Analysis III für Physiker [Lecture notes

161 Pages·1999·0.888 MB·German

by  Wolf P. Barth

Analysis III fu(cid:127)r Physiker
Wolf P. Barth
Wintersemester 98/99
Mathematisches Institut der Universit(cid:127)at
1
Erlangen, Bismarckstra(cid:25)e 1
2
e-mail: [email protected]
Version vom 22. M(cid:127)arz 1999
Inhaltsverzeichnis
4 Funktionentheorie 2
4.0 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.1 Komplex-di(cid:11)erenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 Komplexe Kurvenintegrale, Integralsatz und Integralformel von Cauchy . . . . . . . . 9
4.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4 Elementare Funktionen und analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
4.4.1 Die Funktion z und ihre Umkehrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4.2 Die Umkehrfunktionen n-te Wurzel und ln(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4.3 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4.4 Analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4.5 Satz von Liouville, Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4.6 Weierstra(cid:25)produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5 Laurentreihen und der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5.1 Holomorphe Funktionen auf Kreisringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5.2 Isolierte Singularit(cid:127)aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.3 Der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5.4 Partialbruchzerlegung nach Mittag-Le(cid:15)er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 Die Riemannsche Zahlenkugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6.1 Stereographische Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6.2 Die Riemannsche Zahlenkugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6.3 Die Gruppe der M(cid:127)obius-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6.4 Die Gruppe SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6.5 Funktionentheorie auf der Zahlenkugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7 Harmonische Funktionen und konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1
5 Gew(cid:127)ohnliche Di(cid:11)erentialgleichungen 82
5.1 Das Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.1.1 Di(cid:11)erentialgleichung mit getrennten Variablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.2 Lineare Di(cid:11)erentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Existenz- und Eindeutigkeitss(cid:127)atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3 Systeme von linearen Di(cid:11)erentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.1 Variation der Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4 Systeme von linearen Di(cid:11)erentialgleichungen mit konstanten Koe(cid:14)zienten . . . . . . . 101
5.4.1 Station(cid:127)are Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.5 Di(cid:11)erentialgleichungen h(cid:127)oherer Ordnung mit konstanten Koe(cid:14)zienten . . . . . . . . . 110
5.5.1 Beispiel: Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5.2 Zusammenfallende Eigenwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.6 Transformationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.6.1 Eulersche Di(cid:11)erentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.6.2 Bernoullische Di(cid:11)erentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.6.3 Homogene Di(cid:11)erentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.6.4 Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.7 Autonome Systeme, Phasenportr(cid:127)ats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.7.1 Das exakte Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.7.2 Erste Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.7.3 Stabilit(cid:127)at station(cid:127)arer Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.7.4 Ljapunov-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.8 Rand- und Eigenwertaufgaben bei linearen Di(cid:11)erentialgleichungen zweiter Ordnung. . 142
5.8.1 Randwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.8.2 Die schwingende Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.8.3 Selbstadjungierte Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.9 Di(cid:11)erentialgleichungen im Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.9.1 Existenz- und Eindeutigkeitsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.9.2 Monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.9.3 Regul(cid:127)are singul(cid:127)are Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.9.4 Die hypergeometrische Di(cid:11)erentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4 Funktionentheorie
Zun(cid:127)achst eine kurze Liste von Lehrbu(cid:127)chern zur Funktionentheorie:
(cid:15) Cartan,H.:Theorieelementairedesfonctionsanalytiquesd'uneouplusieursvariablescomplexes.
Hermann, Paris 1961. Deutsch: BI-Verlag 1966
(cid:15) Fischer,W., Lieb,I.: Funktionentheorie. Vieweg 1980.
(cid:15) Knopp,K.:Elemente der Funktionentheorie, Funktionentheorie I,II. 3 Bde., SammlungG(cid:127)oschen.
(cid:15) Remmert R.: Funktionentheorie I,II. Springer 1984.
2
Unter Funktionentheorie versteht man die Theorie der komplex-di(cid:11)erenzierbaren Funktionen einer
komplexen Variablen. Was 'komplex-di(cid:11)erenzierbar' hei(cid:25)t, werden wir dabei noch genau verstehen
mu(cid:127)ssen.
