Derivate, Arbitrage und Portfolio-Selection: Stochastische Finanzmarktmodelle und ihre Anwendungen

447 Pages·2002·17.91 MB·German

by  Prof. Dr. Wilfried Hausmann

W. Hausmann, K. Diener, J. Kasler
Derivate, Arbitrage und
Portfolio-Selection
Aus dem Programm ______________ ___
Finanzmathematik
Finanzmathematik fiir Einsteiger
Eine Einfuhrung fur Studierende, Schiiler und Lehrer
von M. Adelmeyer und E. Warmuth
Einfiihrung in die Finanzmathematik
Klassische Verfahren und neuere Entwicklungen:
Effektivzins-und Renditeberechnung,
Investitionsrechnung, Derivative Finanzinstrumente
von J. Tietze
Ubungsbuch zur Finanzmathematik
Aufgaben, Testklausuren und Losungen
von J. Tietze
Ubungsbuch zur Finanzmathematik
Aufgaben und Losungen mit Effektivzinssatzberechnung,
Renten und AnnuWiten
von J. Herzberger
Derivate, Arbitrage und
Portfolio-Selection
Stochastische Finanzmarktmodelle
und ihre Anwendungen
von W. Hausmann, K. Diener und J. Kasler
Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung
Moderne Methoden der Finanzmathematik
von R. und E. Korn
vieweg ________________
~
Wilfried Hausmann
Kathrin Diener
Joachim Kasler
Derivate, Arbitrage
und
Portfolio-Selection
Stochastische Finanzmarktmodelle
und ihre Anwendungen
~
vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz flir diese Publikation ist bei
Der Deutschen Bibliothek erhliltlich.
Prof. Dr. Wilfried Hausmann
Fachhochschule GieBen-Friedberg
Fachbereich Mathematik, Naturwissenschaften und Datenverarbeitung
Wilhelm-Leuschner-Str. 13
61169 Friedberg
E-Mail: [email protected]
Dr. Kathrin Diener
ING BHF-BANK
Financial Engineering
Bockenheimer LandstraBe 10
60323 Frankfurt am Main
E-Mail: [email protected]
Dr. Joachim Kasler
ING BHF-BANK
Financial Engineering
Bockenheimer LandstraBe 10
60323 Frankfurt am Main
E-Mail: [email protected]
1. Auflage Oktober 2002
Aile Rechte vorbehaIten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden, 2002
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UmschlaggestaItung: U1rike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Gedruckt auf sliurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN-13: 978-3-528-03169-5 e-ISBN-13: 978-3-322-80223-1
DOl: 10.1007/978-3-322-80223-1
v
Vorwort
Wovon handelt dieses Buch? Hauptanliegen ist eine grundliche einfuhrende
Darstellung der Prinzipien und Methoden der Derivatebewertung und der damit zusam
menhangenden Absicherungsstrategien (Hedging), wobei groBer Wert darauf gelegt wird,
dass das fundament ale Prinzip der arbitragefreien Bewertung immer klar erkennbar ist -
beginnend bei den ersten elementaren Arbitrageargumenten uber diskrete Modelle und
das Black-Scholes-Modell bis hin zu allgemeinen stetigen Modellen. Verbunden ist diese
Darstellung mit einer elementaren Einfuhrung in die Welt der Derivate - von Termin
kontrakten und einfachen Call- und Put-Optionen europaischen Typs zu amerikanischen
Optionen und vielfaltigen Exoten sowie strukturierten Produkten. Vorneweg - je nach
Sichtweise als Basiswissen oder sinnvolle Erganzung - enthalt das Buch zusatzlich eine
Darstellung der thematisch verwandten "klassischen" Portfolio-Selection-Theorie.
Fiir wen 1st das Buch gedacht? Die zunehmende Verbreitung von Derivaten
hat einen neuen Beruf erzeugt, den des Financial Engineers. Dessen Aufgabe ist es, neue
Finanzprodukte mit fur die Kunden maBgeschneiderten Profilen zu entwickeln und zu
bewerten, die dam it verbundenen Risiken aufzuzeigen und ebenfalls zu bewerten, sowie
Strategien der Risikobegrenzung zu entwickeln und umzusetzen - eine ideale Aufgabe fur
einen Mathematiker, der sich in der Theorie stochastischer Prozesse gut auskennt, sofern
er auch die praktischen Aspekte und die mit der Anwendung einer Theorie notwendig
verbundenen Kompromisse beherrscht. Vielleicht ist aber auch derjenige fur diese Tatig
keit bestens geeignet, der in der Finanzwelt zu Hause ist und der sich die Mathematik
soweit aneignet, dass er die Grundideen versteht und den technischen Umgang mit den
Modellen beherrscht.
