Analysis 2

424 Pages·2006·2.89 MB·German

by  Herbert Amann

Herbert Amann
Joachim Escher
Analysis II
Zweite, korrigierte Auflage
Birkhäuser Verlag
Basel Boston Berlin
• •
Autoren:
Herbert Amann Joachim Escher
Institut für Mathematik Institut für Angewandte Mathematik
Universität Zürich Universität Hannover
Winterthurerstr. 190 Welfengarten 1
CH-8057 Zürich D-30167 Hannover
e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]
Erste Auflage 1998
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
ISBN 3-7643-7105-6 Birkhäuser Verlag, Basel – Boston – Berlin
Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere
die des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung,
der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in
Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine
Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen
der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes in der jeweils geltenden Fassung zulässig.
Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen
des Urheberrechts.
©2006 Birkhäuser Verlag, Postfach 133, CH-4010 Basel, Schweiz
Ein Unternehmen von Springer Science+Business Media
Satz und Layout mit LATEX: Gisela Amann, Zürich
Gedruckt auf säurefreiem Papier, hergestellt aus chlorfrei gebleichtem Zellstoff. TCF (cid:39)
Printed in Germany
ISBN-10: 3-7643-7105-6 e-ISBN: 3-7643-7402-0
ISBN-13: 978-3-7643-7105-0
9 8 7 6 5 4 3 2 1 www.birkhauser.ch
Vorwort
Wie schonder erste,enth¨alt auch dieser zweite Band wesentlichmehr Stoff, als in
einer einsemestrigen Vorlesung behandelt werden kann. Wir hoffen, dadurch den
Leseranzuregen,imSelbststudiumweiterindieMathematikeinzudringenundvie-
lesch¨oneundtiefgru¨ndigeAnwendungenderAnalysiskennenzulernenundgr¨oßere
Zusammenh¨ange zu erfahren. Dem Dozenten m¨ochten wir geeignetes Material fu¨r
Proseminare und Seminare zur Verfu¨gung stellen.
Fu¨r einen U¨berblick u¨ber den dargebotenen Stoff verweisen wir auf das aus-
fu¨hrliche Inhaltsverzeichnis sowie auf die Einleitungen zu den einzelnen Kapiteln.
Hervorhebenm¨ochtenwirdiezahlreichenU¨bungsaufgaben,derenBearbeitungfu¨r
das Verst¨andnis der Materie unabdingbar ist. Daru¨ber hinaus haben wir viele
nu¨tzlicheErg¨anzungenundAbrundungendesimHaupttextbehandeltenMaterials
in den Aufgabenteil verlegt.
Auch beim Schreiben dieses Bandes konnten wir uns auf die Hilfe Ande-
rer verlassen. Ganz besonders danken wir unseren Freunden und Kollegen Pavol
Quittner und Gieri Simonett. Sie haben nicht nur große Teile des Manuskripts
sorgf¨altiggelesenund uns geholfen,Fehler auszumerzen,sonderndurchihre wert-
vollen Verbesserungsvorschl¨age wesentlich zur endgu¨ltigen Darstellung beigetra-
gen. Zu großem Dank sind wir auch unseren Mitarbeitern Georg Prokert, Frank
WeberundBeaWollenmannverpflichtetfu¨rdiesehrgenaueLektu¨redesgesamten
Manuskripts und das Aufspu¨ren von Druckfehlern und Ungenauigkeiten.
UnserallerherzlichsterDankgiltwiederunserem Satzperfektionisten“,ohne
”
dessenunermu¨dlicheArbeitdiesesBuchnieindervorliegendenperfektenGestalt1
zustandegekommen w¨are, sowie Andreas, der uns wieder bei Hard- und Software-
Problemen zur Seite stand.
Schließlich gebu¨hrt unser Dank Thomas Hintermann und dem Birkh¨auser
Verlagfu¨rdieguteZusammenarbeitunddasverst¨andnisvolleEingehenaufunsere
Terminwu¨nsche.
Zu¨rich und Kassel, im M¨arz 1999 H. Amann und J. Escher
1Fu¨r den Text wurde ein LATEX-file erstellt. Fu¨r die Abbildungen wurden zus¨atzlich Corel-
DRAW!undMapleverwendet.
vi Vorwort
Vorwort zur zweiten Auflage
IndieserVersionhabenwirFehlerundUngenauigkeitenkorrigiertsowieeinigeBe-
weisvereinfachungen durchgefu¨hrt, die uns von aufmerksamen Lesern zur Kennt-
nis gebracht worden sind. Ihnen allen, insbesondere unseren Kollegen H. Crauel,
A. Ilchmann und G. Prokert, gilt unser herzlichster Dank.
Zu¨rich und Hannover, im Dezember 2005 H. Amann und J. Escher
Inhaltsverzeichnis
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Kapitel VI Integralrechnung in einer Variablen
1 Sprungstetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Treppen- und sprungstetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Eine Charakterisierung sprungstetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . 6
Der Banachraumder sprungstetigen Funktionen . . . . . . . . . . . . . 7
2 Stetige Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Der Erweiterungssatz fu¨r gleichm¨aßig stetige Funktionen . . . . . . . . 10
Beschr¨ankte lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Die stetige Erweiterung beschr¨ankter linearer Operatoren. . . . . . . . 15
3 Das Cauchy-Riemannsche Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Das Integral fu¨r Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Das Integral fu¨r sprungstetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Riemannsche Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Eigenschaften des Integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Integration von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Das orientierte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Positivit¨at und Monotonie des Integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Komponentenweise Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . 32
Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Die Technik des Integrierens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Variablensubstitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Partielle Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Die Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
viii Inhalt
6 Summen und Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Die Bernoullischen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Rekursionsformeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Die Bernoullischen Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Die Euler-Maclaurinsche Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Potenzsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Asymptotische A¨quivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Die Riemannsche ζ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Die Sehnentrapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Das L -Skalarprodukt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2
Die Approximation im quadratischen Mittel . . . . . . . . . . . . . . . 71
Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Die Integration periodischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Klassische Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Die Besselsche Ungleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Vollst¨andige Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Stu¨ckweise stetig differenzierbare Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . 84
Gleichm¨aßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Zul¨assige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Der Integralvergleichssatzfu¨r Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Absolut konvergente Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Das Majorantenkriterium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9 Die Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Die Eulersche Integraldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Die Gammafunktion auf C\(−N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Die Gaußsche Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Die Erg¨anzungsformel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Die logarithmische Konvexit¨at der Gammafunktion . . . . . . . . . . . 108
