Complementi di Matematica, Esercizi Svolti PDF
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA COMPLEMENTI DI MA TEMATICA {O , I\ o.s 1'-r..~(X) \ \ , ' I \ f I\. 1.- - _.. .4 rxr-- I \ \ I } \ ,.i-.. / I\. o.o \ ' j I \ \ '· J\ ' / /\ \, ' I ' [\ J Il ' \ / / \ Il ~ \ f I \ ' -V ~\ . ... '- / "-~--- I ~ - f ...... Jof:.C! - - Jor ~-,' / -0,'5 - " -~ . oo 5 10 15 20 ESERCIZI SVOLTI 1982 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA COMPLEMENTI DI MATEMATICA (O I\, \ y 0.5 ~{X) I/\ \ 1 j I I \ i,-. - ,__ I \ \ I I I\ 1h / I'\ .........~ (%}- o.o \ ' I I \ ' V J\ ' V /\ \, ' I ' \ I V ' \ / V [\ \ " .,.... .,.. \ I \ ' I/ '\ ..... ~ l/ 'r-- ,__ ' ) I ~ - Jo(Xf Jr.-' V 1- o ~ r- .~- -D.5 - o ~ . o 5 10 15 20 aS ESERCIZI SVOLTI 1982 RICHIAMI E C O M P L E M E N T I NUt-IBRI COMPLESSI Dato un rurnero complesso Z = x + i y, cioè data una combina- · zione linear~ a coefficienti reali àell'unità reale e del l'unità immaginaria, si chiama modulo di z <Jzj) la àistan za del generico punto (x,y) dall'origine delle coordinate: i?l'n:"argo:nento di z (.b,rg. z) si intende la misura in radianti é\) , dell'angolo misurato in senso antiorario. L' argo:nantc di un numero compl~sso è quindi definito per z ~O . Arg ~ può.d'altra parte assumare infiniti valori: una volta determinatone uno, ad cs~mpio ~o • tali valori uono dati da ~o+ 2Kiì Un num~ro comple~so ~uò essere espracso mediante la cosiddetta forma trigonometrica z = x + iy = r (cos 6) + i sen @ ) I I ve~tore) ~ ove r(raggio =l/x2+y2 e (anomalia definita a meno di multipli di 2lì) è tale che : sen@ I Di grande importanza nelle applicazioni è la formula dì Moivre che vale per ogni.esponente n (oia po2itivo, sia negativo, sia nullo): Formula di Moivre: Un 'altra for:uul a spesso ricorr€ntc è quella di Eulero: tale fornula riconduca il calcolo di un eEpOnenziale ~mplesso ~ quello di un esponenziale reale e di funzioni 1r.igono- m~'i:riche: Formula d~ Eulero: ex+iy ex ( co S-.f + iseny) Si indica la parte reale del numero complesso z con Re(z) = x . Il coefficiente della parte immagin~aria di z si in dica con I(z) = y . Un nu.~~ro complesso z , tenendo conto della formula tli Eulero, può scriversi: z = r(cos ~+ i sen ~) = rei~ (infatti ei~=cos ~ +isen~) ESEMPI APPLICATIVI i "iY Esercizio I Calcolare ej Ricordando le. formule di Eulero si ha: ~ser.ci~io II - Calcolare il llY.)dulo di ì/ /zl Se z = x-i-iy , si sa che = x2+y2 . Nel nostro caso S?ecifico: (d...cosfl +iCX.senfa ) = c:J...cosfo - il e e Lcos (C(serys) +isen . (e<'. se~~ Il modulo del numero conplesso in esame sarà dunque: lzl 2 2 (~sexy3~ ~o(co"1] =-Ve '2/:j._cosfi@os (o(.senj3) + san = i'lt Sserciho III - Calcolare z = e """"2" Applicando Eule:ro si giu11ge al risultato· z = l · (co~iseny) :::ri ., ·I Y3J ESERCIZIO IV - Calcolare z = Log (l-i Ricordando la definizione di logaritmo nel campo complesso: Logz = logjzj+ iArgz si ha: 1./3) n- Log (l-i = log2 + i (- + 2Klt) 3 ESTENSIONE DEL CONCE'I"I'O DI FUNZIONE L'estensione dal campo reale a quello complesso del concetto di fun1ione se a prima vista sembra ovvia, in realtà offre alcune difficoltà di base, specialmente per quello che rig-ùarda il trasferimento di alcuni fondamentali concetti dell'Analisi. Il concetto di limite e di continuità è facilmente estendibile, senza difficoltà alcuna, al campo complesso: si