Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen: Zweiter Band in Drei Teilen Analysis

916 Pages·1921·92.93 MB·German

by  W. F. Osgood (auth.)

Heinrich Burkhardt · Robert Fricke
Wilhelm Wirtinger · E. Hilb
Encyklopädie der mathe-
matischen Wissenschaften
mit Einschluss ihrer
Anwendungen
Analysis
ENCYKLOPÄDIE
DER
MATIIEMATISCI-IEN
WISSENSCHAFTEN
MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN
ZWEITER BAND:
ANALYSIS
ENCYKLOPÄDIE
DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSOHAFTEN
MIT EINSOHLUSS IHRER ANWENDUNGEN
ZWEITER BAND IN DREI TEILEN
ANALYSIS
BEDIGmBT VON
H. BURKHARDTt, W. WIRTINGER
(1888-1914) m WIEN (180&-1911),
R. FRICKE E. HILB
UND
m JlRA.UNBCllWEIG IN WtiBZBUBG
ZWEITER TEIL
SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH
1901-1921
ISBN 978-3-663-15451-8 ISBN 978-3-663-16022-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-16022-9
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1921
Inhaltsverzeichnis zn Band II, 2. Teil.
B. Analysis der komplexen Größen.
1. Allgemeine Theorie der analytischen Funktionen a) einer
und b) mehrerer komplexen Größen. Von W. F. OSGOOD
in Cambridge, Mass.
Seite
Einleitende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ö
I. Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Fnnk-
tionen einer komplexen Größe.
1. Die Bereiche T, B, T'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Funktionen eines komplexen Arguments; analytische Funktionen 10
3. Der Cauchysche Integralsatz ; das Residuum. . . . . . . 14
4. Die Cauchysche Integralformel.; isolierte singuläre Punkte. 16
6. Die konforme Abbildung im Kleinen . . . . . . . 19
6. Gleichmäßige Konvergenz . •• ........ 20
7. Die Cauchy-Taylorsche Reihe nebst Anwendungen. 22
8. Der Punkt s = 00. . .. ........... 26
9. Der Laurentsehe Satz; die rationalen Funktionen. . 27
10. Mehrdeutige Funktionen; Schleifenwege . . . . . . . . . . • . . . . 29
11. Die Riemannsche Fläche; das Verhalten einer mehrdeutigen Funktion
im. Kleinen . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . 31
12. Fortsetzung; algebraische Funktionen. . . . . . . . . . . . " . 33
13. Die analytische Fortsetzung; endgültige Definition der analytischen
Funktion; das analytische Gebilde . • . . . . . . . . . . . . . . . 36
14. Geometrische Deutung durch ebene und Raumkurven. 43
15. Die Lagrangesche Reihe. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
16. Funktionalgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
17. Bestimmte und Schleifenintegrale . . . . . . . . . . . . . . 60
18. Die Umkehrfunktion und die konforme Abbildung im Großen. 62
II. Die geometrische Funktionentheorie.
19. Riemanns neue Grundlagen für die Funktionentheorie . . . . . . . . 63
20. Das Prinzip der Symmetrie; ana.lytische Fortsetzung. . . . . . . .. 67
21. Die konforme Abbildung analytisch begrenzter Bereiche auf den Kreis;
geradlinige und Kreisbogenpolygone. . . . . . . . . . . . . . . • . 69
22. Die Riemannsche Fläche als definierendes Element; a.lgebraischer Fall. 61
23. Die konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender Bereiche auf-
einander; algebraischer Fall . . . • . . . . . . . . . . . . . " 64
24. Funktionen mit Transformationen in sich; periodische Funktionen.. 65
25. Der Fundamentalbereich; zunächst der Bereich i:; die Ecken. . .. 69
26. Fortsetzung; Funktionen auf i:; Definition des Fundamentalbereiches 71
27. Der algebraische Fall; symmetrische Riemannsche Flächen. 78
28. Parameterdarstellung durch eine uniformisierende Variable . . . .. 74
29. Der Picardsche Satz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 76
VI Inhaltsverzeichnis zu Band 11, 2. Teil.
