Analyse Numérique. Recueil d'exercices corrigés et aide-mémoire.

207 Pages·2014·4.18 MB·French

M33
Analyse numérique
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Recueil d’exercices corrigés et aide-mémoire.
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Année 2013 – 2014
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Dernière mise-à-jour
Jeudi 5 juin 2014
Ce fascicule est un support au cours d’analyse numérique en deuxième année d’une Licence de Mathématiques. Il
aborde:larecherchederacinesd’unefonctionréelledevariableréelle,l’interpolationpolynomiale,l’intégrationnumé-
riques,l’intégrationd’équationsdifférentiellesetlarésolutiondesystèmeslinéaires.Lesapplicationssefontaveclelan-
gage Python dont la documentation et les sources peuvent être téléchargées à l’adresse http://www.python.org. Les
notionssupposéesconnuescorrespondentauprogrammedescoursdeMathématiques(Analysemathématiquedesfonc-
tionsréellesd’unevariableréelleetAlgèbreLinéaire)etInformatiques(Initiationàl’algorithmiqueetaulangagePython)
delapremièreannéedeLicence.
L’objetdeceaide-mémoireestdeproposeruneexplicationsuccinctedesconceptsvuencours.Denombreuxlivres,
parfoistrèsfournis,existent.Icionacherché,comptetenudescontraintesdevolumehoraire,desacquisdesétudiants
àlapremièreannéeetdesexigencespourlasuiteducursus,àdégagerlespointscléspermettantdestructurerletravail
personneldel’étudiantvoiredefaciliterlalectured’autresouvrages.Cepolycopiéenedispensepasdesséancesdecours
etdeTDnideprendredesnotescomplémentaires.Ilestd’ailleursimportantdecomprendreetapprendrelecoursaufur
etàmesure.Cepolycopiéestlàpouréviteruntravaildecopiequiempêcheparfoisdeseconcentrersurlesexplications
donnéesoralementmaiscen’estpasunlivreauto-suffisant(ilestloind’êtreexhaustif)!Deplus,nevousétonnezpassi
vousdécouvrezdeserreurs(mercidemelescommuniquer).
Onainclusdanscetextenombreuxexercicescorrigés.Ceux-ci,dedifficultévariée,répondentàunedoublenécessitée.
Il est important de jongler avec les différents concepts introduits en cours et même de faire certaines erreurs une fois
pourbienidentifierlespièges.Lesexercicespermettentd’orienterlesraisonnementsversd’autresdomaines(physique,
économie,etc.),celaafind’exhiberl’intérêtetl’omniprésencedel’analysenumériqueausenslarge(modélisation,analyse
mathématique,discrétisation,résolutionnumériqueetinterprétationdesrésultats).Cependant,veuilleznoterquevous
n’obtiendrezpasgrandechosesivousvouslimitezàchoisirunexercice,yréfléchiruneminuteetallervitevoirledébutde
lacorrectionenpassanttoutletempsàessayerdecomprendrelacorrectionquivaparaitreincompréhensible.Pourque
laméthoded’étudesoitvraimentefficace,ilfautd’abordvraimentessayerdechercherlasolution.Enparticulier,ilfaut
avoirunpapierbrouillonàcotédesoietuncrayon.Lapremièreétapeconsistealorsàtraduirel’énoncé(paslerecopier),
enparticuliers’ilestconstituédebeaucoupdejargonmathématique.Ensuiteilfautessayerderapprocherleshypothèses
delaconclusionsouhaitée,etpourcelafairequelquescalculsoutransformerleshypothèsespourappliquerunthéorème
dontonauravérifierqueleshypothèsessontbiensatisfaites.C’esticiquel’intuitionjoueungrandrôleetilnefautpas
hésiteràremplirdespagespours’apercevoirquel’idéequ’onaeun’estpaslabonne.Ellepourratoujoursresservirdans
uneautresituation.Quandfinalementonpensetenirlebonbout,ilfautrédigersoigneusementens’interrogeantàchaque
passurlavalidité(logique,mathématique)decequ’onaécrit.Sil’étapeprécédentenedonnerien,ilfautchercherdel’aide
(voirledébutdelacorrection,enparleràunautreétudiant,etc.).
