Cálculo diferencial en competencias PDF
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Martha Alvarado Arellano Carlos García Franchini Recursos en línea en competencias Cálculo diferencial en competencias Martha Alvarado Arellano Carlos García Franchini Tecnológico Nacional de México Instituto Tecnológico de Puebla Cd. de México info editorialpatria.com.mx www.editorialpatria.com.mx Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinadora editorial: Estela Delfín Ramírez Supervisor de preprensa: Jorge Antonio Martínez Jiménez Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís/Signx Ilustraciones: Jorge Antonio Martínez Jiménez Fotografías: © Thinkstockphoto Revisión Técnica: Luis Rafael Liljehult López Universidad Tecnológica de Puebla Roberto Hernández Cárdenas Universidad Mexiquense del Bicentenario Cálculo diferencial en competencias Derechos reservados: © 2016, Martha Alvarado Arellano/Carlos García Franchini © 2016, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca Azcapotzalco, Ciudad de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industrial Editorial Mexicana Registro Núm. 43 ISBN ebook: 978-607-744-465-7 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presenta obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el con- sentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México Printed in Mexico Primera edición ebook: 2016 A nuestros hijos Carlos, Marthy Stívaliz y Johnna, pero muy especialmente para la alegría de todos: Carlos Samuel. IV w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS Í NDICE DE CONTENIDO Prefacio ............................................................................................................................ XI I. Anexo. Formulario .................................................................................................... XIII Capítulo 1 Números reales .............................................................. 2 1.1 Focalización ........................................................................................................ 4 Aplicación 1.1.1 .................................................................................. 4 Propiedad de cerradura ................................................................................. 5 Actividad 1.1.1 .................................................................................... 5 Aplicación 1.1.2 .................................................................................. 6 Actividad 1.1.2 .................................................................................... 6 Aplicación 1.1.3 .................................................................................. 7 1.2 Números ............................................................................................................. 8 Actividad 1.2.1 .................................................................................... 8 Actividad 1.2.2 .................................................................................... 9 Aplicación 1.2.1 .................................................................................. 9 Cardinalidad y orden ....................................................................................... 10 Aplicación 1.2.2 .................................................................................. 11 Actividad 1.2.3 .................................................................................... 11 Actividad 1.2.4 .................................................................................... 12 Aplicación 1.2.3 .................................................................................. 13 Aplicación 1.2.4 .................................................................................. 14 Actividad 1.2.5 .................................................................................... 15 1.3 Axiomas del cuerpo de los reales .............................................................. 16 1.4 Propiedades de orden de los números reales ...................................... 17 Algunos teoremas importantes ................................................................... 17 1.5 La recta numérica ............................................................................................ 18 Actividad 1.5.1 .................................................................................... 18 Actividad 1.5.2 .................................................................................... 19 Aplicación 1.5.1 .................................................................................. 21 Aplicación 1.5.2 .................................................................................. 22 1.6 Intervalos ............................................................................................................. 23 1.7 Distancia .............................................................................................................. 25 Aplicación 1.7.1 .................................................................................. 25 Actividad 1.7.1 ..................................................................................... 26 Aplicación 1.7.2 .................................................................................. 27 Aplicación 1.7.3 .................................................................................. 28 1.8 Valor absoluto .................................................................................................... 28 1.9 Lo muy pequeño.............................................................................................. 28 Actividad 1.9.1 .................................................................................... 29 CONTENIDO w V 1.10 Lo muy grande .................................................................................................. 31 Actividad 1.10.1 ................................................................................. 31 Aplicación 1.10.1 ............................................................................... 32 Aplicación 1.10.2 ............................................................................... 33 Actividad 1.10.2 ................................................................................. 34 Ejercicios 1.1 ....................................................................................... 35 Autoevaluación 1.1 ........................................................................... 38 Autoevaluación 1.2 ........................................................................... 39 Autoevaluación 1.3 ........................................................................... 40 Autoevaluación 1.4 ........................................................................... 40 Autoevaluación 1.5 ........................................................................... 41 Autoevaluación 1.6 ........................................................................... 41 1.11 Focalización. Desigualdades ......................................................................... 42 Aplicación 1.11.1 ............................................................................... 43 Actividad 1.11.1 ................................................................................. 43 Aplicación 1.11.2 ............................................................................... 44 1.12 Desigualdad o inecuación ............................................................................. 45 1.13 Análisis de casos .............................................................................................. 47 Procedimiento 1.13 .......................................................................... 47 1.14 Método de verificación................................................................................... 50 Procedimiento 1.14 .......................................................................... 50 1.15 Solución y visualización gráfica de la solución empleando software ............................................................................................................... 52 1.16 Desigualdades que implican valor absoluto .......................................... 54 Procedimiento 1.16.1 ...................................................................... 55 1.17 Soluciones todo o nada ................................................................................. 56 Actividad 1.17.1 .................................................................................. 57 Ejercicios 1.11 ..................................................................................... 58 Autoevaluación 1.7 ........................................................................... 65 Solución a la autoevaluación 1.7 ................................................. 66 Autoevaluación 1.8 ........................................................................... 66 Solución a la autoevaluación 1.8 ................................................. 66 Autoevaluación 1.9 ........................................................................... 67 Solución a la autoevaluación 1.9 ................................................. 