Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis: Funktionentheorie · Nullstellen · Polynome · Determinanten · Zahlentheorie PDF
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Georg P61ya. Gabor Szegö Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis Zweiter Band Funktionentheorie' Nullstellen . Polynome Determinanten' Zahlentheorie 4. Auflage Springer-Verlag Berlin . Heidelberg . N ew Y ork 1971 Prof. Dr. GEORG P6LYA Prof. Dr. GABOR SZEGÖ Department of Mathematics, Stanford University Stanford, CA/USA Die 1., 2. und 3. Auflage erschien als Band 20 in den Grundlehren der mathematischen Wissenschaften AMS Subject Classifications (1970): 10-01, 15-01, 26-01, 30-01, 50-01 ISBN-13: 978-3-540-05456-6 e-ISBN-13: 978-3-642-61987-8 DOI: 10.1007/978-3-642-61987-8 Das Werk ist urheberredltlidt gesdtützt. Die dadurdt begründeten Redtte, insbesondere die der übersetzung, des Nadtdruckes, der Entnahme 'von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomedtanisdtem oder ähnlidtem Wege und der Speidterung in Daten- verarbeitungsanlagen bleiben, audt bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Bei Vervielfältigungen für gewerblidte Zwecke ist gemäß § 54 UrhG eine Vergütung an den Verlag zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. © by Springer-Verlag Berlin . Heidelberg 1925, 1964 and 1971. Softcover reprint ofthe hardcover Ist Edition 1971 Die Wiedergabe von Gebraudtsnamen, Handelsnamen, Warenbezeidtnungen usw. in diesem Werk beredttigt audt ohne b. .o ndere Kennzeidtnung nidtt zu der Annahme, daß soldte Namen im Sinne der Warenzeidten- und Markensdtutz-Gesetzgebung als frei zu betradtten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Offsetdruck Juliu. Beltz, Weinheim/Bergstr. Vorwort zur vierten Auflage. Der im Vorwort zur vierten Auflage des ersten Bandes angekündigte Anhang mußte leider wegen der damit verbundenen starken Umfangs erweiterung ausgelassen werden, und so stimmt die vorliegende Auflage mit der Originalauflage überein, abgesehen von der Berichtigung einiger Druckfehler. Das für den geplanten Anhang gesammelte Material wird der in Vorbereitung begriffenen englischen Ausgabe des Gesamtwerkes einverleibt. Zürich und Stanford, April 1971 Georg P6lya . Gabor Szegö Achtung! Bitte legen Sie diesen Zettel in Ihr Exemplar ein: Heidelberger Taschenbücher. Band 73 P6lya/Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis I Berichtigungen + ... + (2m -n)K 2m S. 51, Z. 22 ] 2m S.164, Z. 2 S.230, Z. 9 S. 275, Z. 23 ... ist (Wurzeh positiv I), und .. · Inhaltsverzeichnis. Vierter Abschnitt. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Spezieller Teil. 1. Kapitel. Maximalglied und Zentralindex, Maximalbetrag und Auf- Lö- ca- IUD- Aufgaben- Nullstellenanzahl. ben. sen· Nummern Seite Seite § 1 (1-40). Analogie zwischen ,a(r) und M(r) , ver) und N(r) 1 168 § 2' (41 -47). Weiteres tlber ,a (r) und v (r) ........ . 6 173 § 3 (48-66). Zusammenhang zwischen ,a (r), "(r), M(r) , N(r) 7 175 § 4 (67-76). ,a(r) und M(r) unter speziellen Regularitätsvoraus- setzungen ................... . 10 180 2. Kapitel. Schlichte Abbildungen. § 1 (77-83). Vorbereit«:ndes ........ . 13 185 § 2 (84-87). Eindeutigkeitssätze. . . . . . . . 15 186 § 3 (88-96). Existenz der Abbildungsfunktion .. 15 187 § 4 (97-120). Der innere und der äußere Radius. Die normierte Ab bildungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 190 § 5 (121-135). Beziehungen zwischen den Abbildungen verschiedener Gebiete . . . . . . . . . . . ...... . 21 195 16(136-163). Der Koebesche Verzerrungssatz und Verwandtes 24 198 3. Kapitel. Vermischte Aufgaben. § 1 (164-174). Verschiedenes ............ . . . . . . 29 205 12 (175-179). Eine Schlußweise von E. Landau . .•......