GloriaFACCANONI
IMATHBâtimentU-318 T0033(0)494142381
UniversitéduSudToulon-Var
Avenuedel’université [email protected]
83957LAGARDE-FRANCE ihttp://faccanoni.univ-tln.fr
2
Table des matières
Notations 5
Introduction au calcul scientifique 7
1. Résolution d’équations non linéaires 11
1.1. Étape(cid:172):localisationdeszéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Étape(cid:173):constructiond’unesuiteconvergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1. Méthodesdedichotomie(oubissection),deLAGRANGE(ouRegulafalsi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2. Méthodedelasécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3. Méthodesdepointfixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Interpolation 61
2.1. Interpolationpolynomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.1. Méthodedirecte(ou“naïve”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.2. MéthodedeLAGRANGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.3. Stabilitédel’interpolationpolynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.1.4. MéthodedeNEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2. Polynômed’HERMITEoupolynômeosculateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3. Splines:interpolationparmorceaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.1. Interpolationlinéairecomposite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3. Quadrature 93
3.1. Principesgénéraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2. Exemplesdeformulesdequadratureinterpolatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3. Approximationdedérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4. Équations différentielles ordinaires 129
4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.1. Positionduproblème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.2. Conditioninitiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.3. Représentationgraphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.1.4. Théorèmed’existenceetunicité,intervalledevieetsolutionmaximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2. Schémasnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.1. Schémasnumériquesclassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.2. Schémasnumériquesd’ADAMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2.3. Schémasmulti-pasdetypepredictor-corrector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3. Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4. Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4.1. A-Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5. Systèmes linéaires 163
5.1. Systèmesmalconditionnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2. Méthode(directe)d’éliminationdeGAUSSetfactorisation(cid:76)(cid:85) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3. Méthodesitératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A.Python : guide de survie pour les TP 189
A.1. ObtenirPythonetsonéditeurIDLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A.1.1. Utilisationdebased’IDLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A.2. NotionsdebasedePython . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
A.3. FonctionsetModules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
A.3.1. Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
A.3.2. Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
A.4. Structureconditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
A.5. Boucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3

Notations
Ensembles usuels en mathématiques
Ondésignegénéralementlesensemblelesplususuelsparunelettreàdoublebarre:
(cid:78) l’ensembledesentiersnaturels
(cid:78)∗ l’ensembledesentiersstrictementpositifs
