Einführung in die Geometrie und Topologie

166 Pages·2018·1.571 MB·German

by  Werner Ballmann

Werner Ballmann
Einführung in die Geometrie
und Topologie
2. Auflage
WernerBallmann
Max-Planck-InstitutfürMathematik
Bonn,Deutschland
MathematikKompakt
ISBN978-3-0348-0985-6 ISBN978-3-0348-0986-3(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0986-3
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Birkhäuser
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Vorwort
In der zweiten Auflage habe ich eine Reihe von Textstellen leicht überarbeitet und ei-
nige Fehler berichtigt. Ich möchte mich bei Bernd Ammann und Walker Stern für ihre
hilfreichen Hinweise bedanken. Mein Dank gilt auch den Angestellten des MPIM in
BonnfürdieaußergewöhnlichguteArbeitsatmosphäreundmeinenAnsprechpartnernim
Birkhäuser-VerlagfürdiefreundlicheundvertrauensvolleZusammenarbeit.
VII
Vorwort zur ersten Auflage
Grundlage des vorliegenden Buches sind Manuskripte zu verschiedenen Lehrveranstal-
tungen, die ich anlässlich einer einführenden Vorlesung über Geometrie und Topologie
zusammengefasst, revidiert und erweitert habe. Der Text ist als Vorlage für eine vier-
stündigeVorlesungimmittlerenBachelorstudiumkonzipiert.DasInhaltsverzeichnisgibt
einengutenÜberblicküberdiediskutiertenThemenbereiche.
IchsetzeKenntnisseausderlinearenAlgebraundderreellenAnalysismehrererVerän-
derlichenvoraus.DiebeidenerstenKapiteldesBuchessindEinführungenintopologische
RäumeundMannigfaltigkeitengewidmet.ObdieseBegriffeindenVorlesungenzurAna-
lysisschondiskutiertwordensind,hängtvonderZielrichtungdesjeweiligenDozentenab.
WenndieBegriffenochnichtausreichendbekanntsind,wirdmanmitdenbeidenersten
Kapiteln des Buches beginnen. In einer einsemestrigen Vorlesung wird man dann eini-
gesausdenweiterenKapitelnstreichenmüssen,dennderTextistfüreineeinsemestrige
Vorlesungwohlzuumfangreich.
EinProblemindenjetzigenLehrplänenistderUmstand,dassStudierendeihreBache-
lorarbeitzueinemZeitpunktbeginnenmüssen,zudemsienochüberhauptnichtodernoch
nicht tief genug in einen Themenbereich eingestiegen sind, der sich für eine Examens-
arbeit eignet. Daher versuche ich, den Studierenden Kenntnisse in diversen Themen zu
vermitteln, an die sie dann in Seminaren anknüpfenkönnen.Am Endeder Kapitel habe
ich Hinweise auf ergänzendeLiteratur hinzugefügt,dieauch als Quellefür Seminarvor-
trägegeeignetist.DanebengibteseineganzeReiheguterLehrbücherzudenThemen,die
imTextbehandeltwerden,dieichimLiteraturverzeichnisabernichtgenannthabe.Hier
Vollständigkeitanzustreben,hättejedenRahmengesprengt.
Danksagungen MeinDankgiltKarstenGroße-Brauckmann,HermannKarcher,Alexan-
der Lytchak, Kaan Öcal, Anna Pratoussevitch, DorotheeSchueth, Juan Souto, Jan Swo-
boda,ThomasVogelunddenvielenanderen,diemirzuverschiedenen,auchschonweiter
zurückliegendenZeitpunktenmitHinweisenundKritikbeiderVerbesserungderdiesem
BuchzugrundeliegendenManuskriptegeholfenhaben.Besondersbedankenmöchteich
mich bei Benedikt Fluhr, der die Zeichnungen für dieses Buch angefertigt und intensiv
Korrekturgelesenhat.MeinDankgiltauchdemESIinWienunddemMPIMinBonnfür
ihreUnterstützungundinsbesonderefürRaumundZeit.
