Appunti di Logica Matematica

141 Pages·2015·0.85 MB·Italian

Appunti di Logica Matematica
Silvio Valentini
versione provvisoria e incompleta
3 dicembre 2015
ii
Indice
1 Introduzione 1
2 La nozione di verit`a 3
2.1 Un esempio matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Ancora un esempio matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 C’era un monaco buddista ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Un ultimo esempio matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Il gioco del HEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Un esempio taoista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 L’approccio classico e quello intuizionista 9
3.1 Un po’ di proposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.1 Proposizioni atomiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2 I connettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Facciamo parlare assieme un classico e un intuizionista . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Un linguaggio formale per scrivere di matematica ... . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 I quantificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4.1 Il quantificatore universale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4.2 Il quantificatore esistenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5 La descrizione di una struttura matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5.1 Il problema della descrizione di una struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5.2 Le strutture descritte da un insieme di proposizioni. . . . . . . . . . . . . . 22
4 Regole per ragionare 25
4.1 Le regole logiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1 Gli assiomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.2 Congiunzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.3 Disgiunzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.4 Trattare con ⊥ e (cid:62) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.5 Implicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.6 Negazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.7 I quantificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Regole per la proposizione Id . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 La struttura della verit`a 33
5.1 Reticoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Algebre di Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1 Le tabelline di verit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 Algebre di Heyting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 Relazioni tra algebre di Boole e algebre di Heyting . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.5 Algebre di Boole e di Heyting complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
iii
iv INDICE
6 Formalizzazione delle regole 43
6.1 Semantica e sintassi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.1 Interpretazione delle proposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 Le regole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2.1 I connettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2.2 I quantificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 Il teorema di completezza 61
7.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2 Il quasi teorema di completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3 Valutazione in uno spazio topologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.4 Un teorema alla Rasiowa-Sikorski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.5 La completezza del calcolo intuizionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.6 La completezza del calcolo classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.6.1 Ridursi solo al vero e al falso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8 Il teorema di Compattezza 75
8.1 Soddisfacibilit`a e compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.2 Alcune conseguenze del teorema di compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.2.1 Inesprimibilit`a al primo ordine della finitezza . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2.2 Non caratterizzabilit`a della struttura dei numeri naturali . . . . . . . . . . 77
8.2.3 Gli infinitesi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.3 La dimostrazione del teorema di compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.3.1 La definizione dell’ultraprodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.3.2 Dimostriamo il teorema di compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.4 Il teorema di completezza forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9 Il teorema di Incompletezza 85
9.1 Alcuni esempi di situazioni di G¨odel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2 Le funzioni ricorsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.3 Sottoinsiemi ricorsivi e ricorsivamente enumerabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.4 Teorie e sottoinsiemi dei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.5 La dimostrazione del teorema di incompletezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A Richiami di teoria degli insiemi 95
A.1 Collezioni e insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
A.1.1 Il concetto di concetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.1.2 Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
A.2 Relazioni e funzioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.2.1 Relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.2.2 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.3 Insiemi induttivi non numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.3.1 Liste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.3.2 Alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.4 Cardinalit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.4.1 Insiemi numerabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
A.4.2 Insiemi piu` che numerabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B Espressioni con ariet`a 117
B.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
B.2 Il linguaggio e i suoi elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
B.2.1 Applicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
B.2.2 Astrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B.2.3 La sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B.2.4 Il processo di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B.3 Teoria dell’uguaglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
INDICE v
B.3.1 Decidibilit`a dell’uguaglianza tra λ-espressioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B.4 Esercizi risolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
C Dittatori e Ultrafiltri 127
C.1 Il problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
C.2 Il Teorema di Arrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
C.3 Ultrafiltri e aggregazioni di preferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
C.4 Teorema di Arrow e ultrafiltri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
C.5 Dimostrazione del teorema di corrispondenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
C.6 Dimostrazione del teorema dell’ultrafiltro principale . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
D Correzione degli esercizi 133
D.1 La verit`a matematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
D.2 L’approccio classico e quello intuizionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
vi INDICE
Capitolo 1
Introduzione
Lo scopo generale di questo corso `e quello di analizzare il concetto di verit`a matematica e di
studiarequalistrumentimatematicipossonoessereutilizzatipertrattareinmodoconvenientecon
tale nozione1.
Inizieremo quindi analizzando alcuni esempi presi sia dall’esperienza matematica che dal lin-
guaggio utilizzato tutti i giorni che mettono in evidenza alcune ambiguit`a nella nozione di cosa sia
una proposizione e, di conseguenza, in quella di verit`a di una proposizione.
Apartiredaquestaanalisiintrodurremoleproposizionicheintendiamoutilizzareinquestocorso
di logica, con una particolare attenzione all’approccio classico e a quello intuizionista, proponendo
per esse le relative nozioni di verit`a.
Forniremo quindi delle prime regole, il calcolo dei sequenti, che ci permetteranno di ragionare
senza doverci ogni volta riferire direttamente alla nozione di verit`a di una proposizione.
