Estudios matemáticos NM - Libro del alumno

624 Pages·2016·68.04 MB·Spanish

by  Peter Blythe

PROGRAMA DEL DIPLOMA DEL IB OXFORD
E S T U D I O S
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M ATE M TI CO S
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I
S NI VEL M EDIO
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E LIBRO DEL ALUMNO
V
Peter Blythe
Jim Fensom
Jane Forrest
Paula Waldman de Tokman
3
Great Clarendon Street, Oxford, OX2 6DP, Reino Unido
Oxford University Press es un departamento de la Universidad
de Oxford que promueve el objetivo de excelencia acadmica,
educativa e investigadora de esta Universidad mediante sus
publicaciones en todo el mundo. Oxford es una marca registrada
de Oxford University Press en el Reino Unido y en algunos otros
pases.
 Oxford University Press 2015
Los autores han reivindicado sus derechos morales.
Traducido del ingls por Paula Waldman de Tokman, y revisado
por Irene Owen y Valeria Juanatey-Oogan
Derechos de autor de la traduccin  Oxford University Press 2015
Primera publicacin en 2015
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parte de esta publicacin, ni almacenarla en un sistema de
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Esta publicacin figura en el catlogo de la Biblioteca Britnica
con los datos siguientes:
978-0-19-833875-8
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
El papel usado para la fabricacin de este libro es un producto
natural y reciclable de madera de bosques sostenibles. El proceso de
fabricacin se ajusta a las normas ambientales del pas de origen.
Impreso en China
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Los editores desean agradecer a las siguientes personas e Dreamstime.com; P303: Rui Matos/Dreamstime.com; P304:
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Shutterstock; P292: Jessmine/Shutterstock; P295: Annabelle496/ omisin a la mayor brevedad.
ii
Defnicin del libro del En pos de este objetivo, la organizacin
colabora con establecimientos escolares,
alumno
gobiernos y organizaciones internacionales
Los libros del alumno del Programa del para crear y desarrollar programas de
Diploma del IB son recursos diseados como educacin internacional exigentes y mtodos
apoyo para el estudio en los dos aos del de evaluacin rigurosos.
Programa del Diploma. Estos recursos ayudan
Estos programas alientan a alumnos del
a los alumnos a entender lo que se espera del
mundo entero a adoptar una actitud activa
estudio de una asignatura del Programa del
de aprendizaje durante toda su vida, a ser
Diploma del IB y presentan su contenido de
compasivos y a entender que otras personas,
manera que ilustra el propsito y los objetivos
con sus dierencias, tambin pueden estar en lo
del IB. Reejan la flosoa y el enoque del IB,
cierto.
y avorecen una comprensin prounda de la
asignatura al establecer conexiones con temas El perfl de la comunidad
ms amplios y brindar oportunidades para el
de aprendizaje del IB
pensamiento crtico.
El objetivo undamental de los programas
Conorme a la flosoa del IB, los libros
del Bachillerato Internacional (IB) es ormar
abordan el currculo teniendo en cuenta el
personas con mentalidad internacional que,
curso en su totalidad y el uso de una amplia
conscientes de la condicin que las une como
gama de recursos, la mentalidad internacional,
seres humanos y de la responsabilidad que
el perfl de la comunidad de aprendizaje del
comparten de velar por el planeta, contribuyan
IB y los componentes troncales del Programa
a crear un mundo mejor y ms pacfco. Como
del Diploma del IB: Teora del Conocimiento,
miembros de la comunidad de aprendizaje del
la Monograa y Creatividad, Actividad y
IB, nos esorzamos por ser:
Servicio (CAS).
Indagadores: Cultivamos nuestra curiosidad,
Todos los libros pueden usarse en combinacin
a la vez que desarrollamos habilidades para
con otros materiales y, de hecho, se espera
la indagacin y la investigacin. Sabemos
que los alumnos del IB extraigan conclusiones
cmo aprender de manera autnoma y junto
basndose en una variedad de recursos. Todos
con otros. Aprendemos con entusiasmo y
los libros proponen lecturas adicionales
mantenemos estas ansias de aprender durante
y brindan sugerencias para ampliar la
toda la vida.
investigacin.
Informados e instruidos: Desarrollamos
Adems, los libros del alumno proporcionan
y usamos nuestra comprensin conceptual
asesoramiento y orientacin con respecto a los
mediante la exploracin del conocimiento
requisitos de evaluacin de las asignaturas y la
en una variedad de disciplinas. Nos
probidad acadmica.
comprometemos con ideas y cuestiones de
importancia local y mundial.
