Carl Friedrich Gauss Werke: Achter Band

452 Pages·1900·23.59 MB·German

by  Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften (eds.)

CARL FRIEDRICH GAUSS WERKE
BAND VIII.
CARL FRIEDRICH GAUSS
WERKE
A C H T E R B A DN.
SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH
1900
ISBN 978-3-642-92475-0 ISBN 978-3-642-92474-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-92474-3
ARITHMETIK UND ALGEBRA.
NACHTRÄGE ZU BAND 1-ID.
VIII.
NACHLASS.
[ZWEI NOTIZEN ÜBER DIE ..A. UFLÖSUNG DER CONGRUENZ
=
xx+yy+zz 0 (mod. p).]
[1.]
Jede Zerlegung einer durch die Primzahl p theilbaren Zahl in vier Qua
+ + +
drate = aa bb cc dd entspricht einer Auflösung der Congruenz
=
x,x+yy+zz 0 (mod. p).
=
Zusammen giebt es pp solcher Auflösungen. Die Eine x 0, y- 0, z- 0
+
davon weggenommen, zerfallen die übrigen p p - 1 i=n p 1 Classen, wenn
e, c
man X = y = 'Yj, z = mit X- ke, y k'l'j, z kC zu Einer Classe
zählt.
Es sind nämlich proportional
aa+bb -ad-bc bd-ac
y ac+bd ab-cd aa+dd
z ad-bc aa+cc -ab-cd
[2.]
Alle Auflösungen der Congruenz
=
1+xx+yy o (mod. p)
zu finden.
1*
4 NACHLASS.
Es sind zugleich die Auflösungen der Congruenz
=
+ +
1 (x iy)P+t 0 für p 3 (mod. 4).
Aus einem Werthe x+iy folgen alle, indem man für u alle Werthe
o, 1, 2, 3, ... , p -1 substituirt, vermöge der Formel[*)]
(x+iy)(uu-1+2iu) oder (w+iy) (u+il
uu+l u-i
+
Für p - 1 (mod. 4) = a a b b enthält die Formel !?.. • u + ~ alle W erthe
a
von x+iy, wo nur für u die Werthe %u nd ~ auszuschliessue-n~ sind.
[*) Neben dieser Entwickelung stehen im Manuscript die Formeln:]
1-ww ::::: yy, w = 1-uy, 2u-uuy=y
1-UU 2U
1+uu = w, 1+uu = y,
[welche die Rolle des Zusatzfactars uu-1+ 2iu erläutern.]
uu+t
[NOTIZEN ÜBER CUBISCHE UND BIQUADRATISCHE RESTE.]
[1.]
Observatio venustissima inductione facta.
2 est Residuum vel non residuum cubicum numeri primip formae 3n+1,
prout p repraesentabilis est per formam
3 est Residuum vel non residuum, prout p repraesentabilis est per
xx+243yy aut 4xx+2xy+61yy
vel 7xx+6xy+36yy aut 9xx+6xy+28yy.
Residuum }
5 est N . d si p repraesentatur
onres1 uum
(1, o, 675), (25, o, 27), (13, 1, 52), (4, 1, 169)
per {
(7, 2, 97), (9, 3, 76), (19, 3, 36), (25, 5, 28), (25, 10, 31), (27, 9, 28).
[2.]
Criterium, per quod diiudicatur, utrum numerus m sit residuum cubicum
+
numeri primi p formae 3 n 1.
Fiat
4p = aa+27bb
6 NACHLASS.
Tune erit
m R p m Np
1) m= 2, si b par b impar
2) m= 3 b divis. per 3
3) m = primus alius, Sl a+bbV v- 27 R es. eub. 1. ps.m s m
a- -27
4) m= 6, si aut 2b aut a+b aut a-b per 12 divis.
5) m = 10, si aut 2b aut 2a aut a± 3b aut a±9b per 20 divis.
6) m = 12 2 b, a+5b, a-5b per 12
7) m = 15 b, 3a+5b, a±b, a± 2b per 15
8) m= 20 2b, 2a, a ±b, a± 7b per 20
9) m =45 b, 3a+5b, a±4b, a± 7b per 15
10) m = 14 2b, 2a, a ± 5b, a ± 11b per 28
11) m = 28 2b, 2a, a± 3b, a±9b per 28.
Criterium, per quod diiudieari potest, utrum numerus m sit residuum biqua
+
dratieum numeri primi p formae 4 n 1.
Fiat
Tune erit m R p, si
1) m = -1 si b par ± 4 si b par
2) m= ±2 si b per 4 divisib. - 4 generaliter
3) m=+3 Sl b aut a+3b per 6
4) m=-3 si b per 3
5) m=+5 SI b per 5
6) m=-5 si b aut a + 5 b per 10
7) m=+6 b, 2a+3b, a+b per 12
8) m= -6 b, 2a+3b, a ± 5b per 12
9) m=+1 2a+7b, b, a ± 5b per 14
NOTIZEN ÜBER CUBISCHE UND BIQUADRATISCHE RESTE. 7
1 0) m=-7 a, b per 7
11) m= +10 si 2a+ ab, b, a ± 7b per 20
12) m= -10 2a+ab, b, a + 3b per 20
13) m=+11 2a+11b, b, 2a ± 3b, a + b per 22
14) m= -11 b, a ± 4b per 11.
[3.]
Die cubischen Reste.
p eine Primzahl der Form 3m+ 1
4p = aa+27bb,
q eine andere Primzahl der Form 3 n ± 1
q:p
(a+3bV 3)3- =A±BV 3.
Nun· gibt es drei Fälle
p-1
I. B-o (mod. q). Dann ist q-s = 1 (mod. p).
p-1
IT. B = A (mod. q). Dann ist q-3-- - t- t ~ (mod. p).
p-1 +
ITI. B - - A (mod. q). Dann ist q-3- - - t t ~ (mod. p).
Erstes Beispiel. p = 13, q = 5
a = 5, b = 1
(5+3 V 3)2 = -2+30 V-3, B- 0 mod. 5 also Casus I
=
54 = 625 1.
Zweites Beispiel. p = 19, q = 5
a = 7, b = 1
(7+3V-3)2 = 22+42V-3, B = -A also Casus ITI
56 _7 mod.19, 42=-3+7 mod.19.