Ekstremum Analitik Geometri 2017-18

264 Pages·2017·29.99 MB·Turkish

by  Barış Şahbaz

YGS-LYS
ANALİTİK GEOMETRİ
KONU ANLATIMLI
SORU BANKASI
Copyright© Bu kitabın her hakkı saklıdır.
Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden
izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt siste-
mi ile çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır.
Baskı-Cilt
Özyurt Matbaacılık - Ankara
İletişim
Ekstremum Yayınları
1513. Cad. No: 32 İvogsan - Yenimahalle / Ankara
Tel: [phone] Faks: 0312 384 52 03
[email protected]
www.ekstremum.com
e k t r e m u m

ÖNSÖZ
Sevgili Öğrenciler,
Son yıllarda ÖSYM, merkezi sınavlarda bilhassa Matematik ve Geometri derslerinde ezbere dayalı sorular
sormak yerine öğrencilerin konuları ne denli kavradığını ölçücü sorular sormaya başladı. Artık sorular birkaç konuyu
kapsayan ve öğrencinin mutlaka yorum yapmasını gerektiren tarzda sorulmaktadır. Bu yüzden, yüksek hedefleri olan
öğrencilerin konuları ayrıntılı bir şekilde öğrenmeleri ve sıradan sorular yerine "Orijinal" sorular içeren kaynaklardaki
soruları çözmeleri gerekmektedir. Bu amaçla EKSTREMUM Yayınları olarak, Geometrinin çok önemli bir bölümünü
oluşturan Analitik Geometri konularını kapsayan bu kitabı hazırladık. Bu kitapta her konuyu en ince ayrıntısına kadar
inceleyen çözümlü örneklere ağırlık verdik. ÖSYM'nin farklı sınavlarda sormuş olduğu sorular baz alınarak öğrencinin
karşılaşması muhtemel olan tüm soru tiplerine yer vermeye çalıştık.
Güzel bir gelecek için iyi bir eğitimin şart olduğu günümüzde, gireceğiniz sınavların önemi çok büyüktür. Bizler
de sınavlardaki başarınızın artmasını sağlayacak bu kitabı sizlere ulaştırmanın mutluluğunu yaşıyoruz.
Tüm hayallerinizi gerçekleştirmeniz dileğiyle...
Bu kitabın çıkmasında desteklerini esirgemeyen Hakan BAKIRCI, İlhami EROL, Selçuk SAĞBAŞ, Ayla SAYDAM
hocalarımıza teşekkür ederiz.
Bu kitapla ilgili her türlü önerilerinizi eleştirilerinizi ve katkılarınızı bize ulaştırmanız dileğiyle...
EKSTREMUM YAYINLARI
[email protected]
İÇİNDEKİLER
BÖLÜM 1 DOĞRU ANALİTİĞİ VE DÖNÜŞÜMLER
Koordinat (Sayı) Doğrusu ...................................................................................... 7
Nokta Analitiği ........................................................................................................ 9
Bir Doğrunun Eğim Açısı ve Eğim .......................................................................... 25
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ................................................................... 34
Eşitsizlik Grafikleri ................................................................................................. 46
Grafik Okuma ........................................................................................................ 48
Dönüşümler ........................................................................................................... 59
UYGULAMA TESTLERİ ........................................................................................ 87
BÖLÜM 2 ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Çemberin Standart Denklemi ............................................................................... 103
Çemberin Genel Denklemi ................................................................................... 118
Teğet ve Normal Denklemleri ............................................................................... 136
UYGULAMA TESTLERİ ....................................................................................... 149
BÖLÜM 3 KONİKLER
Parabol ................................................................................................................ 167
Elips ..................................................................................................................... 175
Hiperbol ............................................................................................................... 187
UYGULAMA TESTLERİ ....................................................................................... 197
BÖLÜM 4 DÜZLEMDE VEKTÖRLER
Vektör Kavramı .................................................................................................... 211
Vektörlerde İç (Skaler) Çarpım ............................................................................ 220
Bir Doğrunun Vektörel Denklemi ......................................................................... 232
UYGULAMA TESTLERİ ....................................................................................... 237
BÖLÜM 5 ANALİZ TESTLERİ
ANALİZ TESTLERİ .............................................................................................. 249
DOĞRU ANALİTİĞİ ve DÖNÜŞÜMLER
A) Nokta Analitiği
B) Eğim ve Doğru Denklemleri
C) İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları
D) Doğru Demeti
E) Eşitsizlik Grafikleri
F) Grafik Okuma
G) Dönüşümler (Öteleme, Dönme, Yansıma)

