Correspondance de Springer modulaire et matrices de décomposition

1.1 MB·French

by  Daniel Juteau

UFR de math´ematiques
E´cole Doctorale de Math´ematiques de Paris centre
Universit´e Paris 7 – Denis Diderot
Th`ese de Doctorat
pr´esent´ee par
9
Daniel Juteau
0
0
2
pour obtenir le grade de

n Docteur de Math´ematiques de l’Universit´e Paris 7 – Denis Diderot
a
J

3
2 Correspondance de Springer modulaire et

]
T matrices de d´ecomposition
R
.
h —
t
a
m Modular Springer correspondence and
[
decomposition matrices

1
v
1
7
6 Th`ese soutenue le 11 d´ecembre 2007, devant le jury compos´e de :
3
.
1 C´edric Bonnaf´e (co-directeur) Charg´e de Recherche `a l’Universit´e de Franche-Comt´e
0
Michel Brion Directeur de Recherche `a l’Universit´e de Grenoble 1
9
0 Michel Brou´e Professeur `a l’Universit´e Paris 7
: Bernard Leclerc Professeur `a l’Universit´e de Caen
v
i Jean Michel Directeur de Recherche `a l’Universit´e Paris 7
X
Rapha¨el Rouquier (co-directeur) Directeur de Recherche `a l’Universit´e Paris 7
r
a Professeur `a l’Universit´e d’Oxford
Wolfgang Soergel (rapporteur) Professeur `a l’Universit´e Albert-Ludwigs de Freiburg
Tonny Springer Professeur `a l’Universit´e d’Utrecht
Rapporteur non pr´esent `a la soutenance :
Bao Chˆau Ngoˆ Professeur `a l’Universit´e Paris-Sud (Paris 11)
Membre de l’Institute for Advanced Study `a Princeton