Die Stirlingsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Das Eulersche Betaintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Inhalt ix
Kapitel VII Differentialrechnung mehrerer Variabler
1 Stetige lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Die Vollst¨andigkeit von L(E,F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Endlichdimensionale Banachr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Matrixdarstellungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Die Exponentialabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Lineare Differentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Das Gronwallsche Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Die Variation-der-Konstanten-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Determinanten und Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Fundamentalmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . 145
2 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Die Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Richtungsableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Die Jacobimatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Ein Differenzierbarkeitskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Der Rieszsche Darstellungssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Der Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Komplexe Differenzierbarkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Linearit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Die Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Mittelwerts¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Die Differenzierbarkeit von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . 177
Notwendige Bedingungen fu¨r lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . 177
4 Multilineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Stetige multilineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Der kanonische Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Symmetrische multilineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Die Ableitung multilinearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5 H¨ohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Partielle Ableitungen h¨oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Taylorsche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
x Inhalt
Funktionen von m Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Hinreichende Kriterien fu¨r lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6 Nemytskiioperatoren und Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . 204
Nemytskiioperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Die Stetigkeit von Nemytskiioperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Die Differenzierbarkeit von Nemytskiioperatoren . . . . . . . . . . . . . 206
Die Differenzierbarkeit von Parameterintegralen . . . . . . . . . . . . . 209
Variationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Die Euler-LagrangescheGleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7 Umkehrabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Die Ableitung der Inversion linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . 221
Der Satz u¨ber die Umkehrabbildung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Diffeomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Die L¨osbarkeit nichtlinearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . 227
8 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Differenzierbare Abbildungen auf Produktr¨aumen . . . . . . . . . . . . 230
Der Satz u¨ber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Regul¨are Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Gew¨ohnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Separation der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Lipschitz-Stetigkeit und Eindeutigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Der Satz von Picard-Lindel¨of. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Untermannigfaltigkeiten des Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Der Satz vom regul¨aren Wert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Der Immersionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Einbettungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Lokale Karten und Parametrisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Kartenwechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
10 Tangenten und Normalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Das Tangential in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Der Tangentialraum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Charakterisierungendes Tangentialraumes . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Differenzierbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Das Differential und der Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Normalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Extrema mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Anwendungen der LagrangeschenMultiplikatorenregel . . . . . . . . . 283
Inhalt xi
Kapitel VIII Kurvenintegrale
1 Kurven und ihre L¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Die totale Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Rektifizierbare Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Differenzierbare Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Rektifizierbare Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
2 Kurven in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Tangenteneinheitsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Parametrisierungennach der Bogenl¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Orientierte Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Das Frenetsche n-Bein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Die Kru¨mmung ebener Kurven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Eine Kennzeichnung von Geraden und Kreisen . . . . . . . . . . . . . . 310
Kru¨mmungskreise und Evoluten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
Die Kru¨mmung und die Torsion von Raumkurven . . . . . . . . . . . . 314
3 Pfaffsche Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Vektorfelder und Pfaffsche Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Die kanonischen Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
Exakte Formen und Gradientenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Das Poincar´escheLemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Duale Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Transformationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
4 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Die Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Der Hauptsatz u¨ber Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Einfach zusammenh¨angende Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Die Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals . . . . . . . . . . . . . . . 344
5 Holomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Komplexe Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
Der Cauchysche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
Die Orientierung der Kreislinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Die Cauchysche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Analytische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Der Satz von Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
Die Fresnelschen Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
Das Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363