Die Theorie der Gruppen von Endlicher Ordnung: Mit Anwendungen auf Algebraische Zahlen und Gleichungen Sowie auf die Kristallographie

263 Pages·1927·9.6 MB·German

by  Andreas Speiser (auth.)

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BEROCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
GEMEINSAM MIT
W. BLASCHKE M. BORN C. RUNGEt
HAMBURG GOTTINGEN GOTTINGEN
HERAUSGEGEBEN VON
R. COURANT
GOTTINGEN
BAND V
GRUPPENTHEORIE
VON
ANDREAS SPEISER
ZWElTE AUFLAGE
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
1927
DIE
THEORIE DER GRUPPEN
VON ENDLICHER ORDNUNG
MIT ANWENDUNGEN
AUF ALGEBRAISCHE ZAHLEN UND GLEICHUNGEN
SOWlE AUF DIE KRISTALLOGRAPHlE
VON
ANDREAS SPEISER
ORD. PROFESSOR DER :11ATHEMATIK
ANDER UNIVERSITAT ZORICH
ZWEITE AUFLAGE
MIT 38 TEXTABBILDUNGEN
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
1927
ISBN 978-3-662-37734-5 ISBN 978-3-662-38551-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-38551-7
ALLE RECHTE, INSBESONDERE
DAS DER 0BERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN.
© SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG 1927
URSPRUNGLICH ERSCIDENEN BEI WLIUS SPRINGER IN BERLIN 1927
SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 2ND EDITION 1927
Vorwort zur ersten Auflage.
In ihren elementaren Teilen besteht die Gruppentheorie aus einer
Reihe vielleicht nicht immer vollig organisch zusammenhii.ngender
Methoden und Begriffe, und die Gliederung des Stoffes ist bier schon
in hohem MaBe festgelegt. W em unsere Darstellung etwas knapp er·
scheint, den verweisen wir zur Ergii.nzung auf die ausgezeichneten
und ausfiihrlichen Darstellungen von Weber (Algebra, Bd. 2) und von
Netto (Gruppen-und Substitutionentheorie, Leipzig 1908). Beim Studium
dieser Anfangsteile braucht man sich keineswegs streng an die Reihen·
folge der Paragraphen zu halten, sondern im allgemeinen werden die
ersten Paragraphen der einzelnen Kapitel Ieicht verstii.ndlich sein, die
spii.teren dagegen wesentlich schwerer.
Erst mit der Theorie der Substitutionsgruppen setzt eine weit
tragende und systematische Theorie ein, die, wie wir am SchluB zu
zeigen versuchen, noch lange nicht ausgeschopft ist. Sie kommt im
Grunde auf eine zahlentheoretische Behandlungsweise heraus, deren
Terminologie (Produkt, Multiplizieren usw.) ja b,ereits von Anfang an
erscheint.
Entsprechend dem Plane dieser Sammlung von Einzeldarstellungen
wurde den Anwendungen besondere Aufmerksamkeit gewidmet. Neben
mannigfaltigen algebraischen und zahlentheoretischen Sii.tzen kommt
bier in erster Linie die Kristallographie in Betracht. Diese besitzt ja
gegeniiber allen anderen Fallen des Gelingens mathematischer Natur
beschreibung den V orzug groBter begrifflicher Einfachheit und strengster
arithmetischer Prii.zision.
Bei der Durchsicht der Korrekturen haben mich die Herren Prof.
Dr. R. Courant, Prof. Dr. R. Fueter und Prof. Dr. G. Polya unterstiitzt
und auf manche Verbesserungen hingewiesen, wofiir ihnen hier aufs
beste gedankt sei.
Mein Dank gilt ferner meiner Frau, die mir bei der Herstellung
des Manuskriptes geholfen hat.
Zurich, im Dezember 1922.
A. Speiser.
Vorwort zur zweiten Auflage.
In dieser zweiten Auflage sind die Kapitel tiber Abelsche Gruppen
und die einleitenden Abschnitte tiber die Substitutionsgruppen aus
fiihrlicher gestaltet worden. Bei der groBen Bedeutung, welche die
Gruppentheorie in der Kristallographie gewinnt, schien es mir er
wiinscht, auch das entsprechende Problem der Ebenensymmetrien
darzustellen. Dabei gewahrte ich, daB diese Probleme schon von den
A.gyptern in ihrer Ornamentik gelost worden sind. Die Folgerungen
fiir die Geschichte der Mathematik habe ich in einem einleitenden
Abschnitt angedeutet. Ein weiterer einleitender Aufsatz behandelt die
Ableitung der Gruppen aus Gruppoiden, ein Problem, das wahrschein
lich an einzelnen Fallen auch schon im Altertum, mit der dialektischen
Methode, behandelt worden ist.
Die Lektiire dieses Buches kann ebensogut mit dem 6. oder
8. Kapitel, als mit dem ersten begonnen werden. Die Aufsuchung
samtlicher Symmetrien eines Ornamentes kann als beste Einfiihrung
in den Gruppenbegriff empfohlen werden, sie wird als methodisches
Hilfsmittel auch von den Kristallographen angewandt.
