Apollonius de Perge, Coniques: Livres II et III

710 Pages·2010·19.26 MB·French

by  Roshdi Rashed

Apollonius de Perge, Coniques
Tome 2.1: Livres II et III
≥
Scientia Graeco-Arabica
herausgegeben von
Marwan Rashed
Volume 1
Apollonius de Perge, Coniques
Texte grec et arabe e´tabli, traduit et commente´
sous la direction de Roshdi Rashed
Volume 1/2.1
Walter de Gruyter · Berlin · New York
Tome 2.1: Livres II et III
Commentaire historique et mathe´matique,
e´dition et traduction du texte arabe
par
Roshdi Rashed
Walter de Gruyter · Berlin · New York
ISBN 978-3-11-021715-5
e-ISBN 978-3-11-021716-2
ISSN 1868-7172
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AVANT-PROPOS
De l'aveu même d'Apollonius, les livres II et IIII des Coniques consti
tuent, avec les livres 1 et IV, les éléments fondamentaux de la géométrie des
coniques. Au livre II, on élabore la théorie des asymptotes d'une hyperbole,
acquis définitif en géométrie et, plus tard, en algèbre; dans le troisième livre,
on étudie les propriétés de la division harmonique, celles des foyers des
coniques à centre et celles des lieux à trois et quatre droites. C'est sur ce
socle que s'édifieront les recherches ultérieures, et on ne comprendrait rien à
l'avènement de la géométrie algébrique d'al-Khayyam et de Descartes, ni
aux travaux d'un Desargues, d'un Pascal ou d'un La Hire, sans ces livres
d'Apollonius.
Or les livres II et III des Coniques nous sont parvenus - avec 1 et IV - en
deux versions: une édition, en grec, d'Eutocius (VIe siècle) et une traduction
arabe du IXe siècle, qui appartiennent à deux traditions textuelles différentes.
En effet, alors que seuls les quatre premiers livres des Coniques semblent
avoir été connus d'Eutocius, le manuscrit grec traduit en arabe réunissait
sept des huit livres qui composaient initialement l'ouvrage d'Apollonius -le
huitième a été perdu définitivement très tôt. Nous avons retracé dans le
premier tome de cette nouvelle édition l'histoire de la tradition textuelle de
cette traduction arabe et examiné les rapports entre les deux versions, celle
ci et celle d'Eutocius. Nous rappelons ici quelques éléments de cette histoire,
pour éclairer le lecteur sur les raisons des différences, qu'il ne manquera pas
de constater, entre ces deux versions.
On constate en effet, entre l'édition d'Eutocius et la traduction arabe d'un
manuscrit grec, des différences irréductibles. Si certaines trouvent leur expli
cation dans les accidents qui ont pu survenir au cours de l'histoire du texte
des Coniques, ou encore dans les aléas de l'édition et de la traduction, c'est
néanmoins très vraisemblablement à Apollonius lui-même qu'en revient la
responsabilité majeure.
On sait en effet - c'est lui-même qui nous l'apprend - qu'Apollonius a
opéré une mise à jour de sa propre rédaction. Il avait rédigé les deux pre
miers livres une première fois, et cette rédaction circulait dans le milieu des
mathématiciens d'Alexandrie avant que lui-même lajuge caduque, en raison
de ses imperfections. Il se remet alors à la tâche pour rédiger la première
1 Sur l'histoire des textes des livres II et III, voir Apollonius: Les Coniques, tome
1.1: Livre J, Berlin / New York, 2008, p. 217-247.
VI Avant-propos
version officielle du livre l, qu'il envoie à son ami de Perge, Eudème. Il lui
expédie ensuite la rédaction autorisée du livre II, puis prépare la rédaction
officielle du livre III, toujours à son intention. Mais ce dernier meurt entre
temps et, après son décès, Apollonius expédie successivement les autres
livres à un certain Attale. Celui-ci ne pouvait évidemment comprendre ces
livres sans avoir entre les mains les trois premiers sur lesquels ils se fon
daient, d'autant plus que le livre IV complète le III. Tout indique qu' Apollo
nius a procédé à une révision des trois premiers livres avant de les adresser à
Attale pour qu'il puisse lire les suivants.
Ainsi peuvent s'éclairer les différences entre la version d'Eutocius et la
traduction arabe. Nous exposons au tome 1.1 de cette édition plusieurs rai
sons suggérant que l'édition d'Eutocius des trois premiers livres a été établie
pour l'essentiel à partir de la rédaction adressée à Eudème et que c'est la
version de ces mêmes livres mise à jour et expédiée à Attale que le traduc
teur arabe a eue à sa disposition. Quant au livre IV des Coniques, qui diffère
considérablement d'une version à l'autre, il est fortement corrompu dans
l'édition d'Eutocius. Ainsi, la discontinuité entre le livre IV et les trois pre
miers dont on pourrait faire grief à Apollonius en se fondant sur la version
d'Eutocius n'est qu'illusoire, puisque la version arabe ne présente aucune
solution de continuité entre ces quatre livres qui forment effectivement, on le
verra, un groupe compact.
