Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche Differentialgleichungen

170 Pages·1984·3.207 MB·German

by  Dr. rer. nat. Otto Forster (auth.)

viewag stuclium
Grundkur:s Mathematik
Diese Reihe wendet sich an den Studenten
der mathematischen, naturwissenschaftlichen
und technischen Facher. Ihm - und auch dem
Schuler der Sekundarstufe II - soli die Vor
bereitung auf Vorlesungen imd Prufungen
erleichtert und gleichzeitig ein Einblick in die
Nachbarfacher geboten werden. Die Reihe
wendet sich aber auch an den Mathernatiker,
Naturwissenschahler und I ngenieur in der
Praxis und an die Lehrer dieser Facher.
Zu der Reihe geh6ren folgende Abteilungen:
Basiswissen, Grundkurs und Aufbaukurs
Mathematik, Physik, Chern ie, Biologie
Otto Forster
Analysis 2
Differentialrechnung im Rn
Gewohnliche Differentialgleichungen
5., durchgesehene Auflage
Mit 29 Abbildungen
Friedr. Vieweg & Sohn
Braunschweig / Wiesbaden
Dr. rer. nat. Otto Forster ist Professor
am Mathematischen Institut der Universitat Miinchen
(Eine Kurzbiographie des Autors steht auf Seite 159)
1.- 5. Tausend April 1977
6.-10. Tausend Juli 1977
11.-15. Tausend April 1979
16.-20. Tausend Februar 1981
21.-25. Tausend September 1982
26.-30. Tausend November 1983
31.-35. Tausend Oktober 1984
36.-40. Tausend Januar 1986
41.-50. Tausend April 1987
AII~ Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984
Die Vervielfliltigung und Obertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder, auch
flir Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag
vorher vereinbart wurden. 1m Einzelfall muf.l iiber die Zahlung einer Gebiihr flir die Nutzung
fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt flir die Vervielfliltigung durch aile
Verfahren einschli~lich Speicherung und jede Dbertragung auf Papier, Transparente, Filme,
Biinder, Platten und andere Medien.
Satz: Friedr. Viewell & Sohn. Braunschweill
ISBN 978-3-528-37231-6 ISBN 978-3-322-91908-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91908-3
III
In haltsverzeichnis
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV
Kapitell. Differentialrechnung im IRn ......................•...
§ 1. Topologie metrischer Raume .......................... .
§ 2. Grenzwerte. Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9
§ 3. Kompaktheit... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
§ 4. Kurven im IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• 24
§ 5. Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33
§ 6. Totale Differenzierbarkeit ............................. 45
§ 7. Taylor-Formel. Lokale Extrema ......................... 54
§ 8. Implizite Funktionen ................................ 66
§ 9. Integrale, die von einem Parameter abhangen . . . . . . . . . . . . . . . .. 81
Kapitel II. Gewohnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96
§ 10. Existenz-und Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96
§ 11. Elementare Losungsmethoden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III
§ 12. Lineare Differentialgleichungen .......................... 123
§ 13. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ...... 138
§ 14. Systeme von linearen Differentialgleichungen
mit konstanten Koeffizienten ........................... 152
Literaturhinweise ........................................ 159
Namens-und Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 160
Symbolverzeichnis ....................................... 163
Inhaltsiiberblick Analysis 1 und 3 ............................. 164
IV
Vorwort
Der vorliegende Band stellt den zweiten Tell eines Analysis-Kurses flir Studenten
der Mathematik und Physik dar.
Das erste Kapitel bef~t sich mit der Differentialrechnung von Funktionen mehrerer
reeHer Veriinderlichen. Nach einer Einfuhrung in die topologischen Grundbegriffe
werden Kurven im IRn, partielle Ableitungen, totale Differenzierbarkeit, Taylorsche
Formel, Maxima und Minima, implizite Funktionen und parameterabhiingige
Integrale behandelt.
Das zweite Kapitel gibt eine kune Einfuhrung in die Theorie der gewohnlichen
Differentialgleichungen. Nach dem Beweis des allgemeinen Existenz- und
Eindeutigkeitssatzes und der Besprechung der Methode der Trermung der Variablen
wird besonders auf die Theorie der linearen Differentialgleichungen eingegangen.