Table des mati`eres
Remerciements 5
Introduction (fran¸cais) 7
Introduction 23
1 Perverse sheaves over K, O, F 37
1.1 Context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2 t-categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3 Torsion theories and t-structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4 Recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5 Torsion theories and recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.6 Complements on perverse extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.6.1 Top and socle of perverse extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.6.2 Perverse extensions and multiplicities . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.7 Perverse t-structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.8 Modular reduction and truncation functors . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.9 Modular reduction and recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.10 Decomposition numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.11 Equivariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2 Examples 61
2.1 Semi-small morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2 Equivalent singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3 Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4 E-smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.1 Definition and remarks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.2 A stability property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.3 Cone over a smooth projective curve . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.5 Simple singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.5.1 Rational double points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5.2 Symmetries on rational double points . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5.3 Perverse extensions and decomposition numbers . . . . . . . . . . 68
1
Table des mati`eres
3 Cohomology of the minimal nilpotent orbit 73
3.1 Long roots and distinguished coset representatives . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.1 Root systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.2 Basis, positive roots, height . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1.3 Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.4 Highest root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.5 Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Resolution of singularities, Gysin sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.1 Line bundles on G/B, cohomology of G/B . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.2 Parabolic invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.3 Cohomology of a C∗-fiber bundle on G/P . . . . . . . . . . . . . . 88
I
3.2.4 Resolution of singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3 Case-by-case analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3.1 Type A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
n−1
3.3.2 Type B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
n
3.3.3 Type C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
n
3.3.4 Type D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
n
3.3.5 Type E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6
3.3.6 Type E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7
3.3.7 Type E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8
3.3.8 Type F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4
3.3.9 Type G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2
3.4 Another method for type A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4 Some decomposition numbers 105
4.1 Subregular class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1.1 Case Γ = B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
n
4.1.2 Case Γ = C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
n
4.1.3 Case Γ = F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4
4.1.4 Case Γ = G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2
4.2 Minimal class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3 Rows and columns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4 Special classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5 Fourier-Deligne transform 113
5.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2 Definition, first properties and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.2 First properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3 Fourier-Deligne transform and duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2
Table des mati`eres
6 Springer correspondence and decomposition matrices 131
6.1 The geometric context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.2 The finite quotient map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.3 The adjoint quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.4 Springer’s resolution of the nilpotent variety . . . . . . . . . . . . . 132
6.1.5 Grothendieck’s simultaneous resolution of the adjoint quotient . . 132
6.2 Springer correspondence for EW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2.1 The perverse sheaves K , K and K . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
rs N
6.2.2 Springer correspondence for KW by restriction . . . . . . . . . . . 134
