
over zo’n late studiekeuze ontlokt Marco de duidelijk dat ikzelf kan gaan profiteren van als je op de website een (supersonisch?)
ontboezeming dat ‘je toch gewoon vaak pas hetgeen zij nu met hun eigen aanpak van vliegtuig ziet staan. Kristian leidt me rond,
weet wat je wilt gaan doen als je je examen ‘wachtrijen’ aan het bedenken zijn… samen met zijn baas: ‘Er wordt hier gewerkt
hebt gehaald, tenminste, zo ging het bij
mij.’ Kennelijk is het toch afhankelijk van
de wiskundedocent, als het gaat om het
enthousiasme voor het vak en of iemand
al in een vroeg stadium voor zo’n oplei-
ding als bedrijfswiskunde kiest. ‘Je moet
ook wel durven om zo’n studie te doen’,
geeft Marloes aan, ‘want wiskunde heeft
natuurlijk een bepaalde naam bij leerlingen,

ook als het saai wordt gegeven, maar juist
de combinatie met andere zaken zoals
informatica en statistiek spreekt juist wel s
E
een bepaalde groep studenten aan.’ d
i
Op stage
l
Na dit gesprek (met dank voor het beschik-
baar stellen van de les) is het tijd om eens c
te gaan kijken hoe studenten die al een
u
tijdje aan de studie zijn, het maken op
E
hun stage. Twee daarvan, Antje en Renke,
van opleidingen waarin wiskunde een rol
speelt… Jammer, maar het zij zo; misschien
dat het nu anders is.’
En de aansluiting van bedrijfswiskunde op
de wetenschappelijk masters, hoe verliep die
procedure? ‘Je moet gewoon een schakeljaar
doen’, meldt Daniël, ‘maar we hadden het
net over de wijze waarop bedrijfswiskunde
werd aanbevolen op de havo – liever
gezegd, dus nog niet echt – maar ook bij
mijn gesprek met de studieadviseur bleek
dat hij die hbo-studie ook niet kende.’ Een
bekend probleem dat de laatste tijd steeds
sterker naar voren komt, nu het bachelor-
mastersysteem duidelijker contouren krijgt:
het opvangen van hbo’ers in de wo-masters,
naast de instroom uit de eigen bachelors. ‘Je
aan allerlei software, niet voor games of Toch was het bij beiden eigenlijk al vrij snel moest gewoon instromen in het derde jaar
zo, maar aan pakketten die behoren bij de bedoeling om na de hbo-studie door te van de bachelor’, zegt Alicia, ‘en dan kun je
onderwijsmethoden en scholingssystemen.’ studeren. Alicia: ‘In de propedeuse was het vervolgens bepaalde vakken uit het tweede
Er volgt natuurlijk meteen een imposante nog niet echt duidelijk wat de studie zou leerjaar inhalen, zoals statistiek. Nu loopt
demonstratie van een ontwerp waarbij gaan opleveren en wat we er allemaal mee dat natuurlijk wel en ik red het ook best,
heel knap en stap voor stap een technisch zouden kunnen gaan doen, ook al omdat maar ik kan me voorstellen dat er meer
proces wordt uitgelegd. Kristian: ‘Je kunt we van een heleboel zaken en van alles wordt gedaan aan afstemming, of dat men
zonder meer zien dat er veel wiskunde aan wat iets kregen.’ Zou dan een verregaande over en weer meer van elkaar weet.’
te pas komt, maar toch wel in een bepaalde specialisatie beter zijn? ‘Nou, als je nu
situatie. En dan moet je goed weten of kijkt naar een systeem van minoren, dus Eigen plek
8
4 zoiets in de les of bij een praktijkopdracht keuzeprogramma’s van een half jaar, dan Een dergelijke quick-scan van de beleve-
door een leerling of student op de juiste kan zoiets best werken, en misschien is er nissen van studenten die in een bepaalde
wijze kan worden gebruikt en vervolgens in de tussentijd ook wel meer gedaan aan fase van hun studie zitten, laat zien dat er
ook begrepen.’ Het is duidelijk dat naast de de mogelijkheden om je sterker op een zonder meer ruimte is voor bedrijfswis-
kennis van de informatica en de wiskunde- bepaald gebied te richten.’ Daniël meldt in kundigen. De arbeidsmarkt, voor wat deze
technieken, ook inzicht nodig is ten aanzien het verlengde daarvan dat ‘mede daarom in ‘steekproef’ waard is, kan zeker met dit type
van het pedagogisch verantwoord kunnen onze tijd bepaalde stagebedrijven niet echt student uit de voeten. Nu nog bepaalde
inzetten van bepaalde software. ‘Daarom is precies wisten wat ze aan ons hadden, maar zaken wellicht wat scherper en gedurfder
het van groot belang om als team te werken kennelijk is dat snel beter aan het worden.’ neerzetten, en dan blijft bedrijfswiskunde
en elkaars sterke kanten te gebruiken, en ‘Maar het niveau van de wiskunde en dat zeker z’n plek in het hbo waard.
daar leer je ontzettend veel van, en ik zeker’, soort zaken’, stelt Alicia, ‘was zonder meer
beaamt Kristian. Duidelijk een superstage goed en dus wisten we onszelf ook wel te
voor hem. redden in allerlei situaties.’
Hoe zijn jullie zelf eigenlijk bij de opleiding
Afgestudeerd bedrijfswiskunde terecht gekomen? ‘Toen
Om het plaatje van de studenten compleet ik moest kiezen en naar een open dag van
te krijgen, schuif ik vervolgens - weer de Noordelijke Hogeschool Leeuwarden Noot
terug in het eigen Amsterdam - aan tafel ging, kwam ik eigenlijk voor een andere [1] Hans Daale: Hbo-wiskunde in bedrijf.
met Daniël en Alicia, beiden bezig in het studie’, zegt Daniël, ‘want ik had een In: Euclides 81-3, december 2005,

Amsterdamse met een universitaire studie: technisch profiel en dan kijk je toch eerst pp. 114-116.
Bedrijfskunde respectievelijk Actuariële in die richting. En toen liep ik pas tegen
s wetenschappen. Dat laat al meteen zien dat deze studie aan, dus om nu te zeggen dat er
E
d BW-afgestudeerden van alles kunnen en veel aan promotie werd gedaan – ik heb er Over de auteur
dus ook gaan studeren. ‘Klopt, de opleiding destijds niet veel van gemerkt.’ Kennelijk Hans Daale is redacteur van Euclides. Hij
i
bedrijfswiskunde is een behoorlijk brede was dat toen toch wel een probleem, want is daarnaast betrokken bij ontwikkelingen
l
opleiding geweest,’ geeft Daniël aan. ‘En ik ook Alicia is niet meteen op het vwo op die in het (hoger) beroepsonderwijs zoals de
c vond het ook veel leuker om zo’n praktische studie gewezen. ‘Ik vond wiskunde gewoon aansluiting op het hbo, via het Lica, en de
studie te gaan doen, dan na de havo via het een leuk vak. Nu had ik ook niet zulke Associate degree.
u
vwo met een universitaire opleiding aan de hoge cijfers, en als je dan merkt dat ze op je E-mailadres voor die activiteiten:
E
slag te gaan.’ eigen school niet echt aan promotie doen [email protected]