• 31 210 § 3 (180-187). Geradlinige Annäherung an eine wesentliche singuläre Stelle •... _ .......•........ 32 211 §4 (188-194). Konvergenzwerte ganzer Funktionen ...... . 33 213 § 5 (195-205). Weitere Anwendungen der Phragmln-Lindeliijschen Methode ................... . 34 215 VIII Inhaltsverzeichnis. Fü nfter Abschnitt. Die Lage der Nullstellen. 1. Kapitel. Auf_ La- p- sun- Aufgaben- Der Satz von RoUe und die Regel von Descartes. bon. gen. Nummern Seite Seite § 1 (1-21). Nullstellen von Funktionen, Wechselstellen von Folgen 37 221 §2 (22-27). Zeichenänderungen einer Funktion . . . 40 224 § 3 (28.-41). Erster Beweis der Desaartesschen Regel . 41 225 §4 (42-52). Anwendungen der Descartesschen Regel . 44 228 § 5 (53-76). Anwendungen des Rolleschen Satzes 45 230 §6 (77-86). Lague"res Beweis der Descartesschen Regel 49 235 § 7 (87-91). Worauf beruht die Descartessche Regel? 52 238 §8 (92-100). Verallgemeinerungen des Rolleschen Satzes 53 239 2. Kapitel. Geometrisches über die NullstelIen von Polynomen. § 1 (101-110). Schwerpunkt eines Punktsystems in bezug auf einen Punkt. 55 242 §2(111-127). Schwerpunkt eines Polynoms in bezug auf einen Punkt. Ein Satz von Laguerre 57 243 § 3 (128-156). Ableitung eines Polynoms in bezug auf einen Punkt. Ein Satz von Grace . 61 246 3. Kapitel. Vermischte Aufgaben. § 1 (157-182). Annäherung der Nullstellen transzendenter Funktionen durch die Nullstellen rationaler 66 253 § 2 (183-189). Genaue Ermittlung der Nullstellenanzahl mit Hilfe der Descartesschen Regel 70 262 § 3 (190-196). Sonstiges über die Nullstellen von Polynomen. 73 264 Sechster A bsch ni tt. Polynome und trigonometrische Polynome. § (1-7)· Tschebyschejjsche Polynome. 75 266 § 2 (8-15). Allgemeines über trigonometrische Polynome 76 267 § 3 (16-28). Spezielle trigonometrische Polynome . 77 269 § 4 (29-38). Einiges über Fouriersche Reihen 79 272 § 5 (39-43). Nichtnegative trigonometrische Polynome 81 274 § 6 (44-49). Nichtnegative Polynome 82 275 § 7 (50-61). Maximum-Minimumaufgaben über trigonometrische Polynome. 83 277 § 8 (62-66). Maximum-Minimumaufgaben über Polynome 85 281 § 9 (67-76). Die Lagrangesche Interpolationsformel . 87 283 §1O (77-83). Die Sätze von S. Bernstein und A. Markott . 90 286 §11 (84-102). Legendresche Polynome und Verwandtes 91 287 § 12 (103-113). Weitere Maximum-Minimumaufgaben über Polynome. 95 296 Inhaltsverzeichnis. IX Siebenter Abschnitt. Auf- Lö- 1"- sun- Determinanten und quadratische Formen. ben. ren· Aufgaben- Nummern Seite Seite §1 (1-16). Berechnung von Determinanten. Auflösung linearer Gleichungen 98 299 §2 (17-34). Potenzreihenentwicklung rationaler Funktionen 101 304 §3 (35·-43). Erzeugung positiver quadratischer Formen .. 106 307 §4 (44-54). Vermischte Aufgaben 109 310 § 5 (55-72). Determinanten von Funktionensystemen 113 316 Achter Abschnitt. Zahlentheorie. 1. Kapitel. Zahlentheoretische Funktionen. § 1 (1-11). Aufgaben über den ganzen Teil von Zahlen. 117 323 §2 (12-20). Abzählung von Gitterpunkten 118 324 § 3 (21-27). Ein Satz der formalen Logik und seine Anwendungen 119 326 § 4 (28-37). Teile und Teiler 120 329 § 5 (38-42). Zahlent heoretische Funktionen. Potenzreihen und Dirichlet sche Reihen 123 331 §6 (43-64). Multiplikative zahlentheoretische Funktionen 126 331 §7 (65-78). Lambertsche Reihen und Verwandtes 129 336 §8 (79-83). 'Veiteres über Abzählung von Gitterpunkten 131 338 2. Kapitel. Ganzzahlige Polynome und ganzwertige Funktionen. § 1 (84-93). Ganzzahligkeit und Ganzwertigkeit von Polynomen 132 339 §2 (94-115). Ganzwertige Funktionen und ihre Primteiler 133 342 § 3 (116-129). Irreduzibilität der Polynome. 136 345 3. Kapitel. Zahlentheoretisches über Potenzreihen. § 1 (130-137). Vorbereitendes über Binomialkoeffizienten. 