IX
Inhaltsverzeichnis
1 ErsteSchritteindieTopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 TopologischeRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 StetigeAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 KonvergenzundhausdorffscheRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 NeuesausAltem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 ZusammenhangundWegzusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 KompakteRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 DerJordan’scheKurvensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 ErgänzendeLiteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 MannigfaltigkeitenundglatteAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 TangentialvektorenundAbleitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 TangentialbündelundVektorfelder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5 VektorbündelundSchnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6 ErgänzendeLiteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 DifferentialformenundKohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1 Pfaff’scheFormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Differentialformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 DeRham’scheKohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4 DasPoincaré-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5 Mayer-Vietoris-SequenzundFixpunktsatzvonBrouwer . . . . . . . . . . 78
3.6 OrientierungenundSatzvonJordan-Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.7 OrientiertesIntegralundIntegralformelvonStokes . . . . . . . . . . . . . 86
3.8 ErgänzendeLiteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
XI
XII Inhaltsverzeichnis
4 GeometrievonUntermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2 InnereGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3 ÄußereGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4 Gauß-GleichungenundTheoremaegregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.5 ErgänzendeLiteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
AAlternierendeMultilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
BKokettenkomplexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Erste Schritte in die Topologie 1
InderAnalysisvorlesungwirdderLesermetrischeRäumeundBegriffewieoffen,abge-
schlossen,konvergent,stetigundkompaktkennengelernthaben.Dieseundeinigeandere
BegriffewerdenindermengentheoretischenTopologieaxiomatischbehandelt.
IndiesemKapiteldiskutierenwirdieGrundlagendermengentheoretischenTopologie.
DadieBehauptungeninderRegeldirektausdenDefinitionenfolgen,bleibensiedemLe-
serzumeistalsÜbungüberlassen.EinederAusnahmenistderJordan’sche1 Kurvensatz,
den wir ([CR] folgend) für Streckenzüge beweisen. Nach dem Studium dieses Kapitels
solltederLeserinderLagesein,alles,wasihmgelegentlichausdermengentheoretischen
Topologie fehlt, problemlos und schnell nachzuarbeiten. Gute Quellen dafür sind z.B.
[Qu]und[La,KapitelI].
1.1 TopologischeRäume
Definitionen1.1.1
EineTopologieaufeinerMengeX isteineTeilmengeT derPotenzmengeP.X/mit
folgendenEigenschaften:
1. ;2T undX 2T;
2. VereinigungenvonElementenausT gehörenzuT:Falls.U / eineFamilievon
i i2I
TeilmengenvonX ist,sogilt [
U 2T fürallei 2I H) U 2TI
i i
i2I
3. Durchschnitte endlich vieler Elemente aus T gehören zu T: Falls .U / eine
i i2I
endlicheFamilievonTeilmengenvonX ist,sogilt
\
U 2T fürallei 2I H) U 2T:
i i
i2I
1MarieEnnemondCamilleJordan(1838–1922)
©SpringerInternationalPublishingAG2018 1
W.Ballmann,EinführungindieGeometrieundTopologie,MathematikKompakt,
https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0986-3_1
2 1 ErsteSchritteindieTopologie
EintopologischerRaumisteineMengeXzusammenmiteinerTopologieT aufX.Für
einentopologischenRaum.X;T/nennenwirdieElementevonT offeneTeilmengen
undihreKomplementeabgeschlosseneTeilmengenvonX.
Es gibt die Konvention, dass die leere Vereinigung von Teilmengen von X leer ist
und der leere Durchschnitt gleich X. Falls also I D ; in Bedingung 2. oder 3., so ist
S T
U WD ; bzw. U WD X. Das klingt ganz vernünftig – solange man es sich
i2I i i2I i
merkenkann.JedenfallsfolgtBedingung1.mitdieserVereinbarungausdenBedingungen
2.und3.undistindiesemSinneüberflüssig.