Declaracin de principios
Pensadores: Utilizamos habilidades de
del IB pensamiento crtico y creativo para analizar
y proceder de manera responsable ante
El Bachillerato Internacional tiene como
problemas complejos. Actuamos por propia
meta ormar jvenes solidarios, inormados y
iniciativa al tomar decisiones razonadas y
vidos de conocimiento, capaces de contribuir
ticas.
a crear un mundo mejor y ms pacfco, en el
marco del entendimiento mutuo y el respeto Buenos comunicadores: Nos expresamos
intercultural. con confanza y creatividad en diversas
iii
lenguas, lenguajes y maneras. Colaboramos debidamente la autora de las ideas y el trabajo
efcazmente, escuchando atentamente las de otras personas. Por lo tanto, toda actividad
perspectivas de otras personas y grupos. escrita u oral realizada para la evaluacin debe
estar expresada en palabras propias. Cuando se
ntegros: Actuamos con integridad y
utilicen uentes externas o se haga reerencia
honradez, con un proundo sentido de la
a ellas, ya sea en orma de cita directa o
equidad, la justicia y el respeto por la dignidad
parrasis, se debe indicar debidamente su
y los derechos de las personas en todo el
procedencia.
mundo. Asumimos la responsabilidad de
nuestros propios actos y sus consecuencias. Cmo citar el trabajo de otros
De mentalidad abierta: Desarrollamos Para indicar que se han utilizado las ideas de
una apreciacin crtica de nuestras propias otras personas se usan notas a pie de pgina y
culturas e historias personales, as como bibliograas.
de los valores y tradiciones de los dems.
Notas a pie de pgina (colocadas en la
Buscamos y consideramos distintos puntos
parte inerior de una pgina) o notas al fnal
de vista y estamos dispuestos a aprender de la
(colocadas al fnal de un documento): deben
experiencia.
utilizarse cuando se cita o pararasea de otro
Solidarios: Mostramos empata, sensibilidad documento, o cuando se reproduce de manera
y respeto rente a las necesidades y los resumida la inormacin de otro documento.
sentimientos de otros. Nos comprometemos a No es necesario usar una nota a pie de pgina
ayudar a los dems y actuamos con el propsito para inormacin que orma parte de un rea
de inuir positivamente en las vidas de las de conocimiento. Es decir, no es necesario
personas y el mundo que nos rodea. citar defniciones en notas a pie de pgina,
ya que se considera que son de conocimiento
Audaces: Abordamos la incertidumbre con
general.
previsin y determinacin. Trabajamos de
manera autnoma y colaborativa para explorar Bibliograas: deben incluir una lista ormal de
nuevas ideas y estrategias innovadoras. los recursos que se han utilizado en un trabajo.
Deendemos nuestras posturas con valenta y Por ormal se entiende que debe presentarse
claridad. siguiendo una de las varias convenciones
aceptadas. Esto normalmente implica separar
Equilibrados: Entendemos la importancia
los recursos utilizados en dierentes categoras
del equilibrio sico, mental y emocional para
(por ejemplo, libros, revistas, artculos
lograr el bienestar propio y el de los dems.
periodsticos, recursos de Internet, CD y obras
Refexivos: Evaluamos detenidamente el de arte) y proporcionar datos completos de
mundo y nuestras propias ideas y experiencias. dnde puede encontrar la misma inormacin
Nos esorzamos por comprender nuestras un lector o un observador del trabajo. La
ortalezas y debilidades para, de este modo, bibliograa es una parte obligatoria de la
contribuir a nuestro aprendizaje y desarrollo Monograa.
personal.
Qu constituye una conducta
Probidad acadmica
?
improcedente
Es undamental citar debidamente a los La conducta improcedente es toda accin
autores de la inormacin que se utiliza en un por la que un alumno salga o pueda salir
trabajo. Despus de todo, los autores de las benefciado injustamente en uno o varios
ideas (propiedad intelectual) tienen derechos componentes de la evaluacin. El plagio
de propiedad. Para que un trabajo se considere y la colusin se consideran conducta
original, debe basarse en ideas propias y citar improcedente.
iv
Plagio: se entiende como la presentacin de  Cuando se utilicen obras de arte, ya sean
las ideas o el trabajo de otra persona como de msica, cine, danza, teatro o artes
propios. Estas son algunas ormas de evitar el visuales, o cuando se haga un uso creativo
plagio: de una parte de una obra de arte, se debe
citar al artista original.