138 351 § 2 (138-148). Zum Satz von Eisens/ein 138 353 §3(149-154). Zum Beweis des Satzes von Eisenstein 141 355 §4 (155-164). Ganzzahlige Potenzreihen rationaler Funktionen 142 357 § 5 (165-173). Funktionentheoretisches über ganzzahlige Potenzreihen 143 359 §6(174-187). Potenzreihen, die im Hurwitzschen Sinne ganzzahlig sind 145 361 § 7 (188-193). Die Werte von Potenzreihen, die um z = konvergieren, 00 an ganzzahligen Stellen 148 364 4. Kapitel. Einiges über algebraische ganze Zahlen. § 1 (194-203). Algebraische ganze Zahlen. Körper. 148 367 §2 (204-220). Größter gemeinsamer Teiler 150 369 § 3 (221-227). Kongruenzen . 152 373 § 4 (228-237). Zahlent heoretisches über Potenzreihen 154 374 x Inhaltsverzeichnis. 5. Kapitel. Auf· 1.6- ga- SUD- Aufgaben. Vermischte Aufgaben. ben. gen. Nummern SeIte SeIte § 1 (238-244). Das ebene quadratische Gitter. 156 376 § 2 (245-266). Vermischte Aufgaben ..... 158 379 Neunter Abschnitt. Anhang. Einige geometrische Aufgaben. § 1 .(1-25). Einige geometrische Aufgaben ••••.•..•.. 162 388 Na m e n ver z ei c h n i s zum II. Ban d·. . 402 Sachverzeichnis zu bei den Bänden 404 Berichtigungen ........... . 407 Bezeichnungen und Abkürzungen. Wir haben versucht, in Bezeichnungen und Abkürzungen möglichst konse quent vorzugehen und wenigstens innerhalb eines Paragraphen gleichbedeutende Größen mit denselben Buchstaben zu belegen. Einige Bezeichnungen sind durch besondere Erklärungen auf die Dauer von ein bis zwei Paragraphen festgelegt. Hiervon abgesehen wird die Bedeutung jedes Buchstaben in jeder Aufgabe neu erklärt, sofern nicht auf eine vorige Aufgabe verwiesen ist. Schließt sich eine Aufgabe der unmittelbar vorangehenden an, so wird sie mit dem Vermerk "Fortsetzung" eingeleitet. Schließt sie sich einer früheren an, so wird diese ihrer Nummer nach zitiert, z. B. "Fortsetzung von 288". In diesen beiden Fällen wird die Bezeichnung nicht neu erklärt. Abschnitte werden mit römischen, Kapitel (soweit notwendig) mit arabischen Nummern bezeichnet. Die Numerierung der einzelnen Aufgaben erfolgt in jedem Abschnitt von neuern. Die Aufgabennummern sind fett gedruckt. Innerhalb eines Abschnittes zitieren wir bloß die Aufgabennummer, in anderen Abschnitten jedoch auch die betreffende Abschnittsnummer. Z. B. heißt es IV 123, wenn wir nicht im IV. Abschnitt (im Aufgaben- oder Lösungsteil) sind, jedoch bloß 123 im ganzen IV. Abschnitt. Bemerkungen in eckigen Klammern [] bedeuten in der Aufgabe stets Finger zeig, in der Lösung Zitate (insbesondere am Anfang der Lösung), oder Hinweise auf andere Aufgaben, die bei den einzelnen Schlüssen der Lösung benötigt werden. Bemerkungen sonstiger Art sind in gewöhnliche Klammern gesetzt. Das Zitieren einer Aufgabennummer bezieht sich im Prinzip sowohl auf die eigentliche Aufgabe, wie auch auf die Lösung, sofern nicht das Gegenteil hervorgehoben wird, z. B.: [Lösung 38]. Quellenangaben sind fast immer in der Lösung enthalten. Ist die Aufgabe als solche bereits erschienen, so wird dies beim Zitieren hervorgehoben. Zitieren eines Namens, ohne Literatur, heißt, daß die Aufgabe uns als neu mitgeteilt wurde. Zeitschriften werden so abgekürzt wie bei dem .. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik". Die am häufigsten vorkommenden Zeitschriftenzitate sind: = Acta Math. Acta Mathematica. Arch.derMath. u. Phys. = Archiv der Mathematik und Physik. C. R. = Comptes Rendus de l'Academie des Sciences Paris. Deutsche Math.