111. Untersuchung der analytischen Funktionen mittels ihrer Dar.
stellung durch unendliche Reihen und Produkte.
Seite
80. Weierstraß . . . . . . . . . . .. .... . 76
31. Der Weierstraßsche Satz .......... . 77
82. Der Mittag-Leffiersche Satz . . . . . . . . . . 80
88. Verallgemeinerung der Sätze von Nr. 81 und 32 ......... . 81
84. Funktionen mit vorgegebenem Definitionsbereich . . . . . . . . . . 82
36. Auf dem Konvergenzkreis gelegene singuläre Punkte, insbesondere Pole,
und die Koeffizienten der Potenzreihe . ., .......... . 83
86. Die Nullpunkte einer analytischen Funktion, insbesondere einer ganzen
Funktion. . . • . . . . . .. . ••.............. 84
37. Die Stärke des Unendlichwerdens einer ganzen Funktion, die Koeffi
zienten der Taylorschen Reihe und die Höhe der Funktion . . . . . 86
88. Annäherungsformelnj Reihenentwickelungen nach Polynomen •.... 87
39. Kettenbruchentwickelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
IV. Analytische Funktionen mehrerer komplexen Größen.
40. Die Bereiche (T), (B), (T'); analytische Funktionen. . . 97
41. Der Cauchysche Integralsatz; das Residuum . . . . . . 98
42. Die Cauchysche Integralformel ; singuläre Punkte . . . . 100
43. Gleichmäßige Konvergenz; die Cauchy-Taylorsche Reihe. 102
44. Implizite Funktionen . . . . • . . . . . • . .. " 103
46. Der Weierstraßsche Satz und die Teilbarkeit im Kleinen. . 106
46. Die Parameterdarstellung im Kleinen; implizite Funktionen 106
47. Das analytische Gebilde ......... . 107
48. Einige Sätze über das Verhalten im Großen . . . . . . . 111
49. Homogene Variable .......•........... 112
2. Algebraische Funktionen und ihre Integrale. Von W. WIR
TINGER in Innsbruck, jetzt in Wien.
A. Allgemeines.
1. Definition . . . . . • . . . . . . . • . . . . . . . . . . . ., 117
2. Die algebraische Funktion in der Umgebung einer einzelnen Stelle. 118
3. Das algebraische Gebilde . . . . . . . . . . . . . . . 119
4. Die Riemannsche Fläche . . . . • • . . . . . . . . . . . . .. 120
5. Zusammenhang und Geschlecht der Riemannschen Fläche . . . .. 122
6. Zerschneidung der Riemannschen Fläche; Querschnitte. . . . . .. 122
'I. SpezialflUle und Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . •. 123