4.0 Die komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen, und erst recht, die komplex-wertigen Funktionen sind noch gar nicht so lange
in der Mathematik heimisch Die Notwendigkeit, komplexe Zahlen einzufu(cid:127)hren, stellte sich nicht - wie
man erwarten sollte - bei dem Versuch quadratische Gleichungen der Art
2
x +1 =0
nach x aufzul(cid:127)osen. Nein! Derartige Gleichungen sahen Griechen, Inder und Araber Jahrhunderte lang
einfach nicht als sinnvoll an; die Notwendigkeit, sie aufzul(cid:127)osen gab es nicht. Anders war es nach der
Aufstellung der sogenannten Cardanoschen Formeln (Beginn des 16. Jahrhunderts) zur Au(cid:13)(cid:127)osung der
Gleichungen dritten Grades. Beim sogenannten 'Casus irreducibilis' bekam man reelle L(cid:127)osungen, die
man aber nur mit Hilfe komplexer Zahlen hinschreiben konnte. Von da an konnten komplexe Zahlen
nicht mehr verdr(cid:127)angt werden. Sp(cid:127)ater kamen dann die Erfolge Eulers (18. Jahrhundert), die allerdings
nichtimmerganzhasenreinwaren,undzuBeginndes19.Jahrhundertsbegru(cid:127)ndetenCauchyundGau(cid:25)
das Rechnen mitkomplexen Zahlen exakt. Allerdingsscheint selbst Gau(cid:25) zeitlebensdabeiein ungutes
Gefu(cid:127)hl gehabt zu haben: Beweise, die er mit Hilfe komplexer Zahlen fand, versuchte er nachtr(cid:127)aglich
so zu frisieren, da(cid:25) er sie ohne Verwendung dieser Zahlen schreiben konnte.
Eigentlich sollten die Rechenregeln fu(cid:127)r komplexe Zahlen mittlerweile bekannt sein. Zur Sicherheit
wollen wir sie noch einmal zusammenstellen:
(cid:15) Eine komplexe Zahl c 2 C schreiben wir
c =a+b(cid:1)i mit a;b 2IR:
In dieser Schreibweise hei(cid:25)en
a =Re(c) Realteil von c; b =Im(c) Imagin(cid:127)arteil von c:
Die komplexe Zahl c(cid:22)=a(cid:0)b(cid:1)i hei(cid:25)t konjugiert{komplexe Zahl zu c. Die reelle Zahl
p
2 2
jcj := a +b
hei(cid:25)t der Betrag von c.
(cid:15) Reelle Zahlen r 2 IR identi(cid:12)zieren wir mit den komplexen Zahlen r +0(cid:1)i. Unter r (cid:1)i;r 2 IR,
verstehen wir die komplexe Zahl 0+r(cid:1)i (rein imagi(cid:127)are Zahl).
(cid:15) Zwei komplexe Zahlen
c1 =a1+b1(cid:1)i; c2 =a2+b2(cid:1)i
3
addieren und multiplizieren sich folgenderma(cid:25)en
c1+c2 =(a1 +a2)+(b1+b2)(cid:1)i; c1(cid:1)c2 =(a1(cid:1)a2(cid:0)b1(cid:1)b2)+(a1(cid:1)b2+b1(cid:1)a2)(cid:1)i:
Fu(cid:127)rreelle Zahlenc1 =a1 undc2 =a2 sinddiesdiegewohnten Rechenoperationen undau(cid:25)erdem
gilt die Formel, wegen der man dies alles macht:
2
i =i(cid:1)i =(cid:0)1:
Die Multiplikation komplexer Zahlen ist kommutativ (wir brauchen also keinen Unterschied
zwischen b(cid:1)i und ib zu machen) und assoziativ.
(cid:15) Fu(cid:127)r den Betrag gelten dabei die Rechenregeln
jc1+c2j (cid:20) jc1j+jc2j (Dreiecksungleichung)
jc1(cid:1)c2j = jc1j(cid:1)jc2j:
Die Dreiecksungleichung folgt, weil der Betrag jcj nichts anderes ist als die Norm k (a;b) k des
2
Vektors (a;b) 2IR und die Betragsformel fu(cid:127)r das Produkt mu(cid:25) man halt nachrechnen.
(cid:15) Das Quadrat des Betrags kann man auch so schreiben:
2 2 2
jcj =a +b =(a+b(cid:1)i)(cid:1)(a(cid:0)b(cid:1)i) =c(cid:1)c(cid:22):
Fu(cid:127)r c 6=0 ist jcj 6=0 und es gilt
2
c(cid:22) jcj
c(cid:1) = =1:
2 2
jcj jcj
Damit haben wir ein einfache Formel fu(cid:127)r das Inverse einer komplexen Zahl c 6=0:
1 1
= (cid:1)c(cid:22):
2
c jcj
(cid:15) EineFolgecn =an+bn(cid:1)ikonvergiertgegenc =a+b(cid:1)i,fallsReal-undImagin(cid:127)arteilekonvergieren:
a =lim(an); b =lim(bn):
6
b............. ............. ............. ............. ............. .............s
.............a+bi
.............