 Debe citarse la autora de las palabras e
ideas de otras personas que se utilicen para Colusin: se entiende como el comportamiento
respaldar los argumentos propios. de un alumno que contribuye a la conducta
improcedente de otro. Incluye:
 Los pasajes citados textualmente
 Permitirle a otro alumno que copie un
deben entrecomillarse y debe citarse
trabajo o lo presente como si uese propio
su autora.
 Presentar un mismo trabajo para distintos
 Los CD-ROM, mensajes de correo
componentes de evaluacin o requisitos
electrnico, sitios web y otros medios
del Programa del Diploma
electrnicos deben ser tratados de la misma
Otras formas de conducta improcedente
manera que los libros y las revistas.
incluyen cualquier accin que le permita a un
 Debe citarse la uente de todas las alumno salir benefciado injustamente, o que
otograas, mapas, ilustraciones, tenga consecuencias sobre los resultados de
programas inormticos, datos, grfcos, otro alumno (por ejemplo, introducir material
materiales audiovisuales y otros no autorizado a la sala de examen, conducta
materiales similares que no sean de indebida durante un examen y alsifcar
creacin propia. documentacin relacionada con CAS).
v
Contenidos Captulo 7 Nmero y lgebra 2 294
7.1 Progresiones aritmticas 296
Captulo 1 Nmero y lgebra 1 2
7.2 Progresiones geomtricas 304
1.1 Los conjuntos numricos 3
7.3 Conversin de divisas 310
1.2 Aproximaciones y error 11
7.4 Inters compuesto 314
1.3 Notacin cientfca 22
1.4 Unidades de medicin SI 25 Captulo 8 Conjuntos y probabilidad 328
8.1 Teora bsica de conjuntos 331
Captulo 2 Estadstica descriptiva 42
8.2 Diagramas de Venn 334
2.1 Clasifcacin de datos 44
8.3 Extensin a tres conjuntos 343
2.2 Datos discretos simples 47
8.4 Resolucin de problemas usando
2.3 Datos discretos o continuos agrupados 48
diagramas de Venn 345
2.4 Medidas de posicin central 54
8.5 Conceptos bsicos de la teora de
2.5 Curvas de recuencias acumuladas 61
probabilidades 352
2.6 Diagramas de caja y bigotes 67
8.6 Probabilidad condicionada 355
2.7 Medidas de dispersin 73
8.7 Dos casos especiales: sucesos
Captulo 3 Geometra y trigonometra 1 86 incompatibles y sucesos
3.1 Pendiente de una recta 88 independientes 360
3.2 Ecuaciones de rectas 95 8.8 Diagramas de espacios muestrales 364
3.3 Las razones seno, coseno y tangente 103 8.9 Diagramas de rbol 367
3.4 El teorema del seno y el del coseno 119
Captulo 9 Lgica 380
Captulo 4 Modelos matemticos 132 9.1 Introduccin a la lgica 382
4.1 Funciones 134 9.2 Proposiciones compuestas
4.2 Modelos lineales 147 y notacin simblica 383
4.3 Modelos cuadrticos 152 9.3 Tablas de verdad: negacin 385
4.4 Modelos exponenciales 166 9.4 Tablas de verdad: conjuncin (y) 388
4.5 Grfcos de unciones de la orma 9.5 Tablas de verdad: resolucin de una
f (x) = ax m + bx n + ..., m, n  Z 175 ambigedad, el conector o 390
4.6 Utilizacin de la CPG para la 9.6 Equivalencia lgica, tautologa y
resolucin de ecuaciones 187 contradicciones 395
4.7 Grfcos de situaciones de la 9.7 Proposiciones compuestas ormadas
vida real 189 por tres proposiciones simples 397
9.8 Argumentos 401
Captulo 5 Aplicaciones estadsticas 202
5.1 La distribucin normal 204 Captulo 10 Geometra y
5.2 Correlacin 216 trigonometra 2 420
5.3 La recta de regresin 228 10.1 Geometra de los slidos en el espacio 422
5.4 La prueba de chi-cuadrado 233 10.2 Distancia entre puntos en un slido 426
10.3 ngulos entre dos rectas, o entre una
Captulo 6 Introduccin al clculo
recta y un plano 429
diferencial 254
10.4 Superfcie de los slidos en el espacio 436
6.1 Introduccin al clculo de derivadas 256
10.5 Volumen de los slidos en el espacio 441
6.2 La uncin derivada 263
6.3 Clculo de la pendiente de la curva Captulo 11 El proyecto 454
en un punto dado 267 11.1 El proyecto 454
6.4 La tangente y la normal a una curva 271 11.2 Los criterios de evaluacin interna 455
