Ein mechanisches Finite-Elemente-Modell des menschlichen Kopfes

126 Pages·1999·1.12 MB·German

Ein mechanisches
Finite-Elemente-Modell
des menschlichen Kopfes
Dissertation zur Erlangung des Grades
Dr. rer. nat.
der Fakult(cid:127)at fu(cid:127)r
Mathematik und Informatik
der Universit(cid:127)at Leipzig
eingereicht von
Dipl. Phys. Ulrich Hartmann
geboren am 11. August 1969 in Oberhausen
angefertigt im
Arbeitsbereich Neurologie
(AG Bild- und Signalverarbeitung)
Max-Planck-Institut fu(cid:127)r
neuropsychologische Forschung in Leipzig
betreut von
Herrn Dr. F. Kruggel
AG Bild- und Signalverarbeitung,
Max-Planck-Institut fu(cid:127)r
neuropsychologische Forschung in Leipzig
Beschlu(cid:25) u(cid:127)ber die Verleihung des Doktorgrades vom
17.05.1999
ii
Die Annahme der Dissertation haben empfohlen:
1. Prof.Dr.D.Y.vonCramon,Max-Planck-Institutfu(cid:127)rneuropsychologische
Forschung in Leipzig
2. Prof. Dr. D. Saupe, Universit(cid:127)at Leipzig, Institut fu(cid:127)r Informatik
3. Prof. Dr. H.S. Stiehl, Universit(cid:127)at Hamburg, Fachbereich Informatik
Bibliographische Beschreibung
Hartmann, Ulrich
Ein mechanisches Finite-Elemente-Modell des menschlichen Kopfes
Universit(cid:127)at Leipzig, Diss.,
112 S., 129 Lit., 43 Abb., 3 Tab.
In dieser Arbeit wird ein dreidimensionales Modell des menschlichen Kopfes
beschrieben, das es erlaubt, mit der Methode der Finiten Elemente mechani-
scheEin(cid:13)u(cid:127)sseaufdenKopfzumodellieren.EineexakteGeometriebeschreibung
einesindividuellenModellswirdauseinemKernspintomogrammdesKopfesge-
wonnen. Ausgehend von diesen medizinischen Bilddaten wird die diskrete Dar-
stellung des Kopfes als Verbund (cid:12)niter Elemente mit einem Gittergenerator
gewonnen. Dieser schnelle und stabile Algorithmus erm(cid:127)oglicht die Erstellung
von r(cid:127)aumlich hochaufgel(cid:127)osten Finite-Elemente-Repr(cid:127)asentationen des Sch(cid:127)adels
und interner neuroanatomischer Strukturen. Es besteht die Auswahl zwischen
anisotropen und isotropen Wu(cid:127)rfel- und Tetraedernetzen. Auf deren Basis wer-
den die dem physikalischen Geschehen zugrundeliegenden Di(cid:11)erentialgleichun-
gen mittels der Finite-Elemente-Methode numerisch gel(cid:127)ost. Die FE-Analysen
umfassen statische, dynamische und modale Simulationsrechnungen. Die zur
Durchfu(cid:127)hrung der Simulationen n(cid:127)otigen numerischen Verfahren wurden opti-
miertundaufeinerparallelenRechnerarchitekturimplementiert.Jederderoben
genannten Analysearten isteineklinisch-relevante Anwendung zugeordnet.Mit
der nichtlinearen statischen Analyse werden die mechanischen Konsequenzen
von Tumorwachstum untersucht, die dynamische Analyse dient dem Studium
der Auswirkungen von fokalen Gewalteinwirkungen auf den Kopf und die mo-
dale Analyse gibt Aufschlu(cid:25) u(cid:127)ber das Schwingungsverhalten des Kopfes. Die
Validierung des Modells wird durch den Vergleich von Simulationsergebnissen
mit experimentell ermittelten Daten erzielt.