Wie im ersten Band wurde versucht, allzu gro~e Abstraktionen zu vermeiden und
die allgemeine Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erliiutern, insbesondere
solche, die fUr die Physik relevant sind.
Bei der Bemessung des Stoffumfangs wurde beriicksichtigt, d~ die Analysis 2
meist in einem Sommersemester gelesen wird, in dem weniger Zeit zur VerfUgung
steht als in einem Wintersemester. Wegen der Kiirze des Sommersemesters ist nach
meiner Meinung eine befriedigende Behandlung der mehrdimensionalen Integration
im 2. Semester nicht moglich, die besser dem 3. Semester vorbehalten bleibt.
Dies Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich im Sommer
semester 1971 an der Universitiit Regensburg gehalten habe. Die damalige Vor
lesungs-Ausarbeitung wurde von Herrn R. Schimpl angefertigt, dem ich hierflir
meinen Dank sage.
o. Forster
Miinster, Januar 1977
Kapitell. Differentialrechnung im IRn
§ 1. Topologie metrischer Riiume
Fiir unsere spliteren Untersuchungen von Funktionen mehrerer Verlinderlichen brauchen wir
u. a. einige topoiogische Grundbegriffe im IRn, wie "Umgebung", "offene Menge", "abge
schiossene Menge", "Rand". Diese Begriffe kiinnen aile auf den Begriff des Abstandes zuriick
geflihrt werden. Wir betrachten daher gieich allgemeiner metrische Riiume, das sind Mengen,
auf denen ein gewissen Axiomen geniigender Abstandsbegriff gegeben ist.
Definition. Sei X eine Menge. Unter einer Metrik auf X versteht man eine Abbildung
d:XXX -+ IR
(x, y) 1-+ d(x, y)
mit folgenden Eigenschaften:
i) d (x, y) = 0 genau dann, wenn x = y.
ii) Symmetrie: Fiir alle x, y E X gilt
d(x, y) = dey, x).
x
iii) Dreiecksungleichung (Bild 1): Fiir alle x, y, z EX gilt
Bild i
d(x, z) :$; d(x, y) + dey, z).
Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d), bestehend aus einer Menge X und einer
Metrik d. Man nennt d (x, y) den Abstand oder die Distanz der Punkte x und y
bzgl. der Metrik d.
Sind Miliverstandnisse ausgeschiossen, schreiben wir kurz X statt (X, d) und Ilx, y II
statt d (x, y).
Bemerkung. Aus den Axiomen folgt, daE d (x, y) ~ 0 flir aHe x, y E X.
Beweis. Wendet man die Dreiecksungleichung auf die Punkte x, y, x an, so ergibt
sich unter Verwendung von i) und ii)
0= d(x,x):$; d(x, y) + d(y, x) = 2d(x,y), q.e.d.
Beispiele
(1.1) Die Menge IR der reeHen Zahlen und die Menge a: der komplexen Zahlen
werden zu metrischen Raumen, wenn man als Abstand definiert
d(x,y):=lx-yl flir x,yEIR (bzw. x,yEa:).
2
Kapitell. Differentialrechnung im IRn
(1.2) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann wird jede Teilmenge A eX zu einem
metrischen Raum, wenn man auf ihr die Metrik
dA:AXA IR
->-
(x, y) .... dA (x, y) := d (x, y)
einflihrt. dA heiBt die durch d induzierte Metrik auf A.
(1.3) Ein Beispiel aus der Physik: Sei X ein optisches Medium, also ein lichtdurch
lassiger Stoff, der nicht unbedingt homogen und isotrop zu sein braucht. X wird
zu einem metrischen Raum, wenn man als Abstand d (x, y) zweier Punkte x, y E X
die Zeit (gemessen in einer vorgegebenen Zeiteinheit) definiert, die ein Lichtstrahl
einer bestimmten Wellenliinge von x nach y braucht. Die drei Axiome der Metrik
folgen aus nichttrivialen physikalischen Aussagen:
Die Eigenschaft i) folgt aus der Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit. Die Symmetrie
ist wegen des Satzes von der "Umkehrbarkeit Jes Lichtweges" erflillt. Die Dreiecks
ungleichung folgt aus dem "Fermatschen Prinzip": Ein Lichtstrahl wahlt zwischen
zwei Punkten immer den Weg, der die kiirzeste Zeit beansprucht.
