Einstein Maxwell solutions of Newman Tamburino class and aligned pure radiation Kundt solutions

175 Pages·2012·0.91 MB·English

Faculteit Ingenieurswetenschappen en
Architectuur
Vakgroep Wiskundige Analyse
Onderzoeksgroep Algemene Relativiteit
Academiejaar 2011(cid:21)2012
Einstein Maxwell solutions of Newman
Tamburino class and Aligned pure
radiation Kundt solutions
Liselotte De Groote
Promotor: Prof. N. Van den Bergh
Copromotor: Prof. F. Cantrijn
Scriptie voorgedragen tot het behalen van de graad van
doctor in de wetenschappen: natuurkunde
Wat wij weten is een druppel, wat wij niet weten een oceaan.
Isaac Newton (1642-1727)
De auteur en promotor geven de toelating deze scriptie voor consultatie
beschikbaar te stellen en delen ervan te kopiºren voor persoonlijk gebruik.
Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het
bijzonder met betrekking tot de verplichting uitdrukkelijk de bron te ver-
melden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie.
The author and promotor give the permission to use this thesis for consul-
tation and to copy parts of it for personal use. Every other use is subject to
thecopyrightlaws,morespeci(cid:28)callythesourcemustbeextensivelyspeci(cid:28)ed
when using material from this thesis.
Gent, augustus 2012