iii
iv
Inhaltsverzeichnis
1 Einfu(cid:127)hrung 1
1.1 Motivation und Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Stand der Forschung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Vorverarbeitung 7
2.1 De(cid:12)nitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Segmentierung von MRT-Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Einfu(cid:127)hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Der ISODATA-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Neuroanatomische Objekte aus\dual echo\-Datens(cid:127)atzen . 14
2.3 Netzgenerierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Der Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3 Ergebnisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Die Methode der (cid:12)niten Elemente 27
3.1 Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Herleitung der Finite-Elemente-Gleichungen . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Das (cid:12)nite Wu(cid:127)rfelelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Die Verschiebungsinterpolationsmatrix H . . . . . . . . . 39
3.3.2 Die Verzerrungs-Verschiebungssmatrix B. . . . . . . . . . 39
3.3.3 Die MaterialmatrixC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.4 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Numerische Verfahren 45
4.1 Aufbau der Strukturmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Die Methode der konjugierten Gradienten . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.1 Einfu(cid:127)hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
v
vi INHALTSVERZEICHNIS
4.2.2 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.3 Skalierung und Vorkonditionierung . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.4 Parallelisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Die statische Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.1 Das Newton-Raphsonsche Schema . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Die modale Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.1 Das Lanczos-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5 Die dynamische Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.1 Die Newmarksche Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5 Anwendungen 69
5.1 Modellierung des Materialverhaltens . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.2 Festlegung der Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2 Dynamische Simulationsrechnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.1 Das Coup-Contrecoup-Ph(cid:127)anomen . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.2 Validierung des Kopfmodells I. . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.3 Okzipitale Krafteinwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.4 Ein(cid:13)u(cid:25) von Gehirnmembranen bei lateralen Schl(cid:127)agen . . 82
5.3 Modale Simulationsrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.1 Einfu(cid:127)hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.2 Validierung des Kopfmodells II . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.3 Rotation und Scherspannungen . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3.4 Die Di(cid:11)use Axonale Gehirnsch(cid:127)adigung (DAI) . . . . . . . 90
5.3.5 Eine hochfrequente Eigenmode des Gehirns . . . . . . . . 92
5.4 Nichtlinear-statische Simulationsrechnungen . . . . . . . . . . . . 93
5.4.1 Simulation eines Hirntumors . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Zusammenfassung 99
Literaturverzeichnis 112
Kapitel 1
Einfu(cid:127)hrung
1.1 Motivation und Konzept
Bei fast 70 % aller Autounf(cid:127)alle mit Personensch(cid:127)aden werden Sch(cid:127)adel und Ge-
hirn verletzt [1]. Entsprechend wichtig ist es fu(cid:127)r die Behandlung eines solchen
Sch(cid:127)adel-Hirn-Traumas wie auch fu(cid:127)r die Entwicklung geeigneter Schutzvorrich-
tungen,diephysikalischenAbl(cid:127)aufebesserzuverstehen,diezudenVerletzungen
fu(cid:127)hren.ZudemistdasStudiumvonstrukturellenVer(cid:127)anderungenimGehirnauf-
grund interner mechanischer Ein(cid:13)u(cid:127)sse (z.B. ex-vacuo Erweiterungen der Ven-
trikel, intrazerebrale Blutungen, Tumorwachstum) von hohem medizinischen
Interesse. Ein tiefere Einsicht in die Statodynamik des menschlichen Gehirns
kann die Weiterentwicklung heutiger Therapieformen beein(cid:13)ussen.
In der medizinischen Forschung gibt es seit langem histopathologische Fall-
studienundexperimentelleUntersuchungen, diesichmitdenMechanismenvon
Sch(cid:127)adel-Hirnverletzungen besch(cid:127)aftigen [2,3,4,5,6,7].Paralleldazuwurden in
den Ingenieur- und Computerwissenschaften Kopfmodelle entwickelt und gete-
stet, die den zeitlichen Verlauf von Verformungen des Kopfes infolge von me-
chanischen Belastungen mathematisch oder physikalisch zu fassen versuchen
[8, 9, 10, 11, 12].
Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird ein neues mechanisches Gehirn-
modell vorgestellt, das es erlaubt, die Auswirkungen sowohl interner als auch
externer mechanischer Ein(cid:13)u(cid:127)sse zu studieren.
In diesem Zusammenhang lassen sich einige medizinisch motivierte Fragen
formulieren,zuderenBeantwortungimVerlaufedieserArbeitbeigetragenwird:
1
2 KAPITEL 1. EINFU(cid:127)HRUNG
1. Wie breiten sich Deformationen und damit verbundene Spannungen im
Gehirn infolge externer Einwirkungen (Kr(cid:127)afte, Beschleunigungen) aus?
2. Welchestrukturellen Ver(cid:127)anderungen ergeben sichimGehirn aufgrund in-
terner raumfordernder Prozesse?