ImFolgendenwerdenwir vondem topologischenRaumX sprechen,wennklaroder
unwichtigist,welcheTopologieaufX gemeintist.
Beispiele1.1.2
1) Sei X eine Menge. Dann ist T D f;;Xg eine Topologieauf X, die triviale Topologie.Die
einzigenoffenenTeilmengenvonXindieserTopologiesind;undX;wenigeristnichtmöglich.
2) DiePotenzmengeP.X/einerMengeX isteineTopologieaufX,diediskreteTopologie.Alle
Teilmengen von X sind offen in dieser Topologie;mehr ist nicht möglich. Ein topologischer
Raumheißtdiskret,wennseineTopologiediediskreteist.
3) NenneeineTeilmengeU vonRoffen,wenneszujedemx2U ein">0mit.x(cid:2)";xC"/(cid:3)U
gibt. Die Menge der so definierten offenen Teilmengen von R ist eine Topologie auf R, die
kanonischeTopologie.
4) SeiX einmetrischerRaum;dieMetrikvonX seimitd bezeichnet.NenneeineTeilmengeU
vonX offen,wenneszujedemx2U ein">0gibt,sodassderoffenemetrischeBall
B.x;"/WDfy 2X jd.x;y/<"g(cid:3)U:
Die Menge der so definierten offenen Teilmengen von X ist eine Topologie auf X, die ka-
nonische oder auch (zu d) assoziierte Topologie T . Ein topologischer Raum .X;T/ heißt
d
metrisierbar,wenneseineMetrikd aufX mitT DT gibt.
d
5) DieMengeT (cid:3)P.R/,dieausdenTeilmengen.a;1/,a2Œ(cid:2)1;1(cid:2),besteht,isteineTopolo-
C
gieaufR.EntsprechenderhältmanmitdenTeilmengen.(cid:2)1;b/,b2Œ(cid:2)1;1(cid:2),eineTopologie
T aufR.
(cid:2)
Definition1.1.3
Sei T eine Topologieauf einer MengeX. Dann heißt eine TeilmengeB (cid:3) T Basis
vonT,fallsjedesElementausT VereinigungvonElementenausBist.
InDefinition1.1.3erinnernwirunsnochandieKonvention,dassdieleereVereinigung
leerist.DamitmüssenwirunskeineumständlichenFormulierungenausdenken,indenen
dieleereMengeerörtertwird.
Satz1.1.4 EineTeilmengeBeinerTopologieT aufeinerMengeXistgenaudanneine
BasisvonT,wenneszujedemU 2T undx 2U einV 2Bgibtmitx 2V (cid:3)U. (cid:2)
1.1 TopologischeRäume 3
AuchinderFormulierungdesfolgendenSatzesbenützenwirdieKonvention,dassdie
leereVereinigungleerist.
Satz1.1.5 SeiBeineTeilmenge derPotenzmengeP.X/einerMengeX mitdenfol-
gendenzweiEigenschaften:
1. X istVereinigungderElementeausB;
2. zuB ;B 2Bundx 2B \B gibtesB 2Bmitx 2B (cid:3)B \B .
1 2 1 2 3 3 1 2
SeiT (cid:3) P.X/dieTeilmenge, derenElementeausVereinigungenvonElementenaus
Bbestehen.DannistT eineTopologieaufX,undBisteineBasisvonT. (cid:2)
Beispiele1.1.6
1) DieMengederoffenenIntervalle.a;b/mita;b 2QisteineBasisderkanonischenTopologie
aufR.
2) IneinemmetrischenRaumistdieMengederoffenenmetrischenBälleeineBasisderkanoni-
schenTopologie.
SatzundDefinition1.1.7 ZuE (cid:3) P.X/seiB (cid:3) P.X/dieTeilmengevonMengen,
dieendlicheDurchschnittevonElementenausEsind.DannerfülltBdieBedingungen
ausSatz1.1.5undistdamitBasisderentsprechendenTopologie,dervonE erzeugten
Topologie.WirnennenEeinErzeugendensystemodereineSubbasisdieserTopologie.
