Desarrollo e Implementación de Algoritmos de Ramificación y Acotamiento para Resolución de ...

78 Pages·2003·0.37 MB·Spanish

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias F(cid:19)(cid:16)sicas y Matema(cid:19)ticas
Departamento de Ingenier(cid:19)(cid:16)a Matema(cid:19)tica
Desarrollo e Implementacio(cid:19)n de Algoritmos
de Rami(cid:12)cacio(cid:19)n y Acotamiento para
Resolucio(cid:19)n de Problemas Enteros
Cuadra(cid:19)ticos
(cid:19)
Alvaro Mois(cid:19)es Valdebenito Bustamante
Abril 2003
Universidad de Chile
Facultad de Ciencias F(cid:19)(cid:16)sicas y Matem(cid:19)aticas
Departamento de Ingenier(cid:19)(cid:16)a Matem(cid:19)atica
Desarrollo e Implementacio(cid:19)n de Algoritmos de
Rami(cid:12)cacio(cid:19)n y Acotamiento para Resolucio(cid:19)n de
Problemas Enteros Cuadr(cid:19)aticos
(cid:19) (cid:19)
ALVARO MOISES VALDEBENITO BUSTAMANTE
Comisio(cid:19)n Examinadora CALIFICACIONES
o
Nota(n ) (Letras) Firma
Profesor Gu(cid:19)(cid:16)a
Sr. Rafael Correa
Profesor Co-Gu(cid:19)(cid:16)a
Sr. Oscar Barrientos
Profesores Integrantes
Sr. Felipe A(cid:19)lvarez
Sr. Roberto Cominetti
Nota Final
Examen de T(cid:19)(cid:16)tulo
MEMORIA PARA OPTAR AL T(cid:19)ITULO DE
INGENIERO CIVIL MATEMA(cid:19)TICO
SANTIAGO DE CHILE
Abril 2003
RESUMEN DEL INFORME FINAL
PARA OPTAR AL T(cid:19)ITULO DE
INGENIERO CIVIL MATEMA(cid:19)TICO
POR: A(cid:19)LVARO VALDEBENITO B.
PROF. GU(cid:19)IA: SR. RAFAEL CORREA F.
Desarrollo e Implementacio(cid:19)n de Algoritmos de Rami(cid:12)cacio(cid:19)n
y Acotamiento para Resolucio(cid:19)n de Problemas Enteros
Cuadr(cid:19)aticos
El problema entero co(cid:19)ncavo separable, y en particular el problema de
asignacio(cid:19)n cuadra(cid:19)tica, cuentan con una amplia gama de aplicaciones, entre
estas se cuentan el problema del ma(cid:19)ximo clique, el de particio(cid:19)n de un grafo,
problemas en computacio(cid:19)n paralela y distribuida, y en ana(cid:19)lisis estad(cid:19)(cid:16)stico.
Este trabajo consta principalmente de dos partes ma(cid:19)s las conclusiones.
La primera, esta(cid:19) orientada al estudio y resolucio(cid:19)n de dos problemas, el pro-
blema entero co(cid:19)ncavo separable, que brinda la formulacio(cid:19)n necesaria para
el desarrollo teo(cid:19)rico general, y el problema entero bilineal con restricciones
bilineales, sobre el cual se hace una primera implementacio(cid:19)n computacional.
La segunda parte esta(cid:19) dedicada al problema de asignacio(cid:19)n cuadra(cid:19)tica, para
el cual se implementa una segunda experiencia computacional, tendiente a
aprovechar la estructura del problema que no es tomada en cuenta por su
formulacio(cid:19)n como problema entero bilineal con restricciones bilineales.
El m(cid:19)etodo utilizado para la resolucio(cid:19)n de cada uno de estos problemas,
es un algoritmo de rami(cid:12)cacio(cid:19)n y acotamiento, dicho algoritmo se basa dos
resultados expuestos en la primera parte de este trabajo, el primero es que
el dual de un problema continuo co(cid:19)ncavo separable sobre una regio(cid:19)n rectan-
gularresultaserlineal,elsegundoesunexcelentecandidatoapuntofactible
junto a una condicio(cid:19)n su(cid:12)ciente de optimalidad local.
En cuanto a las experiencias num(cid:19)ericas, teniendo en cuenta la comple-
jidad de los problemas estudiados (ambos NP-duros), los resultados para el
problema entero bilineal con restricciones bilineales, dada su generalidad,
resultan satisfactorios; mostrando as(cid:19)(cid:16) la versatilidad de la t(cid:19)ecnica empleda.
Mientras que para el problema de asignacio(cid:19)n cuadra(cid:19)tica, pese a estar bien
encaminado,lat(cid:19)ecnicautilizadatodav(cid:19)(cid:16)anolograexplotartodalaestructura
del problema.