3. Welche physikalischen Gr(cid:127)o(cid:25)en sind m(cid:127)oglicherweise Indikatoren fu(cid:127)r eine
erh(cid:127)ohte Verletzungswahrscheinlichkeit von Gehirngewebe?
4. Welchen Ein(cid:13)u(cid:25) u(cid:127)ben bestimmte neuroanatomische Strukturen auf die
mechanische Systemantwort des Gehirns aus?
5. Welche M(cid:127)oglichkeiten der Modellvalidierung bestehen?
6. Was sind zuku(cid:127)nftige Entwicklungslinien des Gehirnmodells?
Um die oben aufgelisteten Fragen angehen zu k(cid:127)onnen, wird die aus der
Ingenieurwissenschaft stammendeMethode der Finiten Elemente (FEM) ange-
wandt,umdasmechanischeVerhaltendesmenschlichenKopfeszumodellieren.
ImerstenSchrittdesModellaufbausmu(cid:25)einemathematischeFormulierungdes
mechanischen Systems Kopf gefunden werden. Zu diesem Zweck wurde ein op-
timierter Netzgenerator entwickelt, der auf der Basis von Kernspintomogram-
men diskrete Finite-Elemente-Repr(cid:127)asentationen des menschlichen Kopfes er-
stellt (siehe Kapitel 2). In Kapitel 3 wird die Finite-Elemente-Methode (FEM)
allgemein aus dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen hergeleitet und an-
hand eines speziellen Elements ihre Methodik konkretisiert. Zur L(cid:127)osung der
FE-Gleichungssysteme, die als Folge der Diskretisierung des Objekts entste-
hen, existiert eine Vielzahl von numerischen Strategien. Die mathematischen
Grundlagen der Techniken, die zur Durchfu(cid:127)hrung von FE-Analysen implemen-
tiert wurden, werden in Kapitel 4 dargestellt. Besonderes Gewicht nimmt hier
die Methode der konjugierten Gradienten (Abschnitt 4.2) zur L(cid:127)osung von li-
nearenGleichungssystemenein.DaalleFE-AnalyseninnerhalbdesimRahmen
dieser Arbeit entwickelten Programmpakets auf sie zugreifen, ist ihre e(cid:14)ziente
Implementierung auf einer parallelen Rechnerarchitektur notwendig, um Simu-
lationsrechnungen mitr(cid:127)aumlichhochaufgel(cid:127)ostenFE-Netzenpraktikabelzuma-
chen. InKapitel5wirdfu(cid:127)rjede derdreigenannten FE-Analysenmethoden eine
Simulationsrechnung von klinischer Relevanz pr(cid:127)asentiert, und die Ergebnisse
des Modells werden validiert. Die Wahl der Materialparameter fu(cid:127)r Kopfgewe-
be wird an dieser Stelle in einem gesonderten Unterkapitel begru(cid:127)ndet (siehe
1.2. STAND DER FORSCHUNG 3
Abschnitt 5.1). In der abschlie(cid:25)enden Diskussion (Kapitel 6) werden u.a. Ent-
wicklungspfade aufgezeigt, die das Modell auf dem Weg zu einem klinischen
Werkzeug noch zuru(cid:127)ckzulegen hat.
Vor der Beschreibung des biomechanischen FE-Modells soll eine Zusam-
menstellung und kritische Wu(cid:127)rdigung bestehender Gehirnmodelle vorgenom-
men werden.
1.2 Stand der Forschung
Gehirnmodelle
physikalisch mathematisch
numerisch analytisch
2-dimensional 3-dimensional
Abbildung 1.1: Klassi(cid:12)zierung von Gehirnmodellen.
Die Entwicklung von mechanischen Gehirnmodellen ist seit mehr als 50
JahrenGegenstand derForschung. Allebisheutebekannten Modellek(cid:127)onnen in
mathematischeund physikalische unterteiltwerden (siehe Abb. 1.1).Physikali-
scheModellewerdenu.a.zurValidierungmathematischerModellierungstechni-
ken genutzt [13]. Die Untergruppe der mathematischen Gehirnmodelle gliedert
sich abh(cid:127)angig von der Wahl der mathematischen Methode in analytische und
numerische Modelle.
DieErstellungdeserstenanalytischenKopfmodellsimJahre1943wirdAn-
zelius [14] zugeschrieben. Er berechnete die zeitliche A(cid:127)nderung des Drucks in
einer kugelf(cid:127)ormigen (cid:13)u(cid:127)ssigen Masse, die einer Beschleunigung ausgesetzt war.