.............
si ..........................
.............
.............
1s .............a -
C
4
Aufgabe 4.1 a) Bestimmen Sie Real- und Imagin(cid:127)arteil der komplexen Zahlen
1(cid:0)i 1+2i
und :
1+i 1(cid:0)2i
p
2
b) Bestimmen Sie 1+2i, d.h., Real- und Imagin(cid:127)arteil aller komplexen Zahlen w mit w =1+2i.
Aufgabe 4.2 Zeigen Sie
X1 (cid:18)1+i(cid:19)k
=1+i:
2
k=0
4.1 Komplex-di(cid:11)erenzierbare Funktionen
Wir betrachten hier komplex-wertige Funktionen
f :z 7!f(z) 2C
de(cid:12)niert auf einer Teilmenge M (cid:26) C. (Sp(cid:127)ater wird M meistens o(cid:11)en sein.) Der Real- und der Ima-
gin(cid:127)arteil von f
u:=Re(f(z)); v := Im(f(z))
sind reelle Funktionen von z, beziehungsweise reelle Funktionen der beiden reellen Variablen
x =Re(z); y =Im(z):
Wir schreiben solche Funktionen immer
f(z) =f(x+iy)=u(x;y)+iv(x;y):
Beispiele: 1) Die komplexwertige Exponentialfunktion kann man u(cid:127)ber die Eulersche Formel de-
(cid:12)nieren als
z x+iy x
e =e =e (cid:1)(cos(y)+i(cid:1)sin(y)):
Hier ist also
x x
u(x;y) =e cos(y); v(x;y) =e sin(y):
2) Die Funktion
2 2 2
z 7!z =(x (cid:0)y )+2xy(cid:1)i
hat Real- und Imagin(cid:127)arteil
2 2 2 2
u =Re(z )=x (cid:0)y ; v =Im(z ) =2xy:
3) Die Multiplikation
fc :z 7!c(cid:1)z
5
mit einer festen komplexen Zahl c =a+ib 2C hat Real- und Imagin(cid:127)arteil
u(x;y) =Re(c(cid:1)z) =a(cid:1)x(cid:0)b(cid:1)y v(x;y) =Im(c(cid:1)z) =b(cid:1)x+a(cid:1)y:
2 2
Beide Funktionen sind linear, wir k(cid:127)onnen sie zu einer IR{linearen AbbildungIR !IR zusammenfas-
sen: ! ! !
Re(c(cid:1)z) a (cid:0)b x
(x;y) 7! = (cid:1) :
Im(c(cid:1)z) b a y
Die Abbildungsmatrix
! !
a (cid:0)b cos((cid:11)) (cid:0)sin((cid:11))
=r(cid:1)
b a sin((cid:11)) cos((cid:11))
mit
p a b
2 2
r :=jcj = a +b ; cos((cid:11)) = ; sin((cid:11)) =
r r
beschreibt eine Dreh-Streckung mit dem Streckungsfaktor r um den Winkel (cid:11).
Diese geometrische Bedeutung der Multiplikationkomplexer Zahlen ist der Grund dafu(cid:127)r, da(cid:25) man
diese Multiplikation besonders vorteilhaft in Polarkoordinaten beschreibt: Jede komplexe Zahl c =
a+ib kann man schreiben als
c =r(cid:1)(cos((cid:11))+isin((cid:11))):
Dabei ist
r =0; (cid:11) beliebig fu(cid:127)r c =0,
a b
r =jcj; cos((cid:11)) = ; sin((cid:11)) = fu(cid:127)r c 6=0.
