Das BUCH der Beweise PDF
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Martin Aigner · Günter M. Ziegler Das BUCH der Beweise 4. Aufl age MartinAigner GünterM.Ziegler Das BUCH der Beweise VierteAuflage Martin Aigner Günter M. Ziegler Das BUCH der Beweise Vierte Auflage MitZeichnungenvonKarlH.Hofmann MartinAigner GünterM.Ziegler FreieUniversitätBerlin FreieUniversitätBerlin Berlin,Deutschland Berlin,Deutschland ISBN978-3-662-44456-6 ISBN978-3-662-44457-3(eBook) DOI10.1007/978-3-662-44457-3 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbib- liografie;detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum (cid:2)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2002,2004,2010,2015 DiesesWerkisturheberrechtlichgeschützt.DiedadurchbegründetenRechte,insbesonderedie derÜbersetzung,desNachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenundTabel- len,derFunksendung,derMikroverfilmungoderderVervielfältigungaufanderenWegenund derSpeicherunginDatenverarbeitungsanlagen,bleiben,auchbeinurauszugsweiserVerwer- tung,vorbehalten.EineVervielfältigungdiesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesistauch imEinzelfallnurindenGrenzendergesetzlichenBestimmungendesUrheberrechtsgesetzes derBundesrepublikDeutschlandvom9.September1965inderjeweilsgeltendenFassungzu- lässig.Sieistgrundsätzlichvergütungspflichtig.ZuwiderhandlungenunterliegendenStrafbe- stimmungendesUrheberrechtsgesetzes. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesem WerkberechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNa- menimSinnederWarenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwä- renunddahervonjedermannbenutztwerdendürften. Einbandentwurf:deblik,Berlin GedrucktaufsäurefreiemPapier SpringerSpektrumisteineMarkevonSpringerDE.SpringerDEistTeilderFachverlags- gruppeSpringerScience+BusinessMedia www.springer-spektrum.de Vorwort Paul Erdo˝s erzählte gerne von dem BUCH, in dem Gott die perfekten Beweise für mathematische Sätze aufbewahrt, dem berühmten Zitat von G.H.Hardyentsprechend,dassesfürhässlicheMathematikkeinendauer- haften Platz gibt. Erdo˝shat auch gesagt, dass man nichtan Gott zu glau- benbraucht,aberdassmanalsMathematikerandasBUCHglaubensollte. Vor ein paar Jahren haben wir ihm vorgeschlagen, gemeinsam eine erste (undsehrbescheidene)AnnäherungandasBUCH aufzuschreiben.Er hat dieIdeeenthusiastischaufgenommenundsich,ganztypischfürihn,sofort an die Arbeit gemacht und Seiten über Seiten mit Notizen und Vorschlä- genproduziert.UnserBuchsollte ursprünglichimMärz1998erscheinen, alsGeschenkzuErdo˝s’85stemGeburtstag.DurchseinenTodimSommer PaulErdo˝s 1996 konnte er kein Koautor werden. Stattdessen ist dieses Buch seinem Andenkengewidmet. WirhabenkeineDefinitionoderCharakterisierungdafür,waseinenBeweis zumBUCH-Beweismacht;anbietenkönnenwirhiernurdieBeispiele,die wirausgewählthaben,inderHoffnung,dassdieLeserunserenEnthusias- musteilenwerdenüberbrillanteIdeen,schlauesVorgehen,wunderschöne Einsichten und überraschende Wendungen. Wir hoffen auch, dass unsere LeserdiestrotzallerDefiziteinunsererDarstellunggenießenkönnen.Die Auswahl der Beweise hat Paul Erdo˝s selbst stark beeinflusst. Er hat eine großeZahlderThemenvorgeschlagen,undvielederBeweisegehendirekt aufihnzurückodersieentstandendurchseinbesonderesTalentdafür,die „DASBUCH“ richtige Frage zu stellen oder die richtige Vermutung zu formulieren. So spiegelt dieses Buch in großem Umfang das wider, was nach Paul Erdo˝s BeweiseausdemBUCHausmacht. BeschränktwurdeunsereAuswahlvonThemendadurch,dasswir für die LektürenichtmehrMathematikvoraussetzenwollten,als manimGrund- studium lernt. Ein bisschen Lineare Algebra, ein bisschen Analysis und Zahlentheorie,undeingerütteltMaßelementarerKonzepteundIdeenaus derDiskretenMathematiksolltenausreichen,umallesindiesemBuchzu verstehenundzugenießen. Wir sind den vielen Menschen unendlich dankbar, die uns bei diesem Projekt geholfen und unterstützt haben — unter ihnen den Studenten aus einem Seminar, in dem eine erste Version des Buches besprochen wurde,wieauchBennoArtmann,StephanBrandt,StefanFelsner,EliGood- man,HansMielkeundbesondersTomTrotter.VieleLeserderenglischen Ausgabe dieses Buches haben uns geschrieben und mit ihren Anmerkun- genundHinweisendiezweiteenglischewieauchdiesedeutscheAusgabe