Doğru Analitiği ve Dönüşümler
KAVRAMA
BİLGİ KUTUSU
Koordinat (Sayı) Doğrusu ÖRNEK 1
(cid:31) (cid:30) (cid:29) (cid:28) (cid:27) (cid:26)(cid:26)(cid:26)(cid:26)(cid:26) Gerçek sayılar doğrusunda A(– 2), B(8) ve C(x)
(cid:25)(cid:24) (cid:25)(cid:23) (cid:22) (cid:23) (cid:24) (cid:21) noktaları için ×AC× = ×BC× olduğuna göre, x Î IR
sayısını bulunuz.
Bir doğru kümesi ile IR gerçek sayılar kümesi;
• Doğrunun her noktasına bir gerçek sayı ÇÖZÜM
• Her gerçek sayıya doğrunun bir noktası gelecek
1. yol
şekilde bire bir eşlenebilir. (Cetvel aksiyomu)
×AC× = ×x – (– 2)× = ×x + 2×
Buna göre, bir P noktası x Î IR sayısı ile eşlenirse
×BC× = ×x – 8× olduğundan
“P noktasının koordinatı x dir.” denir ve P(x) olarak
×AC× = ×BC× ´ ×x + 2× = ×x – 8×
gösterilir.
x = 3 bulunur.
Sayı doğrusu üzerindeki P(x) ve Q(y) noktaları
arasındaki uzaklık |PQ| ile gösterilir ve 2. yol
|PQ| = |x – y| olur. C(x) noktası [AB] doğru parçasının orta noktası oldu-
ğundan,
m – 2 + 8
x = = 3 bulunur.
u 2
m
e
NOT r
t