8. Funktionen am algebraischen Gebilde und der Riemannschen Flä.che. 124
9. Der Körper der rationalen Funktionen, Transformation des Gebildes
und die Riemannsche Klasse. Erhaltung von p. . . . . . 125
10. Bedeutung des Klassenbegriffes ., .......... 126
11. Die Integrale der algebraischen Funktionen; ihre Perioden. 127
11. Riemanns Problemstellung. . . • . . . . . . . . . . . . 129
13. Verallgemeinerung der Riemannschen Fläche. . • • • . . . . . •. 129
14. Die allgemeinsten Riemannschen Mannigfaltigkeiten. . . . . . . . . 130
16. Potentiale und Funktionen auf der allgemeinen Riemannschen Flä.che. 131
16. Die drei Gattungen von Integralen. • . . . . . . . . . . •. 132
17. Relationen zwischen den Perioden. . . . . . . . . . . . . . 133
18. Die transzendent normierten Integrale . . . . • . . . . . .• 134
19. Darstellung der Funktionen der Fläche durch die Integrale der drei
Gattungen. . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . 135
B. Besondere Darstellungen nnd Funktionen.
20. Darstellung der Integranden als rationale Funktionen \"on $, y • 186
11. Fortsetzung. Homogene Variable. Die Formen cp • • . • • • 187
Inhaltsverzeiohnis zu Band n, 2. Teil. VII
Seite
n. Definition des Geschleohtes auf Grund der Formen rp • • • . . • • . 188
28. Die Theorie von Weierstra/S .•.........•......•. 189
24. Die Fä.lle p = 0, 1 . . • • • • • . • . • . . . • • . • . • . • • . 1'1
25. Äqtti\'alente Systeme von Stellen, Scharen von Stellen und Funktionen 142
28. Die algebraischen Kurven im Raume von q Dimensionen. . . . . • . 143
27. Die Darstellung der algebraischen Funktionen an der Raumkurve . . 144
28. Die Normalkurve der rp •••••••••.•••• lU
29. Spezialfunktionen ttnd Spezialscharen • . . • . . . . 145
80. Normalformen ...•.............. 146
81. Die Moduln einer Klasse von algebraisohen Gebilden 147
82. Vertauschung von Parameter und Argument .•.. 148
88. Integrale zweiter Gattung, Normalkombinationen .. 149
34. Fortsetzung, die Weierstraßschen Periodenrelationen . . . . . . . 150
86. Die Reduktion der allgemeinsten algebraischen Integrale . . . . 151
88. Die, Integration durch algebraische l!'unktionen und Logarithmen . 152
87. Kleins kanonisohe Kurven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15S
88. Primfunktioneu und Primformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
89. Fortsetzung . . . . . • . . . . . . . . . • . . • • . . . . . . . 156
40. Wnrzelfunktionen und -formen. Multiplikative Funktionen und Formen 151
C. Das A.belsohe Theorem.
41. Das Abelsche Theorem . . . . . •. ........•..... 168
42. Das Abelsche Theorem für die drei Gattungen des Integrals; spä.tere
Beweise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . 160
48. Die Differentialgleichungen des Abelschen Theorems. . . . • . . .. 161
44. Die Umkehrung des Abelschen Theorems und die Erweiterung der Um-
kehrung. • . . . . . . . . . • • . . • • . . . • • . . 162
46. Anwendungen und Erweiterungen des Abelachen Theorems. 168
D. Erglinzung6ll.
46. Die Abelachen Reduktionatheoreme. . . . • . • . . . . 184
47. Das Problem der Transtormation der Abelachen Integrale 185
48. Spezielle Reduktionsuntersuchungen . . . . • . • . . . 186
49. Binomische Integrale • . . • . • . • . . . . . . . . . 167
50. Hyperelliptische Integrale . . . . . . . . • . • . . . . 187
E. Korrespondenz und slngollire Ge'bUde.
51. Korrespondenzen auf dem algebraischen Gebilde. . . . . . . . . . . 168
52. Die allgemeine Korrespondenztheorie von Hurwitz und die singulll.ten
Gebilde . . . . • . • . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
58. Gebilde mit eindeu~en Transformationen in aich . 171
54. Symmetrie und Realität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
F. Ilehrere Vartable.
55. Algebraische Funktionen mehrerer Variablen .
56. Die Geschlechtszahlen der Fliche . . . . • .
51. Untersuchungen nach transzendenter Richtung.
3. Elliptische Funktionen. Mit Benutzung von Vorarbeiten
und Ausarbeitungen der HelTen J. HARKNESS in Montreal,
Canada, und W. WIRTINGER in Wien von R. FRICIm in
Braunschweig.
L lItere Theorie der elliptisohen Integrale.
1. Definition und erstes Auftreten der elliptischen Integrale. 181
2. Ewers Entdeckung der Additionstheoreme . • 183
3. Beziehungen zwischen Euler und Lagrange . . . . . . . lS5
vm Inhaltsverzeichnis zu Band I!, 2 Teil.
