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Elettrodinamicaclassica Kurt Lechner Elettrodinamica classica Teoria e applicazioni ~ Springer KurtLechner DipartimentodiFisicaeAstronomia “GalileoGalilei” Universita` degliStudidiPadova UNITEXT-CollanadiFisicaeAstronomia ISSNversionecartacea:2038-5730 ISSNelettronico:2038-5765 ISBN978-88-470-5210-9 ISBN978-88-470-5211-6(eBook) DOI10.1007/978-88-470-5211-6 SpringerMilanDordrechtHeidelbergLondonNewYork (cid:2)c Springer-VerlagItalia2014 Quest’operae`protettadallaleggesuldirittod’autoreelasuariproduzioneancheparzialeeàmmes- saesclusivamenteneilimitidellastessa.Tuttiidiritti,inparticolareidirittiditraduzione,ristampa, riutilizzodiillustrazioni,recitazione,trasmissioneradiotelevisiva,riproduzionesumicrofilmoaltri supporti,inclusioneindatabaseosoftware,adattamentoelettronico,oconaltrimezzioggicono- sciutiosviluppatiinfuturo,rimangonoriservati.Sonoesclusibrevistralciutilizzatiafinididattici ematerialefornitoadusoesclusivodell’acquirentedell’operaperutilizzazionesucomputer.Iper- messidiriproduzionedevonoessereautorizzatidaSpringerepossonoessererichiestiattraverso RightsLink(CopyrightClearanceCenter).Laviolazionedellenormecomportalesanzionipreviste dallalegge. Lefotocopieperusopersonalepossonoessereeffettuateneilimitidel15%diciascunvolumedie- tropagamentoallaSIAEdelcompensoprevistodallalegge,mentrequelleperfinalitdicarattere professionale,economicoocommercialepossonoessereeffettuateaseguitodispecificaautoriz- zazionerilasciatadaCLEARedi,CentroLicenzeeAutorizzazioniperleRiproduzioniEditoriali, [email protected]. L’utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi regi- stratiecc.,anchesenonspecificatamenteidentificati,nonimplicachetalidenominazioniomarchi nonsianoprotettidallerelativeleggieregolamenti.Leinformazionicontenutenellibrosonoda ritenersiveritiereedesattealmomentodellapubblicazione;tuttavia,gliautori,icuratoriel’editore declinanoogniresponsabilitlegaleperqualsiasiinvolontarioerroreodomissione.L’editorenonpu quindifornirealcunagaranziacircaicontenutidell’opera. Layoutdicopertina:SimonaColombo,Milano Impaginazione:CompoMatS.r.l.,Configni(RI) Stampa:GrafichePorpora,Segrate(MI) Springer-VerlagItaliaS.r.l.,ViaDecembrio28,I-20137Milano SpringerfapartediSpringerScience+BusinessMedia(www.springer.com) Prefazione Inbasealleconoscenzeteoricheesperimentaliacquisiteatutt’oggisulcomporta- mentodellamateriaalivellomicroscopico,latotalita` deifenomenifisicimicrosco- pici puo` essere spiegata assumendo che tutta la materia sia costituita da particelle elementari soggette a quattro tipi di interazioni fondamentali: gravitazionale, elettromagnetica,debole,forte.Taliinterazioninonavvengonoinmododiretto,essendo mediatealorovoltadaunparticolaretipodiparticelleelementarichiamatebosoni intermedi. L’interazione gravitazionale e` quella nota da piu` tempo, mentre l’interazione elettromagnetica e` quella studiata e compresa piu` a fondo, avendo trovato una so- lida formulazione teorica nell’Elettrodinamica Quantistica ancora a meta` del se- colo scorso. La quasi totalita` dei fenomeni fisici quotidiani – dalla stabilita` della materia alla globalita` dei fenomeni luminosi – e`, infatti, riconducibile a questa teoria. Le interazioni deboli e forti, che a differenza di quelle elettromagnetica e gravitazionale si manifestano solo a distanze microscopiche, hanno trova- to una formulazione analoga nell’ambito del Modello Standard delle particelle elementari – che include la stessa Elettrodinamica Quantistica – mentre l’interazione gravitazionale appare tuttora in conflitto con le leggi della fisica quantistica, malgrado i recenti progressi maturati nell’ambito delle teorie di superstringa. Nonostante il ruolo comune di mediatrici dell’azione reciproca tra i costituenti elementaridellanatura,ciascunainterazionefondamentalee`contrassegnatadapro- prieta` esclusive che comportano fenomeni fisici peculiari. Cos`ı l’interazione forte, mediatadaparticellechiamategluoni,e` lasolaadarluogoalfenomenodelconfi- namento,cheimprigionaiquarkeglistessigluoniall’internodeinucleoni,mentre l’interazionedebolee`l’unicaaesseremediatadaparticellemassive,leW±elaZ0. D’altrocantol’interazioneelettromagneticae` l’unicaaesseremediatadaparticel- le – ifotoni – le quali, non essendo dotate di carica elettrica, non sono soggette a lorovoltaaun’interazioneelettromagneticareciproca.Einfine,l’interazionegravi- tazionalee` l’unicaaesercitarsitratutteleparticelleelementari,compresiibosoni intermedi, e a essere mediata da particelle di spin due – igravitoni – mentre le rimanentitreinterazionisonomediatedaparticelledispinuno. vi Prefazione Di fronte a queste importanti distinzioni appare alquanto sorprendente che le quattrointerazionifondamentalisianorettedaun’impalcaturateoricacomune,che nedeterminafortementelastrutturagenerale–impalcaturamatematicamentesolida edelegantenellaforma,lecuiprofondeoriginifisichesonoinparteancoradasco- prire.Traipilastriprincipalidiquestaimpalcaturaunificantericordiamoiseguenti: tutteleinterazionifondamentalisoddisfanoilprincipiodirelativita` einsteinianae ammettonounaformulazionecovarianteavista,conconseguenteconservazionedel quadrimomentoedelmomentoangolarequadridimensionaletotali.Inoltreciascu- na interazione si trasmette attraverso lo scambio di una o piu` particelle bosoniche –ibosoniintermedinominatisopra–chesonorappresentatedacampivettorialio tensorialilacuidinamicae`controllatadaunainvarianzadigaugelocale.Ilteorema diNo¨therassociapoiaciascunainvarianza,equindiaciascunbosoneintermedio, unagrandezzafisicaconservata.Infineilpilastroforsepiu` misterioso,manonper questomenofondante,e` rappresentatodalfattocheladinamicaditutteequattrole interazionifondamentalidiscendadaunprincipiovariazionale. IlpresentetestoeùntrattatodiElettrodinamicaclassicaede`statocostruitosulla base degli argomenti svolti nel corso Campi Elettromagnetici da me tenuto negli anni accademici 2004/05–2010/11 per la Laurea Magistrale in Fisica, presso l’U- niversita` degli Studidi Padova. Nellasuastesura haavuto preminenzal’intento di enuclearegliaspetticheaccomunanol’Elettrodinamicaallealtreinterazionifonda- mentali,tracuiipilastrisopramenzionati,edimettereinevidenza,ovepossibile, analogie e differenze. La rinuncia piu` pesante dovuta a questa impostazione con- siste nell’aver trascurato quasi completamente l’importante argomento dei campi elettromagneticinellamateria. L’Elettrodinamicaclassicavienepresentatacomeunateoriabasatasuunsistema di postulati – essenzialmente il principio di relativita` einsteiniana e leequazioni di Maxwell e di Lorentz – da cui l’intera e ricca fenomenologia delle interazioni elettromagnetiche puo` essere derivata in modo stringente. Conseguentemente si e` dedicata particolare attenzione alle proprieta` di consistenza interna, oltre che fisica,diquestateoria.Inlineaconquestaimpostazionesievidenzianofindall’inizio letraccelasciatedalledivergenzecheaccompagnanoinevitabilmentel’Elettrodina- micaclassicadiparticellecarichepuntiformi,rendendolacos`ı–inultimaanalisi– unateoriainternamenteinconsistente.Leinconsistenzeinternedell’Elettrodinami- ca