Wie dem auch sei: Die -angehenden und auch die bereits aktiven "Finanzinge
nieure" bilden eine Kernzielgruppe des Buches. Eine weitere sind Studierende der Ma
thematik und der Wirtschaftswissenschaften einer Universitat, Fachhochschule oder ahn
lichen, aber privaten Institution. Mit diesen Gruppen sollte der Leserkreis aber nicht
erschopft sein. Das Buch richtet sich an aIle, die ein vertieftes Verstandnis des The
mengebiets anstreben - sei es als Einsteiger oder auch als Fortgeschrittene (dies wird
weiter unten genauer erlautert). Als Voraussetzung sind lediglich solide Grundstudiums
kenntnisse in Mathematik erforderlich, so wie sie in den meisten wirtschaftlichen oder
technisch-naturwissenschaftlichen Studienfachern gelehrt werden. Spezialkenntnisse in
z.B. Finanzmathematik oder maBtheoretischer Wahrscheinlichkeitstheorie sind nicht er
forderlich. Auch spezielles Bankfachwissen wird nicht vorausgesetzt.
Besonderheiten? Der Umgang mit der Mathematik und die sich daraus erge
benden Moglichkeiten fUr die Leser sind eine wichtige Besonderheit des Buches. Urn dies
zu erlautern, ist es sinnvolI, etwas weiter auszuholen.
"Wie viel Mathematik solI die Darstellung enthalten?" und "Welche Kenntnis
se sollen vorausgesetzt werden?" sind Fragen, mit denen sich jeder Autor auseinander
setzen muss, der ein Buch uber Derivatebewertung schreiben will. Denn eine besondere
Schwierigkeit, aber auch ein besonderer Reiz dieser Thematik liegt in dem Aufeinander
treffen von Finanzwelt und anspruchsvoller Mathematik. "Die Anforderungen der Praxis
VI Vorwort
an die Mathematik sind trivial oder unIOsbar." ist ein gangiger Spruch unter (zum Under
statement neigenden) Mathematikern, die Anwendbarkeit ihrer Wissenschaft betreffend.
Aber hier liegt eine der (natUrlich gar nicht so seltenen) Ausnahmen vor. Prozent- und
Zinsrechnung, die nach landlaufiger Ansicht die Finanzmathematik ausmachen, reichen
namlich fUr die Derivatebewertung nicht aus. Urn zu Optionspreisen zu gelangen, wird
die Theorie stochastischer Prozesse eingesetzt, die ursprUnglich ausgehend von physika
lischen Ftagestellungen im Zusammenhang mit der Bewegung molekular kleiner Teilchen
in FIUssigkeiten und Gasen entwickelt wurde.
Bei der Ftage, inwieweit es fUr eine Darstellung der Derivatebewertung erfor
derlich ist, auf die mathematische BegrUndung der Theorie der arbitragefreien Preise
einzugehen, scheiden sich die Geister. Entsprechend kann die vorhandene Literatur Uber
wiegend grob in zwei Kategorien eingeteilt werden. Da sind zum einen die leichter zu
ganglichen eher praxisbezogenen oder strikt okonomisch orientierten BUcher, die die ab
strakte Mathematik moglichst vermeiden, und zum anderen die mathematisch strengen
Abhandlungen, die einen theoretischeren Charakter haben und erhebliche mathemati
sche Vorbildung verlangen. Welcher Kategorie ein Buch zuzuordnen ist, kann man leicht
daran erkennen, wie oft der Begriff "Martingal" in ihm vorkommt. Kommt er so gut wie
nicht vor, hat man es mit einem Buch zu tun, das die rigorosen mathematischen Aspekte
ausklammert.
Dieses Buch versucht einen Kompromiss zwischen den beiden Ansatzen zu fin
den, oder besser gesagt, es Uberlasst es den Lesem, den jeweils individuell passenden
Standpunkt einzunehmen. Es erlaubt den Lesem auch, ihren Standpunkt nachtraglich
zu andern. Es sollte durchaus moglich sein, beim erst en Durchlesen mit wenig Mathema
tik zu einem durchaus passablen Verstandnis des Black-Scholes-Modells zu gelangen, urn
dann spater die vielleicht bei der LektUre weiterfUhrender Literatur oder der Konfronta
tion mit einer fortgeschrittenen Fragestellung aufgefallenen Lucken durch einen erneuten
Blick in dieses Buch zu schlieBen.