k
A(a), B(b) ve C(c) noktaları verilsin.
e
[AB] doğru parçasının orta noktası C(c) ise; ÖRNEK 2
a + b
c = olur. (cid:31) (cid:26) (cid:25)
2
(cid:30)(cid:29) (cid:28) (cid:27)
×AC× 4
A, B ve C noktaları doğrusal olmak üzere =
×AB× 3
olduğuna göre, x kaçtır?
ÇÖZÜM
A(– 1), B(5) ve C(x) için,
1. yol
×AC× = ×x – (– 1)× = ×x + 1×
×AB× = ×5 – (– 1)× = 6
×AC× ×x + 1× 4
= =
×AB× 6 3
×x + 1× = 8
x = 7 ve x = – 9
x > 5 olduğundan x = 7 olur.
Analitik Geometri 7
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
2. yol
KAVRAMA TESTİ
×AC× 4
= ´ ×AC× = 4k, ×AB× = 3k olsun. 1. Gerçek sayılar doğrusunda A(– 4), B(1) ve C(x)
×AB× 3
noktaları veriliyor.
(cid:31) (cid:26) (cid:25)
×AB× = ×AC× olduğuna göre, x in alabileceği
(cid:30)(cid:29) (cid:24)(cid:23) (cid:28) (cid:23) (cid:27)
değerler toplamı kaçtır?
Koordinatlardaki artış miktarlarını oranlarsak,
A) – 9 B) – 8 C) – 7 D) – 6 E) – 5
3k birimde 6 artarsa
4k birimde a artar
Doğru orantı
a = 8 ve c = – 1 + 8 = 7 bulunur.
ÖRNEK 3 2. Gerçek sayılar doğrusunda A(x), B(– x + 2) ve
C(12 – 2x) noktaları veriliyor.
Gerçek sayılar doğrusunda A(– 4), B(6) ve C(x) nok-
m
A Î [BC] olduğuna göre, x in alabileceği kaç
taları veriliyor. u
m farklı tam sayı değeri vardır?
e
×AC× 7 r
= ve C Ï [AB] şartlarını sağlayan C nok- t A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
×AB× 5
k
tasının koordinatı x kaçtır? e
ÇÖZÜM
C Ï [AB] olduğundan C noktası [AB] doğru parça-
sının dışındadır.
×AC× 7
= > 1 olduğundan C noktası B noktasına
×AB× 5
daha yakındır. O halde ilgili şekil çizilirse;
(cid:31) (cid:25) (cid:24)
3. Gerçek sayılar doğrusunda A(– 5), B(7) ve C(x)
(cid:30)(cid:29) (cid:22)(cid:26) (cid:28) (cid:27)(cid:26) (cid:23) noktaları veriliyor.
elde edilir. ×AC× = 3 olduğuna göre, x in alabileceği de-
×BC×
x değerini koordinatlardaki artış miktarlarından bulalım.
ğerler toplamı kaçtır?
5k birimde 10 artarsa
7k birimde a artar A) 4 B) 9 C) 13 D) 15 E) 17
Doğru orantı
a = 14 ve x = – 4 + 14 = 10 bulunur.
1) B 2) D 3) E
8 Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
KAVRAMA
BİLGİ KUTUSU
ÖRNEK 1
A. Dik Koordinat Sistemi
Analitik düzlemde A(m – 6, 2m + 4) noktası II. böl-
(cid:31)
P(x, y) noktası gede olduğuna göre kaç farklı m tam sayısı vardır?
(cid:30)(cid:30)(cid:29)(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:25)(cid:24)(cid:23) (cid:30)(cid:29)(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:25)(cid:24)(cid:23) I. bölgede ise x > 0, y > 0
(cid:22)(cid:21)(cid:20)(cid:28)(cid:19)(cid:18) (cid:22)(cid:19)(cid:20)(cid:28)(cid:19)(cid:18) ÇÖZÜM
(cid:16) II. bölgede ise x < 0, y > 0
III. bölgede ise x < 0, y < 0 A(m – 6, 2m + 4) noktası II. bölgede olduğuna göre,
(cid:30)(cid:30)(cid:30)(cid:29)(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:25)(cid:24)(cid:23) (cid:30)(cid:17)(cid:29)(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:25)(cid:24)(cid:23)
(cid:22)(cid:21)(cid:20)(cid:28)(cid:21)(cid:18) (cid:22)(cid:19)(cid:20)(cid:28)(cid:21)(cid:18) IV. bölgede ise x > 0, y < 0 m – 6 < 0, 2m + 4 > 0
m < 6 ve m > – 2
Bu şartları sağlayan 6 – (– 2) – 1 = 7 tam sayı vardır.
B. İki Nokta Arasındaki Uzaklık
ÖRNEK 2
A(x , y ) ve B(x , y ) noktaları arasındaki uzaklık,
1 1 2 2
Analitik düzlemde A(5, 3), B(– 1, 1) ve C(x, y) noktaları
(cid:31)
(cid:27)(cid:26)(cid:28) (cid:25)(cid:24)(cid:31) (cid:23) veriliyor.
(cid:31) (cid:30) (cid:30)
(cid:30)
×AC× = ×BC× şartını sağlayan,
(cid:31) (cid:24)(cid:21)(cid:24)(cid:31)
(cid:30) (cid:29)
(cid:22)(cid:26)(cid:28) (cid:25)(cid:24)(cid:31) (cid:23) a) y ekseni üzerindeki C noktasının kooordinatlarını,
(cid:31) (cid:29) (cid:29)
(cid:29)
(cid:28)(cid:30)(cid:24)(cid:21)(cid:24)(cid:28)(cid:29) m b) C (x, y) noktalarının geometrik yer denklemini
u bulunuz.
(cid:28) m
(cid:28) (cid:28)
(cid:29) (cid:30)
e ÇÖZÜM
r
×AB× = ŒŸ(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 k t a) C(x, y) noktası y ekseni üzerinde olduğuna göre,
e
x = 0 olur.
(cid:23)
P(a, b) noktasının orijine A(5, 3), B(– 1, 1) ve C(0, y) noktaları için
(cid:30)(cid:29)(cid:31)(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:25)
(O(0, 0)) uzaklığı ×AC× = (0 – 5)2 + (y – 3)2
ŒŸ
(cid:26) ×OP× = a2 + b2 ×BC× = ŒŸ(0 + 1)2 + (y – 1)2 ve
(cid:24) ŒŸ
(cid:22) (cid:31) ×AC× = ×BC× olduğuna göre,
52 + (y – 3)2 = 12 + (y – 1)2
ŒŸ ŒŸ
25 + y2 – 6y + 9 = 1 + y2 – 2y + 1
C. Bir Doğru Parçasının Orta Noktası
4y = 32, y = 8 ve C(0, 8) olur.
(cid:30)
(cid:29)(cid:28)(cid:31) (cid:26)(cid:25)(cid:30) (cid:24)
(cid:27) (cid:27) b) A(5, 3), B(– 1, 1) ve C(x, y) için ×AC× = ×BC×
(x – 5)2 + (y – 3)2 = (x + 1)2 + (y – 1)2
(cid:21) ŒŸ ŒŸ
x2 – 10x + 25 + y2 – 6y + 9 = x2 + 2x + 1 + y2 – 2y + 1
(cid:23)(cid:28)(cid:31) (cid:26)(cid:25)(cid:30) (cid:24)
(cid:22) (cid:22) 12x + 4y – 32 = 0
(cid:31)
3x + y – 8 = 0 elde edilir.
A(x , y ) ve B(x , y ) olmak üzere [AB] doğru par-
1 1 2 2 NOT
çasının orta noktası,
Bu bulduğumuz denklem [AB] doğru parçasının
x + x y + y
C 1 2 , 1 2 dir. orta dikme doğrusunun denklemidir.
( 2 2 )
Analitik Geometri 9
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÖRNEK 3 KAVRAMA TESTİ
Analitik düzlemde A(2m – 4, m + 1) noktaları eksen-
1. Analitik düzlemde A(ab, a2b) noktası IV. bölge-
lerden eşit uzaklıkta olduğuna göre, bu şartı sağlayan
de olduğuna göre, B(a + b, ab) noktası hangi
A noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.
bölgededir?
ÇÖZÜM
A) I B) II C) III D) IV E) x ekseni üzerinde
Bir P(x, y) noktasının eksenlere uzaklıkları ×x× ve ×y× dir.
O halde A(2m – 4, m + 1) noktası için
×2m – 4× = ×m + 1× olur. Buradan;
2m – 4 = m + 1 veya 2m – 4 = – (m + 1)
m = 5 veya m = 1 ve
A (6, 6) ve A (– 2, 2) olur. O halde
1 2
×A A × = (6 – (– 2)2) + (6 – 2)2 = 4ñ5 br bulunur.
1 2 ŒŸ
ÖRNEK 4
2. Analitik düzlemde x ekseni üzerinde olup A(7, – 6)
Analitik düzlemde köşe koordinatları A(– 1, 2), B(0, 1)
ve B(3, 4) noktalarından eşit uzaklıkta olan nok-
ve C(6, – 3) noktaları olan ABC üçgeninde [BC]
tanın apsisi kaçtır?
kenarına ait kenarortayın uzunluğunu bulunuz.
m
13 15
u A) 6 B) C) 7 D) E) 8
ÇÖZÜM m 2 2
(cid:31)(cid:30)(cid:29)(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:25)(cid:24) e
r
t