67 Autoevaluación 1.10 ......................................................................... 68 Solución a la autoevaluación 1.10 .............................................. 68 Capítulo 2 Funciones ......................................................................... 70 2.1 Focalización: Funciones.................................................................................. 72 Aplicación 2.1.1 .................................................................................. 72 Actividad 2.1.1 .................................................................................... 73 2.2 Componentes en una relación ................................................................... 74 Actividad 2.2.1 .................................................................................... 75 VI w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS Aplicación 2.2.1 .................................................................................. 76 Aplicación 2.2.2 .................................................................................. 77 2.3 La función ........................................................................................................... 78 2.4 Acercamiento a la gráfica de una función de (cid:2) en (cid:2) ........................ 79 Actividad 2.4.1 .................................................................................... 81 Actividad 2.4.2 .................................................................................... 82 Aplicación 2.4.1 .................................................................................. 84 Acercamiento a las funciones definidas a trozos ................................. 86 Aplicación 2.4.2 .................................................................................. 86 Actividad 2.4.3 .................................................................................... 87 Actividad 2.4.4 .................................................................................... 88 Actividad 2.4.5 .................................................................................... 88 Actividad 2.4.6 .................................................................................... 89 Aplicación 2.4.3 .................................................................................. 90 Aplicación 2.4.4 .................................................................................. 91 2.5 Gráfica de una función de (cid:2) en (cid:2) ............................................................ 92 Efectos geométricos en las gráficas .......................................................... 93 2.6 Acercamiento a las operaciones con funciones ................................... 93 Actividad 2.6.1 .................................................................................... 96 Actividad 2.6.2 .................................................................................... 97 Aplicación 2.6.1 .................................................................................. 98 Aplicación 2.6.2 .................................................................................. 99 2.7 Operaciones entre funciones ...................................................................... 100 2.8 Focalización. Función composición ........................................................... 101 Aplicación 2.8.1 .................................................................................. 101 Actividad 2.8.1 .................................................................................... 102 Aplicación 2.8.2 .................................................................................. 102 Aplicación 2.8.3 .................................................................................. 104 2.9 Función composición e inversa .................................................................. 104 2.10 Acercamiento a tipos de funciones ........................................................... 105 Actividad 2.10.1 ................................................................................. 106 Aplicación 2.10.1 ............................................................................... 106 Aplicación 2.10.2 ............................................................................... 107 2.11 Tipos de funciones .......................................................................................... 108 Actividad 2.11.1 ................................................................................. 111 Ejercicios 2.1 ....................................................................................... 112 Autoevaluación 2.1 ........................................................................... 122 Solución a la autoevaluación 2.1 ................................................. 122 Autoevaluación 2.2 ........................................................................... 123 Solución a la autoevaluación 2.2 ................................................. 123 Autoevaluación 2.3 ........................................................................... 124 Solución a la autoevaluación 2.3 ................................................. 124 Autoevaluación 2.4 ........................................................................... 125 CONTENIDO w VII Solución a la autoevaluación 2.4 ................................................. 126 Autoevaluación 2.5 ........................................................................... 126 Solución a la autoevaluación 2.5 ................................................. 127 Autoevaluación 2.6 ........................................................................... 128 Solución a la autoevaluación 2.6 ................................................. 128 Autoevaluación 2.7 ........................................................................... 129 Solución a la autoevaluación 2.7 ................................................. 130 Capítulo 3 Límites y continuidad ................................................... 132 3.1 Focalización: Límites........................................................................................ 134 Aplicación 3.1.1 .................................................................................. 134 Actividad 3.1.1 .................................................................................... 134 Aplicación 3.1.2 .................................................................................. 136 Actividad 3.1.2 .................................................................................... 137 Aplicación 3.1.3 .................................................................................. 139 3.2 El límite ................................................................................................................ 140 3.3 Focalización. Límites laterales ...................................................................... 141 Actividad 3.3.1 .................................................................................... 142 Aplicación 3.3.1 .................................................................................. 143 3.4 Nuevo acercamiento al límite bilateral ..................................................... 144 Actividad 3.4.1 .................................................................................... 144 Aplicación 3.4.1 .................................................................................. 146 3.5 Límites laterales y el límite ........................................................................... 147 3.6 Límites infinitos ................................................................................................. 148 3.7 Límites al infinito .............................................................................................. 148 3.8 Focalización. Continuidad y discontinuidad ............................................ 149 Actividad 3.8.1 .................................................................................... 149 Actividad 3.8.2 .................................................................................... 150 Aplicación 3.8.1 .................................................................................. 151 Aplicación 3.8.2 .................................................................................. 152 3.9 Asíntotas .............................................................................................................. 153 Actividad 3.9.1 .................................................................................... 153 Aplicación 3.9.1 .................................................................................. 154 Actividad 3.9.2 .................................................................................... 155 Aplicación 3.9.2 .................................................................................. 156 3.10 Continuidad ........................................................................................................ 157 3.11 Discontinuidad .................................................................................................. 