6.5 Razn de cambio 275 11.3 Moderacin del proyecto 463
6.6 Puntos mximos y mnimos locales 279 11.4 Probidad acadmica 463
6.7 Uso de derivadas en la elaboracin de 11.5 Tener registro de lo hecho 464
modelos matemticos: optimizacin 283 11.6 Eleccin de un tema 465
vi
Captulo 12 Cmo aprovechar al 5.2 Clculo de valores de X conociendo
mximo la calculadora de pantalla las probabilidades 501
grfca 468 5.3 Diagramas de dispersin usando una
1.1 Resolucin de sistemas de ecuaciones pgina de datos y estadstica 502
lineales 469 5.4 Diagramas de dispersin usando una
1.2 Resolucin de ecuaciones pgina de grfcos 505
cuadrticas 470 5.5 Uso de tablas de contingencia 507
1.3 Notacin cientfca 471 6.1 Pendiente en un punto 508
1.4 Ciras signifcativas 472 6.2 Dibujo de la tangente a una curva 509
2.1 Ingreso de listas de datos 473 6.3 Puntos mximos y mnimos 510
2.2 Ingreso de los datos en una tabla 7.1 Valor total de una inversin 512
de recuencias 473 7.2 Clculo de pagos por un prstamo 513
2.3 Dibujo de un histograma de
recuencias a partir de una lista 474 Captulo 13 Conocimientos previos 514
2.4 Dibujo de un histograma de recuencias 1.1 Operaciones 515
a partir de una tabla de recuencias 475 1.2 Nmeros primos, divisores y
2.5 Dibujo de un diagrama de caja y mltiplos 516
bigotes a partir de una lista 476 1.3 Fracciones y decimales 518
2.6 Dibujo de un diagrama de caja y 1.4 Porcentajes 520
bigotes a partir de una tabla de 1.5 Razn y proporcin 523
recuencias 477 1.6 El mtodo de reduccin a la unidad 524
2.7 Clculo de parmetros estadsticos 2.1 Desarrollo de parntesis y
a partir de una lista 478 actorizacin 525
2.8 Clculo de parmetros estadsticos 2.2 Frmulas 526
a partir de una tabla de recuencias 479 2.3 Resolucin de ecuaciones lineales 527
2.9 Clculo del rango intercuartil 480 2.4 Sistemas de ecuaciones lineales con
2.10 Uso de parmetros estadsticos 481 dos incgnitas 529
3.1 Grfco de unciones lineales 482 2.5 Expresiones exponenciales 530
3.2 Cmo hallar los ceros 482 2.6 Resolucin de inecuaciones 531
3.3 Cmo hallar la pendiente de una 2.7 Valor absoluto 533
recta 483 3.1 El teorema de Pitgoras 533
3.4 Resolucin de sistemas de ecuaciones 3.2 Puntos, rectas, planos y ngulos 535
en orma grfca 484 3.3 Figuras planas (bidimensionales) 535
4.1 Dibujo del grfco de una cuadrtica 486 3.4 Permetro 537
4.2 Cmo hallar el mnimo local o el 3.5 rea 538
mximo local 487 3.6 Geometra analtica 539
4.3 Dibujo del grfco de una exponencial 492 4.1 Grfcos estadsticos 541
4.4 Cmo hallar la asntota horizontal 493
4.5 Resolucin de una ecuacin que Captulo 14 544
combina cuadrtica y exponencial 494 Prctica para la prueba 1 544
4.6 Uso de transormaciones para Prctica para la prueba 2 549
modelizar una uncin cuadrtica 496
4.7 Uso de deslizadores para modelizar Respuestas 553
una uncin exponencial 498
5.1 Clculo de probabilidades conociendo
ndice temtico 609
los valores de X 500
vii
Acerca del libro
En este libro se cubre detalladamente el actual programa de estudios
de Estudios MatemticosNM. El libro est escrito por educadores que
estuvieron involucrados en la ltima revisin del currculo. Cada captulo
est dividido en secciones que pueden abordarse en una clase
e incluyen:
 Investigaciones
 Sugerencias para exploraciones
 Consejos del examinador
 Teora del Conocimiento
 Curiosidades
 Exploracin histrica
La intencin es permitir al alumno navegar por el libro en el orden que
elija. Al comienzo de cada captulo, hay una ejercitacin corta sobre lo
que el alumno debera saber antes de empezar ese captulo. Adems, el
libro presenta un captulo sobre conocimientos previos. En todo el libro,
se incluyen preguntas tipo examen, cuyas soluciones completas estn en
el sitio web (www.oxordsecondary.com/ib-matematicas). Las respuestas
fnales de todas las ejercitaciones estn al fnal del libro.