gefördert,unter ihnen Christian Elsholtz, Jürgen Elstrodt, Daniel Grieser, VI Roger Heath-Brown, Lee L. Keener, Christian Lebœuf, Hanfried Lenz, Nicolas Puech, John Scholes, Bernulf Weißbach, Dirk Werner und viele andere. Mit der Technik und Gestaltung dieses Buches haben uns unter anderem Margrit Barrett, Christian Bressler, Christoph Eyrich, Ewgenij Gawrilow,MichaelJoswigundJörgRambauimmensgeholfen.ElkePose dankenwir fürden Einsatz unddenEnthusiasmus,mitdemsie viele vie- le kleine verrauschte Diktierkassetten in perfektes LATEX verwandelt hat. HerzlichenDankschuldenwirRuthAlleweltundKarl-FriedrichKochvom Springer-VerlagHeidelberg. Ganz besonderer Dank (er weiß wofür) geht anTorstenHeldmann.KarlHeinrichHofmanndankenwirfürdiewunder- barenZeichnungen,mitdenenwirdiesenBandillustrierendürfen,unddem großenPaulErdo˝sfürseineInspiration. Berlin,September2001 MartinAigner · GünterM.Ziegler Vorwort zur vierten Auflage EsistnunfastzwanzigJahreher,dassdieIdeezudiesemProjektwährend mehrerer Gespräche mit dem unvergleichlichenPaul Erdo˝s im Mathema- tischen Forschungsinstitut Oberwolfach geboren wurde. Damals konnten wirunsunmöglichvorstellen,welchwunderbareundandauerndeResonanz unserBuchüberDASBUCHhabenwürde,mitalldenherzlichenBriefen, interessanten Kommentaren und Vorschlägen, neuen Auflagen, und bis heute dreizehn Übersetzungen. Es ist keine Übertreibung zu sagen, dass dieArbeitamBucheinTeilunseresLebensgewordenist. DievorliegendeviertedeutscheAuflageenthältnebenVerbesserungenund Ergänzungen,vondenenvielevonunserenLesernvorgeschlagenwurden, vier neue Kapitel: über den klassischen Spektralsatz aus der Linearen Algebra, die Unmöglichkeit der Borromäischen Ringe, die endliche VersiondesKakeya-ProblemsundMincsPermanenten-Vermutung. Wir danken allen, die uns über all diese Jahre geholfen und ermutigt ha- ben.DiezweitedeutscheAuflagehatvonbesonderswertvollenHinweisen vonDavidBevan,AndersBjörner,DietrichBraess,JohnCosgrave,Hubert Kalf, Günter Pickert, Alistair Sinclair und Herb Wilf profitiert. Für die dritte Auflage danken wir besonders Oliver Deiser, Michael Harbeck, Stefan Hougardy, Hendrik W. Lenstra, Günter Rote, Carsten Schultz und Moritz W. Schmitt für ihre Beiträge. Für die gegenwärtige Auflage sind wirIanAgol,FranceDacar,ChristopherDeninger,MichaelD.Hirschhorn, Franz Lemmermeyer,RaimundSeidel, Tord Sjödin undJohn M. Sullivan dankbar für Ideen und Vorschläge, sowie Marie-Sophie Litz, Miriam Schlöter und Jan Schneider für technische Hilfe und Christoph Eyrich, ElkePoseundTorstenHeldmannfürUnterstützungimHintergrund.Ganz besonderer Dank gebührt Ruth Allewelt vom Springer-Verlag in Heidel- berg sowie Karl Heinrich Hofmann, der immer wieder neue wunderbare Zeichnungenbeisteuert. Berlin,Juni2014 MartinAigner · GünterM.Ziegler Inhalt Zahlentheorie 1 1. SechsBeweisefürdieUnendlichkeitderPrimzahlen ..............3 2. DasBertrandschePostulat ......................................9 3. Binomialkoeffizientensind(fast)niePotenzen .................. 17 4. DerZwei-Quadrate-SatzvonFermat ...........................21 5. DasquadratischeReziprozitätsgesetz ...........................29 6. JederendlicheSchiefkörperisteinKörper ......................37 7. DerSpektralsatzundHadamardsDeterminantenproblem .........43 8. EinigeirrationaleZahlen ......................................51 9. DreiMalπ2/6 ...............................................59 Geometrie 69 10. HilbertsdrittesProblem:ZerlegungvonPolyedern ..............71 11. GeradeninderEbeneundZerlegungenvonGraphen .............81 12. WenigeSteigungen ...........................................87 13. DreiAnwendungenderEulerschenPolyederformel ..............93 14. DerStarrheitssatzvonCauchy ................................101 15. DieBorromäischenRingegibtesnicht ........................107 16. Simplexe,dieeinanderberühren ..............................117 17. StumpfeWinkel .............................................123 18. DieBorsuk-Vermutung ......................................131 Analysis 139 19. Mengen,Funktionen,unddieKontinuumshypothese ............141 20. EinLobderUngleichungen ..................................159 21. DerFundamentalsatzderAlgebra .............................167 22. EinQuadratundvieleDreiecke ...............................171 