Aspects of twistor geometry and supersymmetric field theories within superstring theory (hep-th 0603098)

280 Pages·2006·2.555 MB·English

by  Saemann C.

Aspects of Twistor Geometry
and Supersymmetric Field Theories
within Superstring Theory
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Von der Fakult¨at fu¨r Mathematik und Physik der Universita¨t Hannover
zur Erlangung des Grades
Doktor der Naturwissenschaften
Dr. rer. nat.
genehmigte Dissertation von
Christian S¨amann
geboren am 23. April 1977 in Fulda

For there is nothing hidden, except that it should be made known;
neither was anything made secret, but that it should come to light.
Mark 4,22
Wir mu¨ssen wissen, wir werden wissen.
David Hilbert

To those who taught me
Betreuer: Prof. Dr. Olaf Lechtenfeld und Dr. Alexander D. Popov
Referent: Prof. Dr. Olaf Lechtenfeld
Korreferent: Prof. Dr. Holger Frahm
Tag der Promotion: 30.01.2006
Schlagworte: Nichtantikommutative Feldtheorie, Twistorgeometrie, Stringtheorie
Keywords: Non-Anticommutative Field Theory, Twistor Geometry, String Theory
ITP-UH-26/05
Zusammenfassung
DieResultate, dieindieserArbeitvorgestelltwerden,lassensichimWesentlichen zwei
Forschungsrichtungen in der Stringtheorie zuordnen: Nichtantikommutative Feldtheorie
sowie Twistorstringtheorie.
Nichtantikommutative DeformationenvonSuperra¨umenentstehenaufnatu¨rlicheWei-
se bei Typ II Superstringtheorie in einem nichttrivialen Graviphoton-Hintergrund, und
solchen Deformationen wurde in den letzten zwei Jahren viel Beachtung geschenkt. Zu-
na¨chst konzentrieren wir uns auf die Definition der nichtantikommutativen Deformation
von = 4 super Yang-Mills-Theorie. Da es fu¨r die Wirkung dieser Theorie keine Super-
N
raumformulierunggibt, weichenwirstattdessenaufdie¨aquivalenten constraint equations
aus. W¨ahrend der Herleitung der deformierten Feldgleichungen schlagen wir ein nichtan-
tikommutatives Analogon zu der Seiberg-Witten-Abbildung vor.
Einenachteilige Eigenschaft nichantikommutativer Deformationen ist, dass sie Super-
symmetrie teilweise brechen (in den einfachsten F¨allen halbieren sie die Zahl der erhal-
tenen Superladungen). Wir stellen in dieser Arbeit eine sog. Drinfeld-Twist-Technik vor,
mit deren Hilfe man supersymmetrische Feldtheorien derart reformulieren kann, dass die
gebrochenen Supersymmetrien wieder manifest werden, wenn auch in einem getwisteten
Sinn. Diese Reformulierung ermo¨glicht es, bestimmte chirale Ringe zu definieren und
ergibt supersymmetrische Ward-Takahashi-Identit¨aten, welche von gewo¨hnlichen super-
symmetrischen Feldtheorien bekannt sind. Wenn man Seibergs naturalness argument,
welches die Symmetrien von Niederenergie-Wirkungen betrifft, auch im nichtantikom-
mutativen Fall zustimmt, so erha¨lt man Nichtrenormierungstheoreme selbst fu¨r nichtan-
tikommutative Feldtheorien.
Im zweiten und umfassenderen Teil dieser Arbeit untersuchen wir detailliert geome-
trische Aspekte von Supertwistorr¨aumen, die gleichzeitig Calabi-Yau-Supermannigfal-
tigkeiten sind und dadurch als target space fu¨r topologische Stringtheorien geeignet sind.
Zun¨achst stellen wir die Geometrie des bekanntesten Beispiels fu¨r einen solchen Super-
twistorraum, P34, vor und fu¨hren die Penrose-Ward-Transformation, die bestimmte
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holomorphe Vektorbu¨ndel u¨ber dem Supertwistorraum mit Lo¨sungen zu den = 4
N
supersymmetrischen selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen verbindet, explizit aus. An-
schließend diskutieren wir mehrere dimensionale Reduktionen des Supertwistorraumes
P34 und die implizierten Vera¨nderungen an der Penrose-Ward-Transformation.
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Fermionische dimensionale Reduktionen bringen uns dazu, exotische Supermannig-
faltigkeiten, d.h. Supermannigfaltigkeiten mit zusa¨tzlichen (bosonischen) nilpotenten Di-
mensionen, zu studieren. Einige dieser Ra¨ume k¨onnen als target space fu¨r topologische
Strings dienen und zumindest bezu¨glich des Satzes von Yau fu¨gen diese sich gut in das
Bild der Calabi-Yau-Supermannigfaltigkeiten ein.
Bosonische dimensionaleReduktionenergeben dieBogomolny-Gleichungen sowieMa-
trixmodelle, die in Zusammenhang mit den ADHM- und Nahm-Gleichungen stehen.
(Tatsa¨chlich betrachten wir die Supererweiterungen dieser Gleichungen.) Indem wir bes-
timmte Terme zu der Wirkung dieser Matrixmodelle hinzufu¨gen, k¨onnen wir eine kom-
plette A¨quivalenz zu den ADHM- und Nahm-Gleichungen erreichen. Schließlich kann
die natu¨rliche Interpretation dieser zwei Arten von BPS-Gleichungen als spezielle D-
Branekonfigurationen in Typ IIB Superstringtheorie vollsta¨ndig auf die Seite der topo-
logischen Stringtheorie u¨bertragen werden. Dies fu¨hrt zu einer Korrespondenz zwischen
topologischen undphysikalischenD-Branesystemenundero¨ffnetdieinteressantePerspek-
tive, Resultate von beiden Seiten auf die jeweils andere u¨bertragen zu k¨onnen.