Seite
4. A. M. Legrendres Bedeutung für die Theorie der elliptischen Funktionen 187
6. Legendres NormaJintegrale. . • . . . . . . . • . • . • . • • . •. 188
6. Legendres Gestalt der Additionstheoreme . . . . • . . . . . . . .. 189
7. Die Landensche Transforma.tion und die numerische Berechnung der
Integrale bei Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . • . . • .. 190
8. Die vollständigen Integrale und die Legendresche Relation. Differential
gleichungen und Reihen . . . . . . . . . . . . . .. . . • . • ., 193
9. Die Vertauschung von Parameter und Argument bei Legendre • . . . 194
10. Reduktion höherer Integrale auf elliptische und Transformation dritter
Ordnung. . . . . • . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . .. 196
II. Die elliptischen Funktionen bei A.bel, lacobi und Gauß.
11. Die Umkehrung des Integrals erster Gattung und die doppelte Periodi-
zität bei Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12. Die Multiplikation und die allgemeine Teilung der elliptischen Funk-
tionen bei Abel. . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
18. Die spezielle Teilung der elliptischen Funktionen bei Abel. . . . . . 200
14. Abels allgemeine Formeln für die Multiplikation der elliptischen Funk-
tionen . . . . . . . . . . . .. . ..........•.... 201
15. Unendliche Doppelreihen und Doppelprodukte für die elliptischen
Funktionen. . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . • • 202
16. Abels einfach unendliche Reihen und Produkte für die elliptischen
Funktionen ...................•........ 203
17. Abels Transformation der elliptischen Funktionen . . . . . . . . . . 204
18. Abel. Entdeckung der komplexen Multiplikation. • . . . . . . . . • 205
19. Die weiteren Untersuchungen Abels. Das allgemeine Transformations-
problem ......•..•...............•... 206
20. Ja.cobis erste Arbeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
21. Die einführenden Abschnitte der "Fundament&. nova" . . . . . . . . 209
22. Ja.cobis Behandlung der 'l'ransformationstheorie auf Grund der Umkehr-
funktion ...•......••.•...•........... 211
28. Die supplementären Transformationen und die Multiplikation. . . . . 211
24. Die Differentialgleichung der Modula.rgleichun~. Die arithmetischen Re
lationen zwischen K und K' sowie A. und A. . • • • • • • • • • • • 212
26. Ja.cobis Darstellung der elliptischen Funktionen als Quotienten einfach
unendlicher Produkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
26. Die Integrale zweiter und dritter Gattung bei Jacobi . . . . . . . . 215
27. Jacobis Thetafunktionen. . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . 216
28. Die Integrale zweiter und dritter Gattung ausgedrückt durch die Theta·
funktion .....•............. " ...•..••. 216
29. Die elliptischen Funktionen selbst ausgedrückt durch die Funktionen 8, H 217
30. Die fundamentalen Eigenschaften der Funktionen H(u) und @(u) . •• 217
31. Die Reihenentwicklungen von @(u) und H(u). . • . • • • • • • 218
32. Die Theorie der elliptischen Funktionen aus den Eigenschaften der
Thetareihen abgeleitet. . . . . . . . . • . . . . . . . . . . 219
88. Der Zusammenhang zwischen q und kl • • . • • . • • • • • • 221
84. Gauß' Entwicklungen über das arithmetisch-geometrische Mittel. 222
86. Gauß' Entwicklungen über die lemniskatische Funktion . . . . 226
86. Die allgemeinen elliptischen Funktionen bei Gauls' . . . . . • . . . 227
37. Multiplikation, Division und Transformation der elliptischen Funktionen
bei GaulS .................••..•....... 280
III. Die elliptischen Fnnktionen in der Zelt zwischen A.bel und
Riemann.
38. Das Periodenpara.llelogramm und die eindeutigen doppeltperiodischen
Funktionen. . • . . . . . . . . . . • . . . • . . . . . . • . . . 232
39. 1!'ortbildung der algebraischen Grundlage unter Cauchys Einfluß 233
40. Hermites erste Arbeiten über elliptische Funktionen. . . . . . 286
41. Hermites Normalform des elliptischen Integrals erster Gattung. 286
42. Spll.tere Arbeiten Hermites über doppeltperiodische Funktionen. 287
Inhaltsverzeichnis zu Band II, 2. Teil. IX
Seite
48. Hermites Arbeiten über die Transformationstheorie 288
U. Arbeiten Jacobis und seiner Schüler . . . . . . . 240
45. Untersuchungen von Eisenstein ........ . 248
IV. Grundlagen der Theorie der elliptischen Funktionen nach
neueren Anschauungen.