AGRADECIMIENTOS
Dentro de lo posible, quisiera agradecer a quienes me ayudaron y apo-
yaron durante el desarrollo de este trabajo:
A Rafael Correa y Oscar Barrientos, sin su gu(cid:19)(cid:16)a este trabajo no existir(cid:19)(cid:16)a.
A Roberto Cominetti y Felipe A(cid:19)lvarez, por formar parte de la comisio(cid:19)n
examinadora. Oscar Barrientos, merece adema(cid:19)s mi agradecimiento por su
paciencia y dedicacio(cid:19)n. Al Departamento de Ingenier(cid:19)(cid:16)a Matema(cid:19)tica, Centro
de Modelamiento Matema(cid:19)tico y sus integrantes, por proveer de un excelente
ambiente de trabajo y estudio, y por permitirme ser parte de (cid:19)el.
A mis amigos Nelson Morales y Luis Rademacher, por su omnipresente
apoyo t(cid:19)ecnico. En particular quiero agradecer a Patricio Reyes, mi gran
amigo y compan~ero desde siempre, y a P(cid:19)(cid:16)a Villarroel (Moima), por su apoyo
y compan~(cid:19)(cid:16)a en la elaboracio(cid:19)n y revisio(cid:19)n de este trabajo, a quienes espero
nunca terminar de agradecer.
Finalmente, quiero agradecer a mis abuelos, a mi t(cid:19)(cid:16)o, a mi padre y a mi
madre, por el amor y el apoyo incondicional, no so(cid:19)lo ahora, sino siempre y
en cada paso de mi camino.
(cid:19)
Indice general
Introduccio(cid:19)n VIII
I Problema Entero Co(cid:19)ncavo Separable 1
1. Introduccio(cid:19)n 2
2. Solving Integer Separable Concave Problems 4
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Reducing the Duality Gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. A Branch & Bound Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1. The Branching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2. The Bounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3. Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4. Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5. Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Observaciones Parte I 25
3.1. Sobre el Teorema 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Gap por Relajacio(cid:19)n de Dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3. Resultados Num(cid:19)ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
v
II Problema de Asignacio(cid:19)n Cuadr(cid:19)atica 30
4. Introduccio(cid:19)n 31
4.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.1. Formulaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.2. Conjunto Factible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.3. Perturbaciones de la Funcio(cid:19)n Objetivo . . . . . . . . . 34
4.1.4. Relajaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2. Complejidad Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3. M(cid:19)etodos de Resolucio(cid:19)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.1. Algoritmos Exactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.2. Cotas Inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5. Resolucio(cid:19)n del Problema 42
5.1. Formulacio(cid:19)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.1. Problema de Asignacio(cid:19)n Cuadra(cid:19)tica . . . . . . . . . . 42
5.1.2. Forma Bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.3. Dual Lagrangeano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.1. Branching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.2. Bounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3. Resultados Num(cid:19)ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6. Observaciones Parte II 55
6.1. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2. Resultados Num(cid:19)ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III Conclusiones 58
7. Conclusiones 59
7.1. Consecucio(cid:19)n de Objetivos y Logros . . . . . . . . . . . . . . . 59
vi
7.2. Ideas para Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
vii
Introduccio(cid:19)n
Este trabajo se centra, a grandes rasgos, en el estudio y resolucio(cid:19)n me-
diante algoritmos de rami(cid:12)cacio(cid:19)n y acotamiento de tres problemas de op-
timizacio(cid:19)n entera, los que son estudiados bajo distintas o(cid:19)pticas y resueltos
con diversas (cid:12)nalidades. Estos problemas son:
El problema entero co(cid:19)ncavo separable.
El problema entero bilineal con restricciones bilineales.
El problema de asignacio(cid:19)n cuadra(cid:19)tica.
Estostresproblemasseencuentranendiversasa(cid:19)reasconnumerosasapli-
caciones, lo que hace necesario contar con m(cid:19)etodos para su resolucio(cid:19)n, pero
desde el punto de vista de la complejidad computacional, resultan ser NP-
duros, por lo que es poco probable el encontrar un algoritmo que sea capaz
de resolverlos en tiempo polinomial, lo que hace au(cid:19)n ma(cid:19)s atractivo el tema
de la implementacio(cid:19)n de algoritmos para su resolucio(cid:19)n.
El problema entero co(cid:19)ncavo separable, por su generalidad, sirve como
una plataforma perfecta para el desarrollo de las herramientas teo(cid:19)ricas que
posibiliten generar un algoritmo, permitiendo la resolucio(cid:19)n de una amplia
gama de problemas, sin embargo, su gran generalidad imposibilita la imple-
mentacio(cid:19)n de dicho algoritmo.
