Esercizi scelti di Algebra Volume 2

277 Pages·2018·2.75 MB·Italian

by  Rocco Chirivì

UNITEXT 112
Rocco Chirivì · Ilaria Del Corso
Roberto Dvornicich
Esercizi scelti
di Algebra
Volume 2
UNITEXT – La Matematica per il 3+2
Volume 112
Editor-in-Chief
A.Quarteroni
SeriesEditors
L.Ambrosio
P.Biscari
C.Ciliberto
C.DeLellis
M.Ledoux
V.Panaretos
W.J.Runggaldier
www.springer.com/series/4467
Rocco Chirivì (cid:2) Ilaria Del Corso (cid:2)
Roberto Dvornicich
Esercizi scelti di Algebra
Volume 2
RoccoChirivì RobertoDvornicich
DipartimentodiMatematicaeFisica DipartimentodiMatematica
“EnnioDeGiorgi” UniversityofPisa
UniversityofSalento Pisa,Italy
Lecce,Italy
IlariaDelCorso
DipartimentodiMatematica
UniversityofPisa
Pisa,Italy
ISSNversionecartacea:2038-5722 ISSNversioneelettronica:2038-5757
UNITEXT–LaMatematicaperil3+2
ISBN978-88-470-3982-7 ISBN978-88-470-3983-4(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-88-470-3983-4
©Springer-VerlagItaliaS.r.l.,partofSpringerNature2018
Quest’operaèprotettadallaleggesuldirittod’autoreelasuariproduzioneèammessasoloedesclu-
sivamenteneilimitistabilitidallastessa.Lefotocopieperusopersonalepossonoessereeffettuatenei
limitidel15%diciascunvolumedietropagamentoallaSIAEdelcompensoprevistodall’art.68.Le
riproduzioniperusononpersonalee/ooltreillimitedel15%potrannoavveniresoloaseguitodispeci-
ficaautorizzazionerilasciatadaAIDRO,CorsodiPortaRomanan.108,Milano20122,e-mailsegrete-
[email protected].
Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all’utilizzo di illustrazioni e
tabelle,allacitazioneorale,allatrasmissioneradiofonicaotelevisiva,allaregistrazionesumicrofilmoin
database,oallariproduzioneinqualsiasialtraforma(stampataoelettronica)rimangonoriservatianche
nelcasodiutilizzoparziale.Laviolazionedellenormecomportalesanzioniprevistedallalegge.
L’utilizzoinquestapubblicazionedidenominazionigeneriche,nomicommerciali,marchiregistrati,ecc.
anchesenonspecificatamenteidentificati,nonimplicachetalidenominazioniomarchinonsianoprotetti
dallerelativeleggieregolamenti.
Immaginedicopertina:“Quadrati,cerchiesimmetrie2”diRoccoChirivì©(2018)
QuestaedizioneèpubblicatadaSpringer-VerlagItaliaS.r.l.,partofSpringerNature,
consedelegaleinViaDecembrio28,20137Milano,Italia
AdAndrea, chesa cos’èlamatematica
Rocco
AFrancesca, conl’augurio chesappia
scoprire ecoltivarelepropriepassioni
Ilaria
Aigiovanichegiàamanoochepotrebbero
amare lamatematica
Roberto
Prefazione
Questosecondovolumediesercizièilcompletamentodelprimo.Comeilvolume
precedente raccoglie i testi e le soluzioni degli esercizi proposti al corso di laurea
in Matematica dell’Università di Pisa negli ultimi anni ed è corredato da alcuni
richiamiditeoriaedaunaseriediesercizipreliminari.
Rimangono validi i motivi che ci hanno spinto a scrivere questo libro e il suo
scopo, per cui rimandiamo in gran parte alla prefazione del primo volume. Molto
succintamente, questi volumi nascono dalla nostra convinzione che per studiare e
capire a fondo l’algebra, e in generalela matematica,non basta seguire le lezioni,
imparare i teoremi e le loro dimostrazioni; bisogna invece applicare lo studio ad
esempiconcreti:inpraticarisolveredegliesercizi.
Anche gli esercizi, però, possono essere di tipi diversi. Per esempio, essi pos-
sono richiedere procedimenti abbastanza semplici o immediatamente derivabili
dall’applicazionedelledefinizioniedeiteoremi,oppurepossonorichiederediavere
comunqueinmentelateoriamaanchediavereun’idea,perricavareinformazioni
nuove.
Ilettoridiquestolibrosiaccorgerannosubitochegliesercizidelprimotiponon
ci sono, e dovranno rassegnarsi ad abbandonare le speranze di soluzioni facili per
dedicarsiinveceadunimpegnomoltopiùprofondo.Maècosìchesifa,perchéla
matematicanonèunromanzodaleggere:èunastoriadareinventare.
Perquesto,consigliamovivamenteilettoridiarmarsidipazienzaedinonguar-
daremailesoluzionideglieserciziprimadiavercipensatoabbastanzaalungo.
Ci preme sottolineare un paio di altri aspetti. Il primo, che gli appassionati di
matematica,adognilivello,sonoancheaffascinatidallasuabellezza;ilsecondo,che
essereappassionativuoldireautomaticamenteesserecuriosidellaverità.Abbiamo
quindicercatodiincludereinmoltideglieserciziilnostrocriteriodibellezzaelo
spiritodicuriositàchecihasempreanimato.Vogliamosperareche,anchedaquesto
puntodivista,ilettoripossanotrarnequalchegiovamento.
Comeperilprimovolume,l’organizzazionedellibroseguelosviluppostorico
dell’insegnamento dell’algebra nei primi anni del corso di laurea in Matematica
dell’UniversitàdiPisa.Quandoèstataintrodottaladifferenziazionefralaureatrien-
nalee laureamagistrale,ilcorsoprecedentediAlgebraèstatodivisoindueparti,
vii
viii Prefazione