classica come teoria fondamentale sono codificate nella cosiddetta reazione di radiazione,fenomenodiimportanzafisicabasilarecheviolaesplicitamentel’invarianza sotto inversione temporale. Questa simmetria discreta dell’Elettrodinamica, elasua“evoluzione”daunasimmetriaintattaaunasimmetriaviolataspontanea- menteprimaedesplicitamentepoi,attraversera` dunquelanostraesposizionedella teoriacomeunfilorosso. Le inconsistenze interne dell’Elettrodinamica sono in apparente contraddizione con il fatto che da un punto di vista sperimentale questa teoria descriva tutti i fe- nomenielettromagneticiclassiciconestremaprecisione.Aquestacontraddizionee` statariservataparticolareattenzioneesipresentaunasuasoluzionepragmaticanei Capitoli14e15,lasoluzionedefinitivapotendoesseretrovatasolonell’ambitodel- l’ElettrodinamicaQuantistica.Infine,sempreperunmotivodiconsistenzainterna, Prefazione vii ondepoterformulareleequazionidiMaxwellinmodomatematicamenterigoroso e` risultatoindispensabileambientarlenellospaziodelledistribuzioni. In generale ogni argomento teorico viene illustrato con una serie di esempi fi- sicamente rilevanti e svolti in dettaglio, cos`ı come l’introduzione di ogni nuovo strumentomatematicovienemotivataeaccompagnatadaesemplificazionipratiche. Similmente la soluzione dei problemi proposti a conclusione di ogni capitolo do- vrebbecomportareunamigliorecomprensionedialcuniargomentitrattatineltesto, purnoncondizionandolacomprensionedeicapitolisuccessivi. Organizzazionedelmateriale.Agrandilineegliargomentideltestosonosuddivisi in tre parti. La Parte I (Capitoli 1–4) espone le basi concettuali e matematiche su cui si fonda l’Elettrodinamica di un sistema di particelle cariche puntiformi. Que- staparteinizialepresentainparticolareglistrumentimatematicinecessariperuna formulazioneprecisadellateoria,valeadirelateoriadelledistribuzioni,strumento indispensabileperunatrattazionecorrettadellesingolarita`dovuteallanaturapunti- formedelleparticellecariche,eilcalcolotensoriale,sedenaturalediunaqualsiasi teoriarelativistica.NelCapitolo2siintroduconoleequazionifondamentalidell’E- lettrodinamica–leequazionidiMaxwellediLorentz–siesegueunaloroanalisi strutturale e si analizzano le leggi di conservazione da esse implicate. Conclude la prima parte la presentazione del metodo variazionale nei Capitoli 3 e 4. Questo metodovieneintrodottocomeapproccioalternativoperlaformulazionediunage- nerica teoria di campo, che ne codifica la dinamica in modo conciso ed elegante, e come presupposto fondamentale per la validita` del teorema di No¨ther. Lo stretto nesso esistente in generale tra questo teorema e il metodo variazionale viene poi esemplificatoindettaglionelcasodell’Elettrodinamicadiparticellepuntiformi. La Parte II (Capitoli 5–13) e` dedicata alla derivazione delle previsioni fenome- nologiche dell’Elettrodinamica e inizia con la deduzione di una serie di soluzioni esatte delle equazioni di Maxwell. Questa parte comprende in particolare uno stu- diodettagliatodelleproprieta`delcampoelettromagneticonelvuoto,unatrattazione sistematicadeicampielettromagneticigeneratidaunaparticellacaricainmotoar- bitrario–ifondamentalicampidiLieńard-Wiechert–eun’analisiapprofonditadel fenomeno dell’irraggiamento, sia nel limite non relativistico che in quello ultrare- lativistico.Cos`ısianalizzanoindettaglioladistribuzioneangolareespettraledella radiazione emessa in alcuni sistemi fenomenologicamente