Analysis und lineare Algebra - Arnold Neumaier - Universität Wien

456 Pages·2008·2.86 MB·German

Analysis und lineare Algebra
Vorlesungsskript
Version vom 12.02.2008
Prof. Dr. Arnold Neumaier
Fakult¨at fu¨r Mathematik, Universit¨at Wien
Nordbergstr. 15, A-1090 Wien, O¨sterreich
email: [email protected]
copyright c by Arnold Neumaier
(cid:13)

Inhaltsverzeichnis
1 Mathematische Grundbegriffe 1
2 Zahlen 15
3 Vektoren und der physikalische Raum 31
4 Folgen, Summen und Produkte 51
5 R¨aume und Wege 59
6 Lineare Algebra 85
7 Felder 105
8 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 119
9 Tensoren und Determinanten 139
10 Grenzwerte 163
11 Differentialoperatoren und Differentialformen 175
12 Rationale Funktionen 191
13 Topologie 209
14 Unendliche Reihen 237
15 Elementare Funktionen 253
16 Hilbertr¨aume 271
17 Periodische Funktionen 273
i
ii INHALTSVERZEICHNIS
18 Matrixzerlegungen und Spektraltheorie 293
19 Kurvenintegrale 333
20 Integration und Wahrscheinlichkeit 357
21 Maßtheorie 385
22 Volumenintegrale 401
23 Fl¨achen und Fl¨achenintegrale 419
Der Abbildungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
INHALTSVERZEICHNIS iii
Dies ist eine rigorose, einheitliche Darstellung des Basisstoffs der Mathematik, unter beson-
derer Beru¨cksichtigung der Belange von Physikstudenten.
Analysis und lineare Algebra werden nicht getrennt behandelt, sondern so, daß ihre Wech-
selwirkung schon fru¨h deutlich und nutzbar wird.
Außerdem wurde versucht, wichtige, in der Physik fru¨h ben¨otigte Konzepte (insbesondere
Vektorprodukt und Gradient) so bald wie m¨oglich bereitzustellen, ohne daß die logische
Konsequenz darunter leidet. Schulkenntnisse u¨ber elementare Funktionen werden lediglich
in Kapitel 3 und in einigen Beispielen und Rechenaufgaben vorausgesetzt; diese werden
aber sp¨ater (Kapitel 15) ebenfalls rigoros fundiert.
Zuordnung des Stoffs zu den traditionellen Vorlesungen:
(rundeKlammern=kannsowohlimanalytischenalsauchimalgebraischenZweigbehandelt
werden; (eckige Klammern = nur zum Teil ins Gebiet fallend)
Lineare Algebra I : 1, 3, (4), 6, 8, 9, [11), [12]
Analysis I : 2, (4), 5, 7, 10, [11), [12]
Lineare Algebra II : (16), 18, [20], mehr analytische Geometrie
Analysis II : 14, 15, (16), 17, 19, [20], 21, 22, 23
Die großen Kapitel 5, 9, 13, 18, 20 werden vermutlich noch geteilt. In einigen Kapiteln habe
ich noch einige gr¨oßere A¨nderungen vor:
In Kapitel 6 soll der Grenzwertbegriff schon eingefu¨hrt und zur Definition der Ableitung
benutzt werden, dann soll die Steigungsinterpretation bewiesen und benutzt werden. An
Umgebungen sollen nur Kugelumgebungen erscheinen, der Hausdorff-Raum wird auf das
Topologie-Kapitel verschoben.
Kapitel 16 ist noch nicht ausgearbeitet und besteht derzeit nur aus ein paar Stichpunkten.
In Kapitel 20 will ich versuchen, auf unendliche Reihen zu verzichten; dann k¨onnte man
vielleicht das Kapitel dem u¨ber Topologie voranstellen.
Die zahlreichen Abbildungen wurden dankenswerterweise von Dr. Waltraud Huyer und
Mag. Erich Dolejsi erstellt.