-Ver. = Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Gött. Nachr. = Nachrichten der Gesellschaft der \Vissenschaften zu Göttingen. = J. für Math. Journal für die reine und angewandte Mathematik. = Lond. M. S. Proc. Proceedings of the London Mathematical Sodety. = Math. Ann. Mathematische Annalen. = Math. Zeitschr. Mathematische Zeitschrift. = Nouv. Ann. Nouvelles Annales de mathematiques. Rom. Acc. L. Rend. = Atti della Reale Accademia dei Lincei, Roma. = S. M. F. Bull. Bulletin de la sodete matMmatique de France. Folgende Lehrbücher sind öfters und daher bloß mit dem Namen des Ver fassers zitiert worden (z. B. Cesaro, Hecke usw.): E. Cesaro, Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infini tesimalrechnung. Leipzig und Berlin: B. G. Teubner 1904. E. Hecke, Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahlen. Leipzig: Akademische Verlagsbuchhandlung 1923. XII Bezeichnungen und Abkürzungen. A. Hurwitz-R. Courant. Allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funk tionen. Geometrische Funktionentheorie. Berlin: J. Springer 1922. K. Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 2. Auflage. Berlin: J. Springer 1924. G. Kowalewski. Einführung in die Determinantentheorie. Leipzig: Veit & Co. 1909. Ferner mögen folgende Bezeichnungen besonders erwähnt werden. die konse quent befolgt wurden: a. --. a heißt: a. strebt gegen a (für n --. 00). t a. "'" b. (lies: a" ist assymptotisch gleich b.) heißt: b. 0 für genügend große n un d 1a1. --. 1 (für n --. 00). " > O(a.) bzw. o (a,,). a" O. bezeichnet eine Größe. die durch a" dividiert be- schränkt bleibt bzw. gegen 0 konvergiert (für n -+ 00). Analoge Bezeichnungen gelten auch für andere Grenzübergänge als n --. 00. + x --. a 0 bzw. x --. a - 0 bedeutet. daß x von rechts bzw. links gegen a konvergiert. = exp (x) e". e ist die Basis der natürlichen Logarithmen. Max (al' a •• ...• a .. ) bezeichnet diejenige (oder diejenigen) der n Zahlen a1' aB' ...• a". die von keiner anderen übertroffen werden. Ähnliche Bedeutung hat Min (al' a •• .•.• a,,). Analog erklärt man Maxf(x). Minl(x) für eine im Inter vall a. b definierte reelle Funktion. soweit sie dort ein Maximum oder ein Minimum besitzt. Ist dies nicht der Fall. so wird dieselbe Bezeichnung für die obere und untere Grenze von !(x) der Bequemlichkeit halber beibehalten. (Ähn lich. wenn x eine komplexe Variable ist.) sg'" bedeutet das Kl'oneckersche Symbol: + "'> 1 für O. { sg"'= 0 für "'=0. <0. - 1 für x [x] bedeutet die größte ganze Zahl. die x nicht übertrifft. Jedoch werden. wenn kein Mißverständnis zu befürchten ist. eckige Klammern auch anstatt gewöhnlicher ohne Erklärung gebraucht. z bedeutet die zu z konjugiert komplexe Zahl. sofern es sich um komplexe Zahlen handelt. Bezüglich des Zeichens ~ für die Majorantenbeziehung vgl. Bd. I. S. 9. = Die Determinante mit dem allgemeinen Element a. " ;., /1. 1. 2 •...• n, wird abkürzend so bezeichnet: .1 I .. lall,l~ oder laAp A•p=1.2. ...... oder la!.l' aJ.2' .... aJ. .. I~ Unter Gebiet verstehen wir eine zusammenhängende Menge. die aus lauter inneren Punkten besteht. unter Bereich ein durch seine Randpunkte ergänztes Gebiet. Unter einer stetigen Kurve verstehen wir das eindeutige stetige Bild des = + ,,= Intervalls 0;;;;;; t ;;;;;; t. d. h. die Gesamtheit der Punkte z x i 31 mit tp (I). 31= 11' (t). beide Funktionen tp(t) und lp(t) stetig im Intervalle o;;;;;;t;;;;;; t. Sie ist geschlossen. wenn tp(O) =< 't.p (I). 11'(0) = 11'(1). doppelpunktlos. wenn aus tp(ll) = = = tp (t.). 11' (11) 11' (t.). t1 notwendig t1 = O. '. 1 folgt. Anstatt doppel punktlos sagt man häufig einlach. Eine doppelpunktlose stetige Kurve. die nicht geschlossen ist, heißt auch ein doppelpunktloseI' Bogen. Eine doppelpunktlose geschlossene stetige Kurve (jordansche Kurve) zer legt die Ebene in zwei Gebiete, deren gemeinsamen Rand sie bildet. Integrationslinien von krummlinigen oder komplexen Integralen werden stillschweigend als stetig und rektifizierbar angenommen.
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