Classification of Arcs in Small Desarguesian Projective Planes

234 Pages·2012·1.22 MB·English

Classification of Arcs in
Small Desarguesian Projective Planes
Classificatie van Bogen in
Kleine Desarguesiaanse Projectieve Vlakken
Heide Sticker
Proefschriftingediendtothetbehalenvandegraadvan
DoctorindeWetenschappen: Wiskunde
Promotor:
Prof. dr. dr. KrisCoolsaet
June2012
FaculteitWetenschappen
VakgroepToegepasteWiskundeenInformatica

Contents
1 Introduction 1
2 Preliminaries 5
2.1 FiniteField . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 ProjectivePlane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 ProjectiveLine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Conic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Cubiccurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Informationongroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Arcswithlargeconicalsubsets 19
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Notationandpreliminarydefinitions . . . . . . . . . . . . . . . 22
i
CONTENTS
3.3 ArcsoftypeIwithexcesstwo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 ArcsoftypeEwithexcesstwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 ArcsoftypeMwithexcesstwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6 ArcsoftypeIwithexcess3or4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.7 Arcswithexcessone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.8 Computerresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Generationof (k,2)-and (k,3)-arcs 73
4.1 Isomorph-freegeneration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Isomorph-freegenerationfor (k,3)-arcs . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Isomorph-freegenerationfor (k,2)-arcs . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 Additionalremarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5 Consistencycheck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 Results 97
5.1 Thecomplete (k,2)-arcsofPG(2,q), q 29 . . . . . . . . . . . . 98
≤
5.2 Geometricformsofthecomplete (k,2)-arcs . . . . . . . . . . . . 112
5.3 The (k,2)-arcs,notnecessarilycomplete . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4 Thecomplete (k,3)-arcsofPG(2,q), q 13 . . . . . . . . . . . . 122
≤
5.5 Regular (k,3)-arcsofPG(2,q), q 13 . . . . . . . . . . . . . . . 127
≤
ii
CONTENTS
5.6 The (k,2)-and (k,3)-arcs,notnecessarilycomplete . . . . . . . 128
6 Special (k,2)-arcsinPG(2,q),q 29 131
≤
6.1 Well-knownconstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2 Somearcswithautomorphismgroup S . . . . . . . . . . . . . 133
4
6.3 Somearcswithautomorphismgroup A . . . . . . . . . . . . . 141
5
6.4 Special (k,2)-arcsfor q =8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.5 Special (k,2)-arcsfor q =9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.6 Special(k,2)-arcsfor q =11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.7 Special(k,2)-arcsfor q =13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.8 Special (k,2)-arcsfor q =16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.9 Special(k,2)-arcsfor q =17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.10 Special(k,2)-arcsfor q =19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.11 Special(k,2)-arcsfor q =23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.12 Special(k,2)-arcsfor q =25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.13 Special(k,2)-arcsfor q =27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.14 Special(k,2)-arcsfor q =29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7 Special (k,3)-arcsinPG(2,q),q 13 167
≤
7.1 Somearcswithautomorphismgroup S . . . . . . . . . . . . . 168
4
iii
CONTENTS
7.2 (k,3)-arcsfromhalfconics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.3 (k,3)-arcsfromcubiccurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.4 Special(k,3)-arcsfor q =7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.5 Special(k,3)-arcsfor q =8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.6 Special(k,3)-arcsfor q =9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.7 Special(k,3)-arcsfor q =11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.8 Special(k,3)-arcsfor q =13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8 Generationof (k,2)-arcsfromconicalsubsets 199
8.1 Isomorph-freegenerationfromconicalsubsets . . . . . . . . . . 200
8.2 Improvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.3 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Nederlandstaligesamenvatting 209
Dankwoord 215
Bibliography 219
iv