k
e
(cid:23)(cid:30)(cid:22)(cid:26)(cid:28)(cid:27)(cid:24) (cid:18)(cid:30)(cid:17)(cid:26)(cid:28)(cid:16)(cid:24) (cid:21)(cid:30)(cid:20)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:19)(cid:24)
Önce D(x, y) noktasını bulalım.
0 + 6 – 3 + 1
D(x, y) = D , ´ D(3, – 1) ve
( 2 2 )
×AD× = (3 + 1)2 + (2 + 1)2 = 5 br bulunur.
ŒŸ 3. Analitik düzlemde y = 2 doğrusuna olan uzaklı-
ğı A(– 2, 1) noktasına olan uzaklığına eşit olan
noktaların geometrik yer denklemi aşağıdakiler-
ÖRNEK 5
den hangisidir?
Analitik düzlemde y = 3 doğrusuna olan uzaklığı
B(– 1, 2) noktasına olan uzaklığına eşit olan nokta- A) x2 + y2 = 4 B) x2 + 2x – 4 = 0
ların geometrik yer denklemini bulunuz.
C) x2 + 4x + 2y + 1 = 0 D) x2 + 2y – 4 = 0
ÇÖZÜM
E) x2 + y2 + 2x – 2y – 4 = 0
Bir A(x, y) noktasının y = 3 doğrusuna uzaklığı ×y – 3×
olur. O halde, ×y – 3× = ×AB× = (x + 1)2 + (y – 2)2
ŒŸ
Her iki tarafın karesi alınırsa,
y2 – 6y + 9 = x2 + 2x + 1 + y2 – 4y + 4
x2 + 2x + 2y – 4 = 0 elde edilir. 1) B 2) D 3) C
10 Analitik Geometri