enseñanza y aprendizaje en ecuaciones diferenciales con abordaje gráfico, numérico y analítico ...

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UNIVERSIDAD DE BURGOS

PROGRAMA INTERNACIONAL DE DOCTORADO
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS

Departamento de Didácticas Específicas

ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE EN ECUACIONES
DIFERENCIALES CON ABORDAJE GRÁFICO,
NUMÉRICO Y ANALÍTICO

TESIS DOCTORAL

MARIA MADALENA DULLIUS

Burgos, febrero de 2009

UNIVERSIDAD DE BURGOS

PROGRAMA INTERNACIONAL DE DOCTORADO
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS

Departamento de Didácticas Específicas

Universidad de Burgos Universidade Federal do
Rio Grande do Sul

ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE EN ECUACIONES
DIFERENCIALES CON ABORDAJE GRÁFICO,
NUMÉRICO Y ANALÍTICO

MARIA MADALENA DULLIUS

Tesis Doctoral realizada por Maria
Madalena Dullius, para optar al Grado
de Doctor por la Universidad de Burgos,
bajo la dirección de la Dra. Eliane
Angela Veit y la codirección del Dr.
Ives Solano Araujo.

Burgos, febrero de 2009

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AGRADECIMIENTOS

¡Un ensueño realizado!

Durante la lucha por este ensueño, que ha sido un trayecto de cinco años,
una gran parte de mi vida se ha adaptado. Las horas de estudio y de escritura de la tesis
me han exigido una reducción en el tiempo con la familia y amigos. Además, otras
personas han comenzado a formar parte de mi vida y que son esenciales para este
trabajo. Por lo tanto, quiero dar las gracias :

- A los profesores Eliane Angela Veit y Ives Solano Araujo, por la
orientación, los conocimientos compartidos, sobre todo por el estímulo y la
comprensión demostrada a lo largo de este trayecto.
- A los compañeros del curso por la amistad, la convivencia, el apoyo y la
motivación.
- A mi marido Volmir y a mis hijos Bruno, Artur y Julia, por el afecto y la
comprensión de mis ausencias.
- A mis padres y a mis hermanos por la participación en cada momento de
mi vida.
- A mis compañeros de la UNIVATES, Claus, Ieda, Ingo, Eduardo, João y
Marli, el apoyo, el estímulo y por la disponibilidad para lectura y por la ayuda para
mejorar el trabajo.
- A los profesores del Programa de Doctorado en Enseñanza de las Ciencias
en la Universidad de Burgos que han participado y colaborado también en este logro.
- A todos los profesores que han contribuido con sus valiosas sugerencias
para la mejora del test de conocimientos, especialmente a la profesora Varriale Maria
Cristina y al profesor Fernando Lang da Silveira.
- La UNIVATES que permitió la realización de mis prácticas de enseñanza
y, en particular, los estudiantes temas de investigación.

