Analysis II

423 Pages·2006·2.888 MB·German

by  H. Amann, J. Escher

Herbert Amann
Joachim Escher
Analysis II
Zweite, korrigierte Auflage
Birkhäuser Verlag
Basel Boston Berlin
• •
Autoren:
Herbert Amann Joachim Escher
Institut für Mathematik Institut für Angewandte Mathematik
Universität Zürich Universität Hannover
Winterthurerstr. 190 Welfengarten 1
CH-8057 Zürich D-30167 Hannover
e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]
Erste Auflage 1998
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ISBN 3-7643-7105-6 Birkhäuser Verlag, Basel – Boston – Berlin
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ISBN-10: 3-7643-7105-6 e-ISBN: 3-7643-7402-0
ISBN-13: 978-3-7643-7105-0
9 8 7 6 5 4 3 2 1 www.birkhauser.ch
Vorwort
Wie schonder erste,enth¨alt auch dieser zweite Band wesentlichmehr Stoff, als in
einer einsemestrigen Vorlesung behandelt werden kann. Wir hoffen, dadurch den
Leseranzuregen,imSelbststudiumweiterindieMathematikeinzudringenundvie-
lesch¨oneundtiefgru¨ndigeAnwendungenderAnalysiskennenzulernenundgr¨oßere
Zusammenh¨ange zu erfahren. Dem Dozenten m¨ochten wir geeignetes Material fu¨r
Proseminare und Seminare zur Verfu¨gung stellen.
Fu¨r einen U¨berblick u¨ber den dargebotenen Stoff verweisen wir auf das aus-
fu¨hrliche Inhaltsverzeichnis sowie auf die Einleitungen zu den einzelnen Kapiteln.
Hervorhebenm¨ochtenwirdiezahlreichenU¨bungsaufgaben,derenBearbeitungfu¨r
das Verst¨andnis der Materie unabdingbar ist. Daru¨ber hinaus haben wir viele
nu¨tzlicheErg¨anzungenundAbrundungendesimHaupttextbehandeltenMaterials
in den Aufgabenteil verlegt.
Auch beim Schreiben dieses Bandes konnten wir uns auf die Hilfe Ande-
rer verlassen. Ganz besonders danken wir unseren Freunden und Kollegen Pavol
Quittner und Gieri Simonett. Sie haben nicht nur große Teile des Manuskripts
sorgf¨altiggelesenund uns geholfen,Fehler auszumerzen,sonderndurchihre wert-
vollen Verbesserungsvorschl¨age wesentlich zur endgu¨ltigen Darstellung beigetra-
gen. Zu großem Dank sind wir auch unseren Mitarbeitern Georg Prokert, Frank
WeberundBeaWollenmannverpflichtetfu¨rdiesehrgenaueLektu¨redesgesamten
Manuskripts und das Aufspu¨ren von Druckfehlern und Ungenauigkeiten.
UnserallerherzlichsterDankgiltwiederunserem Satzperfektionisten“,ohne
”
dessenunermu¨dlicheArbeitdiesesBuchnieindervorliegendenperfektenGestalt1
zustandegekommen w¨are, sowie Andreas, der uns wieder bei Hard- und Software-
Problemen zur Seite stand.
Schließlich gebu¨hrt unser Dank Thomas Hintermann und dem Birkh¨auser
Verlagfu¨rdieguteZusammenarbeitunddasverst¨andnisvolleEingehenaufunsere
Terminwu¨nsche.
Zu¨rich und Kassel, im M¨arz 1999 H. Amann und J. Escher
1Fu¨r den Text wurde ein LATEX-file erstellt. Fu¨r die Abbildungen wurden zus¨atzlich Corel-
DRAW!undMapleverwendet.
vi Vorwort
Vorwort zur zweiten Auflage
IndieserVersionhabenwirFehlerundUngenauigkeitenkorrigiertsowieeinigeBe-
weisvereinfachungen durchgefu¨hrt, die uns von aufmerksamen Lesern zur Kennt-
nis gebracht worden sind. Ihnen allen, insbesondere unseren Kollegen H. Crauel,
A. Ilchmann und G. Prokert, gilt unser herzlichster Dank.
Zu¨rich und Hannover, im Dezember 2005 H. Amann und J. Escher
Inhaltsverzeichnis
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Kapitel VI Integralrechnung in einer Variablen
1 Sprungstetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Treppen- und sprungstetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Eine Charakterisierung sprungstetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . 6
Der Banachraumder sprungstetigen Funktionen . . . . . . . . . . . . . 7
2 Stetige Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Der Erweiterungssatz fu¨r gleichm¨aßig stetige Funktionen . . . . . . . . 10
Beschr¨ankte lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Die stetige Erweiterung beschr¨ankter linearer Operatoren. . . . . . . . 15
3 Das Cauchy-Riemannsche Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Das Integral fu¨r Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Das Integral fu¨r sprungstetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Riemannsche Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Eigenschaften des Integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Integration von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Das orientierte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Positivit¨at und Monotonie des Integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Komponentenweise Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . 32
Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Die Technik des Integrierens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Variablensubstitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Partielle Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Die Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
viii Inhalt
6 Summen und Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Die Bernoullischen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Rekursionsformeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Die Bernoullischen Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Die Euler-Maclaurinsche Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Potenzsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Asymptotische A¨quivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Die Riemannsche ζ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Die Sehnentrapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Das L -Skalarprodukt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2
Die Approximation im quadratischen Mittel . . . . . . . . . . . . . . . 71
Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Die Integration periodischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Klassische Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Die Besselsche Ungleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Vollst¨andige Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Stu¨ckweise stetig differenzierbare Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . 84
Gleichm¨aßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Zul¨assige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Der Integralvergleichssatzfu¨r Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Absolut konvergente Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Das Majorantenkriterium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9 Die Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Die Eulersche Integraldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Die Gammafunktion auf C\(−N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Die Gaußsche Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Die Erg¨anzungsformel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Die logarithmische Konvexit¨at der Gammafunktion . . . . . . . . . . . 108
Die Stirlingsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Das Eulersche Betaintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Inhalt ix
Kapitel VII Differentialrechnung mehrerer Variabler
1 Stetige lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Die Vollst¨andigkeit von L(E,F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Endlichdimensionale Banachr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Matrixdarstellungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Die Exponentialabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Lineare Differentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Das Gronwallsche Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Die Variation-der-Konstanten-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Determinanten und Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Fundamentalmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . 145