Abstract
There are two major topics within string theory to which the results presented in this
thesis are related: non-anticommutative field theory on the one hand and twistor string
theory on the other hand.
Non-anticommutative deformations of superspaces arise naturally in type II super-
string theory in a non-trivial graviphoton background and they have received much at-
tention over thelasttwoyears. First,wefocusonthedefinitionofanon-anticommutative
deformation of = 4 super Yang-Mills theory. Since there is no superspace formulation
N
of the action of this theory, we have to resort to a set of constraint equations defined on
416
the superspace ~| , which are equivalent to the = 4 super Yang-Mills equations. In
R N
derivingthe deformedfield equations, we proposea non-anticommutative analogue of the
Seiberg-Witten map.
A mischievous property of non-anticommutative deformations is that they partially
break supersymmetry (in the simplest case, they halve the number of preserved super-
charges). In this thesis, we present a so-called Drinfeld-twisting technique, which allows
for a reformulation of supersymmetric field theories on non-anticommutative superspaces
in such a way that the broken supersymmetries become manifest even though in some
sensetwisted. Thisreformulation enables ustodefinecertain chiralringsand ityields su-
persymmetricWard-Takahashi-identities, well-known fromordinarysupersymmetricfield
theories. If one agrees with Seiberg’s naturalness arguments concerning symmetries of
low-energy effective actions also in the non-anticommutative situation, one even arrives
at non-renormalization theorems for non-anticommutative field theories.
In the second and major part of this thesis, we study in detail geometric aspects
of supertwistor spaces which are simultaneously Calabi-Yau supermanifolds and which
are thus suited as target spaces for topological string theories. We first present the
geometry of the most prominent example of such a supertwistor space, P34, and make
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explicit the Penrose-Ward transform which relates certain holomorphic vector bundles
overthesupertwistorspacetosolutionstothe = 4supersymmetricself-dualYang-Mills
N
equations. Subsequently, we discuss several dimensional reductions of the supertwistor
space P34 and the implied modifications to the Penrose-Ward transform.
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Fermionic dimensional reductions lead us to study exotic supermanifolds, which are
supermanifolds with additional even (bosonic) nilpotent dimensions. Certain such spaces
can be used as target spaces for topological strings, and at least with respect to Yau’s
theorem, they fit nicely into the picture of Calabi-Yau supermanifolds.
Bosonic dimensional reductions yield the Bogomolny equations describing static mo-
nopole configurations as well as matrix models related to the ADHM- and the Nahm
equations. (In fact, we describe the superextensions of these equations.) By adding cer-
taintermstotheactionofthesematrixmodels,wecanrenderthemcompletelyequivalent
to the ADHM and the Nahm equations. Eventually, the natural interpretation of these
two kinds of BPS equations by certain systems of D-branes within type IIB superstring
theory can completely be carried over to the topological string side via a Penrose-Ward
transform. This leads to a correspondence between topological and physical D-brane sys-
tems and opens interesting perspectives for carrying over results from either sides to the
respective other one.
Contents
Chapter I. Introduction 15
I.1 High-energy physics and string theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.2 Epistemological remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.3 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.4 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chapter II. Complex Geometry 25
II.1 Complex manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.1.1 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.1.2 Complex structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II.1.3 Hermitian structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
II.2 Vector bundles and sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.2.1 Vector bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.2.2 Sheaves and line bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
II.2.3 Dolbeault and Cˇech cohomology . . . . . . . . . . . . . . . 36
II.2.4 Integrable distributions and Cauchy-Riemann structures . 39
II.3 Calabi-Yau manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II.3.1 Definition and Yau’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II.3.2 Calabi-Yau 3-folds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II.3.3 The conifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II.4 Deformation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II.4.1 Deformation of compact complex manifolds . . . . . . . . . 46
II.4.2 Relative deformation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Chapter III. Supergeometry 49
III.1 Supersymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III.1.1 The supersymmetry algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
III.1.2 Representations of the supersymmetry algebra . . . . . . . 51
III.2 Supermanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
III.2.1 Supergeneralities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III.2.2 Graßmann variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
III.2.3 Superspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III.2.4 Supermanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
III.2.5 Calabi-Yau supermanifolds and Yau’s theorem . . . . . . . 59
III.3 Exotic supermanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
III.3.1 Partially formal supermanifolds . . . . . . . . . . . . . . . 60
III.3.2 Thick complex manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
III.3.3 Fattened complex manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III.3.4 Exotic Calabi-Yau supermanifolds and Yau’s theorem . . . 64
III.4 Spinors in arbitrary dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
III.4.1 Spin groups and Clifford algebras . . . . . . . . . . . . . . 66
III.4.2 Spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67