rilevanti quali le anten- ne, gli acceleratori ultrarelativistici, le collisioni tra particelle cariche, l’atomo di idrogenoclassicoeladiffusioneThomson.Inquestapartevengonoinoltrepresen- tati per esteso alcuni argomenti che raramente ricevono trattazione sistematica nei libriditesto:ilproblemadelcampoelettromagneticocreatodaunaparticellacarica privadimassa,ilconfrontotralaradiazioneelettromagneticaequellagravitaziona- le, la deduzione delle variegate sfaccettature della radiazione di sincrotrone e una spiegazioneteoricaparticolareggiatadell’effettoCˇerenkov. LaParteIII(Capitoli14–19)vertesuargomentidinaturapiu` speculativaolegati a sviluppi piu` recenti della fisica teorica delle particelle elementari. Il Capitolo 14 e` dedicato alla reazione di radiazione e affronta con cura il problema delle diver- genzeultraviolettecheaffioranoinevitabilmentenell’equazionediLorentz.Losco- viii Prefazione po di questo capitolo e` duplice. Da un lato si vogliono evidenziare le motivazioni concettuali che costringono a sostituire l’equazione di Lorentz – un dogma del- l’Elettrodinamicaclassica–conl’equazionediLorentz-Dirac,equazionecheviola esplicitamente l’invarianza per inversione temporale. Dall’altro si vuole illustrare comeproprioacausadiquestasostituzionel’Elettrodinamicasoffradiun’inconsi- stenzainternaincurabile,chesipresentainvestidiverseasecondadelpuntodivista pragmaticodivoltainvoltaconsideratoeche,comeaccennatosopra,inultimaanalisi puo` essere sanata solamente nell’ambito di una teoria quantistica. Il capitolo successivo e` dedicato al secondo problema “classico” dell’Elettrodinamica, ovve- roquellodell’energiainfinitadelcampoelettromagneticogeneratodaunaparticella puntiforme.Sorprendentementequestoproblema,cheminavalastessaleggedicon- servazione dell’energia, e` stato risolto in modo definitivo solo una trentina di anni fa.NelCapitolo15sipresentalasoluzionediquestoproblemainunavestemoder- na–nell’ambitodellateoriadelledistribuzioni–chiarendoillegameinestricabile esistente tra l’equazione di Lorentz-Dirac e la conservazione del quadrimomento totale.IlCapitolo16e` dedicatoaicampielettromagneticimassivi.L’importanzadi questicampirisiedenelfattochealivelloquantisticoessidescrivonoparticellemas- sivedispinuno–unaspeciedifotoniconmassadiversadazero–qualiimediatori W± e Z0 delle interazioni deboli. Sebbene diversi aspetti caratteristici di queste particelle,comelalorovitamediafinita,sianodinaturagenuinamentequantistica, l’analisi classica e` comunque in grado di rivelare alcune fondamentali differenze che intercorrono tra l’interazione elettromagnetica vera e propria e quella mediata dacampimassivi.IlCapitolo17costituisceun’introduzioneall’Elettrodinamicadi oggetticarichiestesiinvolumip-dimensionali,lecosiddettep-brane.Lapiu` sem- plicep-brananonbanalee` unastringa,corrispondenteap=1,mentrelaparticella corrisponde a p = 0. La scelta di questo argomento e` motivata dal fatto che le p-brane costituiscano le eccitazioni elementari delle recenti teorie di superstringa – teorie candidate a unificare la Relativita` Generale con la Meccanica Quantisti- ca e con le altre interazioni fondamentali. Scopo del capitolo e` mostrare come i paradigmifondantidell’Elettrodinamicadelleparticelle,qualil’invarianzarelativi- stica,leequazionidiMaxwellediLorentzeleprincipalileggidiconservazione,si estendano in modo naturale all’Elettrodinamica degli oggetti estesi. In particolare nellinguaggiodelleformedifferenziali,acuie` dedicatalaprimapartedelcapitolo, la generalizzazione