(cid:90) l’ensembledesentiersrelatifs(positifs,négatifsounuls)
(cid:90)∗ l’ensembledesentiers(cid:54)=0
(cid:179) (cid:180)
(cid:81) l’ensembledesnombresrationnels p, p∈(cid:90), q∈(cid:90)∗
q
(cid:82) l’ensembledesréels
(cid:82)∗ l’ensembledesréelsautresque0
(cid:67) l’ensembledesnombrescomplexes
(cid:82) [x] l’espacevectorieldespolynômesenxdedegréinférieurouégalàn
n
Intervalles
Inégalité Notationensembliste Représentationsgraphique
a b
a b
a≤x≤b [a,b]
a b
a b
a<x<b ]a,b[
a b
a b
a≤x<b [a,b[
a b
a b
a<x≤b ]a,b]
a
a
x≥a [a,+∞[
a
a
x>a ]a,+∞[
b
b
x≤b ]−∞,b]
b
b
x<b ]−∞,b[
−a a −a a
|x|≤aaveca≥0 [−a,a]
−a a −a a
|x|<aaveca≥0 ]−a,a[
−a a −a a
|x|≥aaveca≥0 ]−∞,−a]∪[a,+∞[
−a a −a a
|x|>aaveca≥0 ]−∞,−a[∪]a,+∞[
∀x∈(cid:82) ]−∞,+∞[
a a
x(cid:54)=a ]−∞,a[∪]a,+∞[=(cid:82)\{a}
Symboles utilisés dans le document
définition
théorème,corollaire,proposition
propriété(s)
astuce
attention
remarque
5
Notations Jeudi 5 juin 2014
méthode,algorithme,casparticulier
exercicedebase
exercice
exemple
curiosité
≡ égalpardéfinition
> strictementsupérieur
< strictementinférieur
≥ supérieurouégal
≤ inférieurouégal
(cid:54)= différent
{ } ensemble
(cid:65)\(cid:66) ensemble(cid:65)privédel’ensemble(cid:66),i.e.C(cid:65)((cid:66))lecomplémentairede(cid:66)dans(cid:65)
(cid:59) ensemblevide
| telque
∈ appartient
(cid:54)∈ n’appartientpas
∀ pourtout(quantificateuruniversel)
∃ ilexiste(quantificateuruniversel)
(cid:54)∃ iln’existepas
∃! ilexisteunetunseul
⊂ estsous-ensemble(estcontenu)
∪ uniond’ensembles
∩ intersectiond’ensembles
=⇒ si...alors
⇐⇒ sietseulementsi
ssi sietseulementsi
ln logarithmedebasee
log logarithmedebasea
a
∞ infini
(cid:82)
symboled’intégrale
n
(cid:80) a sommeparrapportàl’indicei,équivautàa +a +···+a
i 0 1 n
i=0
n
(cid:81) a produitparrapportàl’indicei,équivautàa ×a ×···×a
i 0 1 n
i=0
n! nfactoriel,équivautà1×2×···×n
g◦f f puisg
(cid:48) df
f , symbolesdedérivée
dx
D domainededéfinitiond’unefonction f
f
Conventions pour la présentation du code
Pourl’écritureducode,onutilisedeuxprésentations:
(cid:172) lesinstructionsprécédéesdechevronsdansuneboitegriséesontàsaisirdansunesessioninteractive
>>> 1 + 1
1
2
2
(cid:173) lesinstructionssanschevronsdansuneboitegriséesontdesboutsdecodeàécriredansunfichier
print(’Coucou!’)
1
6 © G. Faccanoni
Introduction au calcul scientifique
OnpeutdéfinirleCALCULSCIENTIFIQUEcommeladisciplinequipermetdereproduiresurunordinateurunphénomène
ouunprocessusdécritparunmodèlemathématique.
ANALYSEMATHÉMATIQUE
PHÉNOMÈNEPHYSIQUE,ÉCO- MODÈLEMATHÉMATIQUE Bienposé
NOMIQUE,BIOLOGIQUE... Miseenéquations: Bienconditionné
Observationexpérimentale équationsdifférentielles,inté- Propriétésdelasolution(stabi-
Modèleconceptuel grales,stochastiques... lité,...)
Solutionsanalytiques
CALCULS
PROGRAMMATION
Langagedeprogrammation(C, ANALYSENUMÉRIQUE
C++,Fortran,Java,Python,Mat- Méthodesdediscrétisation
lab,Scilab,Octave...) Analysedesalgorithmes(rapi-
Structuredesdonnées dité,précision,souplesse)
Implémentationdel’algorithme Estimationdeserreurs
Optimisation
POSTPROCESSING
Visualisation CALCULSCIENTIFIQUE
Analysedesrésultats
L’ordinateur est aujourd’hui un outil incontournable pour simuler et modéliser des systèmes complexes, mais il faut
encoresavoirexprimernosproblèmes(physiques,économiques,biologiques...)enlangageformalisédesmathématiques
puressouslaformed’équationsmathématiques(différentielles,intégrales...).Noussommeshabituésàrésoudrelespro-
blèmesdefaçonanalytique,alorsquel’ordinateurnetravaillequesurdessuitesdenombres.Onverraqu’ilexistesouvent
plusieursapprochespourrésoudreunmêmeproblème,cequiconduitàdesalgorithmesdifférents.Undesobjectifsdece
coursestdefournirdesbasesrigoureusespourdévelopperquelquesalgorithmesutilesdanslarésolutiondeproblèmesen
mathématique,économie,physique...