VIII Inhalt 23. EinSatzvonPólyaüberPolynome ............................181 24. EinLemmavonLittlewoodundOfford ........................189 25. DerKotangensundderHerglotz-Trick ........................193 26. DasNadel-ProblemvonBuffon ...............................199 Kombinatorik 203 27. SchubfachprinzipunddoppeltesAbzählen .....................205 28. WennmanRechteckezerlegt .................................217 29. DreiberühmteSätzeüberendlicheMengen ....................223 30. Gutgenuggemischt? ........................................229 31. GitterwegeundDeterminanten ...............................241 32. CayleysFormelfürdieAnzahlderBäume .....................247 33. IdentitätenundBijektionen ...................................255 34. DasendlicheKakeya-Problem ................................261 35. VervollständigungvonLateinischenQuadraten .................267 Graphentheorie 275 36. DasDinitz-Problem .........................................277 37. PermanentenundEntropie ...................................285 38. EinFünf-Farben-Satz ........................................293 39. DieMuseumswächter ........................................297 40. DerSatzvonTurán ..........................................301 41. KommunikationohneFehler .................................307 42. DiechromatischeZahlderKneser-Graphen ....................319 43. VonFreundenundPolitikern .................................325 44. DieProbabilistischeMethode ................................ 329 Über die Abbildungen 339 Stichwortverzeichnis 341 Zahlentheorie 1 SechsBeweisefürdie UnendlichkeitderPrimzahlen 3 2 DasBertrandschePostulat 9 3 Binomialkoeffizientensind (fast)niePotenzen 17 4 DerZwei-Quadrate-Satz vonFermat 21 5 Dasquadratische Reziprozitätsgesetz 29 6 JederendlicheSchiefkörper isteinKörper 37 7 DerSpektralsatz undHadamards Determinantenproblem 43 8 EinigeirrationaleZahlen 51 9 DreiMalπ2/6 59 „Irrationalitätundπ“ Sechs Beweise für die Kapitel 1 Unendlichkeit der Primzahlen Es liegt nahe, dass wir mit dem wahrscheinlich ältesten Beweis aus dem BUCHbeginnen:EuklidsBeweis,dassesunendlichvielePrimzahlengibt. (cid:2)EuklidsBeweis. FüreinebeliebigeendlicheMenge{p ,...,p }von 1 r Primzahlen sei n := p p ···p + 1 und p ein Primteiler von n. Wir 1 2 r sehen, dass p von allen p verschieden ist, da sonst p sowohl die Zahl n i alsauchdasProduktp p ···p teilenwürde,somitauchdie1,wasnicht 1 2 r seinkann.EineendlicheMenge{p ,...,p }kannalsoniemalsdieMenge 1 r allerPrimzahlensein. (cid:3) Bevorwirfortfahren,wollenwireinige(sehrübliche)Bezeichnungenein- führen:so schreibenwir N = {1,2,3,...} fürdie Mengeder natürlichen Zahlen, Z = {...,−2,−1,0,1,2,...} ist die Menge der ganzen Zahlen, undP={2,3,5,7,...}bezeichnetdieMengederPrimzahlen. ImFolgendenwerdenwireinigeweitereBeweisekennenlernen(auseiner viel längeren Liste), die uns und hoffentlich auch den Lesern besonders gefallen.Wenndiese BeweiseauchverschiedeneAnsätzebenutzen,so ist dochallen eine Idee gemeinsam:die natürlichenZahlenwachsen ins Un- endliche,undjedenatürlicheZahln≥2hateinenPrimteiler.Diesebeiden Tatsachenerzwingen,dassdieMengePunendlichist.DernächsteBeweis istvonChristianGoldbach(auseinemBriefanLeonhardEuler1730),der dritte Beweis ist offenbar Folklore, der vierte von Euler selbst, der fünf- tewurdevonHarryFürstenbergvorgeschlagen,undderletztestammtvon PaulErdo˝s. DerzweiteunddritteBeweisbenutztjeweilseinespezielleZahlenfolge. (cid:2)ZweiterBeweis. BetrachtenwirzunächstdiefolgendenFermat-Zahlen Fn =22n+1fürn=0,1,2,....Wirwerdenzeigen,dassjezweiFermat- F0 = 3 Zahlen relativ prim sind, also muss es unendlichviele Primzahlen geben. F1 = 5 ZumBeweisverifizierenwirdieRekursion F2 = 17 F3 = 257 n(cid:2)−1 F4 = 65537 Fk = Fn−2 (n≥1), F5 = 641·6700417 k=0 DieerstenFermat-Zahlen worausdieBehauptungunmittelbarfolgenwird.Istnämlichmeingemein- samerTeilervonF undF (mitk<n),sofolgtausderRekursion,dassm k n auch2teilt,dasheißt,esistm = 1oder2.DerFallm = 2istaberausge- schlossen,daalleFermat-Zahlenungeradesind. Zum Beweis der Rekursion verwendenwir Induktionnach n. Für n = 1 M. Aigner, G.M. Ziegler, Das BUCH der Beweise, DOI 10.1007/978-3-662-44457-3_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015
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