Mais venons-en plus particulièrement aux livres II et III de la version
arabe, établis et traduits ici pour la première fois, afin de déterminer la place
que chacun occupe dans l'ensemble du traité. On examinera tout d'abord
comment Apollonius concevait son propre ouvrage.
Dans le prologue du premier livre, qui tient lieu de préface à l'ensemble
du traité, Apollonius partage explicitement les Coniques en deux groupes de
quatre livres. Les quatre premiers sont consacrés à une « introduction
élémentaire », « àywYDv CYTOlXW.0ÔY) »2. Les quatre suivants sont qualifiés
par Apollonius de « TTE:plOUCYlUCYTlXWTEpU », « plus riches ». Pour com
prendre le rôle que le mathématicien assignait aux livres II et III, il nous faut
donc saisir ce qu'il entendait par « CYTOlXElWÔY)Ç ». Le mot ne reparaît pas
dans les Coniques et ce serait clore le dossier avant de l'ouvrir que de ren
voyer directement au sens de 1'« élémentaire» chez Euclide. Apollonius
peut en effet fort bien emprunter le terme à son prédécesseur et en changer,
de l'intérieur, la signification. Nous devons donc, pour y voir plus clair,
revenir à la distinction qu'il établit entre les deux groupes de livres.
2 Le traducteur arabe, en rendant cette expression grecque par « introduction et
fondements» (ka-al-madkhal wa-al-u$ül), a été plus sensible que bien des modernes,
comme on va le voir, aux connotations voulues par Apollonius.
Avant-Propos VII
Les livres du second groupe sont, dit-il, « plus riches », dans la mesure où
chacun est consacré à un thème particulier, qu'il faut travailler spécifique
ment et en profondeur. L'étude devra en être exhaustive, dans les limites du
possible. Le cinquième livre porte sur les lignes maximales et minimales, le
sixième sur l'égalité et la similitude des sections coniques et le septième sur
la variation des grandeurs associées aux diamètres et aux diamètres conju
gués. Ces études spécialisées exigent une connaissance préalable des résultats
établis dans les deux premiers livres, et une familiarité avec les deux sui
vants ; c'est-à-dire la maîtrise des livres consacrés aux éléments fondateurs
de la géométrie des coniques en général.
On vient de toucher du doigt le premier sens de « élémentaire» : c'est ce
dont la maîtrise est requise par toute recherche nouvelle et spécialisée.
Mais une question se pose alors aussitôt: ne doit-on attendre d'un livre
« élémentaire» aucun résultat nouveau, aucune recherche spécialisée?
Répondre par l'affirmative, ce serait considérer ces livres, donc en particulier
les livres II et III, comme l'exposé de la somme d'un savoir déjà acquis. Et
de fait, on lit parfois qu'Apollonius a procédé dans ces livres à une refonte,
sur un autre plan et sur d'autres bases, de résultats déjà obtenus par Euclide,
Conon, Archimède, entre autres; seuls les quatre derniers livres renferme
raient d'authentiques nouveautés.
Apollonius a lui-même devancé cette question et réfuté par provision une
telle interprétation. Il affirme en effet à plusieurs reprises que le livre III
contient des résultats « admirables et utiles »3. Il répète, dans le prologue du
livre IV cette fois:
Toutes ces choses dont nous avons affirmé que personne ne les a men
tionnées exigent de nombreuses propositions, variées et étonnamment nou
velles ; et en effet nombre de celles que j'ai mentionnées dans les trois pre
miers livres sont elles aussi admirables, et j'en exposerai le reste dans ce
livré.
On peut développer une argumentation analogue pour le livre II et la
théorie des asymptotes qu'il expose. Autrement dit, les livres
« élémentaires », dont les livres II et III, contiennent des résultats inédits, en
sorte que la nouveauté n'est pas l'apanage du second groupe.
Par ailleurs, ces livres « élémentaires» ne se réduisent pas à l'exposé des
éléments de la géométrie des coniques en général: on y rencontre aussi
l'étude de thèmes spécialisés. Au livre III, par exemple, on étudie successi-
3 Cf. Apollonius: Les Coniques, tome l.1 : Livre l, commentaire historique et
mathématique, édition et traduction du texte arabe par R. Rashed, Berlin / New York,
2008, p. 252.