Ein unabdingbarer Bestandteil des Verstehens des Prinz ips der arbitragefreien
Bewertung dUrfte das Verstandnis der endlichen Baummodelle sein. Diese werden in
den den Kapiteln 5 und 6 ausfiihrlich und elementar erortert. Der Spezialfall der Bino
mialmodelle filhrt mit Hilfe der Cox-Ross-Rubinstein-Modelle Uber einen Grenzprozess
bereits zum Black-Scholes-Modell. Dieser Weg der Annaherung reicht aus, um das stetige
Black-Scholes-Modell in einfacher Form zu verstehen und Standardoptionen zu bewerten.
Bewegt man sich aber auf exotische Optionen und Zinsderivate zu, benotigt man ein et
was breiteres Verstandnis. Aufgrund der Erlauterung der endlichen Modelle und der dort
schon vorgestellten Begriffsbildungen konnen diese allgemeinen Prinzipien in Kapitel 9 in
Ergebnisform vorgestellt und in den dann folgenden beiden Kapiteln benutzt werden. 1st
man soweit gekommen, beherrscht man schon weitgehend die Tastatur der Derivatebe
wertung -deckt die mathematische Basis der stetigen Modelle aber noch ilberwiegend nur
durch Plausibilitatsbetrachtungen abo Wem das nicht genUgt - und dem anspruchsvollen
Financial Engineer sollte das auf Dauer nicht genilgen - der findet im letzten Kapitel
den Einstieg in diese nicht ganz zu Unrecht als ziemlich technisch und abstrakt verrufe
ne Welt. Durch die vorangegangen Kapitel sollten die Leser auf die Ftagestellungen des
Kapitels schon eingestimmt sein. Viele Begriffe sind bereits durch die diskreten Modelle
bekannt oder konnen mit Hilfe von ihnen veranschaulicht werden. Sofern die Bereitschaft
besteht, sich auf die mathematische Sicht einzulassen, sollte man mit diesem Kapitel die
Vorwort VII
folgenden Ziele erreichen konnen:
• Man erlernt die Sprache der Martingaldarstellung und versteht die Aus
sagen der fundamentalen Ergebnisse. Auf diese Weise wird man in die Lage
versetzt, die Originalliteratur zu lesen, in der in vielen Fallen die Martingalsprache
benutzt wird (auch in anwendungsorientierten Artikeln).
• Die gewonnene Sicherheit im Umgang mit der Theorie erlaubt eine souveriine
eigenstiindige Tatigkeit als Financial Engineer.
• Man erlangt das erforderliche Basiswissen zum Einstieg in die mathematisch
orientierte Literatur.
Der letzte Punkt mag etwas ernuchternd klingen: Nur der Einstieg und nicht die
komplette Theorie? Ja, so ist es, die mathematische Spezialliteratur wird dadurch nicht
uberflussig. Aber gerade dieser Einstieg ist fur den Nichtspezialisten in MaBtheorie und
mathematischer Wahrscheinlichkeitstheorie haufig unendlich schwer. Wie oft mag es wohl
schon passiert sein, dass jemand, der eigentlich schon mit Derivaten vertraut war, sich
voller Schwung und Lernbereitschaft eines(n) der "Martingal"-Bucherj-Artikel vornahm,
urn sich dann zu fuhlen wie ein Kletterer am FuB einer senkrechten Wand ohne Griffe?
Und warum ist dieser Einstieg so schwer? Weil Spezialabhandlungen von Spe
zialisten fur Spezialisten geschrieben werden. Da ist keine Zeit und auch kein Platz (und
auch nicht unbedingt ein Wille), die Grundlagen ausfuhrlich darzustellen. Die kennen
schlieBlich die Spezialisten und werden deshalb allenfalls am Anfang knapp zusammen
gefasst. Genau da ist der Ansatzpunkt unseres letzten Kapitels: Eben diese Grundlagen
werden dort vergleichsweise ausfuhrlich dargestellt und illustriert, wohingegen die spate
ren Hauptergebnisse vor allem in ihrer Aussage diskutiert werden. Auf die in der Spezi
alliteratur (zu Recht!) die Seiten fullenden Beweise gehen wir nur punktuell ein. Urn bei
dem obigen alpinen Bild zu bleiben: Das letzte Kapitel solI so etwas wie ein "gesicherter
Klettersteig" durch die "Wand der Martingaltheorie in der Finanzwelt" sein, der - so ist
zu hoffen - es vielen Nichtkletterern erlauben wird, sich sicher in der Wand zu bewegen.