158 3.12 Teoremas sobre continuidad ....................................................................... 160 Actividad 3.12.1 ................................................................................. 160 Ejercicios 3.1 ....................................................................................... 160 Autoevaluación 3.1 ........................................................................... 171 VIII w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS Solución a la autoevaluación 3.1 ................................................. 171 Autoevaluación 3.2 ........................................................................... 172 Solución a la autoevaluación 3.2 ................................................. 173 Autoevaluación 3.3 ........................................................................... 173 Solución a la autoevaluación 3.3 ................................................. 174 Autoevaluación 3.4 ........................................................................... 174 Solución a la autoevaluación 3.4 ................................................. 175 Autoevaluación 3.5 ........................................................................... 175 Solución a la autoevaluación 3.5 ................................................. 176 Capítulo 4 Derivada ........................................................................... 178 4.1 Focalización. Derivada .................................................................................... 180 Aplicación 4.1.1 .................................................................................. 180 Actividad 4.1.1 .................................................................................... 181 Velocidad: razón de cambio ......................................................................... 182 Actividad 4.1.2 .................................................................................... 182 Actividad 4.1.3 .................................................................................... 184 Procedimiento 4.1.3 ......................................................................... 184 Actividad 4.1.4 .................................................................................... 185 Aplicación 4.1.2 .................................................................................. 186 Aplicación 4.1.3 .................................................................................. 186 4.2 Derivada .............................................................................................................. 188 Derivada como pendiente de la recta y diferenciales ........................ 189 Actividad 4.2.1 .................................................................................... 190 Actividad 4.2.2 .................................................................................... 192 Aplicación 4.2.1 .................................................................................. 193 Derivadas sucesivas ........................................................................................ 194 Actividad 4.2.3 .................................................................................... 194 Acercamiento al crecimiento y la concavidad ....................................... 196 Actividad 4.2.4 .................................................................................... 196 Actividad 4.2.5 .................................................................................... 198 Aplicación 4.2.2 .................................................................................. 200 Aplicación 4.2.3 .................................................................................. 202 Aplicación 4.2.4 .................................................................................. 203 Derivadas sucesivas y de orden superior ................................................ 204 4.3 Focalización. Derivada lateral ....................................................................... 204 Actividad 4.3.1 .................................................................................... 204 4.4 Teoremas básicos sobre derivada .............................................................. 206 Actividad 4.4.1 .................................................................................... 206 Actividad 4.4.2 .................................................................................... 208 Actividad 4.4.3 .................................................................................... 210 Aplicación 4.4.1 .................................................................................. 212 Regla de la cadena .......................................................................................... 213 CONTENIDO w IX 4.5 Focalización. Funciones implícitas .............................................................. 214 Actividad 4.5.1 .................................................................................... 215 Derivación implícita ......................................................................................... 216 Derivadas laterales ........................................................................................... 217 Aplicación 4.5.1 .................................................................................. 218 Actividad 4.5.2 .................................................................................... 219 Ejercicios 4.1 ....................................................................................... 220 Autoevaluación 4.1 ........................................................................... 229 Solución a la autoevaluación 4.1 ................................................. 229 Autoevaluación 4.2 ........................................................................... 230 Solución a la autoevaluación 4.2 ................................................. 230 Autoevaluación 4.3 ........................................................................... 231 Solución a la autoevaluación 4.3 ................................................. 231 Autoevaluación 4.4 ........................................................................... 231 Solución a la autoevaluación 4.4 ................................................. 232 Autoevaluación 4.5 ........................................................................... 232 Solución a la autoevaluación 4.5 ................................................. 232 Autoevaluación 4.6 ........................................................................... 233 Solución a la autoevaluación 4.6 ................................................. 233 Capítulo 5 Aplicaciones de la derivada ........................................ 234 5.1 Focalización. Aplicaciones de la derivada ................................................ 236 Aplicación 5.1.1 .................................................................................. 236 Actividad 5.1.1 .................................................................................... 237 Actividad 5.1.2 .................................................................................... 238 Aplicación 5.1.2 .................................................................................. 239 Aplicación 5.1.3 .................................................................................. 240 5.2 La derivada ......................................................................................................... 241 Derivada como tangente de una curva ................................................... 241 Derivada como velocidad ............................................................................. 241 Derivada como razón de cambio ............................................................... 242 5.3 Focalización. Máximos y mínimos .............................................................. 242 Actividad 5.3.1 .................................................................................... 242 Aplicación 5.3.1 .................................................................................. 244 Actividad 5.3.2 .................................................................................... 245 Aplicación 5.3.2 .................................................................................. 246 5.4 Sensibilidad al cambio. Crecimiento y decrecimiento ........................ 246 5.5 Puntos extremos............................................................................................... 248 Actividad 5.5.1 .................................................................................... 248 Actividad 5.5.2 .................................................................................... 249 Aplicación 5.5.1 .................................................................................. 249 Aplicación 5.5.2 .................................................................................. 251 5.6 Concavidad ......................................................................................................... 252
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