Voorwoord - Foreword
AlgemenerelativiteitwordtalgemeenaanvaardalsdØmeestsuccesvollethe-
orie voor de zwaartekracht. Wiskundig wordt deze theorie beschreven door
Einsteins veldvergelijking, een niet-lineaire tensoriºle di(cid:27)erentiaalvergelijk-
ing, afgeleid en op papier gezet door Albert Einstein en voor het eerst
gepubliceerd in (Einstein, 1915).
Oplossingen vinden van deze vergelijkingen is geen eenvoudige taak. Een
heleboel‘exacteoplossingen’zijnterugtevindeninhetreferentieboek Exact
solutions of Einstein’s (cid:28)eld equations (Stephani et al., 2003). Soms worden
ze gezien als zuiver wiskundige objecten, zonder fysische toepassingen. Een
aantal oplossingen heeft nochtans een duidelijke fysische betekenis, zoals de
Schwarzschild en Kerr oplossingen voor zwarte gaten of Friedmanns oplos-
singen voor kosmologie.
In deze thesis gaan we op zoek naar ‘nieuwe’ exacte oplossingen, die aan
bepaalde fysische voorwaarden voldoen.
DeintegratievandeNewmanTamburinoEinsteinMaxwelloplossingenwerd
uitgevoerd in samenwerking met mijn promotor, Prof. Norbert Van den
Bergh. Ook het probleem van de Petrov type D Kundtoplossingen in aan-
wezigheid van een zuiver stralingsveld hebben we samen aangepakt. Bij
dit laatste kreeg ik ook hulp van Lode Wylleman. De onderwerpen die
voorkomen in de overige hoofdstukken, namelijk het controleren en ver-
beteren van de Newman Tamburino vacu(cid:252)moplossingen en de Petrov type
D Robinson Trautmanoplossingen in een gealigneerd zuivere stalingsveld,
zijn persoonlijk werk. Dit geldt ook voor de classi(cid:28)catie van Kundtme-
trieken.
vi
vii
General relativity is generally accepted to be the most succesful theory of
gravitation. It is mathematically described by the Einstein’s (cid:28)eld equation,
a tensorial equation, which translates into a system of non-linear, coupled
partial di(cid:27)erential equations when expressed in coordinates or in a frame,
which was derived by Albert Einstein and which was published for the (cid:28)rst
time in (Einstein, 1915).
Finding solutions of these equations is not an easy task. A lot of ‘exact
solutions’ can be found in the reference book Exact solutions of Einstein’s
(cid:28)eldequations(Stephanietal.,2003). Sometimesthesesolutionsareseenas
purelymathematicalobjects, withoutphysicalapplications. However, some
of the solutions do have a clear physical meaning, such as the Schwarzschild
and Kerr solutions for black holes or Friedmann’s solutions for cosmology.
In this thesis, we look for ‘new’ exact solutions, that satisfy certain physical
conditions.
The integration of the Newman Tamburino Einstein Maxwell solutions is
joint work with my supervisor, Prof. Norbert Van den Bergh. Also solving
the problem of the Petroc type D Kundt solutions in the presence of an
aligned pure radiation (cid:28)eld, is something we did together. For the latter
I also got some help from Lode Wylleman. The subjects that are handled
in the remaining chapters, i.e. re-examining and correcting the Newman
Tamburino vacuum solutions and the Petrov type D Robinson Trautman
solutions in an aligned pure radiation (cid:28)eld, are personal work of the author,
as is also the case for the classi(cid:28)cation of the Kundt metrics.
Graag wil ik in dit voorwoord een aantal mensen bedanken:
In this foreword, I would also like to thank some people:
Mijn promotor en copromotor Prof. Norbert Van den Bergh en Prof. Frans
Cantrijn, voor hun steun en aanmoedigingen tijdens het werken aan deze
thesis. Norbertsenthousiasmewassteedseenbronvaninspiratie. Ookwan-
neer het op persoonlijk vlak moeilijker ging, kon ik steeds bij hen terecht.
viii
Het was ook steeds aangenaam om met Norbert samen te werken, samen
brachten we de integratie van de Newman Tamburino Einstein Maxwell en
van de Kundt oplossingen in de aanwezigheid van een zuiver stralingsveld
tot een mooi resultaat.
Voor het oplossen van dit laatste probleem wil ik ook graag Lode Wylleman
bedanken. Zijn bewijs, opgenomen in deze thesis (zie hoofdstuk 5), is een
stuk korter dan mijn oorspronkelijke berekeningen!
I would also like to thank Jan ¯man, who revealed to us the secrets of
CLASSI, and who was always willing to help us with the classi(cid:28)cation of
metrics.
Ithankthereadingcommitteeforexaminingthisworkandfortheirvaluable
comments.
Vrienden en collega’s. Om niemand te vergeten, ga ik mij niet aan een
opsomming wagen, maar aan allen die ik in de voorbije jaren heb leren
kennen,endiemijnlevenvollerenrijkerhebbengemaakt: eenwelgemeende
endikkemerci! InhetbijzonderwiliktochBrianEdgarvermelden. Hoewel
we elkaar niet vaak ontmoetten, waren onze momenten samen toch tegelijk
leerrijk en rustgevend. We zullen je missen, Brian!
Tenslotte wil ik ook mijn ouders en grootouders, broers, zus en vriend be-
danken, omdat ze er steeds zijn als ik hen nodig heb, en ze mij opvangen
wanneer het moeilijker gaat. Wij hebben samen een aantal bewogen jaren
achter de rug. Moeilijke momenten, zoals het verlies van tante Trees en
Femke, mijn gezondheidsproblemen en die van Henri’tje, werden even ver-
geten, of toch verlicht bij de feestelijkheden van het voorbije jaar: de trouw
van Ans en Fre, die van Thomas en Annelies en die van Matthias en Moni
en de geboorte van die twee prachtige kereltjes, Henri en Nathan. Ik weet
dat ik dit niet vaak genoeg zeg of toon, maar ik zie jullie graag en kan jullie
niet genoeg bedanken voor wat jullie voor mij doen.
Liselotte De Groote
Gent, 28 augustus 2012
ix
Samenvatting
Einsteins algemene relativiteitstheorie is algemeen aanvaard als zijnde de
meest succesvolle theorie voor de zwaartekracht. Wiskundig wordt deze
theorie beschreven door de veldvergelijkingen
1
R − Rg +Λg = κ T . (1)
ab ab ab 0 ab
2
Dit is een tensoriºle vergelijking die omgezet wordt in een verzameling niet-
lineaire, gekoppelde partiºle di(cid:27)erentiaalvergelijkingen, wanneer ze wordt
uitgedrukt in co(cid:246)rdinaten. Het basisingrediºnt hierin is de metrische tensor
g , waaruit elk ander element kan afgeleid worden. Oplossingen vinden
ab
van deze vergelijkingen is niet eenvoudig. Eigenlijk is om het even welke
metriek een oplossing van (1), zolang er geen voorwaarden opgelegd worden
aan de energie-momenttensor. In dat geval is (1) immers niet meer dan een
de(cid:28)nitie voor T . We zullen dus eerst veronderstellingen koppelen aan T .
ab ab
Bovendien zullen we ook voorwaarden opleggen aan de metriek, vooraleer
we de veldvergelijkingen ‘oplossen’.
Dit soort veronderstellingen en voorwaarden laat ons toe de oplossingen te
verzamelen, te catalogeren in verschillende klassen. In deze thesis kijken we
enerzijds naar oplossingen uit de Newman Tamburinoklasse, en anderzijds
naar oplossingen die behoren tot de zogenaamde Kundtklasse.
In 1960 publiceerden Robinson en Trautman de algemene oplossing voor de
familie van metrieken met hyperoppervlak orthogonale en bijgevolg niet-
roterende geodetische nul-congruenties, mØt expansie maar in de afwezig-
heid van afschuiving (shear) (Robinson and Trautman, 1960).
Newman en Tamburino (1962) poogden deze klasse van oplossingen uit te
breidendoorafschuivingtoetelaten,indehoophiermeeeenmeeralgemene
x