Auf zwei weitere besondere Aspekte dieses Buches solI an dieser Stelle hinge
wiesen werden. Der erste ist die Darstellung der Beziehung zwischen der Mathematik
und der eigentlich interessierenden Anwendung. Es wird durchgehend versucht, bei den
mathematischen Beweisen und Begriffsbildungen den Bezug zu der zugrunde liegenden
Fragestellung der Anwendung nicht aus den Augen zu verlieren. Als Beispiele hierzu seien
an dieser Stelle auf die Herleitung des Fundamentallemmas der Wertpapierbewertung fur
endliche Einperiodensysteme (siehe Seite 121ff) und die Einfuhrung der Handelsstrategi
en im stetigen Fall (Abschnitt 12.4.3) verwiesen. Der zweite Aspekt betrifft die Diskussion
der Praktikabilitat der dargestellten theoretischen Ergebnisse, die an zahlreichen Stellen
in Form von Bemerkungen oder eigenen Abschnitten erfolgt (s. z.B. Abschnitt 6.2.3).
Dieses Buch hat drei Autoren und ich mochte an dieser Stelle meinen beiden Ko
autoren Kathrin Diener und Joachim Kasler fur ihre engagierte Mitarbeit ganz herzlich
danken. Die Kapitel 4 und 11 bzw. 3 und 10 wurden weitgehend von ihnen erstellt und
die Uberarbeitung des gesamten Textes wurde von uns dreien gemeinschaftlich durch
gefuhrt. Danken mOchte ich daruber hinaus Hanns-Jurgen Roland, ohne den diese Au
torengemeinschaft wohl nicht zusammen gefunden hatte. Ein besonderer Dank gebuhrt
Ulrike Schmickler-Hirzebruch yom Vieweg-Verlag, auf deren Initiative es zuruckzufuhren
VIII Vorwort
ist, dass aus einer vorhandenen vagen Idee ohne konkreten Zeithorizont ein reales Buch
projekt wurde. Auch all denjenigen sei herzlich gedankt, die daran mitgeholfen haben,
die Anzahl der Schreib-, Rechen- und sonstigen Fehler in diesem Buch zu reduzieren.
Hier mOchte ich insbesondere meine beiden ehemaligen Diplomanden Alexandra Hoff
und Markus Belz BOwie Herrn Walter Scheuer yom Vieweg-Verlag erwiihnen. SchlieBlich
- last und iiberhaupt nicht least - danke ich meiner Frau Kerstin und meinen beiden
Sohnen Markus und Gordon fiir das mir gegeniiber aufgebrachte Verstiindnis fiir den mit
dem Buchschreiben verbundenen Zeitaufwand BOwie das Erdulden meiner vielleicht nicht
immer so guten Laune, wenn das Projekt sich einmal nicht so ganz planmiiBig entwickelte.
... und noch eine Entschuldigung: Wie in vielen anderen Bereichen auch ist die
Sprache der Derivatewelt durchsetzt mit englischen Fachausdriicken, deren Obersetzung
ins Deutsche in der tiiglichen Praxis kaum gebraucht wird oder noch nicht einmal exi
stiert. Die Folge hiervon ist ein deutsch-englisches KauderweIsch, das Sprachiistheten
erschauern lassen miisste. Die Autoren dieses Buches sind sich dessen bewusst, konnten
und wollten sich im Sinne der Praxisniihe diesem Sprachgebrauch aber nicht entziehen.