46. Zweiblil.ttrige Riemannsche Flächen mit vier Verzweigungspunkten j
Verzweigungsform . . . . . . . . . • . . . . . . 247
47. Normalgestalten der Verzweigungsform . . . . . . . . . . . . . 248
48. Die algebraischen Funktionen und Integrale der FI • • . • . . . 251
49. Gestalten der Normalintegrale. . . . . . . . . . . . . . . . . 258
bO Abbildung der Fläche F durch das Integral erster Gattung. . . 254
I
51. Die Funktionen der Fläche F in Abhängigkeit von 16 lJetrachtet. 257
i
52. Analytische Darstellungeu für ~(u), ~'(u) und '(16) . • • • • • • • • 259
68. Allgemeinste Zerschneidung der Fläche F und lineare Transformation
I
der Perioden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
54. Independente Erklärung doppeltperiodischer Funktionen. Gruppentheo-
retische Auffassung. . . . • . • . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
55. Die Weierstraßsche Funktion 6(u) . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
56. Darstellung der doppeltperiodischen Funktionen durch 6(u), 'Cu) usw.. 270
67. Darstellung des Integrals dritter Gattung durch die 6-Funktion. . . . 271
58. Die elliptischen Funktionen, betrachtet als Funktionen von drei Argu-
menten . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 272
59. Die Differentialgleichungen der Perioden. . . . . . . . . . . . . . 275
60. Kleins Prinzip der Stufenteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
V
61. Die Wurzelfunktionen ~(u) - ek und die drei Weierstraßschen 1!'unk-
tionen G,t(u). . . . . . • . • • • • • • . . . . .• .•..... 279
62. Produktdarstellungen für die Funktionen G,t(u) und für die Diskrimi-
nante L1. • • . . . • . • • • • • . • . • . • • • • . . . . • . . 280
68. Rückgang auf die Jacobischen Bezeichnungen. . . . . . . . . . .. 282
64. Lineare Transformation der Jacobischen Funktionen. . . . . . . . . 283
65. Gegenüberstellung aller elliptischen Gebilde und aller algebraischen
Gebilde des Geschlechtes 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
66. Numerische Berechnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
V. Addition, 1luItiplikatfon, Division und allgemeine
Transformation der elliptischen Fnnktionen.
67. Die Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
68. Die Mnltiplikationstheoreme. . . . . . . . . . . . . . . 801
69. Die Divisionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
70. Die speziellen Teilungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 318
71. Die Transformationstheorie der doppeltperiodischen Funktionen. . . . 316
72. Die Transformation nten Grades der Thetafunktionen. Die Thetafunk-
tionen nter Ordnung ................... 823
78. Die Modular- und Multiplikatorgleichungen . . . . . . . . . 826
VI. Anwendungen der elliptischen Funktionen.
74. Anwendungen auf die 'l'heorie der Kurven . . . . . . . . . 328
15. Anwendungen auf die Zahlentheorie. . . . . . . . . . . . 331
76. Konforme Abbildungen, durch elliptische Funktionen vermittelt 334
77. Ponceletsche Polygone . . . . . . . . . . . . . . 336
78. Das sphärische und das einfache Pendel. . . . . . 836
79. Dynamik starrer Körper. Kreiselbewegung . . . . . 839
80 Die Lamesche Gleichung . . . . . . . . . . . . . 841
81. Auftreten elliptischer Integrale in anderen Gebieten. 848
82. Sonstige Anwendungen der elliptischen Funktionen . M5
x
Inhaltsverzeichnis zu Ba.nd II, 2. Teil.
4. Automorphe Funktionen mit Einschluß der elliptischen
Modulfnnktionen. Von R. FRICKE in Braunschweig.