Unalgorithme,pourêtreutile,doitsatisfaireuncertainnombredeconditions.Ildoitêtre:
rapide : lenombred’opérationsdecalculpourarriveraurésultatescomptédoitêtreaussiréduitquepossible;
précis : l’algorithmedoitsavoircontenirleseffetsdeserreursquisontinhérentesàtoutcalculnumérique(ceserreurs
peuventêtreduesàlamodélisation,auxdonnées,àlareprésentationsurordinateurouencoreàlatroncature);
souple : l’algorithmedoitêtrefacilementtransposableàdesproblèmesdifférents.
Lechoixetl’optimisationdesalgorithmesnumériquesmisenpratiquesontabsolumentcruciauxtantpourlescalculs
detypeindustrielsouventtrèsrépétitifsetdevantdoncpouvoirêtreexécutésenuntempstrèscourt,quepourlescal-
culsderéférencepourlesquelslaseulelimiteestlapatiencedeceluiquilesfait.Parexemple,enfluidodynamique,en
laissanttournerunestationdetravailpendantquelquesjours,lesnumériciensrésolventdessystèmesfrisantlemilliard
d’inconnues.L’expériencemontrequ’entreuneapprochenumériquestandardetuneapprochesoigneusementréfléchie
7
Introduction au calcul scientifique Jeudi 5 juin 2014
etoptimiséeungaindetempsdecalculd’unfacteur100,voiredavantage,estsouventobservé.Ilestclairqu’onpeutpas-
serainsi,grâceàceteffort,d’uncalcultotalementdéraisonnableàuncalculparfaitementbanal:toutl’enjeudel’analyse
numériquesestlà!C’estdirel’importancepourtousscientifiquedebienconnaîtrecesméthodes,leursavantagesetleurs
limites.
(cid:112)
ExempleCalculde A
Surordinateur,l’additiondedeuxentierspeutsefairedefaçonexactemaisnonlecalculd’uneracinecarrée.Onprocèdealorspar
approximationssuccessivesjusqu’àconvergerverslasolutionsouhaitée.Ilexistepourceladiversalgorithmes.Lesuivantestconnu
depuisl’antiquité(maiscen’estpasceluiquelesordinateursutilisent).
SoitAunnombreréelpositifdontoncherchelaracinecarrée.Désignonsparx0lapremièreestimationdecetteracine(généralement
leplusgrandentierdontlecarréestinférieuràA;parexemple,siA=178,alorsx0=13car132=169<178et142=196>178)etpar
ε0l’erreurassociée: (cid:112)
A=x0+ε0.
Cherchonsuneapproximationdeε0.Ona
A=(x0+ε0)2=x02+2x0ε0+ε20.
Supposonsquel’erreursoitpetitefaceàx0,cequipermetdenégligerletermeenε20:
A(cid:39)x02+2x0ε0.
Remplaçonsl’erreurε0parunε(cid:48)0,quienestuneapproximation,detellesorteque
A=x02+2x0ε(cid:48)0.
Onendéduitque
A−x2
ε(cid:48) = 0
0 2x0
donclaquantité
x1≡x0+ε(cid:48)0=12(cid:181)xA0+x0(cid:182)
constitueunemeilleureapproximationdelaracinequex0(sousréservequeledéveloppementsoitconvergent).Deplus,riennenous
empêchederecommencerlescalculsavecx1,puisx2,etc.,jusqu’àcequelaprécisiondelamachinenepermetteplusdedistinguer
lerésultatfinaldelavéritablesolution.Onpeutdoncdéfinirunesuite,quiàpartird’uneestimationinitialex0devraitenprincipe
convergerverslasolutionrecherchée.Cettesuiteest
1(cid:181) A (cid:182)
xk+1= +xk , x0>0.
2 x
k
L’algorithmeducalculdelaracinecarréedevientdonc (cid:112)
1. Démarreravecunepremièreapproximationx0>0de A.
(cid:179) (cid:180)
2. Àchaqueitérationk,calculerlanouvelleapproximationxk+1=12 xAk +xk .