6.2.3 The Fourier-Deligne transform of EK . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2.4 Springer correspondence by Fourier-Deligne tranform. . . . . . . . 137
6.3 Decomposition matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3.1 Comparison of e maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3.2 Comparison of d maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.4 Modular Springer correspondence for GL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
n
7 Tables 141
7.1 Type A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
1
7.2 Type A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2
7.3 Type A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3
7.4 Type B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2
7.5 Type B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3
7.6 Type C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3
7.7 Type G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2
8 Character sheaves on sl 151
2
Bibliography 155
3
Table des mati`eres
4
Remerciements
Tout d’abord, je suis infiniment reconnaissant `a C´edric Bonnaf´e et Rapha¨el Rouquier
pour la qualit´e exceptionnelle de leur encadrement. J’ai grandement appr´eci´e leurs im-
menses qualit´es humaines et math´ematiques. Je mesure la chance que j’ai eue de les
avoir comme directeurs. Ils ont tous deux ´et´e d’une tr`es grande disponibilit´e, mˆeme
quand la distance nous s´eparait. Je les remercie pour le sujet qu’ils m’ont donn´e, leurs
conseils, leurs encouragements, leur soutien, et la libert´e qu’ils m’ont accord´ee. Je pense
que c’´etait parfois ´eprouvant de m’avoir comme ´etudiant, notamment quand il a fallu
relire mon manuscrit jusqu’`a la derni`ere minute ! Je les remercie aussi, ainsi que leurs
´epouses Anne et Meredith, pour les moments de convivialit´e que nous avons partag´es.
Jeremercietr`essinc`erementlesdeuxrapporteurs,BaoChaˆuNgˆoetWolfgang Soergel,
pour le temps qu’ils ont pass´e `a lire ce travail et `a ´ecrire les rapports. Plus particuli`e-
rement, je remercie Bao Chaˆu Ngˆo pour avoir sugg´er´e d’´etudier les faisceaux pervers
en caract´eristique positive sur les courbes modulaires et les vari´et´es de Shimura en vue
d’applications arithm´etiques (j’esp`ere acqu´erir le bagage n´ecessaire `a cette fin) ; et je re-
mercie Wolfgang Soergel pour sa lecture tr`es minutieuse et ses questions qui ont permis
d’am´eliorer le manuscrit.
Je remercie vivement chaque membre du jury pour avoir accept´e d’y participer. C’est
untr`esgrandhonneurpourmoidepouvoirr´eunirunjuryconstitu´edemath´ematiciensde
tout premier plan, dans les domaines de la g´eom´etrie et des repr´esentations. La pr´esence
de chacun d’entre eux me fait tr`es plaisir.
Les nombreux voyages que j’ai duˆ faire pendant ma th`ese m’ont permis de rencontrer
des personnes qui m’ont beaucoup apport´e, humainement et math´ematiquement. Je les
remerciepournosdiscussions,etlesmomentsquenousavonspartag´es,danslesdiff´erents
endroits ou` j’ai s´ejourn´e (Paris, Besanc¸on, Yale, Lausanne, Oxford, Nancy et Hendaye),
quecesoitdanslemilieumath´ematiqueounon.Demˆemepourlesconf´erencesauxquelles
j’ai particip´e, notamment `a Luminyet `a Oberwolfach.Merci aussi `a toutes les personnes
qui m’ont donn´e l’occasion de pr´esenter mes r´esultats dans diff´erents s´eminaires. Merci
`a ceux qui m’ont h´eberg´e, et pour la chaleur de leur accueil. Enfin, merci `a tous ceux
qui se seront d´eplac´es pour ma soutenance, et `a ceux qui auront contribu´e `a mon pot de
th`ese. Je pr´ef`ere remercier chacun de vive voix, plutoˆt que citer une longue liste ici.
Jeremercieles diff´erentesinstitutions quiontpermis tous ces d´eplacements: l’Institut
de Math´ematiques de Jussieu, l’E´cole Doctorale de Sciences Math´ematiques de Paris
centre,leLaboratoiredeMath´ematiquesdeBesanc¸on,l’Universit´ed’Oxfordvialer´eseau
europ´een Liegrits, l’E´cole Polytechnique F´ed´erale de Lausanne et l’Universit´e de Yale.
5
Remerciements
Cesann´eesdeth`eseontaussi´et´emarqu´eesparuneduremaladieen2006, avecuntrai-
tement lourd, pendant plusieurs mois. Je suis extrˆemement reconnaissant aux personnes
qui m’ont entour´e pendant toute cette p´eriode : mes parents, Souki et Sebas, qui n’ont
pascompt´eleurtempsetleur´energiepourmesoutenir,etGermainquiafaitdesmilliers
de kilom`etres pour ˆetre l`a le plus possible. Un grand merci `a Miguel qui est venu des
Philippines.Merci aussi `a tous les parents et amis quiont eu des attentions pour moi, de
pr`es ou deloin. Enfin,je suis biensuˆrprofond´ementreconnaissant`a toutes les personnes
qui ont contribu´e au progr`es de la m´edecine, aux docteurs qui m’ont examin´e, op´er´e et
suivi, et `a tout le personnel hospitalier qui m’a soign´e avec gentillesse et attention. Je
leur dois ma gu´erison.
L’´et´e suivant, le soutien de mes proches m’a une nouvelle fois ´et´e indispensable, pour
finir la r´edaction dans les temps. Sans eux, je n’aurais sans doute pas pu soutenir cette
ann´ee.
Ind´ependamment de ces deux ´episodes, je dois un tr`es grand merci `a ma famille, qui
m’a beaucoup donn´e, et qui a su m’aimer tel que je suis.
Merci enfin `a Germain pour tout ce qu’il me fait vivre.
6
Introduction (fran¸cais)
Contexte et vue d’ensemble