Seien niimlich x, y, z drei Punkte von X. Sei Ll der Weg des Lichtstrahls von x
nach y und L2 der Weg des Lichtstrahls von y nach z. Bezeichnet L' den aus Ll
und L2 zusamrnengesetzten Weg von x nach z, so ist der Zeitbedarf des Lichtstrahls
ftir L' gleich d (x, y) + d (y, z). Nach dem Fermatschen Prinzip braucht der Licht
strahl auf dem tatsiichlich gewiihlten Weg L von x nach z hOchstens so lange wie
auf dem Weg L', d.h.
d(x, z) :5 d(x, y) + dey, z).
Dieses Beispiel ist aber nicht ganz exakt, da das Fermatsche Prinzip nur lokal gilt.
(1.4) Auf jeder Menge X kann man eine triviale Metrik einflihren durch die
Definition
d( )._{O flir x=y,
x,y .-
J flir x*y.
Die wichtigsten Beispiele metrischer Riiume entstehen aus normierten Vektor
riiumen.
Definition. Sei Vein ree1ler Vektorraum. Unter einer Norm auf V versteht man
eine Abbildung
II II:V - IR
x .... IIxli
mit folgenden Eigenschaften:
i) IlxII = 0 genau dann, wenn x = O.
ii) IIAxll=IAI'lIxli ftiralle AEIR,xEV.
iii) IIx + yll :5 IIx II + lIyll flir aile x, y E V.
§ 1. Topologie metrischer Riiume 3
Ein normierter Vektorraum ist ein Paar 01, 1111), bestehend aus einem Vektor
raum V und einer Norm IIII aufV. 1st klar, urn welche Norm es sich handelt,
schreibt man meist nur V statt 01, II II).
Satz 1. Sei 01, 1111) ein normierter Vektorraum. Dann wird durch
d(x,y):= Ilx-yll /iir x,yEV
eine Metrik d auf V definiert.
Die drei Axiome der Metrik folgen unmittelbar aus den entsprechenden Eigen
schaften der Norm.
Beispiele
(1.5) Sei Vein euklidischer Vektorraum, d.h. ein Vektorraum versehen mit einem
symmetrischen, positiv defmiten, bilinearen Skalarprodukt (x, y). Dann wird
durch IIx II : = ..; (x, x) eine Norm auf V definiert.
(1.6) Auf dem IRn betrachten wir das kanonische Skalarprodukt
(x, y) = XIYI + X2Y2 + ... + xnYn
fUr Vektoren x = (Xl> ... , xn) E IRn und Y= (Yl' ... , Yn) E IRn. Man nennt
IIxII = ..j (x, x) = vx~ + ... + x~
die euklidische Norm von x. Der daraus abgeleitete Abstand ist
d(x,y) = IIx-yll = V(XI-YI)2+ ... + (xn-Yn)2 .
1m folgenden verwenden wir auf dem IRn, wenn nicht ausdriicklich etwas anderes
vermerkt ist, stets diesen euklidischen Abstand.
(1.7) Eine andere Norm auf dem IRn ist die Maximum-Norm
Ixl:= max(lxd, ... , Ixnl)
fUr x = (Xl, ... , Xn) E IRn. Zwischen der Maximum-Norm und der euklidischen
Norm auf dem IRn besteht die Beziehung
Ixl ~ Ilxll ~ Vn Ixl·
(1.8) Sei X eine beliebige Menge und B(X) der Vektorraum aller beschriinkten
reellwertigen Funktionen auf X, d.h. alIer Funktionen f: X - IR, fUr die
IIflix := sup {If(x) I: x EX} <
00 •
Dann ist IllIx eine Norm auf B(X). Die Eigenschaften i) und ii) sind klar.
Die Dreiecksungleichung sieht man so:
IIf+gllx = sup{lf(x)+g(x)l:xEX}
~ sup {If(x)1 + Ig(x)l: xEX}
~ sup {I f(x) I : x EX} + sup {lg (x) I: x EX}
= IIfllx + IIglix .
4 Kapitell. Differentialrechnung im IRn
(1.9) Sei [a, b 1C IR und C[a, b 1d er Vektorraum aller stetigen Funktionen
f: [a, b 1. .. IR. Bereits in An. 11) (18.5) haben wir die p·Norm
J )l/P
b
Ilfllp = ( If(xWdx
a
kennengelernt.