3. Calculerl’erreurassociéeε(cid:48) = A−xk2+1.
k+1 2xk+1
4. Tantquel’erreurestsupérieureàunseuilfixé,recommenceraupoint2
Letableauci-dessousillustrequelquesitérationsdecetalgorithmepourlecasoùA=5:
k x ε(cid:48)
k k
0 2.0000000000 0.2360679775
1 2.2500000000 0.0139320225
2 2.2361111111 0.0000431336
3 2.2360679779 0.0000000004
4 2.2360679775 0.0000000000
Onvoitquel’algorithmeconvergetrèsrapidementetpermetdoncd’estimerlaracinecarréed’unnombremoyennantunnombreli-
mitéd’opérationsélémentaires(additions,soustractions,divisions,multiplications).Ilresteencoreàsavoirsicetalgorithmeconverge
toujoursetàdéterminerlarapiditédesaconvergence.L’analysenumériqueestunedisciplineprochedesmathématiquesappliquées,
quiapourobjectifderépondreàcesquestionsdefaçonrigoureuse.
Les erreurs
Lesimplefaitd’utiliserunordinateurpourreprésenterdesnombresréelsinduitdeserreurs.Parconséquent,plutôtque
detenterd’éliminerleserreurs,ilvautmieuxchercheràcontrôlerleureffet.Généralement,onpeutidentifierplusieurs
niveauxd’erreurdansl’approximationetlarésolutiond’unproblèmephysique.
8 © G. Faccanoni
Jeudi 5 juin 2014
Auniveauleplusélevé,ontrouvel’erreurquiprovientdufaitqu’onaréduitlaréalitéphysiqueàunmodèlemathéma-
tique.Detelleserreurslimitentl’applicationdumodèlemathématiqueàcertainessituationsetnesontpasdanslechamp
ducontrôleduCalculScientifique.
Onnepeutgénéralementpasdonnerlasolutionexplicited’unmodèlemathématique(qu’ilsoitexpriméparunein-
tégrale,uneéquationalgébriqueoudifférentielle,unsystèmelinéaireounonlinéaire).Larésolutionpardesalgorithmes
numériquesentraîneimmanquablementl’introductionetlapropagationd’erreursd’arrondi.Deplus,ilestsouventné-
cessaired’introduired’autreserreursliéesaufaitqu’unordinateurnepeuteffectuerquedemanièreapproximativedes
calculsimpliquantunnombreinfinid’opérationsarithmétiques.Parexemple,lecalculdelasommed’unesérienepourra
êtreaccompliqu’enprocédantàunetroncatureconvenable.Ondoitdoncdéfinirunproblèmenumérique,dontlasolution
diffèredelasolutionmathématiqueexacted’uneerreur,appeléeerreurdetroncature.Lasommedeserreursd’arrondiset
detroncatureconstituel’erreurdecalcul.L’erreurdecalculabsolueestladifférenceentrex,lasolutionexactedumodèle
mathématique,etx˜,lasolutionobtenueàlafindelarésolutionnumérique,tandisque(six(cid:54)=0)l’erreurdecalculrelative
estdéfinieparl’erreurdecalculabsoluediviséparx.Lecalculnumériqueconsistegénéralementàapprocherlemodèle
mathématiqueenfaisantintervenirunparamètredediscrétisation,quenousnoteronsh etquenoussupposeronsposi-
tif.Si,quandhtendvers0,lasolutionducalculnumériquetendverscelledumodèlemathématique,nousdironsquele
calculnumériqueestconvergent.Sideplus,l’erreur(absolueourelative)peutêtremajoréeparunefonctiondeChp où
C estindépendantedehetoùpestunnombrepositif,nousdironsquelaméthodeestconvergented’ordrep.Quand,en
plusd’unmajorant,ondisposed’unminorantC hp (C étantuneautreconstante(≤C)indépendantedehetp),onpeut
1 1
remplacerlesymbole≤par(cid:39).
© G. Faccanoni 9