Wo immer moglich haben wir allerdings bei neu eingefiihrten Begriffen sowohl die deut
sche aIs auch die englische Form angegeben und auch in der Folge nicht nur die iiblichere
englische benutzt. So moge man uns gelegentliche Formulierungen wie ein Call mit
II'''
Strike K auf das Underlying ... " verzeihen.
im Juni 2002 Wilfried Hausmann
IX
Inhaltsverzeichnis
1 Einfilhrung 1
2 Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) 6
2.1 Portfolio-Selection. . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Die Beurteilung einzelner Anlageformen 7
2.1.2 Effiziente Portfolios .......... 14
2.1.3 Die Ermittlung der effizienten Menge. 23
2.2 Risikoloses Leihen und Verleihen 25
2.2.1 Die risikolose Anlageform Af 25
2.2.2 Risikoloses Leihen . . . 27
2.3 Ein Einfaktor-Marktmodell 33
2.3.1 Ein Marktmodell . . . . 33
2.3.2 Der EGP-Algorithmus . 37
2.4 Der Gleichgewichtszustand 39
2.4.1 Das universelle Separationstheorem fur vollkommene Kapitalmarkte 39
2.4.2 Das Marktportfolio und die Kapitalmarktlinie. . . . . . . . . . .. 40
2.5 Risikobehaftete Wertpapiere und die Fundamentalgleichung des CAPM 42
2.5.1 Die Fundamentalgleichung und die Wertpapiermarktgerade 42
2.5.2 Anlagestrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
3 Arbitrage und elementa re Derivatebewertung 49
3.1 Arbitrage und Beinahe-Arbitrage . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1 Arbitrageportfolios.................. 49
3.1.2 Beinahe-Arbitrage und die Arbitrage-Preistheorie . 52
3.2 Elementare Derivate 57
3.2.1 Termingeschafte 58
Grundbegriffe . . 58
Marktteilnehmer 60
Kreditrisiken aus Derivaten 62
3.2.2 Futures . . . . . . . . . . . 63
Grundlegendes . . . . . . . 63
Clearingstellen und Market-Maker 65
Margins. . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Arbitragefreie Terminpreise . . . . . . 69
3.3.1 Einige finanzmathematische Begriffe und Systemvoraussetzungen 69
Zinsen, insbesondere stetige Verzinsung 69
Der Barwert einer Zahlungsreihe . . . . . . . . . . . 71
Leerverkauf und Wertpapierleihe . . . . . . . . . . . 72
Systemvoraussetzungen und Standardbezeichnungen 73
3.3.2 Forwardpreise................. 74
3.3.3 Bewertung von laufenden Termingeschaften . . . . . 78
x Inhaltsverzeichnis
3.3.4 Futurepreis = Forwardpreis 79
3.3.5 Spezielle Terminkontrakte 81
Futures auf Aktienindizes 81
Devisentermingeschafte . 82
Zinstermingeschafte ... 83
3.3.6 Aspekte von Warentermingeschaften 83
Cost-Of-Carry ........... . 84
3.3.7 Forwardpreis vs. Erwartungswert des zukfinftigen Preises 84
4 Optionen 86
4.1 Grundlegendes zu Optionen . . . . . . . . . . . 86
4.2 Eigenschaften von Optionspreisen ....... 90
4.2.1 Grundsatzliche Annahmen und Notationen 90
4.2.2 Faktoren, die den Optionspreis beeinflussen 91
4.2.3 Schranken ffir Optionspreise. . . . . . . . . 94
4.2.4 Optimaler Ausfibungszeitpunkt und Preisgrenzen bei amerikani-
schen Optionen . 96
4.2.5 Put-Call-Paritat ......... . . . . . . . . . 100
4.3 Optionsstrategien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.1 Strategien mit einer Option und dem Underlying 103
4.3.2 Spreads . . . 105
Bull-Spread . . . 105
Bear-Spread. . . 106
Butterfly-Spread 107
Tim&Spread . . 107
Weitere Spreads 108
4.3.3 Kombinationen 109
Straddle . . . . 109
Strangle . . . . 111
4.4 Fazit und Ausblick 112
5 Endllche arbltragefreie Systeme 114
5.1 Arbitragefreie Einperiodensysteme 115
5.1.1 Das Einperioden-Binomialmodell 116
5.1.2 Allgemeine Einperiodensysteme . 121
5.2 Ein einfaches Mehrperiodensystem . 128
5.3 Arbitragefreie Mehrperiodensysteme 132
5.3.1 Der Systemrahmen . . . . . . . . 132
5.3.2 Selbstfinanzierende Handelsstrategien 134
5.3.3 Charakterisierung arbitragefreier Systeme 135
5.4 Vollstandige arbitragefreie Mehrperiodensysteme 140
5.4.1 Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . 140
5.4.2 Binomialmodelle............ 143
5.5 Mathematische Gestaltungsmoglichkeiten 143
5.5.1 Die zugeMrige Baumdarstellung 143
5.5.2 Numeraire und Diskontierung '. 145
Numerairewechsel ........ 149