Seiner Analyse folgend wurde eine Reihe von einfachen Gehirnmodellen mit
elastischen und viskoelastischen Materialienberechnet [15,16,17].Exakte ma-
thematischeL(cid:127)osungen der Gleichungen, die dasEinwirken vonKr(cid:127)aften aufden
Kopfbeschreiben, k(cid:127)onnen jedoch nur bestimmtwerden, wenn die Kop(cid:11)ormals
4 KAPITEL 1. EINFU(cid:127)HRUNG
Kugel oder Ellipsoid idealisiert wird. Diese Restriktion und die Schwierigkeit,
Gehirnstrukturen zu beru(cid:127)cksichtigen, motivierte Mitte der Siebzigerjahre die
Einfu(cid:127)hrung numerischer Techniken zur approximativen L(cid:127)osung der das phy-
sikalische Geschehen beschreibenden Di(cid:11)erentialgleichungen. Shugar und Ka-
tona [18] wandten im Jahre 1975 die aus den Ingenieurwissenschaften stam-
mende Methode der (cid:12)niten Elemente an, um die Systemantwort zweidimen-
sionaler Kopfmodelle zu untersuchen. Der Sch(cid:127)adel wurde in ihrem Modell als
geschichtete Struktur angen(cid:127)ahert und das Gehirn als ideale Flu(cid:127)ssigkeit inter-
pretiert. Besonderer Nachdruck wurde auf die Untersuchung der aufgepr(cid:127)agten
Sch(cid:127)adeldeformationundderdarausresultierendenDruck(cid:127)anderungen imGehirn
gelegt. In zwei U(cid:127)bersichtsartikeln [19, 20], die den Fortschritt der Anwendung
der FE-Methode auf die Biomechanik des Kopfes in den Jahren von 1975 bis
1992 beschreiben, (cid:12)ndet man weitere zweidimensionale FE-Modelle (cid:127)ahnlicher
Zielrichtung.IhreGeometriebeschreibung beziehen diese 2D-Modelle aus sagit-
talen [21] oder koronaren [22] Schnitten durch das Gehirn, die entweder aus
einemanatomischenLehrbuch stammen[23]odervoneinembildgebenden Ver-
fahren (MRT, CT) geliefert werden [24]. Der Vorteil der Reduzierung des Pro-
blems auf zwei Dimensionen ist, mit der gleichen Anzahl von Elementen eine
imVergleichzueiner3D-Berechnung h(cid:127)ohereAu(cid:13)(cid:127)osung beimDiskretisieren des
Raumes (siehe Abschnitt 2.3) zu erreichen. Die Anzahl von Elementen fu(cid:127)r die
bisher zitierten Modelle bewegt sich in einem Bereich von200bis ca.2000.Ein
Nachteil zweidimensionaler Simulationsberechnungen ist zum einen, da(cid:25) ihre
Pr(cid:127)amisse-dieSymmetriedesGehirnsbezu(cid:127)glichderSchnittebene -nichterfu(cid:127)llt
istundzumanderenderorigin(cid:127)ardreidimensionalenNaturderAusbreitungvon
Deformationen im Kopf nicht Rechnung getragen werden kann.
Eines der ersten dreidimensionalen FE-Modelle, dessen Geometrie auf der
Vermessung eines realen Sch(cid:127)adels basiert, stellten Ward et al. [25] im Jahre
1975 vor. Aufgrund limitierender Faktoren wie Rechenzeit und Speicherkapa-
zit(cid:127)atsinddieErgebnissediesesModellsnumerischungenau.BeieinemVergleich
berechneter intrakranieller Druck(cid:127)anderungen mit gemessenen Werten, die von
Kadaverexperimenten herru(cid:127)hren, konnte jedoch gezeigt werden, da(cid:25) die Simu-
lationsergebnisse qualitativ stimmig sind [5]. In den letzten zehn Jahren wur-
densiebenweiteredreidimensionaleModelleentwickelt,diefu(cid:127)runterschiedliche
Fragestellungen konzipiert wurden. Liu [26] untersuchte Mechanismen von Ge-
hirnverletzungen mittels eines Modells, dessen Geometrie nur eine grobe Ver-
einfachungdesmenschlichenKopfesundseinerkomplexenStrukturendarstellt.