Definiremo quindi due struttura matematiche, rispettivamente le algebre di Boole e le algebre
di Heyting, che tentano di formalizzare le nozioni di verit`a introdotte precedentemente.
Proporremo infine per ciascun approccio un nuovo sistema di calcolo, la deduzione naturale,
che permette di trattare ad un livello puramente sintattico le nozioni di verit`a considerate e ne
mostreremo la correttezza, vale a dire la validit`a del sistema di regole che devono affermano la
verit`a solamente per proposizioni che sono in effetti vere, e la sufficienza, cio`e la completezza del
sistema di regole che deve essere in grado di affermare la verit`a di tutte le proposizioni vere che si
possono esprimere nel linguaggio che consideriamo.
Studieremopoiilimitiespressiviedimostrativideisistemicheabbiamoproposto. Inparticolare
vedremo che il linguaggio per il quale siamo stati in grado di dimostrare correttezza e sufficienza
soffre di forti limiti espressivi e non ci lascia esprimere che una piccola parte delle proposizioni
di interesse matematico. Per di piu` i sistemi dimostrativi a nostra disposizione, cio`e calcolo dei
sequenti e deduzione naturale, si dimostreranno insufficienti a catturare la nozione di proposizione
vera in una struttura che intenda parlare (almeno) dei numeri naturali.
Ringraziamenti
Voglio ringraziare Massimo Corezzola e Susanno Calearo che mi hanno permesso di utilizzare
per la preparazione di queste note i loro appunti del corso di Logica Matematica che ho tenuto
rispettivamente nell’anno accademico 2005/06 e 2010/11.
1Comeesplicitamentespiegatonelfrontespizio,questaversionedegliappuntidelcorsodiLogicaMatematicasi
guarda bene dall’essere definitiva; si tratta piuttosto di alcune note ad uso degli studenti che per il momento non
sono ancora complete e possono contenere imprecisioni. Qualunque osservazione che possa portare ad un risultato
migliore`ebenvenuta.
1
2 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
Capitolo 2
La nozione di verit`a
Anche se il nostro scopo`e quello di analizzare la nozione di verit`a per le proposizioni matematiche
in questo capitolo non ci limiteremo a queste ma analizzeremo anche alcune frasi che si possono
incontrare nel parlato di tutti i giorni.
2.1 Un esempio matematico
Iniziamo comunque con un esempio di carattere matematico:
Dimostrare che esistono due numeri irrazionali tali che elevando
il primo al secondo si ottiene un numero razionale
Sipu`oottenereunadimostrazionemoltobrevediquestaaffermazioneragionandonelmodoseguen-
√ √ √ √
te. Siconsideri( 2) 2. Alloraabbiamounodeidueseguenticasi: o( 2) 2`erazionale,einquesto
caso abbiamo finito visto che abbiamo trovato due numeri irrazionali che elevati uno al secondo
√ √ √ √
danno un numero razionale, oppure ( 2) 2 `e un numero irrazionale; ma allora elevando ( 2) 2
√ √ √ √ √ √ √ √
a 2, i.e. un irrazionale elevato a un irrazionale, si ottiene (( 2) 2) 2 =( 2) 2 2 =( 2)2 =2
cio`e un numero razionale. Quindi in ogni caso abbiamo ottenuto il risultato desiderato.
Ora`echiaroche(quasi)ognimatematicosarebbesoddisfattoconquestadimostrazione;tuttavia
proviamo ad analizzare quel che abbiamo dimostrato per vedere se abbiamo davvero risposto alla
domanda che ci era stata fatta, o piuttosto, per provare a capire meglio se la domanda iniziale
non racchiudeva una certa dose di ambiguit`a. Infatti a voler essere precisi con la dimostrazione
precedente non abbiamo esibito due numeri irrazionali tali che elevando il primo al secondo si
ottiene un numero irrazionale; ci`o che abbiamo in realt`a dimostrato `e il fatto che non `e possibile
che tali numeri non esistano.
Quindisedimostrarel’esistenzadiqualcosasignificaesibirneunesempioinrealt`anonabbiamo
davvero risolto l’esercizio proposto mentre se dimostrare l’esistenza significa, piu` debolmente, far
vederechenonpu`oandaresempremalealloralanostradimostrazioneraggiungeilsuoscopo(quel
che`eimportante`enaturalmentenonfareconfusionetraleduenozionidiesistenza,comepurtroppo
accade talvolta).
Si pu`o naturalmente accontentarsi di utilizzare sempre la piu` debole tra le due nozioni, e
rinunciarequindifindall’inizioallasperanzadipoterutilizzarel’informazionenascostadentrouna
affermazione di esistenza di un particolare elemento, ma non si pu`o pretendere poi di poter dire
qualcosa sull’elemento che non siamo mai stati in grado di esibire.
Esercizio 2.1.1 Esibire due numeri irrazionali tali che il primo elevato al secondo sia un numero
razionale.
√ √
Esercizio 2.1.2 (Difficile) Determinare se ( 2) 2 `e razionale oppure no rendendo informativa la
dimostrazione precedente.