Bezeichnung. Sei (X, d) ein metrischer Raum, a E X ein Punkt und r > O.
Dann heilit
B(a, r):= {x EX: dCa, x) < r}
die offene Kugel mit Mittelpunkt a und Radius r bzgl. der Metrik d.
(Der Buchstabe B erinnert an engl. ball oder frz. boule.)
Definition. Sei X ein metrischer Raum. Eine Teilmenge U C X heilit Umgebung
des Punktes x E X, falls ein € > 0 existiert, so daE
B(x, €) CU.
Insbesondere ist B (x, €) selbst eine Umgebung von x. Man nennt B (x, €) die
€·Umgebung von x.
Satz 2. Sei X ein metrischer Raum. Dann gilt das "Hausdorffsche Trennungs
axiom ": Zu je zwei Punkten x, y E X mit x"* y gibt es Umgebungen U von x
und V von y, die punktfremd sind, d.h. un V = ~.
Beweis. Sei € : = ~ IIx, y II. Dann ist € > 0, und
U := B(x, f), V:= B(y, €)
sind Umgebungen von x bzw. y. Diese Umgebungen sind punktfremd, denn gabe
es ein z E un V, so wtirde [olgen
2 € = II x, y II ::; IIx, z II + II z, y II < € + €
also 2€ < 2€, Widerspruch!
Definition. Eine Teilmenge U eines metrischen Raumes X heiBt offen. wenn sie
Umgebung jedes ihrer Punkte ist, d.h. wenn zu jedem x E U ein € > 0 existiert.
sodaE
B(x,€)CU.
Beispiele
(1.10) Seien a, bE IR, a < b. Das Intervall ja, b[ ist offen in IR, denn ist
x E j a, b [, so gilt
B(x,€)Cja,b[ fur €=min(la-xl, Ib-xl).
1) Analysis 1, rororo vieweg 24
§ 1. TopoJogie metrischer Riiume 5
Ebenso sind die uneigentliehen Intervalle la, + oo[ und l- a[ offen. Dagegen
00,
sind z. B. die Intervalle [a, b) und [a, b[ nieht offen, denn flir kein e > 0 liegt
B(a, e) ganzin [a, b) oder [a,b[.
(1.111 Sei X ein beJiebiger metriseher Raum, a E X und r > O. Dann ist B (a, r)
offen im Sinn der obigen Defmition. Denn sei x E B (a, r). Dann ist
e := r - IIx, all> 0
und aus der Dreieeksungleiehung folgt B(x, e) C B(a, r), (Bild 2)
Bild2
Bemerkung. 1m IRn erhiilt man denselben Begriff der offenen Menge, ob man die
euklidisehe Norm oder die Maximum-Norm zugrunde legt. Denn bezeichnet
B(a,e):= {xEIRn: IIx-all <e}
die e-Umgebungen bzgl. der euklidischen Norm und
B'(a,e):= {xEIRn: Ix-al<e}
die e-Umgeb:unng e)n b zgl. der Maximum-Norm, so gilt
B' (a, C B (a, e) C B' (a, e) .
Daraus folgt, d~ jede offene Menge bzgl. der euklidisehen Norm aueh offen bzgl.
der Maximum-Norm ist und umgekehrt.
Satz 3. Fur die offenen Mengen eines metrischen Raumes X gilt:
a) f/J und X sind offen.
b) Sind U und V offen, so ist auch der Durchschnitt U n V offen.
e) Sei Uj, i E I, eine Familie offener Teilmengen von X. Dann ist auch die Ver
einigung U U offen.
j
jEI
Beweis.
a) Der gesamte Raum X ist offen, da X Umgebung jedes Punktes x EXist. Die
leere Menge ist offen, da es keinen Punkt x E f/J gibt, zu dem es eine e-Umgebung
B(x. e) C f/J geben miiEte.
b) Sei x E un V. Dann gibt es, da U und V offen sind. el > 0 und e2 > 0 mit
B(x. el) C U und B(x, e2) C V.
FUr e:= min(et-e2) giltdann B(x.e)Cunv. Alsoist unv offen.