dice per esempio che la f(z) è continua in zo = x0 + iy0 se,fissato €>o e arbitrario, esiste un intorno di z in cui si abbia 0 sempre if(z) - f(zo) l<é L'estensione invece alle funzioni di variabil~ complessa del concetto di derivata e di integrale presuppone alcune osser vazioni, specialmente per ciò che riguarda la unicità della derivata e della funzione integrale. Definiamo la derivata di una funzione di variabile complessa cosi : f' (z) ""' lim fCz+hl -f Czl h-+o h Si vede come, nel caso pi~ generale, tale derivata dipende dal come h tende a ·zero, cioè dal cammino lungo il quale il punto h tende all'origine. Se si vuo.le invece che il limite del rapporto incrementale resti lo stesso qualur.qua sia la di.rezione secor.è.o la qua.!.e ci si ap?:?:"Ossi::.i a:l '::.::-i- ~i~e. bisogna evidentemente introdurre condizioni res~rit~i- ve. Se consideriamo pertanto una funzione w = f (z) = u(;:,y) + iv (x,y) , le condizioni restrittive per l'unicità della derivata sono le seguenti: du __ dv A) TÒxu =èd )vy e ÒY - dx Eguazioni di RCaiuem=~avnn e~::~ . 2 . .s. affinchè una funzione f(z) sia olomorfa in un campo co;messo A è che essa sia ivi continua, sia è.eri- vabile nel campo complesso e dotata di derivate parziali pr~~e fx e fy continue e che ~ueste derivate siano lega- te dalla relazione 1 l. Da questo teorema risulta pertanto evidente che non tut~e le f(z) sono olomorfe. Ad esempio non è olo~orfa la fun zione z = x - iy ; iniatti fx = 1 e ! fy = -l i VediwT.O ora,in un esempio applicativo,c~e ie condizic~i di ~ :~- Cauchy-Riemann sono a carattere limi- tativo. Prendiamo un punto z e un I' z+6.z e supponia.T.o di far tendere i l !:'lU:-.. t.O ~ / ' z + 6:z. a z lungo una semiretta di ano z ..;_'\'"~- - - -" U. A. malia~· uscente da z. Se arn..òettiarno valida l a fx = ~ fy , il valore di l. f'(z) sarà indipendente dal particolare valore di ~ Per definizione f I (z) lim f(z+ 6zl -f(z) 6.z->o .6z =e 9 q' \ Scriviamo 6.z nella forma trigonometrica t.z (cos +i s"'~ (che è rnanifesta.T1ente l'equazione ~i una circcnferanzaj f' (z) liin f ( x+ ecos !"itl ,y+ ~sen T~ )- f (x,y) 1(-o ~(cos ~ 1- i sen ~) Per il teorema del differenziale totale si può scrivere, esse'1ào <..ù un Ìnfinitesimo con Q_, f I (z) lim 1(-> o cos cos Come si veéle il limite scritto, e quindi la derivata, esiste, .!. !'.!<:. dipende è.a ~ . Assur.tcndo valide le fx = fy , qualunque l. sia~· cio~ la direzione secondo cui f:::,z tenda a zero (e q"ùindi ad es.D.z potrà tendere a zero lungo l'asse x o lungo un altro persorso) si ottiene : f' (z) = fx (cos §l +i sen § fx (x,y) (cos ~ +i sen ~ Le difficolt~ che si incontrano nel campocornplesso nell'esten s.b1e del concetto di derivata per una funzione f(z) si ri petono qua.~do, introdotto il concetto di integrale per una f (=) co~e già fatto nel campo reale e quindi introducendo il concetto di integrale definito. come limite di certe so~.!r.e, si V\lOle utilizzare tale concetto per costruire una f1.•.nzione integrale, facendo cioè variare un estremo d'in tegrazione e mantenendo fer:no l'altro. Tut~avia facilmente si v~de (consultare.il testo) che le stesse condizioni atte ad assicurare l'unicità della derivata assicurano l'unicità dell'integrale. Vedifu~o attraverso esem~idi verificare che una funzione è olo:norfa :
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