r r
Unter der Multiplikation multiplizieren sich die Betr(cid:127)age und addieren sich die Winkel:
r(cos((cid:11))+isin((cid:11)))(cid:1)s(cos((cid:12))+isin((cid:12))) =rs(cid:1)(cos((cid:11)+(cid:12))+i(cid:1)sin((cid:11)+(cid:12))):
WirmachenbeireellerDi(cid:11)erenzierbarkeitjetztkeinengro(cid:25)enUnterschiedmehrzwischenpartieller,
totaler oder stetiger partieller Di(cid:11)erenzierbarkeit. Eine komplexwertige Funktion
f(z) =u(x;y)+i(cid:1)v(x;y)
ist reell-di(cid:11)erenzierbar in einem Punkt z 2 C, wenn fu(cid:127)r alle h=k+i(cid:1)l 2C; fu(cid:127)r die f(z+h) de(cid:12)niert
ist, gilt
! ! ! ! (cid:12)(cid:12) !(cid:12)(cid:12)
(cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12)
u(x+k;y+l) u(x;y) (cid:11) (cid:12) k (cid:12)(cid:12) k (cid:12)(cid:12)
= + (cid:1) +(cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12)(cid:1)(cid:8)(h)
v(x+k;y+l) v(x;y) (cid:13) (cid:14) l (cid:12)(cid:12) l (cid:12)(cid:12)
mit einer komplexwertigen Funktion (cid:8)(h), welche
lim(cid:8)(h) =0
h!0
erfu(cid:127)llt. Die Funktionalmatrix
! !
(cid:11) (cid:12) ux(x;y) uy(x;y)
=
(cid:13) (cid:14) vx(x;y) vy(x;y)
6
2 2 0
beschreibt dabei eine IR{lineare Abbildung IR !IR , die Ableitung f (z) von f in z.
De(cid:12)nition. Die komplexwertige Funktion f(z)=u(x;y)+i(cid:1)v(x;y) hei(cid:25)t komplex-di(cid:11)erenzierbar
im Punkt z 2C falls sie dort reell (total) di(cid:11)erenzierbar ist und ihre Funktionalmatrix von der Form
! !
0 ux(x;y) uy(x;y) a (cid:0)b
f (z) = =
vx(x;y) xy(x;y) b a
ist, d.h., eine Drehstreckung, d.h. die Multiplikation mit einer komplexen Zahl c = a+ib beschreibt.
0
Diese komplexe Zahl c =ux+ivx hei(cid:25)t dann die komplexe Ableitung f (z) oder df=dz von f.
SetztmandieMultiplikationsabbildunggleichindieBedingungdertotalenDi(cid:11)erenzierbarkeitein,
so sieht man: f ist komplex{di(cid:11)erenzierbar im Punkt z, falls ein c 2C existiert mit
f(z+h) =f(z)+c(cid:1)h+jhj(cid:8)(h); lim(cid:8)(h) =0:
h!0
Dies kann man auch so schreiben:
f(z+h)(cid:0)f(z) 1 0
lim = lim (c(cid:1)h+jhj(cid:8)(h)) =c =f (z):
h!0 h h!0 h
Dies ist genau derselbe Di(cid:11)erentialquotient wie in der Analysis einer reellen Variablen, nur da(cid:25) der
Punkt z, die Auslenkung h und die Werte der Funktion f komplex sind.
Schauen wir uns die angegebene Bedingung an die Funktionalmatrix genau an, so (cid:12)nden wir: Die
Funktion f(z) = u(x;y) +iv(x;y) ist komplex-di(cid:11)erenzierbar, falls sie reell{di(cid:11)erenzierbar ist, und
falls fu(cid:127)r die partiellen Ableitungen gilt:
ux = vy
Cauchy-Riemann-Di(cid:11)erentialgleichungen
uy = (cid:0)vx
z
Beispiele. 1) Fu(cid:127)r f(z)=e ist
x x x
u(x;y) =e cos(y); ux =e cos(y); uy =(cid:0)e sin(y)
x x x
v(x;y) =e sin(y); vx =e sin(y); vy = e cos(y)
und es gilt ux =vy; uy =(cid:0)vx. Die komplexe Ableitung dieser Funktion ist - wie im Reellen -
z
de x z
=ux+ivx =e (cos(y)+isin(y)) =e :
dz
2
2) Fu(cid:127)r f(z) =z ist
2 2
u(x;y) =x (cid:0)y ; ux =2x; uy =(cid:0)2y
v(x;y) =2xy; vx =2y; vy = 2x
und auch hier sind die Cauchy{Riemann-Di(cid:11)erentialgleichungen erfu(cid:127)llt. Die komplexe Ableitung ist
2
dz
=ux+ivx =2x+2iy =2z:
dz
7
0
Die komplexe Ableitung f (z) einer komplex-di(cid:11)erenzierbaren Funktion f(z) =u(x;y)+i(cid:1)v(x;y)
ist also die partielle Ableitung in x-Richtung
0
f (z) =ux(x;y)+i(cid:1)vx(x;y):
Was ist nun aber die partielle Ableitung in y{Richtung? Wir werden wohl
@f
:= uy +ivy
@y
setzen mu(cid:127)ssen. Fu(cid:127)rkomplex{di(cid:11)erenzierbaref folgt daraus mitdenCauchy-Riemann-Di(cid:11)erentialglei-
chungen
@f @f
=uy +ivy =(cid:0)vx+iux =i(ux+ivx) =i(cid:1) :
@y @x
DakomplexeDi(cid:11)erenzierbarkeitw(cid:127)ortlichwieimReellende(cid:12)niertist,geltenauchw(cid:127)ortlichdieselben
Rechenregeln (die Beweise sind n(cid:127)amlich w(cid:127)ortlich die gleichen):
(cid:15) Ist die Funktion f komplex{di(cid:11)erenzierbar im Punkt z, so ist sie dort stetig.