Seite
1. Begriff der automorphen Funktionen. . . . . . . . . . . • . . •. 351
2. Auftreten von Modulfunktionen in der Theorie der elliptischen Funk-
tionen bei Gauß, Abel usw. . . . . . . . . . . . . • . . . . .. 353
3. Riemanns Bedeutung für die Theorie der automorphen Funktionen. 355
4. ~elb8tä.ndige Ausbildung des Begriffs der automorphen Funktionen 356
5. Äquivalenz und Diskontinuitä.tsbereich bei einer Substitutionsgruppe 360
6. Der Diskontinuitätsbereich der Modulgruppe . . . . . . . . . . 362
7. Projektiv-geometrische Auffassungen und Methoden. Beziehung zur
nicht-euklidischen Geometrie . . . . . . . . . . • . . . . . . 365
8. Allgemeines t1ber die Gestalt ebener Diskontinuitä.tsbereiche in der
,,-Ebene. . • . . . . . • . . . . . . . . . . • . . . . . . . 367
9. Ausführliche Polygontheorie der Hauptkreisgruppen in projektiver Dar-
stellung. . . . . . . . . • . . . . . .. ........• 370
10. Transformations- und Invariantentheorie der Hauptkreispolygone . 372
11. Einteilungsprinzipien auf Grund der Bereichnetze . . . . . . . . 374
12. Arithmetische Definition der Gruppen . . . . . . . . . . . . . 382
13. Untergruppen, speziell Kongruenzuntergruppen der Modulgruppe . 386
14. Existenzbeweis der automorphen Funktionen . . . . . . . . . . 392
15. Klassifikation der automorphen Funktionen ...•........ 395
16. Sonstige Funktionen der Riemannschen Flltche Fit, die durch" uni-
formisiert werden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
17. Exkurs über homogene Variable und Formen auf Riemaunschen Flächen 397
18. Die homogenen ,,-Substitutionen . . . . . . . . . . . . .. 401
19. Begriff der automorpheu Formen. . . . . . . . . . . . . . 402
20. Theorie der automorphen Formen für p = 0 . . . . . . . . 403
21. Automorphe FOlVlen für Gebilde beliebiger Geschlechter. . . 407
22. Die Poincal'6schen Reihen. . . .. ........... 409
23. Darstellung automorpher Formen durch Poincar6sche Reihen. 411
24. Schottkys Produktentwicklung der Primform . . . . . 414
25. Analytische Darstellungen f'lir Modulformen . . . . . . . . . . . . . 415
26. Transformationstheorie , speziell der Modulfunktionen. Modularglei-
chungen . . .. ..................... 420
27. Fortsetzung: Modularkorrespondenzen, Multiplikatorgleichungen . . . 423
28. Klassenzahlrelationen . . . . . . • . . . . . . . . • . . . . . . . 426
29. Transformation sonstiger automorpher Funktionen. . . . . . . . . . 427
30. Algebraische Probleme bei ausgezeichneten Untergruppen, insbesondere
innerhalb der Modulgruppe . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . 428
31. Die Variabelen " und tu "2 als polymorphe Funktionen und Formen
auf der Riemannschen }<'lltche. . . • . . . . . . . . . . . . 482
32. Differentialgleichungen für polymorphe Funktionen und Formen . . . 485
83. Analytische Darstellungen für polymorphe Formen . . • . . . . . . .88
34. Die polymorphen Formen Bi' H als eindeutige Modulformen . . . . 439
1
35. Die homo morphen Formen und die Poincar6schen Zetareihen. . . . . 441
36. Fundamentaltheoreme über die Existenz der eindeutig umkehrbaren
polymorphen Funktionen auf gegebenen Riemannachen Flä.chen . .. 445
37. Die Kontinuitä.tsmethode zum Beweise der Fundamenthaltheoreme . . 449
38. Die Methode des Bogenelementes beim Beweise dea Grenzkreistheorems 452
89. Die Methode der tTherlagernngsfläche zum Beweise a.ller Fundamenta.l-
theoreme . . • . . . . . . . . . • . . • . . . . • . • . . . 464
40. Anwendungen der Modulfunktionen in der allgemeinen Theorie der
analytischen Funktionen . . . • . . . . . . . . . . . . . . . 461
41. Mehrdeutige automorphe Funktionen. • . . . . . . . . . . . . 464
-4.2. Automorphe Funktionen mehrerer Verll.nderlichen. . . . . • . . 466