(cid:2)
Beispiel1.1.8
DiekanonischeTopologievonRwirdvonT [T erzeugt;vgl.Beispiel1.1.25).
C (cid:2)
Definition1.1.9
SeiX eintopologischerRaum,x 2X undY (cid:3)X.DannheißtU (cid:3)X Umgebungvon
x bzw.Y,wenneseineoffeneMengeV inX gibtmitx 2V (cid:3)U bzw.Y (cid:3)V (cid:3)U.
MitU.x/undU.Y/bezeichnenwirdieMengeallerUmgebungenvonx bzw.Y.
Satz 1.1.10 Eine Teilmenge U eines topologischen Raumes X ist genau dann offen,
wennU UmgebungjedesPunktesx 2U ist. (cid:2)
Definition1.1.11
SeiX eintopologischerRaumundx 2 X.DannnennenwireineTeilmengeB.x/ (cid:3)
U.x/eineUmgebungsbasisvonx,wenneszujederUmgebungU vonxeinV 2B.x/
gibtmitV (cid:3)U.
Beispiel1.1.12
SeiX einmetrischerRaumundx2X.DannbildendieBälleB.x;1=n/,n2N,eineUmgebungs-
basisvonx.
4 1 ErsteSchritteindieTopologie
Definitionen1.1.13
SeiX eintopologischerRaum.
1. X erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom, wenn jeder Punkt in X eine abzählbare
Umgebungsbasisbesitzt.
2. X erfülltdaszweiteAbzählbarkeitsaxiom,wenndieTopologievonX eineabzähl-
bareBasisbesitzt.
Beispiel1.1.14
1) AllemetrischenRäumeerfüllendas1.Abzählbarkeitsaxiom,vgl.Beispiel1.1.12.
2) Der euklidische Raum2 Rn (mit der kanonischen, d.h. zur euklidischen Metrik assoziierten
Topologie)erfülltdas2.Abzählbarkeitsaxiom,denndieMengederoffenenBällemitrationalem
RadiusumPunktemitrationalenKoordinatenisteineabzählbareBasisderTopologie.
Definitionen1.1.15
SeiX eintopologischerRaumundY (cid:3)X.Dannheißtx 2X
1. Berührungspunkt von Y, falls jede Umgebung von x in X einen Punkt von Y
enthält. Die Menge Y der Berührungspunkte von Y heißt Abschluss oder abge-
schlosseneHüllevonY;
2. innererPunkt vonY,falls eseineUmgebungvonx inX gibt,dieinY enthalten
ist.DieMengeYV derinnerenPunktevonY heißtInneresoderoffenerKernvonY;
3. RandpunktvonY,fallsjedeUmgebungvonxinX PunktevonY undXnY enthält.
DieMengederRandpunktevonY heißtRandvonY,hiergeschriebenals@Y.
Satz1.1.16 SeiX eintopologischerRaumundY (cid:3)X.Danngilt:
1. Y istdiekleinsteabgeschlosseneTeilmengevonX,dieY enthält,undistdamitder
DurchschnittüberalleabgeschlossenenTeilmengenvonX,dieY enthalten.
2. YV ist die größte offeneTeilmenge von X, die in Y enthalten ist, und ist damitdie
VereinigungüberalleoffenenTeilmengenvonX,dieinY enthaltensind.
3. X nY D Inneres.X nY/und@Y D Y nYV. InsgesamtistdamitX diedisjunkte
VereinigungX DYV [@Y [.X nY/. (cid:2)
Definitionen1.1.17
SeiX eintopologischerRaumundY (cid:3)X.DannheißtY
1. dichtinX,fallsY DX,und
2. nirgendsdichtinX,fallsdasInnerevonY leerist.
Beispiele1.1.18
QistdichtinRundY WDf1=njn2NgundZsindnirgendsdichtinR.
2EuklidvonAlexandria(ca.360–280v.u.Z.)