Auch sonst hat der Text im einielnen manche A.nderungen er
fahren, besonders durch die wertvolle Hilfe, welche mir von verschie
denen Kollegen zuteil geworden ist. Den ersten Teil, bis zu den
Substitutionsgruppen, hat Herr Privatdozent Dr. Bessel-Hagen einer
eingehenden Revision unterzogen, von deren Resultaten ich ausgiebig
Gebrauch gemacht habe. Fiir die Substitutionsgruppen verdanke ich
vor allem Herrn Prof. Dr. Fueter wichtige Hinweise. Beide Herren
sowie Herr J ]. Burckhardt haben mich bei der Durchsicht der
Korrekturen unterstiitzt, manche weiteren Fachgenossen haben rriir ihre
Bemerkungen mitgeteilt. Ihnen allen spreche ich auch an dieser
Stelle meinen Dank aus, ebenso der Verlagsbuchhandlung Julius Springer
fiir ihr groBes Entgegenkommen bei der Drucklegung.
Zurich, im August 1927.
A. Speiser.
lnhaltsverzeichnis.
Einleitung.
St>itt>
I. Zur Vorgeschichte der Gruppentheorie ...... . 1
II. Ableitung des Gruppenbegriffs aus den Permutationen 4
1. Kapitel.
Die Grundlagen.
~ 1. Die Postulate des Gruppenbegriffs 10
§ 2. Die Gruppentafel . 12
§ 3. Unterg.ruppen 14
§ 4. Zyklische Gruppen . . 16
§ 5. Beispiele von Gruppen 21
§ 6. Elemenfenkomplexe . . ::!5
2. Ka pi tel.
Normalteiler und Faktorgruppen.
§ 7. N ormalteiler . 28
§ 8. Faktorgruppen . . . . . . . . . 31
§ 9. Isomorphe Gruppen . . . . . . . il3
§ 10. Der Hauptsatz tiber Normalteiler 35
§ 11. Kompositionsreihen . 37
§ 12. Hauptreihen . . . . . . . . 40
§ 13. Kommutatorgruppen 42
§ 14. Ein Theorem von Frobenius . 44
3. Kapi te 1.
Abelsche Gruppen.
§ 15. Basis einer Abelschen Gruppe . . . . . . . • . • • • • 46
§ 16. Die Invarianten einer Abelschen Gruppe . . . . • . . . 50
§ 17. Untergruppen und Faktorgruppen einer Abelschen Gruppe 52
§ 18. Die Galoisfelder und Reste nach Primzahlpotenzen 54
§ 19. Existenz der Galoisfelder . . . . . . • . . . . . • . • 58
4. Ka pit e l.
Konjugierte Untergruppen.
§ 20. Normalisatoren . . . . . . . . . . . . . 61
§ 21. Zerlegung einer Gruppe nach zwei Untergruppen 62
5. K a pit e I.
Sylowgruppen und p-Gruppen.
§ 22. Sylowgruppen . . • . . . . • • . . . . . • . 64
§ 23. Normalisatoren der Sylowgruppen . . . . . . . 67
§ 24. Gruppen, deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist 69
§ 25. Spezielle p-Gruppen . . • . • . . . . . . . . 71
vm lnhaltsverzeichnis.
6. K ap i tel.
Symmetrien der Ornamente.
Seite
§ 26. Vorbemerkungen 77
§ 27. Die ebenen Gitter • • 78
~ 28. Die Streifenornamente 82
§ 29. Die Fliichenornamente 87
§ 30. Beispiele von Fliichenornamenten 92
§ 31. Die Bewegungsgruppen der Ebene mit endlichem Fundamentalbereich !lfi
7. Kapitel.
Die Kristallklassen.
§ 32. Die Raumgitter . 99
§ 33. Die Kristallklassen . 103
8. Kap it e 1.
Permutationsgruppen.
§ 34. Zerlegung der Permutationen in Zyklen . . . . 106
§ 35. Die symmetrische und alternierende Permutationsgruppe . 109
§ 36. Transitive und intransitive Permutationsgruppen . 111
§ 37. Darstellung von Gruppen durch Permutationen . 113
§ 38. Primitive und imprimitive Permutationsgruppen . 117
§ 39. Die Charaktere einer Permutationsgruppe . 120
9. K a pi tel.
Automorphismen.
§ 40. Automorphismen einer Gruppe . • . • • . . 121
§ 41. Charakteristische Untergruppen einer Gruppe • 126
§ 42. Vollstiindige Gruppen • . • • . . • . 127
§ 43. Automorphismen Abelscher Gruppen . • . 129
§ 44. Zerlegbare Gruppen . • • • . . . • . . 133
10. Kapitel.
Monomiale Gruppen.
§ 45. Monomiale Gruppen • . • • • • . . • • . • 137
§ 46. Herstellung siimtlicher monomialer Gruppen . 140
§ 47. Ein Satz von Burnside ...•.•.... . 141
11. Kapitel.
Darstellung der Gruppen durch lineare homogene Substitutionen.