En 1976, Springer a introduit une construction g´eom´etrique des repr´esentations irr´e-
ductibles des groupes de Weyl, qui a eu une profonde influence et de nombreux d´eve-
loppements ult´erieurs, culminant avec la th´eorie des faisceaux-caract`eres de Lusztig, qui
permet de calculer les valeurs des caract`eres de groupes r´eductifs finis. Dans cette th`ese,
nousd´efinissonsunecorrespondancedeSpringerpour les repr´esentations modulaires des
groupes de Weyl, et en ´etablissons quelques propri´et´es, r´epondant ainsi `a une question
pos´ee par Springer lui-mˆeme.
Repr´esentations modulaires, matrices de d´ecomposition
La th´eorie des repr´esentations modulaires des groupes finis, initi´ee et d´evelopp´ee par
Brauer `a partir du d´ebut des ann´ees 1940, est l’´etude des repr´esentations des groupes
finissuruncorpsdecaract´eristiqueℓ > 0.Lorsqueℓdivisel’ordredugroupe,lacat´egorie
des repr´esentations n’est plus semi-simple.
Soit W un groupe fini. On fixe une extension finie K du corps Q des nombres ℓ-
ℓ
adiques. Soit O son anneau de valuation. On note m = (̟) l’id´eal maximal de O, et F le
corps r´esiduel (qui est fini de caract´eristique ℓ). Le triplet (K,O,F) est ce qu’on appelle
un syst`eme modulaire, et on suppose qu’il est assez gros pour tous les groupes finis
que nous rencontrerons (c’est-a`-dire que tous les KW-modules simples sont absolument
simples, et de mˆeme pour F). La lettre E d´esignera l’un des anneaux de ce triplet.
Pour une cat´egorie ab´elienne A, on note K (A) son groupe de Grothendieck. Lorsque
0
A est la cat´egorie des A-modules de type fini,ou` A est un anneau, on adopte la notation
K (A). La sous-cat´egorie pleine form´ee des objets projectifs de A sera not´ee ProjA.
0
LegroupedeGrothendieckK (KW)estlibredebase([E]) ,ou` IrrKW d´esigne
0 E∈IrrKW
l’ensemble des classes d’isomorphisme de K-modules simples. De mˆeme pour K (FW).
0
PourF ∈ IrrFW,onnoteP uneenveloppeprojectivedeF.Alors([P ]) estune
F F F∈IrrFW
basedeK (ProjFW).Lar´eductionmodulomd´efinitunisomorphismedeK (ProjOW)
0 0
sur K (Proj FW).
0
Nous allons d´efinir le triangle cde [Ser67].
c
K (Proj FW) // K (FW)
0 0
PPPPPePPPPPP'' qqqqqqdqqqq88
K (KW)
0
7
Introduction (franc¸ais)
Le morphisme c est induit par l’application qui `a chaque FW-module projectif associe
sa classe dans K (FW). Le foncteur d’extensions des scalaires `a K induit un morphisme
0
de K (Proj OW) vers K (KW). Le morphisme e s’obtient en composant avec l’inverse
0 0
de l’isomorphisme canonique de K (Proj OW) sur K (Proj FW). Le morphisme d est
0 0
un peu plus d´elicat. Soit E un KW-module. On peut choisir un r´eseau E dans E stable
O
par W. L’image de F⊗ E dans K (FW) ne d´epend pas du choix du r´eseau [Ser67].
O O 0
Le morphisme d est induit par l’application qui `a E associe [F⊗ E ].
O O
On d´efinit la matrice de d´ecomposition DW = (dW ) par
E,F E∈IrrKW, F∈IrrFW
d([E]) = dW [F]
E,F
F∈IrrFW
X
Un des plus grands probl`emes en th´eorie des repr´esentations modulaires est de d´eter-
miner ces nombres de d´ecomposition dW explicitement pour des classes int´eressantes
E,F
de groupes finis. Ce probl`eme est ouvert pour le groupe sym´etrique.
Le triangle cde peut s’interpr´eter en termes de caract`eres ordinaires et modulaires (de
Brauer).Nous renvoyons`a [Ser67]. Lorsqueles caract`eres ordinairessontconnus(c’est le
cas pour legroupe sym´etrique),la connaissance dela matrice ded´ecomposition´equivaut
`a la d´etermination des caract`eres de Brauer.
Il y a des variantes de ce probl`eme lorsqu’on sort du cadre des groupes finis. On
peut par exemple consid´erer les repr´esentations modulaires des alg`ebres de Hecke. Ces
alg`ebres sont des d´eformations d’alg`ebres de groupes de r´eflexions, et jouent un roˆle tr`es
important dans la th´eorie des repr´esentations des groupes finis de type de Lie. Elles sont
d´efinies de mani`ere g´en´erique, et on peut regarder ce qu’il se passe lorsqu’on sp´ecialise
un ou plusieurs param`etres.
On peut aussi s’int´eresser aux repr´esentations rationnelles d’un groupe r´eductif en
caract´eristique positive, ou les repr´esentations d’une alg`ebre de Lie r´eductive, ou de
groupes quantiques (d´eformations d’alg`ebres enveloppantes), etc. Dans ce cas, on consi-
d`ere les multiplicit´es des simples dans des classes d’objets particuliers dont on connaˆıt
les caract`eres.
Faisceaux pervers et repr´esentations
Depuis trois d´ecennies, l’utilisation de m´ethodes g´eom´etriques a permis des progr`es
spectaculaires dans de nombreux domaines de la th´eorie des repr´esentations. Nous nous
int´eresserons ici tout particuli`erement aux repr´esentations des groupes de Weyl et des
groupes finis de type de Lie.
Ilyaunetrentained’ann´ees,Springerestparvenu`aconstruireg´eom´etriquementtoutes
les repr´esentations irr´eductibles ordinaires des groupes de Weyl, dans la cohomologie
de certaines vari´et´es li´ees aux ´el´ements nilpotents de l’alg`ebre de Lie correspondante
[Spr76, Spr78]. Cette d´ecouverte a eu un retentissement consid´erable. De nombreuses
autres constructions ont´et´e propos´ees parla suite. Par exemple, Kazhdanet Lusztig ont
propos´e une approche topologique [KL80b], et Slodowy a construit ces repr´esentations
par monodromie [Slo80a]. Au d´ebut des ann´ees 1980, l’essor de la cohomologie d’inter-
8