El problema entero bilineal con restricciones bilineales, un caso particu-
lar del problema anterior, es lo su(cid:12)cientemente general para implementar
el algoritmo mencionado anteriormente. Sin embargo, no cuenta con aplica-
ciones modeladas directamente en esta forma, lo que di(cid:12)culta la evaluacio(cid:19)n
directa del algoritmo mediante pruebas num(cid:19)ericas, por lo que esta se debe
realizar indirectamente aplicando el algoritmo a algunos casos particulares
como el problema de la mochila, el de asignacio(cid:19)n cuadra(cid:19)tica o el del ma(cid:19)ximo
corte.
viii
Por su parte, el problema de asignacio(cid:19)n cuadra(cid:19)tica, resulta ser uno de
los problemas ma(cid:19)s dif(cid:19)(cid:16)ciles de resolver dentro de la optimizacio(cid:19)n combina-
torial y posee una estructura dada por las restricciones de asignacio(cid:19)n que
la formulacio(cid:19)n como problema entero bilineal con restricciones bilineales no
aprovecha. Adema(cid:19)s cuenta con una amplia gama de aplicaciones pra(cid:19)cticas
y una base de datos de problemas de prueba ampliamente difundida.
De forma general, este trabajo pretende estudiar los problemas descritos
anteriormente para proponer un m(cid:19)etodo para su resolucio(cid:19)n, ma(cid:19)s espec(cid:19)(cid:16)(cid:12)ca-
mente, desarrollar un algoritmo de rami(cid:12)cacio(cid:19)n y acotamiento para la reso-
lucio(cid:19)n del problema entero co(cid:19)ncavo separable e implementar dicho m(cid:19)etodo
para el problema entero bilineal con restricciones bilineales. Adema(cid:19)s, se pre-
tende desarrollar e implementar un algoritmo espec(cid:19)(cid:16)(cid:12)co para la resolucio(cid:19)n
del problema de asignacio(cid:19)n cuadra(cid:19)tica que tome en cuenta su estructura.
El presente trabajo se encuentra dividido en tres grandes partes. La
primera de ellas se centra en el problema entero co(cid:19)ncavo separable. La se-
gunda parte se enfoca en el problema de asignacio(cid:19)n cuadra(cid:19)tica y (cid:12)nalmente
la tercera parte da cuenta de las conclusiones.
La primera parte, consta de dos cap(cid:19)(cid:16)tulos ma(cid:19)s una introduccio(cid:19)n. En el
Cap(cid:19)(cid:16)tulo 2 se presenta un art(cid:19)(cid:16)culo realizado en conjunto con O. Barrientos,
R. Correa y P. Reyes1. Un resultado de este trabajo muestra que el dual
de un problema continuo co(cid:19)ncavo separable sobre una regio(cid:19)n rectangular
es un problema lineal (Teorema 2.2.1). Luego, se propone un algoritmo de
rami(cid:12)cacio(cid:19)n y acotamiento para la resolucio(cid:19)n del problema entero co(cid:19)nca-
vo separable, en el que se utiliza dualidad lagrangeana para obtener cotas
superiores e inferiores, reduciendo localmente el salto de dualidad mediante
la rami(cid:12)cacio(cid:19)n.
En el Cap(cid:19)(cid:16)tulo 3 se exponen distintas observaciones sobre el art(cid:19)(cid:16)culo
presentado en el cap(cid:19)(cid:16)tulo anterior, y en particular, una en la que se estudia
la relajacio(cid:19)n continua de una subregio(cid:19)n y su aporte a la diferencia entre el
valoro(cid:19)ptimodelproblemaenteroenlasubregio(cid:19)nylacotaobtenidamediante
el Teorema 2.2.1.
La segunda parte, consta de tres cap(cid:19)(cid:16)tulos. A lo largo del Cap(cid:19)(cid:16)tulo 4 se
introduce el problema de asignacio(cid:19)n cuadra(cid:19)tica, mientras que en el Cap(cid:19)(cid:16)tulo
5sedetallaun m(cid:19)etododerami(cid:12)cacio(cid:19)nyacotamiento para abordarestepro-
blemabasadoenelTeorema2.2.1.EnelCap(cid:19)(cid:16)tulo6seincluyenobservaciones
sobre distintos elementos tratados en esta parte del trabajo.
1Esteart(cid:19)(cid:16)culohasidoaceptadoparapublicacio(cid:19)nen\Computational Optimization and
Applications".
ix
Finalmente la en la tercera parte, en el Cap(cid:19)(cid:16)tulo 7, se presentan las con-
clusiones, logros obtenidos e ideas para trabajos futuros, correspondientes a
las dos primeras partes del trabajo.
x