3
4 CAPITOLO 2. LA NOZIONE DI VERITA`
2.2 Ancora un esempio matematico
Analizziamo ora la seguente propriet`a:
Per ogni successione di numeri naturali (n ) ,
k k∈ω
esistono due numeri naturali i e j tali che i<j e n ≤n
i j
La prova piu` veloce di questa proposizione `e forse la seguente. Una successione altro non `e che
una funzione il cui dominio sono i numeri naturali; nel nostro caso quindi si tratta di una funzione
f dai numeri naturali verso i numeri naturali. Si consideri allora l’insieme {f(x) ∈ ω | x ∈ ω}
dei numeri naturali che costituiscono l’immagine di tale funzione. Per il principio del minimo, tale
insieme, essendo non vuoto, ha un elemento minimo f(i∗) in corrispondenza a un qualche numero
naturale i∗. La soluzione richiesta `e allora semplicemente di porre i≡i∗ e j ≡i∗+1.
E` chiaro che questa dimostrazione `e veloce ed elegante ma lascia un po’ con la curiosit`a di
sapere quali siano i valori dove la funzione smette di decrescere. Di nuovo non abbiamo davvero
esibitotalivalorimasolomostratochenonpu`oandaresempremale,valeadirenonpu`osuccedere
che si continui sempre a decrescere, ma non abbiamo dato nessuna indicazione di quali siano tali
valori, non li abbiamo cio`e saputi esibire.
In realt`a in questo caso non `e difficile ideare una procedura piu` informativa per esibire i valori
cercati. Una prima idea in questa direzione pu`o essere la seguente. Si consideri il primo valore
n nella sequenza, allora o un valore seguente `e maggiore di n , e in questo caso abbiamo risolto
0 0
il nostro problema, o tutti i valori seguenti sono minori di n . Ma in questo secondo caso, per il
0
principio dei cassetti1, ci devono essere un numero infinito di valori uguali nella sequenza e quindi
ancheinquestocasoavremounasoluzionedelnostroproblema. Tuttaviaancheinquestocasonon
si tratta ancora di una soluzione sufficientemente informativa (anche se `e comunque di qualcosa
di piu` informativo che nel primo caso) e possiamo fare di meglio, dare cio`e un metodo che risolve
davvero il problema proposto, permettendoci cio`e di esibire in un tempo finito, e noto a priori, gli
indici richiesti.
Possiamo infatti considerare nuovamente il primo valore n della successione. Abbiamo allora
0
due casi da considerare: o n ≤ n , e allora siamo a posto, o n < n . In questo secondo caso
0 1 1 0
possiamo proseguire analizzando n e di nuovo siamo nella situazione che o n ≤ n , risolvendo
2 1 2
il problema, o n < n < n . Se continuiamo in questo modo o arriviamo ad un passo in cui
2 1 0
n ≤ n risolvendo il problema o costruiamo una successione finita, che pu`o per`o essere al
k k+1
massimo lunga n passi, tale che n < n < ... < n < n e quindi al massimo in n passi
0 k+1 k 1 0 0
possiamo trovare gli indici richiesti.
Esercizio 2.2.1 Sia n un qualsiasi numero naturale e l ,l ,l ... sia una successione di n-ple di
0 1 2
numeri naturali, i.e. liste finite (m ,...,m ) con m ,...,m ∈ ω. Dimostrare che esistono due
1 n 1 n
indici i e j tali che i < j e, per ogni 1 ≤ k ≤ n, l ≤ l . (sugg.: abbiamo gia` visto come
ik jk
fare la dimostrazione quando n=1, possiamo allora continuare con una prova per induzione sulla
dimensione n delle n-ple considerate; si noti che si pu`o costruire la prova richiesta utilizzando il
principio dei cassetti)
2.3 C’era un monaco buddista ...
Possiamo introdurre il prossimo esempio con una breve storiella:
C’eraunmonacobuddistacheparteunmattinoalle8:00dalsuomonasteroperandareapregare
nel piccolo tempio in cima ad un alta montagna servito da un solo sentiero praticabile. Vi arriva
alle 15:00 e dopo essersi riposato un po’ inizia le sue preghiere fino a sera. Dopo un pasto frugale
si mette a dormire per ripartire il giorno seguente, sempre alle 8:00 per il viaggio di ritorno al
monastero dove giunge alle 13:00, giusto in tempo per il pranzo. Dimostrare che esiste un punto
nel sentiero dove il monaco `e passato entrambi i giorni alla stessa ora.
Siamodinuovodifronteallarichiestadidimostrarel’esistenzadiqualcosaequindidinuovoin
presenza della solita ambiguit`a. Tuttavia, a differenza che negli esempi che abbiamo visto prima,
1Si tratta del principio che afferma che se ho infiniti oggetti e un numero finito di cassetti in qualche cassetto
dovr`omettereinfinitioggetti; essogeneralizzalacomuneesperienzacheafferachesehok cassettieunnumerodi
oggettimaggioredik allorainqualchecassettodovr`ometterealmenodueoggetti.