Diese vorl¨aufige Version soll sp¨ater zu einem Buch ausgearbeitet werden. Daher bin ich fu¨r
die Mitteilung von Druckfehlern und Ungenauigkeiten sowie fu¨r konstruktive Kritik an der
Darstellung, Wu¨nsche fu¨r zus¨atzliche Beispiele, Erkl¨arungen und Bilder dankbar.
Beim Zusammenbinden der einzelnen Kapitel ergaben sich ein paar kleinere Kompatibi-
lit¨atsprobleme mit den Latex-Labels. Daher ist das Outlay nicht perfekt, und die Nume-
rierung noch nicht ganz in Ordnung, Verweise auf Gleichungen gehen z.T. ins Leere, und
auch sonst passen verschiedene Kleinigkeiten (z.B. Beweisende) nicht ganz.
Das Inhaltverzeichnis ist auch noch nicht perfekt: Umlaute sind nicht korrekt, auch werden
einige der algebraischen Kapitel noch nicht beru¨cksichtigt, All das wird in der n¨achsten
Version korrigiert.
iv INHALTSVERZEICHNIS
Vorwort
Wir leben in einer Welt von ungeheurer Komplexit¨at. Unser kollektives Wissen u¨ber diese
Welt hat sich im Lauf der Zeit immer mehr verfeinert. Ein Blick in eine beliebige wissen-
schaftlicheBibliothekvermittelteinengutenEindruckdavon.UmdieU¨bersichtzubehalten,
brauchen wir eine Sprache, in der man komplexe Zusammenh¨ange sehr knapp darstellen
kann – die Mathematik.
Im ersten Studienjahr mu¨ssen angehende Mathematiker und Naturwissenschaftler diese
Sprache lernen. Es ist nu¨tzlich, die mathematischen Grundvorlesungen als einen Intensiv-
Sprachkurs anzusehen. Im Vergleich zur Schule wird Ihnen das Tempo vielleicht manchmal
atemberaubend schnell vorkommen. Das ist unvermeidlich angesichts dessen, was Sie sich
vorgenommen haben: Physik zu studieren, d. h. umfassende Kenntnisse u¨ber die Wirkungs-
weise der Natur zu erwerben, um sie sp¨ater in einer sich schnell wandelnden Welt zu nutzen.
Auch wenn Sie nicht Mathematik studieren, ist es außerordentlich wichtig, daß Sie sich mit
der Mathematik, dieser Sprache u¨ber die Struktur der Welt, gru¨ndlich vertraut machen, da
sie die Grundlage ist, auf der alles Sp¨atere aufgebaut ist. Sie k¨onnen sich leicht davon u¨ber-
zeugen, indem Sie einmal in ein paar wahllos herausgegriffene wissenschaftliche Fachbu¨cher
aus Ihrer Bibliothek hineinschauen.
Mit Mathematik vertraut sein – das heißt, ein klares intuitives Bild von den mathemati-
schen Begriffen zu haben, sie von innen und außen zu kennen und ihre Zusammenh¨ange
deutlich machen zu k¨onnen. Es heisst, die Sprache so zu beherrschen, dass alle Begriffe mit
Sinn gefu¨llt sind und anderen durch Beispiele oder Erkl¨arungen begreiflich gemacht werden
k¨onnen. Es heißt auch, die Begriffe so auf die Wirklichkeit anwenden zu k¨onnen, daß die
Welt an Konturen und U¨bersichtlichkeit gewinnt. Und vertraut sein erlaubt auch, die innere
Sch¨onheit der Mathematik zu sehen und zu genießen.