delleequazioni di Maxwell dalleparticelle alle p-brane risulta immediata. I due capitoli finali del testo sono dedicati ai monopoli magnetici. Nel Capitolo 18 si mostra come l’Elettrodinamica classica – pur essendo basata su un sistemadipostulatimoltorigidi–siaperfettamentecompatibileconl’esistenzain natura di questo esotico tipo di particelle. Nel Capitolo 19 si illustra, invece, co- mel’Elettrodinamicaquantisticadeimonopolimagneticiforniscaunasoluzioneal problema“antico”dellaquantizzazionedellacaricaelettrica,rappresentatodalda- toosservativochetuttelecaricheelettrichepresentiinnaturasianomultipleintere diunacaricafondamentale. Prerequisiti. Si suppone che il lettore di questo testo possegga conoscenze di ba- sedielettromagnetismoclassicoedicinematicarelativistica,qualileequazionidi Prefazione ix MaxwelleletrasformazionidiLorentzspeciali.E` utile,manonindispensabile,un minimodifamiliarita` conleequazionidiMaxwellinformacovarianteavistaein generaleconitensoriquadridimensionali.L’originefisicaeglielementifondamen- talidelcalcolotensorialesonocomunqueespostiindettaglionelCapitolo1.Posso- norisultareutilinozionielementaridellateoriadelledistribuzioni,qualiilconcetto della distribuzione-δ di Dirac. Le proprieta` principali delle distribuzioni utilizzate neltestosonocomunqueriportateinmanieraautoconsistentenelCapitolo2.Infine e` utile,madinuovononindispensabile,conoscereilmetodovariazionalerelativoa unsistemalagrangianoconunnumerofinitodigradidiliberta`. Ringraziamenti. L’autore ringrazia l’amico e collega Pieralberto Marchetti per le prezioseconversazioninelcorsodellastesuradeltesto. Padova,settembre2013 KurtLechner Indice ParteI Fondamentiteorici 1 IfondamentidellaRelativita` Ristretta ............................ 3 1.1 PostulatidellaRelativita`..................................... 4 1.2 TrasformazionidiLorentzediPoincare´........................ 5 1.2.1 Linearita` delletrasformazioni.......................... 5 1.2.2 Invarianzadell’intervallo.............................. 7 1.3 Leggifisichecovariantiavista................................ 9 1.3.1 Calcolotensoriale.................................... 12 1.4 StrutturadelgruppodiLorentz ............................... 16 1.4.1 GruppodiLorentzproprio............................. 17 1.4.2 TrasformazionidiLorentzpropriefiniteeinfinitesime ..... 18 1.4.3 Parita`,inversionetemporaleepseudotensori.............. 21 1.5 Problemi.................................................. 23 2 Leequazionifondamentalidell’Elettrodinamica ................... 27 2.1 Cinematicadiunaparticellarelativistica ....................... 27 2.2 Elettrodinamicadiparticellepuntiformi........................ 30 2.2.1 Equazionifondamentali............................... 32 2.2.2 Parita` einversionetemporale .......................... 33 2.2.3 EquazionediLorentz................................. 35 2.2.4 Identita` diBianchi ................................... 37 2.2.5 EquazionediMaxwell................................ 39 2.3 Naturadistribuzionaledelcampoelettromagnetico............... 43 2.3.1 Elementiditeoriadelledistribuzioni .................... 44 2.3.2 EquazionidiMaxwellnellospaziodelledistribuzioni...... 51 2.3.3 Campoelettromagneticodellaparticellastatica ........... 54 2.4 Costantidelmoto .......................................... 58 2.4.1 Conservazioneeinvarianzadellacaricaelettrica .......... 58 2.4.2 Tensoreenergia-impulsoeconservazionedelquadrimomento 60 2.4.3 Tensoreenergia-impulsoinElettrodinamica.............. 63