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RESUMEN

Los Estudios indican que la metodología dominante en el contexto de
enseñanza de ecuaciones diferenciales, fuertemente orientada hacia la solución analítica,
generan un aprendizaje mecánico, sin que el alumno perciba su potencial y su
importancia como una herramienta matemática para resolver problemas prácticos. Los
recursos computacionales disponibles en la actualidad permiten ir más allá de la mera
aplicación de técnicas para resolución de las ecuaciones, eso puede ayudar a los
alumnos a centrarse más en la interpretación de las ecuaciones diferenciales y sus
soluciones en relación a los fenómenos que pretenden representar. En este sentido,
presentamos en este trabajo de investigación llevado a cabo a fin de mejorar el proceso
de enseñanza-aprendizaje de las ecuaciones diferenciales, en que exploramos el
potencial de los recursos computacionales y la contribución de la interacción profesor-
alumno-material didáctico, con el fin de proporcionar condiciones favorables al
aprendizaje significativo. La investigación, en su conjunto, comprende cuatro estudios
(Estudio Preliminar, Estudio 1, Estudio 2 y Estudio 3). En el Estudio Preliminar
investigamos las dificultades de aprendizaje, y en cada uno de los estudios 1, 2 y 3
desarrollamos una práctica pedagógica en que participaron los alumnos de los cursos de
Ingeniería y Química Industrial del Centro Universitário UNIVATES (Brasil),
matriculados en la asignatura de Cálculo III. La propuesta de enseñanza de esta práctica
se centra en la solución de situaciones-problema con el uso de los recursos
computacionales, en que inicialmente exploramos la solución de ecuaciones
diferenciales, obtenidas con un software y, a continuación, el abordaje de las técnicas
analíticas (metodología inversa). La metodología de las clases sigue presupuestos de la
Teoría Socio Interaccionista de Vygotsky y los materiales de instrucción utilizados son
elaborados a partir de la Teoría del Aprendizaje significativo de Ausubel. Para la colecta
de informaciones sobre el aprendizaje de los alumnos durante las clases, utilizamos
instrumentos elaborados para ese propósito: cuestionario, entrevistas, guías de
actividades, test inicial y final de conocimientos y diario de campo. De un estudio a otro
modificamos los materiales, instrumentos para la colecta de datos e hicimos algunos
cambios en la metodología de las clases. Las discusiones presentadas son provenientes
de las informaciones obtenidas durante las actividades de enseñanza-aprendizaje y
tienen en cuenta el marco teórico adoptado. Como resultados de la aplicación del
material, podemos señalar que las actividades propuestas en las guías y el uso de
recursos computacionales motivaron a los alumnos para el estudio de las ecuaciones
diferenciales, que es un factor importante para que ocurra el aprendizaje significativo,
según Ausubel. Asimismo, la interacción de los alumnos, en grupos, con el material de
instrucción y con el profesor siempre ha posibilitado debates provechosos y las
condiciones propicias para el aprendizaje. Nuestros resultados indican que el uso de
recursos computacionales puede ser una herramienta importante en el proceso
enseñanza-aprendizaje de las ecuaciones diferenciales. Además, es importante destacar
que proponer una metodología distinta genera incómodo y descontento a los alumnos y,
a pesar de que hemos trabajado los contenidos con enfoque analítico, numérico y
gráfico, los alumnos todavía priorizan las técnicas analíticas.

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ABSTRACT

Several studies show that the dominant approach in the teaching of
differential equations is strongly focused on analytical solving and ends to generate a
mechanical learning of those, although the students don’t actually understand the
potential and importance as a mathematical tool for solving practical problems. The
computing resources available today can reach beyond techniques application for
solving the equations and might help students to focus more closely on the differential
equations interpretation and their solutions in terms of the phenomena they intend to
represent. So, the work we present here was carried on to improve the differential
equations teaching-learning process and explore the potentials of computational
resources and the contribution of the interaction between teacher-student-teaching
material in order to provide favorable conditions for the meaningful learning. The
research as a whole involves four studies (Preliminary Study, Study 1, Study 2 and
Study 3). In the preliminary study we investigated learning deficiencies. In each of the
other studies 1, 2 and 3, we developed a pedagogical practice with the students
registered for Calculus III in Engineering and Industrial Chemistry courses of
UNIVATES University Center (Brazil). The practice teaching proposals are focused on
problem-solution of situations with the use of computational resources which initially
explore the differential equations solution obtained with a software and later the
approach of analytical techniques (reverse methodology). The methodology of classes
follows assumptions from the Vygotsky’s Socio-interactionist Theory and the
instructional materials based on Ausubel’s Meaningful Learning Theory. We used
specially designed tools for information collection about the students’ learning during
the lessons: questionnaire, interviews, guides to activities, initial and final knowledge
tests and the field notes. From one study to another we improve the materials and
instruments for data collection and we made some changes in the methodology of
classes. The presented discussion results from those informations obtained during the
activities of teaching and learning and it takes into account the theoretical basis adopted.
Within the results in the material application we ca highlight that the activities proposed
in the guides and the computational resources helped in motivating students to work
harder on differential equations and this is an important factor for the meaningful
learning occurrence according to Ausubel. Also the interaction of students, in groups,
with the instructional material and with the teacher provided rich discussions and
conditions for easier learning. Our results indicate that the use of computational
resources can be an important tool in the differential equations teaching-learning
process. But it’s also important to emphasize that when we offer a differentiated
approach we often create discomfort and dissatisfaction to the students, and despite
working with numeric and graphic analytical approach the students still prioritize the
analytical techniques.

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