DieMathematikistdieEinheitssprachedermodernenWelt–u¨berall,inallenL¨andern,wird
dieselbemathematischeSprachegesprochen.IndenGrundlagen,dieindiesemBucherarbei-
tet werden, ist diese Sprache v¨ollig einheitliche; in Spezialgebieten, die noch in Entwicklung
sind, gibt es jeweils Dialekte, die durch verschiedene Traditionen gepr¨agt sind. Diese Ein-
heitssprache und ihre technische Nutzung gibt den Menschen eine ungeheure Macht u¨ber
die Natur. Mehr ist machbar geworden, als je fu¨r m¨oglich gehalten wurde, und die Grenzen
sind kaum abzusehen. Andrerseits ist Vieles unserer Kontrolle entzogen, da wir die Folgen
unsrer Technik oft nicht abschtzen k¨onnen und auch b¨ose Erfahrungen damit machen.
Es wird Ihnen nicht schwerfallen, moderne Parallelen zu der folgenden alten Geschichte
festzustellen:
Es hatte aber alle Welt einerlei Zunge und Sprache.
Als sie nun nach Osten zogen, fanden sie eine Ebene im Lande Schinar und wohnten da-
selbst.
Und sie sprachen untereinander: Wohlauf, laßt uns Ziegel streichen und brennen! – und
nahmen Ziegel als Stein und Erdharz als M¨ortel
und sprachen: Wohlauf, laßt uns eine Stadt und einen Turm bauen, dessen Spitze bis an
den Himmel reiche, damit wir uns einen Namen machen: denn wir werden sonst zerstreut
INHALTSVERZEICHNIS v
in alle L¨ander. Da fuhr Gott, der Herr, hernieder, daß er s¨ahe die Stadt und den Turm,
die die Menschenkinder bauten.
Und der Herr sprach: Siehe, es ist einerlei Volk und einerlei Sprache unter ihnen allen, und
dies ist erst der Anfang ihres Tuns; nun wird ihnen nichts mehr verwehrt werden k¨onnen
von allem, was sie sich vorgenommen haben zu tun.
Wohlauf, laßt uns herniederfahren und dort ihre Sprache verwirren, daß keiner des anderen
Sprache verstehe!
So zerstreute sie der Herr von dort in alle L¨ander, daß sie aufh¨oren mußten, die Stadt zu
bauen. (Genesis 11, 1-9)
Wie alle Macht, die Gott den Menschen u¨bertragen hat, tr¨agt auch die Macht des Wissens
das Angebot von Segen und Fluch in sich. Was Mose vor u¨ber 3000 Jahren seinem Volk
ausrichten ließ, gilt auch noch heute:
Ich habe euch Leben und Tod, Segen und Fluch vorgelegt, damit du das Leben erw¨ahlst und
am Leben bleibst, du und deine Nachkommen,
indem ihr den Herrn, euern Gott, liebt und seiner Stimme gehorcht und ihm treu bleibt.
Denn das bedeutet fu¨r dich, daß du lebst und alt wirst und wohnen bleibst an dem Ort, an
den dich Gott stellen wird.
(Deuteronomium 30, 19-20)
Das Leben w¨ahlen, darauf kommt es an – wie nahe daran sind wir heute, die Welt fu¨r uns
und unsre Nachkommen unbrauchbar zu machen! Als zuku¨nftige Wissenschaftler tragen Sie
in besonderem Maß Verantwortung fu¨r den Weg, den unser Land und unsre Welt einschl¨agt.
MachenSiesichdieMu¨he,IhrHandwerkgru¨ndlichzulernen,undgebrauchenSieIhrWissen
dann so, daß sich niemand fu¨r Ihr Handeln sch¨amen muß.
Ich wu¨nsche Ihnen Kraft, Ausdauer und Erfolg im Studium und im sp¨ateren Leben!