(cid:15) Sind die Funktionen f1;f2 komplex{di(cid:11)erenzierbar im Punkt z und c1;c2 2 C, so ist auch die
Funktion c1f1+c2f2 komplex{di(cid:11)erenzierbar in z mit Ableitung
0 0 0
(c1f1+c2f2)(z) =c1f1(z)+c2f2(z) (Linearit(cid:127)at).
(cid:15) SinddieFunktionenf1;f2 komplex{di(cid:11)erenzierbarimPunktz,soistesauchf1(cid:1)f2 mitAbleitung
0 0 0
(f1(cid:1)f2)(z) =f1(z)(cid:1)f2(z)+f1(z)(cid:1)f2(z) (Produktregel):
(cid:15) Ist die Funktion f komplex{di(cid:11)erenzierbar im Punkt z mit f(z) 6= 0, so ist dort auch 1=f in z
di(cid:11)erenzierbar mit Ableitung
(cid:18) (cid:19)0 0
1 f (z)
(z) =(cid:0) :
2
f f (z)
(cid:15) Ist die Funktion g komplex{di(cid:11)erenzierbarim Punkt z und f komplex{di(cid:11)erenzierbar im Punkt
g(z), so ist f (cid:14)g komplex{di(cid:11)erenzierbar im Punkt z mit Ableitung
0 0 0
(f (cid:14)g)(z) =f (g(z))(cid:1)g (z) (Kettenregel):
Natu(cid:127)rlich ist wie im Reellen die Identit(cid:127)at f(z) =z komplex-di(cid:11)erenzierbar mit Ableitung
0
z =1:
n
AusderProduktformelfolgtdann,da(cid:25)jedePotenzf(z) =z ;n2IN;di(cid:11)erenzierbaristmitAbleitung
n 0 n(cid:0)1
(z ) =nz :
Wegen der Linearit(cid:127)at sind damit alle Polynome auf ganz C komplex{di(cid:11)erenzierbar. Eine rationale
Funktion ist ein Quotient
p(z)
f(z)=
q(z)
8
von zwei Polynomen p;q : C ! C. Sie ist de(cid:12)niert auf ganz C, bis auf die Nullstellen des Nenners
(Pole). Wo die rationale Funktion de(cid:12)niert ist, gilt wie u(cid:127)blich
(cid:18) (cid:19)0 0 0
p p(z)q(z)(cid:0)p(z)q (z)
(z) = :
2
q q (z)
Bisher kennen wir also die folgenden komplex{di(cid:11)erenzierbaren Funktionen: Polynome, oder allge-
meiner rationale Funktionen und die e{Funktion, und alles was man daraus sinnvoll zusammensetzen
kann.
De(cid:12)nition:SeiM (cid:26)Co(cid:11)en.EineFunktionf : M !Chei(cid:25)tholomorph aufM,wennsieinjedem
Punktz 2M komplex-di(cid:11)erenzierbarist.AustechnischenGru(cid:127)ndenwerden wirzus(cid:127)atzlichimmernoch
voraussetzen, da(cid:25) die partiellen Ableitungen ux =vy und uy =(cid:0)vx stetig sind.
Aufgabe 4.3 a) Berechnen Sie @f=@x und @f=@y fu(cid:127)r f(z) =z(cid:22).
b) Kontrollieren Sie, ob f(z)=z(cid:22) die Cauchy-Riemann-Di(cid:11)erentialgleichungen erfu(cid:127)llt.
Aufgabe 4.4 a) Zeigen Sie, da(cid:25) der Realteil u = Re(f) einer holomorphen Funktion f harmonisch
ist, d.h., die Gleichung uxx+uyy =0 erfu(cid:127)llt.