El captulo sobre calculadoras de pantalla grfca (CPG) y las capturas
de pantalla en todo el libro son de la calculadora TI-Nspire. Junto a las
preguntas en las que se requiere usar la CPG, hay un icono de calculadora.
En la clase es importante aplicar estrategias de dierenciacin. Para ayudar
a los proesores con esto, los autores han escrito, en cada ejercitacin,
preguntas que van de ciles a diciles. En el sitio web, se incluye adems
material de ampliacin. Parte de este material les resultar til a los
alumnos cuando escriban sus proyectos. Para obtener el mximo nivel
de logro en el criterio Procedimientos matemticos, los clculos deben
hacerse a mano. En el material de ampliacin, esto se expone claramente.
Adems hay un captulo que aborda los criterios de evaluacin para el
proyecto,
junto con sugerencias para escribir un buen trabajo.
Al fnal de cada captulo, se incluye un resumen de las habilidades ms
importantes que el alumno ha aprendido en ese captulo. A continuacin
del resumen, hay algunas pginas interesantes sobre Teora del
Conocimiento, para hacer que los alumnos se detengan a pensar.
El lenguaje utilizado en todo el libro es simple, conciso y claro, con
contextos internacionales que son interesantes y pertinentes.
Nota: Se ha utilizado el estilo del IB para los trminos matemticos.
Tambin se ha empleado el estilo ormal de redaccin utilizado en los
exmenes del IB, para ayudar a los alumnos a prepararse para dichas
pruebas.
viii
Acerca de los autores
Peter Blythe ha enseado durante 25aos los 4cursos de matemticas
del Programa del Diploma del IB. Actualmente es profesor en el
United World College South East Asia y es examinador jefe adjunto de
Estudios MatemticosNM.
Jim Fensom ha enseado cursos de matemticas del IB durante
aproximadamente 35aos. Ha trabajado como coordinador de
Matemticas en el Nexus International School en Singapur.
Jane Forrest ha enseado matemticas durante ms de 30aos.
Actualmente es la directora del Rotterdam International Secondary
School en los Pases Bajos. Fue examinadora jefa adjunta de Estudios
MatemticosNM durante 5aos y es moderadora principal de los
proyectos.
Paula Waldman de Tokman ha enseado matemticas durante ms
de 20aos. Fue examinadora jefa adjunta de Estudios Matemticos
durante 6aos. Actualmente ensea cursos de matemticas del IB en
el St. Andrews Scots School en Buenos Aires (Argentina).
Paul La Rondie y todos los autores del libro de alumno Matemticas
NM han contribuido en las secciones sobre Teora del Conocimiento.
1
1
Nmero y
lgebra 1
OBJETIVOS DEL CAPTULO:
1.1 Nmeros naturales, N; enteros, Z; nmeros racionales, Q; nmeros reales, R
1.2 Aproximacin: lugares decimales, ciras signifcativas, estimacin,
porcentajes de error
1.3 Expresin de nmeros en notacin cientfca, operaciones con nmeros en
notacin cientfca
1.4 SI y otras unidades bsicas de medicin
Antes de comenzar
Qu necesitamos saber Comprobemos nuestras habilidades
1 Sustituir en frmulas. Por ejemplo: 1 Halle el valor de y cuando x = 0,1 si las
G y F se relacionan a travs de la variables x e y estn relacionadas a travs
F1 de la frmula:
frmula G= . Hallar el valor de
F+2 a y = 3x2 (x  1) b y= (x1)2
981 x
G cuando F = 98. G = = 9,7. c y = (1  x) (2x + 1)
98+2
2 Resolver ecuaciones simples en una 2 Halle el valor de x:
variable. Por ejemplo: a 3x  7 = 14 b 2(x  6) = 4
a 2x  8 = 10 b x2 = 25 1
c (1x)=0 d x2 = 16
2x = 8 x = 5 o x = 5 2
x = 9
3 Calcular porcentajes. Por ejemplo: 3 Calcule:
5
Calcular el 5% de 240.  240 =12 a 8% de 1200 b 0,1% de 234
100
4 Resolver inecuaciones y representar 4 Resuelva las siguientes inecuaciones.
la solucin en la recta numrica. Por Represente las soluciones en la recta
ejemplo: numrica:
2x + 7  0 a 10  x  1 b 3x  6 > 12
1,5
2x  3 c 2x  0
1 0 1 2
x  ,5
5 Calcular el valor absoluto de un nmero. 5 Calcule:
1
Por ejemplo: |2,5| = 2,5; |,3| = ,3; a |5| b
2
|0| = 0; |5  0| = 5
128
c |5  7| d 100
8
2 Nmero y lgebra 1