Arnold Neumaier
Kapitel 1
Mathematische Grundbegriffe
In diesem Kapitel lernen wir die wichtigsten Begriffe kennen, auf denen Mathematiker
ihre Theorien aufbauen: Mengen, Ringe, K¨orper, Abbildungen und Gruppen. Dabei legen
wir durch Axiome fest, wie man mit diesen Begriffen umgehen darf; dann untersuchen
wir, welche Umformungen von den Axiomen her erlaubt sind und welche nicht. Auf die
spezielle Natur der Objekte, mit denen wir ”rechnen”, kommt es dabei nicht an; in diesem
Sinn ist in diesem Kapitel alles ”abstrakt”. Man stellt sich aber alle Begriffe konkret vor,
indem man an ein oder zwei einfache Situationen anstelle der abstrakten Situation denkt;
solche Beispiele fu¨r eine ”angemessene” Anschauung werden zu allen Begriffen gegeben. Im
n¨achsten Kapitel werden alle Begriffe im Kontext des physikalischen Raumes (R2 und R3)
konkretisiert; jedoch muß man sich im Klaren daru¨ber sein, daß die Begriffe auch in anderen
Zusammenh¨angen mit anderer Bedeutung anwendbar sind.
Den Umgang mit logischen Argumenten, mit Mengen, Abbildungen und Relationen neh-
men wir als intuitiv bekannt an. Wir formulieren die wesentlichen Vorstellungen davon in
Konventionen, ohne dabei axiomatische Strenge anzustreben; dies wird in Vorlesungen der
Logik oder der Mengenlehre getan. Ansonsten werden unter dem Stichwort Konvention
auch abku¨rzende Schreibweisen vorgestellt.
1.1 Konvention Zur Abku¨rzung mathematischer Objekte benu¨tzen wir neben dem latei-
nischen Alphabet und einer Reihe von Sonderzeichen h¨aufig auch das griechische Alpha-
bet:
α A Alpha ι I Iota ̺,ρ P Rho
β B Beta κ K Kappa ς,σ Σ Sigma
γ Γ Gamma λ Λ Lambda τ T Tau
δ D Delta µ M My υ Υ Ypsilon
ǫ,ε E Epsilon ν N Ny ϕ,φ Φ Phi
ζ Z Zeta ξ Ξ Xi χ X Chi
η H Eta o O Omikron ψ Ψ Psi
ϑ,θ Θ Theta π Π Pi ω Ω Omega
1.2 Konvention
1
2 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDBEGRIFFE
(i) Wir verwenden die logischen Zeichen
”daraus folgt”, ”impliziert”,
⇒
”ist gleichwertig zu”, ”(ist) ¨aquivalent (zu)”,
⇔
”gilt dann und nur dann, wenn”, ”gilt genau dann, wenn”,
”fu¨r alle”,
∀
”es gibt (mindestens) ein”,
∃
! ”es gibt genau ein” (d.h. nicht mehrere).
∃
Das Wort ”oder” bezeichnet stets ein nicht-ausschließendes oder: gilt ”a oder b”, so
k¨onnen insbesondere auch a und b beide gelten. Ein Komma zwischen Formeln wird
in der Regel als ”und” interpretiert.
(ii) Die Definition einer Abku¨rzung A fu¨r eine Formel F schreiben wir als A := F (oder
F =: A), aber : , falls F ein logischer Ausdruck ist.
⇔
1.3 Konvention
(i) Eine Menge M besteht aus Objekten mit (in irgendeiner Hinsicht) gleichen Eigenschaf-
ten. Von jedem beliebigen Objekt x steht fest, ob es zu M geh¨ort:
x M x in M , x aus M , x liegt in M ,
′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′
∈
x geh¨ort zu M , x ist Element von M ,
′′ ′′ ′′ ′′
M x M enth¨alt x ,
′′ ′′
∋
oder ob es nicht zu M geh¨ort (x M;M x). Zwei Mengen M,N heißen gleich (Schreib-
6∈ 6∋
weise M = N), falls
x M x N.2
∈ ⇔ ∈
Gilt nur
x M x N;
∈ ⇒ ∈
so heißt M Teilmenge von N; man schreibt
M N M enthalten (in) N ,
′′ ′′
⊆
N M N enth¨alt M .