2 2
b) Die reelle Funktion u(x;y) sei harmonisch auf dem Einheitskreis x +y < 1. Zeigen Sie: es gibt
eine holomorphe Funktion f auf dem Einheitskreis mit u=Re(f).
(cid:0)x
c) Zeigen Sie, da(cid:25) u(x;y) = e (xsin(y)(cid:0)ycos(y)) harmonisch ist, und (cid:12)nden Sie ein zugeh(cid:127)origes
holomorphes f.
Aufgabe 4.5 Die Funktion f sei holomorph auf dem Einheitskreis E. Zeigen Sie:
a) f(z) 2IR fu(cid:127)r alle z 2E ) f =const;
b) jf(z)j =const ) f =const:
4.2 Komplexe Kurvenintegrale, Integralsatz und Integralformel von Cauchy
Es sei
(cid:13) : [a;b] ! C; t 7! z(t)
einstu(cid:127)ckweisedi(cid:11)erenzierbarerWeginderkomplexenEbene.WirwollendaskomplexeKurvenintegral
Z
f(z)dz
(cid:13)
de(cid:12)nieren. Zun(cid:127)achst de(cid:12)nieren wir dieses Integral fu(cid:127)r den Fall, da(cid:25) der Weg (cid:13) eine reelles Intervall
[(cid:11);(cid:12)] (cid:26) IR ist: Ist f(t) = u(t) +i (cid:1) v(t); t 2 [(cid:11);(cid:12)]; eine stetige komplex-wertige Funktion auf dem
Intervall [(cid:11);(cid:12)], so setzt man
Z Z Z Z Z
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
f(t)dt := u(t)dt+i(cid:1) v(t)dt = Re(f(t))dt+i(cid:1) Im(f(t))dt:
(cid:11) (cid:11) (cid:11) (cid:11) (cid:11)
9
Fu(cid:127)r dieses komplexe Integral hat man, genau wie fu(cid:127)r das reelle Integral, die Standard-Absch(cid:127)atzung
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)Z (cid:12) (cid:12) Z (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) f(t)dt(cid:12)(cid:20) jf(t)jdt:
(cid:12) (cid:11) (cid:12) (cid:11)
Der Beweis dafu(cid:127)r ist allerdings etwas trickreich:
Sei
Z
(cid:12)
f(t)dt =a+i(cid:1)b =c 6=0
(cid:11)
0 0
und c := c(cid:22)=jcj mit jcj=1. Dann ist
Z Z
(cid:12) (cid:12)
0 0 0
c (cid:1)f(t)dt =c (cid:1) f(t)dt =c (cid:1)c
(cid:11) (cid:11)
reell, also
!
Z Z
(cid:12) (cid:12)
0 0
Im(c (cid:1)f(t))dt =Im c (cid:1) f(t)dt =0;
(cid:11) (cid:11)
und
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12)Z (cid:12) (cid:12) (cid:12) Z (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 (cid:12)
(cid:12) f(t)dt(cid:12) = (cid:12)c (cid:1) f(t)dt(cid:12)
(cid:12) (cid:11) (cid:12) (cid:12) (cid:11) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)Z (cid:12) (cid:12)
(cid:12) 0 (cid:12)
= (cid:12) c (cid:1)f(t)dt(cid:12)
(cid:12) (cid:11) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)Z (cid:12) (cid:12)
(cid:12) 0 (cid:12)
= (cid:12) Re(c (cid:1)f(t))dt(cid:12)
(cid:12) (cid:11) (cid:12)
Z
(cid:12)
0
(cid:20) jc (cid:1)f(t)jdt
(cid:11)
Z
(cid:12)
= jf(t)jdt:
(cid:11)
Jetzt sei (cid:13) : [(cid:11);(cid:12)] ! C ein komplexer Weg. Die Parametrisierungsabbildung k(cid:127)onnen wir in Real-
und Imagin(cid:127)arteil trennen:
(cid:13)(t) =z(t) =x(t)+i(cid:1)y(t):
Der Weg hei(cid:25)t (stu(cid:127)ckweise) stetig di(cid:11)erenzierbar, wenn das fu(cid:127)r dessen Real- und Imagin(cid:127)arteil gilt.
Dann de(cid:12)nieren wir, zun(cid:127)achst rein formal
0
dz := z (t)dt
dx dy
= ( +i(cid:1) )dt
dt dt
Z Z
(cid:12)
f(z)dz := f(z(t))dz(t)
(cid:13) (cid:11)
Z
(cid:12)
0
= f(z(t))z (t)dt:
(cid:11)
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