4 Apollonius: Les Coniques, tome 2.2: Livre IV, Berlin / New York, 2009,
p. 118.
vm
Avant-propos
vement : l'égalité des aires des triangles ou quadrilatères formés par les tan
gentes et les diamètres; les propriétés de la puissance d'un point pour les
sections; la division harmonique; les divisions découpées sur les tangentes
et les asymptotes ; les foyers des coniques à centre; les lieux de trois et
quatre droites - autant de thèmes spécialisés dont certains, les foyers par
exemple, ne seront plus évoqués dans les livres suivants. Il en est de même
pour le quatrième livre, consacré à la détermination du nombre des points
d'intersection d'une droite variable et d'une conique, et des sections
coniques entre elles. On peut repérer des traces de cette étude dans le der
nier groupe des propositions du livre V, mais sans qu'elle soit évoquée en
personne.
Ce qui distingue l'étude des thèmes spécialisés dans les quatre premiers
livres de celle qui est poursuivie dans le second groupe serait plutôt, me
semble-t-il, que, dans le premier cas, il s'agira de fournir les instruments
mathématiques nécessaires à la poursuite de la recherche en géométrie des
coniques de l'époque. Les livres du premier groupe élaborent en effet les
notions de base et les instruments requis par la recherche dans des domaines
variés et spécialisés de la géométrie des coniques, que ceux-ci soient ou non
abordés par le traité d'Apollonius, instruments à la portée des géomètres du
temps. La théorie des foyers par exemple qui, nous venons de le dire, n'est
pas reprise dans la suite des Coniques, sera exploitée plus tard par les catop
triciens, sans être profondément transformée.
Si donc on peut saisir ce qu'Apollonius entend par « élémentaire» lors
qu'il qualifie les quatre premiers livres de son ouvrage, reste à savoir s'ils le
sont tous au même titre.
Commençons par noter un trait qui distingue le premier groupe du
second. Contrairement aux livres V à VII, qui sont indépendants les uns des
autres, les quatre premiers livres s'enchaînent successivement l'un à l'autre.
Sans doute est-ce cette dépendance que Th. Heath voulait souligner lorsqu'il
écrivait que ces derniers « contain a connected and scientific exposition of
the general the ory of conie sections as the indispensable basis for further
extensions ofthe subject in certain special direction »5.
Il est vrai que les quatre premiers livres sont liés entre eux, comme l'in
dique le tableau ci-dessous. Mais les deux premiers le sont plus intimement
et, surtout, ils constituent les bases de la recherche qui s'enchaînera du livre
V au livre VII. C'est donc aux livres 1 et II que convient la remarque de
l'éminent historien, plus qu'aux deux suivants. En effet, dans le premier
livre, Apollonius traite de la génération des sections coniques, de leurs
5 Apollonius of Perga. Treatise on Conic Sections, Cambridge, edited in modem
notation with introductions including an essay on the earlier history of the subject by
Th. L. Heath, Cambridge, Cambridge University Press, 1896; repr. 1961, p. lxxvi.
Avant-Propos IX
dénominations, de la détermination des symptômes, des tangentes et des
diamètres, etc. Dans le second, il complète cette recherche par la théorie des
asymptotes d'une hyperbole. Autant de résultats qui seront explicitement
exploités dans tous les suivants, ce qui n'est pas le cas des livres III et IV.
Pour illustrer les liens de dépendance entre les livres, nous avons recensé
dans le tableau suivant la fréquence, pour chaque livre, du recours dans les
démonstrations aux résultats démontrés dans les livres précédents6.
l II III IV V VI VII
l 41 39 43 12 16 26 23
II 44 41 19 24 5 6
III 50 29 0 0 0
N 29 0 0 0
V 153 0 0
VI 40 0
VII 82
• La diagonale atteste le grand nombre d'auto-références dans chaque
livre, significatif du mode de rédaction d'Apollonius, qui conçoit son traité
comme une succession d'essais relativement autonomes.
• Le livre III est étroitement solidaire des deux premiers.
• Le livre IV dépend davantage du troisième que des deux premiers.
• Les livres V, VI et VII utilisent les résultats des deux premiers, mais ne
font pas explicitement référence à ceux des livres III et IV.
• Les livres V, VI et VII sont des essais successifs indépendants entre eux.
Enfin, si les quatre premiers livres forment, comme le voulait Apollonius,
un groupe distinct, dans ce dernier les livres III et IV n'ont pas le même sta
tut que les deux précédents, si on considère l'usage qui est fait de leurs
résultats dans le groupe des livres V à VII. Les livres III et IV sont, pourrait
on dire, dans une situation intermédiaire entre les deux premiers et les trois
derniers, tant par l'usage de leurs résultats que par la spécialisation de la
recherche qui y est menée.
On voit ainsi que cette « introduction élémentaire» n'a pas le sens uni
voque et simple qui ressortait d'une première lecture. Ce n'est assurément
pas le sens que l'expression peut revêtir lorsqu'il s'agit d'un exposé axio-
6 Ces références sont celles d'Apollonius lui-même, ou de Al)mad ibn Müsa, mais,
dans tous les cas, elles s'imposent lors de l'analyse des démonstrations d'Apollonius
- on ne tient pas compte du nombre des occurrences à l'intérieur d'une même
proposition.