′′ ′′
⊇
(ii) ist ω irgendeine Beziehung zwischen Objekten (eine Relation), so schrieben wir ω fu¨r
6
die gegenteilige Beziehung nicht-ω; z.B. bedeutet x M also ”x geh¨ort nicht zu M”.Ebenso
6∈
schreiben wir
x ω y ω z : x ω y und y ω z;
′ ′
⇔
z.B. bedeutet 0 = x M also ”x liegt in M und ist von Null verschieden”.
6 ∈
(iii) Mengen mit wenigen Elementen werden durch Auflisten ihrer Elemente angegeben.
(die leere Menge), y , y,z , 2 usw. sind definiert durch
∅ { } { }
x : nie,
∈ ∅
x y : x = y,
∈ { } ⇔
x y,z : x = y oder x = z,
∈ { } ⇔
3
usw.. Andere Mengen werden durch die Eigenschaften ihrer Elemente angegeben, z.B. be-
zeichnet x M E(x) die Menge aller Elemente x M mit der Eigenschaft E(x). Man
{ ∈ | } ∈
liest a b als ”Menge aller a mit b ”.
{ ···| ···} ··· ···
(iv) Durchschnitt M N (”M geschnitten N”), Vereinigung M N (”M vereinigt N”)
∩ ∪
und Differenz M N (”M ohne N”) von zwei Mengen M,N sind Mengen mit
\
x M N : x M und x N,
∈ ∩ ⇔ ∈ ∈
x M N : x M oder x N,
∈ ∪ ⇔ ∈ ∈
x M N : x M, aber x N.
∈ \ ⇔ ∈ 6∈
M und N heißen disjunkt, falls M N = (d.h. kein gemeinsames Element).
∩ ∅
(v) Das kartesische Produkt der Mengen M und N ist die Menge M N aller Paare
×
(x,y) mit x M und y N. Ebenso besteht M N P aus allen Tripeln (x,y,z) mit
∈ ∈ × ×
x M,y N,z P. Statt M M schreiben wir auch M 2 und statt M M M auch
×
∈ ∈ ∈ × × ×
M 3. Man schreibt aber M2 und M3, wenn man die Paare und Tripel in der Form x bzw.
× y
x
(cid:0) (cid:1)
y schreibt.
 
z
 
 
Bemerkung: Fu¨r x = y gelten die Paare (x,y) und (y,x) als verschieden! Dagegen sind
6
die Mengen x,y und y,x dieselben.
{ } { }
Die folgenden Begriffe des Rings (bzw. des K¨orpers) zeichnen Mengen aus, mit deren Ele-
menten man ¨ahnlich umgehen kann wie mit den aus der Schule bekannten ganzen (bzw.
reellen) Zahlen. Es ist wichtig, daran zu denken, daß nicht alle fu¨r Zahlen gu¨ltige Rechenre-
geln gefordert werden. Der Grund liegt darin, daß es wichtige Ringe gibt, in denen manche
der gewohnten Regeln falsch sind. Z.B. gilt fu¨r Zahlen stets a b = b a, in der Quantenme-
· ·
chanik gilt aber fu¨r den Ort q und den Impuls p die Beziehung p q q p = i h¯ (statt 0
· − · ·
wie bei Zahlen).
1.4 Definition Ein Ring ist eine Menge R, in dem die Null 0, die Eins 1 und zu je zwei
Elementen x,y R die Summe x+y, die Differenz x y und das Produkt x y (kurz
∈ − ·
xy) liegen, und wo fu¨r alle x,y,z R die folgenden Axiome gelten:
∈
(R1) (x+y)+z = x+(y +z), (xy)z = x(yz), (Assoziativgesetze)
(R2) (x+y)z = xz +yz, x(y +z) = xy +xz, (Distributivgesetze)
(R3) (x+y) y = (x y)+y = x, (Umkehrung der Addition)
− −
(R4) 0+x = x+0 = x, 1 x = x 1 = x, (Neutrale Elemente)
· ·
(R5) 0 = 1. (Nichtentartung)
6