2 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Die Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Richtungsableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Die Jacobimatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Ein Differenzierbarkeitskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Der Rieszsche Darstellungssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Der Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Komplexe Differenzierbarkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Linearit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Die Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Mittelwerts¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Die Differenzierbarkeit von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . 177
Notwendige Bedingungen fu¨r lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . 177
4 Multilineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Stetige multilineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Der kanonische Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Symmetrische multilineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Die Ableitung multilinearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5 H¨ohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Partielle Ableitungen h¨oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Taylorsche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
x Inhalt
Funktionen von m Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Hinreichende Kriterien fu¨r lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6 Nemytskiioperatoren und Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . 204
Nemytskiioperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Die Stetigkeit von Nemytskiioperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Die Differenzierbarkeit von Nemytskiioperatoren . . . . . . . . . . . . . 206
Die Differenzierbarkeit von Parameterintegralen . . . . . . . . . . . . . 209
Variationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Die Euler-LagrangescheGleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7 Umkehrabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Die Ableitung der Inversion linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . 221
Der Satz u¨ber die Umkehrabbildung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Diffeomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Die L¨osbarkeit nichtlinearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . 227
8 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Differenzierbare Abbildungen auf Produktr¨aumen . . . . . . . . . . . . 230
Der Satz u¨ber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Regul¨are Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Gew¨ohnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Separation der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Lipschitz-Stetigkeit und Eindeutigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Der Satz von Picard-Lindel¨of. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Untermannigfaltigkeiten des Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Der Satz vom regul¨aren Wert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Der Immersionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Einbettungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Lokale Karten und Parametrisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Kartenwechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
10 Tangenten und Normalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Das Tangential in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Der Tangentialraum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Charakterisierungendes Tangentialraumes . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Differenzierbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Das Differential und der Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Normalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Extrema mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Anwendungen der LagrangeschenMultiplikatorenregel . . . . . . . . . 283
Inhalt xi
Kapitel VIII Kurvenintegrale
1 Kurven und ihre L¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Die totale Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Rektifizierbare Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Differenzierbare Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Rektifizierbare Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
2 Kurven in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Tangenteneinheitsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Parametrisierungennach der Bogenl¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Orientierte Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Das Frenetsche n-Bein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Die Kru¨mmung ebener Kurven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Eine Kennzeichnung von Geraden und Kreisen . . . . . . . . . . . . . . 310
Kru¨mmungskreise und Evoluten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
Die Kru¨mmung und die Torsion von Raumkurven . . . . . . . . . . . . 314
3 Pfaffsche Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Vektorfelder und Pfaffsche Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Die kanonischen Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
Exakte Formen und Gradientenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Das Poincar´escheLemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Duale Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Transformationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
4 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Die Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Der Hauptsatz u¨ber Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Einfach zusammenh¨angende Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Die Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals . . . . . . . . . . . . . . . 344
5 Holomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Komplexe Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
Der Cauchysche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
Die Orientierung der Kreislinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Die Cauchysche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Analytische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Der Satz von Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
Die Fresnelschen Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
Das Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
xii Inhalt
Harmonische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
Der Satz von Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
Der Weierstraßsche Konvergenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
6 Meromorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
Die Laurentsche Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
Hebbare Singularit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
Isolierte Singularit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
Einfache Pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
Die Windungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
Die Stetigkeit der Umlaufzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Der allgemeine Cauchysche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Fourierintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403