attualmentechiamateAritmeticaeAlgebra1:questedueparticorrispondonoesat-
tamenteaiduevolumidellibro.
LapartediAritmetica,acuièdedicatoilprimovolume,riguardaessenzialmente
lostudiodistrumentidibase,qualil’induzione,alcunielementidicalcolocombina-
torio,inumeriinterielecongruenze.Aciòsegueun’introduzioneallostudiodelle
proprietàbasilaridellestrutturealgebriche:igruppiabeliani,glianelli,ipolinomie
lelororadici,leestensionideicampieicampifiniti.
La parte di Algebra 1, trattata in questo secondo volume, comprende un ap-
profondimento della teoria dei gruppi, gli anelli commutativi con particolare rife-
rimentoallafattorizzazioneunica,leestensionideicampielenozionifondamentali
dellateoriadiGalois.
Ciascunaparteèaccompagnatadarichiamiteoriciriguardantilamateriaoggetto
degli esercizi. Tale parte teorica, benché esaustiva, non ha comunque la pretesa di
sostituireunlibroditestodialgebrae,inparticolare,irisultatirichiamatinonhanno
dimostrazione.(Perogniapprofondimentoillettorepuòconsultare,adesempio,il
volume“Algebra”diI.N.Herstein,EditoriRiuniti,oppure“Algebra”diM.Artin,
BollatiBoringhieri.)
Illibrocontieneinoltreunaseriediesercizipreliminari.Essidovrebberoessere
affrontatiperprimiinquantoleloroconclusionisonospessousatenellesoluzioni
degliesercizisuccessivi.Vogliamoinfinesottolinearechetuttelesoluzioniquipro-
posteusanosologlistrumentiteoricirichiamatiegliesercizipreliminari.L’utilizzo
diteoremipiùavanzatipermetterebbedirisolvereinmodopiùagevole,oinalcuni
casirenderebbebanali,gliesercizi;maciòèdeltuttocontrarioallospiritoconcui
questolibroèstatoscritto.
Ringraziamenti.VogliamoringraziareFilippoCallegaroperavercollaboratoalla
preparazionedialcuniesercizieAlessandroBerarducciperisuoiconsigli;ledot-
toresseFrancescaBonadeieFrancescaFerraridiSpringerItaliaperilloroprezioso
aiuto.Infine,ilnostroringraziamentoparticolarevaatuttiglistudenticheneglianni
hannoseguitolenostrelezionieaffrontatoglieserciziquipropostiagliesami.
Aggiornamenti. Invitiamo i lettori a farci avere le loro impressioni e a segna-
larci eventuali errori, quasi inevitabili in un libro con dettagliate soluzioni di cen-
tinaia di esercizi, via posta elettronica a [email protected],
[email protected]@unipi.it.
Per aggiornamenti e errata corrige è possibile consultare la pagina web http://
www.dmf.unisalento.it/~chirivi/libroEserciziAlgebra.html.
PisaeLecce,Italia RoccoChirivì
luglio2018 IlariaDelCorso
RobertoDvornicich
The nicethingaboutmathematicsisdoing
mathematics
PierreDeligne
Indice
1 Richiamiditeoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Igruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Concettidibase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Iteoremidiomomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Igruppiliberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Presentazionidigruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Ilgruppodiedrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.6 Automorfismidigruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.7 Icommutatoriel’abelianizzato . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.8 Azionidigruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.9 Azioneperconiugio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.10 Azionepermoltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.11 Ip–gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.12 Lepermutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.13 Igruppiabeliani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.14 Ilprodottosemidiretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.15 IteoremidiSylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.16 Igruppisemplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Glianelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1 Concettidibase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.2 Idealimassimalieprimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.3 Glianelliquoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.4 Leoperazioniconideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.5 Ilcampodeiquozientielelocalizzazioni . . . . . . . . . 25
1.2.6 Divisibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.7 IdominiEuclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.8 Idominiadidealiprincipali . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.9 Idominiafattorizzazioneunica . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.10 GliinteridiGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3 IcampielateoriadiGalois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.1 Concettidibase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
xi