§ 48. Substitutionen . • . • . . • • . • . . • • . . 145
§ 49. Substitutionsgruppen . . • • • . . . • . • • . 150
§ 50. Orthogonale und unitiire Substitutionsgruppen . 152
§ 51. Reduzible und irreduzible Substitutionsgruppen . 157
§ 52. Die Konstruktion silmtlicher invarianter Linearformen . 160
§ 53. Die Fundamentalrelationen der Koeffizienten irreduzibler Substi-
tutionsgruppen • • • • • . . . • . • • . • • . • . • • . • . . . 163
12. K apitel.
Gruppencharaktere.
§ 54. Aquivalenz von Substitutionsgruppen • . . . 168
§55. Weitere Relationen zwischen den Gruppencharakteren 170
§ 56. Die reguliire Darstellung einer Gruppe • • • • . . • 172
§ 57. Obersicht . • . • . • • . . • • • • • • . . . . . . 174
§ 58. Vollstiindige Reduktion der reguliiren Permutationsgruppe 177
§ 59. Einige Beispiele fUr die Darstellung von Gruppen • • • . 181
Inhaltsverzeichnis. IX
13. K a p it e l.
Anwendungen der Theorie der Gruppencharaktere. Seite
§ 60. Ein Satz von Burnside Uber einfache Gruppen • 190
§ 61. Primitive und imprimitive Substitutionsgruppen . . . . • . • 191
§ 62. Vollstandige Reduktion imprimitiver Gruppen • . . • . • • 195
§ 63. Ein Satz von Frobenius Uber transitive Permutationsgruppen 199
14. Kapitel.
Arithmetische Untersuchungen tiber Substitutionsgruppen.
§ 64. Beschrii.nkung auf algebraische Zahlkorper 202
§ 65. Gruppen im Korper der rationalen Zahlen 206
§ 66. Beziehungen zur Kristallographie . • . . 210
15. Kapitel.
Gruppen von gegebenem Grade.
§ 67. Die endlichen Substitutionsgruppen vom Grade n 213
§ 68. Der Satz von Jordan 215
§ 69. Substitutionen in Galoisfeldern 219
§ 70. Raumgruppen • • . . . . 225
16. K a pit e I.
Gleich ungstheorie.
§ 71. Die Lagrangesche Gleichungstheorie . . . 229
§ 72. Die Ga!oissche Gleichungstheorie . • • . . 232
§ 73. Anwendungen der allgemeinen Gruppentheorie • 237
§ 74. Die Kleinsche Gleichungstheorie 240
Schlu:t3 ..•.... 246
Namenverzeichnis. 248
Sachverzeichnis •. 249
Einleitung.
In dieser Einleitung babe ich zwei von einander unabhangige Auf
satze zusarnmengestellt, welche rnir zur Einfiihrung in die Gruppen
theorie geeignet erscheinen. Ich bemerke jedoch, daB die Kenn:tnis
ihres Inhaltes in der Folge nirgends vorausgesetzt wird, so daB der
Leser s1e ruhig iiberschlagen kann.
I. Zur Vorgeschichte der Gruppentheorie.
Lange bevor man sich mit Permutationen beschaftigte, sind mathe
matische Figuren konstruiert worden, die auf das engste mit der
Gruppentheorie zusammenhangen und nur mit gruppentheoretischen
Begriffen erfaBt werden konnen, namlich die regularen Figuren, welche
durch Bewegungen und Spiegelungen mit sich selbst zur Deckung ge
bracht werden konnen. Sie bilden einen Hauptgegenstand der alten
Mathematik bis zu der Zeit Euklids, soweit es sich urn hohere Mathe
matik handelt. Fiir Plato z. B. ist dies die unausgesprochene selbst
verstandliche Voraussetzung. Insbesondere hat die von den Griechen
viel bewunderte agyptische Mathematik zweifellos in der Auffindung
solcher Figuren bestanden. In den Nekropolen von Theben sind pracht
volle Exemplare dieser Geornetrie heute noch vorhanden, einige der
selben sind im 6. Kapitel reproduziert. Wahrend diese agyptischen
Ornamente rneist eiO:en sogenannten ,unendlichen Rapport" enthalten,
d. h. allseitig in der Ebene ins Unendliche fortgesetzt werden konnten,
beschranken sich die uns erhaltenen griechischen Schriften dieser Art
auf Figuren, welche ganz im Endlichen liegen und nur endlich viele
Syrnmetrien aufweisen, namlich auf die regularen Polygone und Po
lyeder. Das klassische W erk fiir dieses Gebiet der Mathematik bilden
die Elemente von Euklid. Es enthalt die vollstandige geometrische
und arithrnetische Theorie der regularen Dreiecke, Vierecke, Fiinf
ecke, Sechsecke und Fiinfzehnecke, sowie der fiinf regularen Korper,
deren Untersuchung Plato gefordert hatte, weil er sie fiir den Bau
der Atorne gebrauchte. Hierzu waren Untersuchungen iiber biquadra
tische Irrationalitaten erforderlich, sie sind in dem umfangreichen und
schwierigen 10. Buch enthalten. Das letzte Theorem des W erkes, im
13. Buch, gibt die fiir die Gruppentheorie fundamentale Konstruktion
Speiser, Gruppentheorie. 2. Aufl. 1